Exercices Électricité

Calcul de la Surface d’un Condensateur

Calcul de la Surface d’un Condensateur Plan

Calcul de la Surface d’un Condensateur Plan

Comprendre la Capacité d'un Condensateur Plan

Un condensateur plan est le type de condensateur le plus simple à analyser. Il est constitué de deux plaques conductrices parallèles, d'aire \(A\), séparées par une distance \(d\). L'espace entre les plaques est rempli d'un matériau diélectrique caractérisé par sa permittivité \(\varepsilon\). La capacité \(C\) d'un tel condensateur dépend directement de ces paramètres géométriques et des propriétés du diélectrique. Connaître la relation entre ces grandeurs permet de concevoir des condensateurs avec des capacités spécifiques ou, inversement, de déterminer les dimensions requises pour une capacité donnée.

Données de l'étude

On souhaite concevoir un condensateur plan d'une capacité \(C = 100 \, \text{pF}\) (picofarads).

Les deux plaques conductrices parallèles sont séparées par une couche d'air d'épaisseur \(d = 0,50 \, \text{mm}\).

On demande de calculer la surface \(A\) que doit avoir chacune des plaques.

Constantes :

  • Permittivité du vide (et approximativement de l'air) : \(\varepsilon_0 \approx 8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
Schéma : Condensateur Plan
{/* Plaque supérieure */} {/* Plaque inférieure */} {/* Diélectrique (air) */} {/* Lignes de champ (qualitatif) */} Surface A {/* Distance d */} d Condensateur à plaques parallèles

Condensateur plan avec des plaques de surface A séparées par une distance d.

Questions à traiter

  1. Rappeler la formule de la capacité \(C\) d'un condensateur plan en fonction de la surface \(A\) de ses armatures, de la distance \(d\) qui les sépare, et de la permittivité \(\varepsilon\) du diélectrique entre elles.
  2. Réarranger cette formule pour exprimer la surface \(A\) en fonction de \(C\), \(d\), et \(\varepsilon\).
  3. Convertir toutes les données fournies dans les unités du Système International (SI).
  4. Calculer la surface \(A\) requise pour chaque plaque du condensateur.
  5. Si on voulait réduire la surface \(A\) de moitié tout en conservant la même capacité \(C = 100 \, \text{pF}\) et en utilisant le même diélectrique (air), comment devrait-on modifier la distance \(d\) entre les plaques ?

Correction : Calcul de la Surface d’un Condensateur Plan

Question 1 : Formule de la capacité \(C\) d'un condensateur plan

Principe :

La capacité d'un condensateur plan est directement proportionnelle à la surface des armatures et à la permittivité du diélectrique, et inversement proportionnelle à la distance entre les armatures.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ C = \varepsilon \frac{A}{d} \]

Où \(\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0\). Pour l'air, \(\varepsilon_r \approx 1\), donc \(\varepsilon \approx \varepsilon_0\).

Résultat Question 1 : La formule de la capacité est \(C = \varepsilon_0 \frac{A}{d}\) (pour l'air).

Question 2 : Expression de la surface \(A\)

Principe :

On isole \(A\) à partir de la formule de la capacité.

Calcul :
\[ \begin{aligned} C &= \varepsilon_0 \frac{A}{d} \\ C \cdot d &= \varepsilon_0 A \\ A &= \frac{C d}{\varepsilon_0} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La surface \(A\) est donnée par \(A = \frac{C d}{\varepsilon_0}\).

Question 3 : Conversion des données en unités SI

Principe :

Il est essentiel d'utiliser des unités cohérentes (SI) dans les calculs pour obtenir un résultat correct.

Données et Conversions :
  • Capacité \(C = 100 \, \text{pF} = 100 \times 10^{-12} \, \text{F} = 1,0 \times 10^{-10} \, \text{F}\)
  • Distance \(d = 0,50 \, \text{mm} = 0,50 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
  • Permittivité du vide \(\varepsilon_0 \approx 8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
Résultat Question 3 : Les données converties sont \(C = 1,0 \times 10^{-10} \, \text{F}\), \(d = 0,50 \times 10^{-3} \, \text{m}\), et \(\varepsilon_0 \approx 8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Un picofarad (pF) équivaut à :

Question 4 : Calcul de la surface \(A\)

Principe :

