Étude d'un Précipitateur Électrostatique

Comprendre le Précipitateur Électrostatique

Un précipitateur électrostatique (ou dépoussiéreur électrostatique) est un dispositif utilisé pour éliminer les particules fines, comme la poussière ou la fumée, d'un flux gazeux. Son principe de fonctionnement repose sur l'ionisation des particules, puis leur collecte sur des électrodes grâce à un champ électrique intense. Typiquement, une haute tension est appliquée entre une électrode émettrice (souvent un fil fin ou une série de pointes) et une électrode collectrice (plaques ou cylindres). Les particules passant près de l'électrode émettrice acquièrent une charge électrique et sont ensuite attirées et déposées sur l'électrode collectrice. Cet exercice se concentre sur les aspects électrostatiques d'un modèle simplifié de précipitateur cylindrique.

Données de l'étude

On modélise un précipitateur électrostatique par un fil central (cathode) de rayon \(R_1 = 0,5 \, \text{mm}\) et un cylindre collecteur coaxial (anode) de rayon intérieur \(R_2 = 10 \, \text{cm}\). Une différence de potentiel \(V_0 = 50 \, \text{kV}\) est appliquée entre le fil et le cylindre, le fil étant au potentiel le plus bas (considéré comme \(0 \, \text{V}\)) et le cylindre au potentiel \(+V_0\).

Une particule de poussière de rayon \(a = 1,0 \, \mu\text{m}\) acquiert une charge négative \(q_p = -1,5 \times 10^{-15} \, \text{C}\) près du fil.

Constantes et autres données :

Permittivité du vide : \(\varepsilon_0 \approx 8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
Viscosité de l'air : \(\eta = 1,8 \times 10^{-5} \, \text{Pa} \cdot \text{s}\)
On néglige les effets de la gravité et du flux d'air sur le mouvement radial de la particule.

Schéma : Coupe d'un Précipitateur Électrostatique Cylindrique

Coupe transversale du précipitateur cylindrique.

Questions à traiter

Exprimer le potentiel électrique \(V(r)\) à une distance radiale \(r\) de l'axe du fil, en fonction de \(V_0\), \(R_1\), et \(R_2\). On rappelle que pour une géométrie cylindrique, \(V(r) = A \ln(r) + B\). Déterminer A et B avec les conditions aux limites \(V(R_1)=0\) et \(V(R_2)=V_0\).
Déterminer l'expression du champ électrique radial \(E(r)\) entre le fil et le cylindre à partir du potentiel \(V(r)\). Quelle est sa direction ?
Calculer la valeur du champ électrique \(E(r)\) à mi-distance entre le fil et le cylindre, c'est-à-dire en \(r = (R_1+R_2)/2\).
Calculer la force électrique \(\vec{F}_e\) subie par la particule de poussière lorsqu'elle se trouve à cette mi-distance \(r = (R_1+R_2)/2\).
En supposant que la particule atteint rapidement une vitesse de dérive \(v_d\) où la force électrique est équilibrée par la force de traînée de Stokes (\(F_s = 6\pi\eta a v_d\)), calculer cette vitesse de dérive à la mi-distance.
Quelle est la différence de potentiel entre un point situé à \(r_A = R_1 + (R_2-R_1)/4\) et un point situé à \(r_B = R_1 + 3(R_2-R_1)/4\) ?

Correction : Étude d’un Précipitateur Électrostatique

Question 1 : Potentiel électrique \(V(r)\)

Principe :

Pour une géométrie cylindrique, la solution de l'équation de Laplace pour le potentiel électrique entre deux cylindres coaxiaux est de la forme \(V(r) = A \ln(r) + B\), où \(A\) et \(B\) sont des constantes déterminées par les conditions aux limites.

