Calcul du Rapport des Amplitudes Complexes
Contexte : Le Filtre RC Passe-BasUn circuit électronique qui laisse passer les signaux de basse fréquence et atténue les signaux de haute fréquence..
En régime sinusoïdal forcé, l'analyse des circuits RLC devient beaucoup plus simple en utilisant la notation complexe. Au lieu de résoudre des équations différentielles, nous travaillons avec des grandeurs algébriques appelées amplitudes complexesUn nombre complexe qui représente à la fois l'amplitude et la phase d'un signal sinusoïdal.. Cet exercice a pour but de déterminer la fonction de transfert d'un filtre passe-bas du premier ordre, c'est-à-dire le rapport entre l'amplitude complexe de la tension de sortie et celle de la tension d'entrée.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental car il vous apprend à utiliser l'outil de l'impédance complexeLa généralisation de la notion de résistance aux circuits en régime sinusoïdal. C'est un nombre complexe Z = R + jX. pour analyser le comportement en fréquence d'un circuit, une compétence essentielle en électronique et en traitement du signal.
Objectifs Pédagogiques
- Déterminer l'impédance complexe d'une résistance et d'un condensateur.
- Appliquer la formule du pont diviseur de tension en notation complexe.
- Calculer la fonction de transfert complexe d'un circuit simple.
- Analyser le module (gain) et l'argument (phase) de la fonction de transfert pour comprendre le comportement du filtre.
Données de l'étude
Schéma du filtre RC passe-bas
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance | \(R\) | 1 | \(\text{k}\Omega\) |
| Capacité | \(C\) | 100 | \(\text{nF}\) |
| Fréquence | \(f\) | 1.5 | \(\text{kHz}\) |
Questions à traiter
- Donner les expressions des impédances complexes \(\underline{Z}_R\) de la résistance et \(\underline{Z}_C\) du condensateur.
- En utilisant le pont diviseur de tension, établir l'expression de la fonction de transfert complexe \(\underline{H}(j\omega) = \frac{\underline{V}_s}{\underline{V}_e}\).
- Mettre la fonction de transfert sous la forme canonique \(\underline{H}(j\omega) = \frac{1}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}}\) et identifier la pulsation de coupure \(\omega_c\).
- Calculer la valeur numérique de la fréquence de coupure \(f_c\).
- Pour la fréquence \(f = 1.5 \text{ kHz}\), calculer le module de \(\underline{H}(j\omega)\) (le gain) et son argument (le déphasage).
Les bases sur l'Analyse Complexe des Circuits
L'utilisation des nombres complexes permet de transformer les équations différentielles qui régissent les circuits en de simples équations algébriques, ce qui simplifie grandement les calculs en régime sinusoïdal.
1. Impédance Complexe (\(\underline{Z}\))
Chaque composant passif (R, L, C) est caractérisé par une impédance complexe qui dépend de la pulsation \(\omega\) du signal.
- Résistance : \(\underline{Z}_R = R\)
- Condensateur : \(\underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega}\)
- Bobine : \(\underline{Z}_L = jL\omega\)
2. Pont Diviseur de Tension Complexe
Pour deux impédances \(\underline{Z}_1\) et \(\underline{Z}_2\) en série, la tension aux bornes de \(\underline{Z}_2\) est donnée par la même formule que pour les résistances, mais en utilisant les impédances complexes :
\[ \underline{V}_s = \underline{V}_e \cdot \frac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1 + \underline{Z}_2} \]
Correction : Calcul du Rapport des Amplitudes Complexes
Question 1 : Expressions des impédances complexes
Principe
Chaque composant a une "résistance" au passage du courant alternatif qui dépend de la fréquence. Cette opposition est modélisée par l'impédance complexe. Pour une résistance, elle est constante et réelle, ne dépendant pas de la fréquence. Pour un condensateur, elle est purement imaginaire et inversement proportionnelle à la fréquence : plus la fréquence est haute, plus le condensateur se comporte comme un court-circuit.
Mini-Cours
L'impédance \(\underline{Z}\) est le rapport de l'amplitude complexe de la tension \(\underline{U}\) sur celle du courant \(\underline{I}\) : \(\underline{Z} = \underline{U} / \underline{I}\). Pour un condensateur, la relation tension-courant est \(i(t) = C \frac{du(t)}{dt}\). En passant en notation complexe (\(d/dt \rightarrow j\omega\)), on obtient \(\underline{I} = C(j\omega\underline{U})\), d'où \(\underline{Z}_C = \underline{U}/\underline{I} = 1/(jC\omega)\).
Remarque Pédagogique
Visualisez l'impédance comme une "boîte à outils" qui étend la loi d'Ohm (\(U=RI\)) au régime sinusoïdal (\(\underline{U}=\underline{Z}\underline{I}\)). C'est le concept central qui simplifie toute l'analyse des circuits AC.
Normes
Il n'y a pas de norme réglementaire (type ISO ou IEC) pour ce calcul fondamental. Les définitions des impédances sont des conventions universelles en physique et en génie électrique.
Formule(s)
Les formules de base des impédances sont directement appliquées.