On utilise la formule pour \(A\) avec les valeurs converties en unités SI.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = \frac{C d}{\varepsilon_0}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= \frac{(1,0 \times 10^{-10} \, \text{F}) \times (0,50 \times 10^{-3} \, \text{m})}{8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}} \\ &= \frac{0,50 \times 10^{-13} \, \text{F} \cdot \text{m}}{8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}} \\ &= \frac{0,50}{8,854} \times 10^{-13 - (-12)} \, \text{m}^2 \\ &= \frac{0,50}{8,854} \times 10^{-1} \, \text{m}^2 \\ &\approx 0,05647 \times 10^{-1} \, \text{m}^2 \\ &\approx 0,005647 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Pour convertir en \(\text{cm}^2\) (sachant que \(1 \, \text{m}^2 = 10^4 \, \text{cm}^2\)) :

\[ A \approx 0,005647 \times 10^4 \, \text{cm}^2 = 56,47 \, \text{cm}^2 \]
Résultat Question 4 : La surface requise pour chaque plaque est \(A \approx 0,005647 \, \text{m}^2\), soit environ \(56,47 \, \text{cm}^2\).

Question 5 : Modification de la distance \(d\) pour réduire \(A\) de moitié

Principe :

On part de la formule \(C = \varepsilon_0 \frac{A}{d}\). Si \(C\) et \(\varepsilon_0\) sont constants, et que la nouvelle surface \(A'\) est \(A/2\), on cherche la nouvelle distance \(d'\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ C = \varepsilon_0 \frac{A'}{d'} \quad \text{avec} \quad A' = \frac{A}{2} \]
Calcul :

Initialement : \(C = \varepsilon_0 \frac{A}{d}\).

Nouvelle configuration : \(C = \varepsilon_0 \frac{A/2}{d'}\).

Puisque la capacité \(C\) doit rester la même :

\[ \begin{aligned} \varepsilon_0 \frac{A}{d} &= \varepsilon_0 \frac{A/2}{d'} \\ \frac{A}{d} &= \frac{A}{2d'} \\ \frac{1}{d} &= \frac{1}{2d'} \\ 2d' &= d \\ d' &= \frac{d}{2} \end{aligned} \]

Pour réduire la surface de moitié tout en gardant la même capacité (et le même diélectrique), il faut aussi diviser la distance entre les plaques par deux.

\[ \begin{aligned} d' &= \frac{0,50 \, \text{mm}}{2} \\ &= 0,25 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Pour réduire la surface \(A\) de moitié tout en conservant la même capacité \(C\), il faudrait réduire la distance \(d\) de moitié, soit \(d' = 0,25 \, \text{mm}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la permittivité \(\varepsilon_0\) du diélectrique entre les plaques d'un condensateur plan double (par exemple, en remplaçant l'air par un autre matériau), et que la surface A et la distance d restent constantes, la capacité C :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La capacité d'un condensateur plan est directement proportionnelle à :

2. Si la distance \(d\) entre les plaques d'un condensateur plan est triplée, et que tous les autres paramètres restent constants, sa capacité :

3. L'unité de la permittivité \(\varepsilon_0\) est :

Glossaire

Condensateur Plan
Condensateur formé de deux plaques conductrices planes et parallèles, séparées par un diélectrique.
Capacité (\(C\))
Mesure de l'aptitude d'un condensateur à emmagasiner une charge électrique pour une différence de potentiel donnée. \(C = Q/V\). Unité : Farad (F).
Surface des Armatures (\(A\))
Aire de l'une des plaques conductrices d'un condensateur plan. Unité : mètre carré (\(\text{m}^2\)).
Distance entre Armatures (\(d\))
Séparation entre les plaques conductrices d'un condensateur plan. Unité : mètre (m).
Permittivité (\(\varepsilon\))
Propriété d'un matériau diélectrique qui décrit sa capacité à polariser en réponse à un champ électrique. Elle est souvent exprimée comme \(\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0\), où \(\varepsilon_r\) est la permittivité relative (ou constante diélectrique) et \(\varepsilon_0\) est la permittivité du vide. Unité : Farad par mètre (F/m).
Permittivité du Vide (\(\varepsilon_0\))
Constante physique fondamentale, \(\varepsilon_0 \approx 8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\).
Picofarad (pF)
Unité de capacité égale à \(10^{-12}\) farads.
Calcul de la Surface d’un Condensateur

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