Conditions aux limites :

\(V(R_1) = 0 \, \text{V}\) (fil central)
\(V(R_2) = V_0\) (cylindre collecteur)

Calcul des constantes A et B :

V(R_1) = A \ln(R_1) + B = 0 \quad \Rightarrow \quad B = -A \ln(R_1)

\begin{aligned} V(R_2) &= A \ln(R_2) + B = V_0 \\ A \ln(R_2) - A \ln(R_1) &= V_0 \\ A (\ln(R_2) - \ln(R_1)) &= V_0 \\ A \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right) &= V_0 \\ A &= \frac{V_0}{\ln(R_2/R_1)} \end{aligned}

B = -\frac{V_0}{\ln(R_2/R_1)} \ln(R_1)

En substituant A et B dans l'expression de \(V(r)\) :

\begin{aligned} V(r) &= \frac{V_0}{\ln(R_2/R_1)} \ln(r) - \frac{V_0}{\ln(R_2/R_1)} \ln(R_1) \\ &= \frac{V_0}{\ln(R_2/R_1)} (\ln(r) - \ln(R_1)) \\ &= V_0 \frac{\ln(r/R_1)}{\ln(R_2/R_1)} \end{aligned}

Résultat Question 1 : Le potentiel électrique est \(V(r) = V_0 \frac{\ln(r/R_1)}{\ln(R_2/R_1)}\).

Question 2 : Champ électrique radial \(E(r)\)

Principe :

Le champ électrique radial \(E_r\) dérive du potentiel par la relation \(E_r = -\frac{dV}{dr}\). Le champ électrique vectoriel est \(\vec{E} = E_r \hat{u}_r\).

Formule(s) utilisée(s) :

E(r) = -\frac{dV(r)}{dr}

Calcul :

\begin{aligned} E(r) &= -\frac{d}{dr} \left( V_0 \frac{\ln(r/R_1)}{\ln(R_2/R_1)} \right) \\ &= -\frac{V_0}{\ln(R_2/R_1)} \frac{d}{dr} (\ln(r) - \ln(R_1)) \\ &= -\frac{V_0}{\ln(R_2/R_1)} \left( \frac{1}{r} - 0 \right) \\ &= -\frac{V_0}{r \ln(R_2/R_1)} \end{aligned}

Le signe négatif indique que si \(V_0 > 0\), le champ est dirigé vers l'axe (sens des potentiels décroissants). Comme le fil (rayon \(R_1\)) est à \(0 \, \text{V}\) et le cylindre (rayon \(R_2\)) à \(+V_0\), le potentiel augmente avec \(r\). Le champ électrique est donc dirigé radialement vers l'intérieur (de \(R_2\) vers \(R_1\)). Cependant, la convention est souvent de donner la magnitude du champ. Si on considère \(E(r)\) comme la magnitude : \(|E(r)| = \frac{V_0}{r \ln(R_2/R_1)}\). Le vecteur champ électrique est \(\vec{E}(r) = \frac{V_0}{r \ln(R_2/R_1)} \hat{u}_r\) si \(V_0\) est la ddp \(V(R_2)-V(R_1)\) et que le champ est dirigé vers les potentiels décroissants. Avec \(V(R_1)=0\) et \(V(R_2)=V_0 > 0\), le champ est dirigé de \(R_2\) vers \(R_1\), donc \(\vec{E}(r) = -\frac{V_0}{r \ln(R_2/R_1)} \hat{u}_r\). La question demande l'expression du champ radial \(E(r)\). On prendra sa magnitude : \(E(r) = \frac{V_0}{r \ln(R_2/R_1)}\). Sa direction est radiale, dirigée du cylindre vers le fil (vers les potentiels décroissants).

Résultat Question 2 : Le champ électrique radial est \(E(r) = \frac{V_0}{r \ln(R_2/R_1)}\). Il est dirigé radialement vers l'axe central (du cylindre vers le fil).

Question 3 : Valeur du champ électrique \(E(r)\) à mi-distance

Principe :

On calcule la valeur de \(r = (R_1+R_2)/2\) et on l'injecte dans l'expression de \(E(r)\).