Hypothèses
Pour ces expressions, on suppose que les composants sont idéaux : la résistance est purement résistive (sans effet capacitif ou inductif parasite) et le condensateur est purement capacitif (sans résistance de fuite ni inductance série).
Donnée(s)
Aucune donnée numérique n'est nécessaire pour cette question, il s'agit d'établir les expressions littérales.
Astuces
Pour simplifier les calculs, retenez que \(1/j = -j\). L'expression de l'impédance du condensateur devient alors \(\underline{Z}_C = -j/(C\omega)\), ce qui est souvent plus facile à manipuler.
Schéma (Avant les calculs)
Composants et leurs impédances
Calcul(s)
Cette question est purement théorique et ne demande pas d'application numérique. Les formules données ci-dessus sont les réponses directes.
Schéma (Après les calculs)
Composants et leurs impédances
Réflexions
Les expressions montrent une différence fondamentale de comportement : \(\underline{Z}_R\) est constante, tandis que \(|\underline{Z}_C|\) tend vers l'infini quand la fréquence tend vers zéro (le condensateur bloque le courant continu) et tend vers zéro quand la fréquence tend vers l'infini (le condensateur se comporte comme un fil).
Points de vigilance
Ne pas confondre l'impédance du condensateur (\(1/jC\omega\)) avec celle de l'inductance (\(jL\omega\)). L'une est en \(1/\omega\), l'autre est en \(\omega\), ce qui traduit leurs comportements opposés en fréquence.
Points à retenir
Les deux expressions à mémoriser absolument :
- Résistance : \(\underline{Z}_R = R\) (réel, indépendant de \(\omega\))
- Condensateur : \(\underline{Z}_C = 1/(jC\omega)\) (imaginaire pur, dépend de \(\omega\))
Le saviez-vous ?
Le concept d'impédance et l'utilisation des nombres complexes en électricité ont été largement développés par Oliver Heaviside à la fin du 19ème siècle. Ses méthodes, initialement controversées, ont révolutionné l'analyse des circuits et sont maintenant enseignées partout dans le monde.
FAQ
Résultat Final
Les expressions des impédances sont donc directes.
A vous de jouer
Quelle serait l'impédance complexe \(\underline{Z}_L\) d'une bobine d'inductance \(L\)?
Question 2 : Fonction de transfert complexe \(\underline{H}(j\omega)\)
Principe
Le circuit est un simple diviseur de tension. La tension de sortie \(\underline{V}_s\) est une fraction de la tension d'entrée \(\underline{V}_e\). Cette fraction est déterminée par le rapport de l'impédance aux bornes de laquelle on mesure la sortie (\(\underline{Z}_C\)) sur la somme des impédances en série (\(\underline{Z}_R + \underline{Z}_C\)).
Mini-Cours
Le pont diviseur de tension est une conséquence directe des lois de Kirchhoff. La somme des impédances en série est \(\underline{Z}_{\text{eq}} = \underline{Z}_R + \underline{Z}_C\). Le courant total est \(\underline{I} = \underline{V}_e / \underline{Z}_{\text{eq}}\). La tension de sortie est \(\underline{V}_s = \underline{Z}_C \cdot \underline{I}\). En substituant \(\underline{I}\), on retrouve la formule du pont diviseur.
Remarque Pédagogique
Le pont diviseur est l'un des montages les plus fondamentaux en électronique. Savoir l'appliquer en régime complexe est une compétence cruciale qui resservira constamment.
Normes
Pas de norme applicable, il s'agit de l'application des lois fondamentales de l'électricité (lois de Kirchhoff).
Formule(s)
On utilise la formule du pont diviseur de tension en notation complexe.
Hypothèses
On suppose qu'aucun courant ne sort du point de mesure de \(V_s\) (impédance de charge infinie). C'est une hypothèse standard pour calculer la fonction de transfert "à vide".
Donnée(s)
Les expressions de \(\underline{Z}_R\) et \(\underline{Z}_C\) de la question précédente sont les seules données nécessaires.
Astuces
Lorsqu'on a une fraction de fractions, comme ici, le réflexe est de multiplier le numérateur et le dénominateur par le "petit" dénominateur (\(jC\omega\)) pour simplifier l'expression globale.
Schéma (Avant les calculs)
Circuit en tant que Diviseur de Tension
Calcul(s)
On remplace les impédances par leurs expressions et on simplifie l'expression algébrique.
Substitution et simplification
Schéma (Après les calculs)
Le Circuit comme une "Boîte Noire"
Réflexions
Cette expression montre que si \(\omega \to 0\), alors \(\underline{H} \to 1\) (le signal passe). Si \(\omega \to \infty\), alors \(\underline{H} \to 0\) (le signal est bloqué). C'est bien le comportement d'un filtre passe-bas.
Points de vigilance
Attention à ne pas inverser les impédances dans la formule du pont diviseur. C'est toujours l'impédance aux bornes de laquelle on mesure la tension qui est au numérateur.
Points à retenir
La méthode du pont diviseur de tension est un réflexe à avoir pour analyser les circuits série. L'appliquer en complexe est simple : il suffit de remplacer les résistances par les impédances.