Données spécifiques :

\(V_0 = 50 \, \text{kV} = 50 \times 10^3 \, \text{V}\)
\(R_1 = 0,5 \, \text{mm} = 0,5 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
\(R_2 = 10 \, \text{cm} = 0,1 \, \text{m}\)

Calcul :

\begin{aligned} r_{\text{mid}} &= \frac{R_1 + R_2}{2} \\ &= \frac{0,5 \times 10^{-3} \, \text{m} + 0,1 \, \text{m}}{2} \\ &= \frac{0,0005 \, \text{m} + 0,1 \, \text{m}}{2} \\ &= \frac{0,1005 \, \text{m}}{2} \\ &= 0,05025 \, \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right) &= \ln\left(\frac{0,1}{0,5 \times 10^{-3}}\right) \\ &= \ln\left(\frac{0,1}{0,0005}\right) \\ &= \ln(200) \\ &\approx 5,2983 \end{aligned}

\begin{aligned} E(r_{\text{mid}}) &= \frac{V_0}{r_{\text{mid}} \ln(R_2/R_1)} \\ &= \frac{50 \times 10^3 \, \text{V}}{(0,05025 \, \text{m}) \times 5,2983} \\ &\approx \frac{50000}{0,26624} \, \text{V/m} \\ &\approx 187799,5 \, \text{V/m} \\ &\approx 1,88 \times 10^5 \, \text{V/m} \quad (\text{ou } 188 \, \text{kV/m}) \end{aligned}

Résultat Question 3 : Le champ électrique à mi-distance est \(E(r_{\text{mid}}) \approx 1,88 \times 10^5 \, \text{V/m}\).

Question 4 : Force électrique \(\vec{F}_e\) sur la particule

Principe :

La force électrique \(\vec{F}_e\) subie par une charge \(q_p\) dans un champ électrique \(\vec{E}\) est \(\vec{F}_e = q_p \vec{E}\).

Formule(s) utilisée(s) :

\vec{F}_e = q_p \vec{E}(r_{\text{mid}})

Données spécifiques :

\(q_p = -1,5 \times 10^{-15} \, \text{C}\)
\(E(r_{\text{mid}}) \approx 1,88 \times 10^5 \, \text{V/m}\) (dirigé vers l'axe)

Calcul :

Le champ \(\vec{E}\) est dirigé radialement vers l'axe (sens \(- \hat{u}_r\)). \(\vec{E}(r_{\text{mid}}) \approx -1,88 \times 10^5 \hat{u}_r \, \text{V/m}\).

\begin{aligned} \vec{F}_e &= (-1,5 \times 10^{-15} \, \text{C}) \times (-1,88 \times 10^5 \hat{u}_r \, \text{V/m}) \\ &= (1,5 \times 1,88) \times 10^{-15+5} \hat{u}_r \, \text{N} \\ &= 2,82 \times 10^{-10} \hat{u}_r \, \text{N} \end{aligned}

La force est dirigée radialement vers l'extérieur (vers le cylindre collecteur), car la charge \(q_p\) est négative et le champ est dirigé vers l'intérieur.

Résultat Question 4 : La force électrique sur la particule est \(\vec{F}_e \approx 2,82 \times 10^{-10} \hat{u}_r \, \text{N}\) (dirigée vers le cylindre collecteur).

Question 5 : Vitesse de dérive \(v_d\) de la particule

Principe :

La vitesse de dérive est atteinte lorsque la force électrique \(\vec{F}_e\) est équilibrée par la force de traînée de Stokes \(\vec{F}_s = -6\pi\eta a \vec{v}_d\). À l'équilibre, \(|\vec{F}_e| = |\vec{F}_s|\).

Formule(s) utilisée(s) :

F_e = 6\pi\eta a v_d \quad \Rightarrow \quad v_d = \frac{F_e}{6\pi\eta a}

Données spécifiques :

\(F_e \approx 2,82 \times 10^{-10} \, \text{N}\)
\(\eta = 1,8 \times 10^{-5} \, \text{Pa} \cdot \text{s}\)
\(a = 1,0 \, \mu\text{m} = 1,0 \times 10^{-6} \, \text{m}\)

Calcul :

\begin{aligned} v_d &= \frac{2,82 \times 10^{-10} \, \text{N}}{6\pi (1,8 \times 10^{-5} \, \text{Pa} \cdot \text{s}) (1,0 \times 10^{-6} \, \text{m})} \\ &= \frac{2,82 \times 10^{-10}}{6 \times \pi \times 1,8 \times 1,0 \times 10^{-11}} \, \text{m/s} \\ &= \frac{2,82}{6 \times \pi \times 1,8 \times 0,1} \, \text{m/s} \\ &= \frac{2,82}{3,3929} \, \text{m/s} \\ &\approx 0,831 \, \text{m/s} \end{aligned}

Résultat Question 5 : La vitesse de dérive de la particule à mi-distance est \(v_d \approx 0,831 \, \text{m/s}\).

Quiz Intermédiaire : Si la charge de la particule double, sa vitesse de dérive (en supposant l'équilibre avec la force de Stokes) :

Est divisée par deux.
Reste la même.
Double.
Quadruple.

Question 6 : Différence de potentiel entre \(r_A\) et \(r_B\)

Principe :

La différence de potentiel \(U_{AB}\) est \(V(r_A) - V(r_B)\) en utilisant l'expression de \(V(r)\) trouvée à la question 1.

Données spécifiques :

\(R_1 = 0,5 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
\(R_2 = 0,1 \, \text{m}\)
\(r_A = R_1 + (R_2-R_1)/4 = 0,0005 + (0,1-0,0005)/4 = 0,0005 + 0,0995/4 = 0,0005 + 0,024875 = 0,025375 \, \text{m}\)
\(r_B = R_1 + 3(R_2-R_1)/4 = 0,0005 + 3 \times 0,024875 = 0,0005 + 0,074625 = 0,075125 \, \text{m}\)
\(V_0 = 50 \times 10^3 \, \text{V}\)
\(\ln(R_2/R_1) \approx 5,2983\)

Calcul :

\begin{aligned} V(r_A) &= V_0 \frac{\ln(r_A/R_1)}{\ln(R_2/R_1)} \\ &= (50 \times 10^3 \, \text{V}) \frac{\ln(0,025375 / (0,5 \times 10^{-3}))}{5,2983} \\ &= (50 \times 10^3 \, \text{V}) \frac{\ln(50,75)}{5,2983} \\ &\approx (50 \times 10^3 \, \text{V}) \frac{3,9269}{5,2983} \\ &\approx (50 \times 10^3 \, \text{V}) \times 0,74116 \\ &\approx 37058 \, \text{V} \end{aligned}

\begin{aligned} V(r_B) &= V_0 \frac{\ln(r_B/R_1)}{\ln(R_2/R_1)} \\ &= (50 \times 10^3 \, \text{V}) \frac{\ln(0,075125 / (0,5 \times 10^{-3}))}{5,2983} \\ &= (50 \times 10^3 \, \text{V}) \frac{\ln(150,25)}{5,2983} \\ &\approx (50 \times 10^3 \, \text{V}) \frac{5,0122}{5,2983} \\ &\approx (50 \times 10^3 \, \text{V}) \times 0,94600 \\ &\approx 47300 \, \text{V} \end{aligned}

\begin{aligned} U_{AB} &= V(r_A) - V(r_B) \\ &\approx 37058 \, \text{V} - 47300 \, \text{V} \\ &\approx -10242 \, \text{V} \end{aligned}

Résultat Question 6 : La différence de potentiel \(U_{AB} \approx -10242 \, \text{V}\) (ou \(-10,24 \, \text{kV}\)).

Glossaire

Précipitateur Électrostatique: Dispositif de filtration qui utilise un champ électrique pour retirer les particules d'un flux gazeux.
Champ Électrique (\(\vec{E}\)): Champ vectoriel décrivant la force électrique par unité de charge. Unité : V/m ou N/C.
Potentiel Électrique (\(V\)): Grandeur scalaire représentant l'énergie potentielle par unité de charge. Unité : Volt (V).
Force Électrique (\(\vec{F}_e\)): Force subie par une charge \(q\) dans un champ électrique \(\vec{E}\), donnée par \(\vec{F}_e = q\vec{E}\).
Force de Traînée de Stokes: Force de frottement visqueux exercée sur une sphère se déplaçant lentement dans un fluide, \(F_s = 6\pi\eta a v\), où \(\eta\) est la viscosité, \(a\) le rayon de la sphère, et \(v\) sa vitesse.
Vitesse de Dérive (\(v_d\)): Vitesse constante atteinte par une particule lorsque la force motrice (ex: électrique) est équilibrée par la force de frottement (ex: traînée).
Ionisation Corona: Processus par lequel un gaz autour d'un conducteur à haute tension devient ionisé, créant des ions qui peuvent charger les particules de poussière.

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