Le saviez-vous ?
Ce même circuit RC, si on prend la tension de sortie aux bornes de la résistance au lieu du condensateur, devient un filtre passe-haut. Sa fonction de transfert serait \(\underline{H}(j\omega) = \frac{jRC\omega}{1+jRC\omega}\).
FAQ
Résultat Final
La fonction de transfert du filtre RC passe-bas est :
A vous de jouer
Quelle serait la fonction de transfert si la sortie était prise aux bornes de la résistance ?
Question 3 : Forme canonique et pulsation de coupure \(\omega_c\)
Principe
La forme canonique est une manière standardisée d'écrire la fonction de transfert qui fait apparaître directement les paramètres importants du système. Pour un filtre du premier ordre, elle permet d'identifier immédiatement le gain statique et la pulsation de coupure, facilitant la comparaison entre différents filtres.
Mini-Cours
Un système du premier ordre a une fonction de transfert avec un polynôme de degré 1 au dénominateur. La forme canonique d'un passe-bas du premier ordre est \(\underline{H}(j\omega) = \frac{K}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}}\), où \(K\) est le gain statique (gain pour \(\omega=0\)) et \(\omega_c\) est la pulsation de coupure, qui marque la transition entre la bande passante et la bande atténuée.
Remarque Pédagogique
Savoir mettre une fonction de transfert sous forme canonique est une étape essentielle. Elle permet de classer les filtres et d'appliquer des résultats généraux sans avoir à refaire tous les calculs à chaque fois.
Normes
La forme canonique est une convention d'écriture standard en automatique et en traitement du signal, mais ne relève pas d'une norme industrielle.
Formule(s)
La forme canonique à identifier est :
Hypothèses
Aucune nouvelle hypothèse n'est nécessaire. On travaille sur l'expression précédemment trouvée.
Donnée(s)
La donnée d'entrée est le résultat de la question 2 : \(\underline{H}(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega}\).
Astuces
Pour identifier \(\omega_c\), il suffit d'isoler le terme \(j\omega\) au dénominateur et de factoriser pour faire apparaître la forme \(1 + j \times (\text{quelque chose})\). Le "quelque chose" sera \(\omega/\omega_c\).
Schéma (Avant les calculs)
Analyse de la Fonction de Transfert
Calcul(s)
On identifie terme à terme notre expression \(\underline{H}(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega}\) avec la forme canonique.
Par identification directe des parties imaginaires, on trouve :
Schéma (Après les calculs)
Réponse en fréquence et pulsation de coupure
Réflexions
Le terme \(RC\) est une grandeur homogène à un temps, appelée "constante de temps" du circuit, notée \(\tau\). La pulsation de coupure est donc l'inverse de la constante de temps : \(\omega_c = 1/\tau\). Cela a un sens physique : plus le circuit met de temps à réagir (grand \(\tau\)), plus il coupera les fréquences basses (petit \(\omega_c\)).
Points de vigilance
Assurez-vous que le terme constant au dénominateur est bien "1" avant d'identifier \(\omega_c\). Si vous aviez une expression comme \(\frac{A}{B + j\omega C}\), il faudrait d'abord factoriser par B au dénominateur pour obtenir \(\frac{A/B}{1 + j\omega (C/B)}\).
Points à retenir
Pour un filtre RC (ou RL) du premier ordre, la pulsation de coupure est toujours liée à l'inverse de la constante de temps \(\tau\). Pour un circuit RC, \(\tau = RC\). Pour un circuit RL, \(\tau = L/R\).
Le saviez-vous ?
La pulsation de coupure \(\omega_c\) est la pulsation pour laquelle la partie réelle et la partie imaginaire du dénominateur de la fonction de transfert sont égales. C'est un point clé où le déphasage atteint -45°.
FAQ
Résultat Final
La pulsation de coupure du filtre est :
A vous de jouer
Un circuit RL série (sortie aux bornes de R) a pour fonction de transfert \(\underline{H} = \frac{R}{R+jL\omega}\). Mettez-la sous forme canonique et donnez sa pulsation de coupure \(\omega_c\).
Question 4 : Calcul de la fréquence de coupure \(f_c\)
Principe
La fréquence de coupure \(f_c\) (en Hertz) est la grandeur la plus couramment utilisée en pratique, tandis que la pulsation de coupure \(\omega_c\) (en radians/seconde) est plus naturelle dans les calculs théoriques. Elles sont liées par la relation fondamentale \(\omega = 2\pi f\).
Mini-Cours
La fréquence de coupure \(f_c\) est définie comme la fréquence pour laquelle le gain en puissance est divisé par deux, ce qui correspond à un gain en tension divisé par \(\sqrt{2}\) (soit environ 0.707). Cela correspond à une atténuation de -3 dB. Pour un filtre du premier ordre, cela se produit précisément à la pulsation \(\omega_c = 1/\tau\).
Remarque Pédagogique
Le passage de \(\omega_c\) à \(f_c\) est une simple conversion, mais elle est cruciale pour comparer les calculs théoriques aux mesures pratiques, qui sont presque toujours effectuées avec des fréquences en Hertz.
Normes
Le Hertz (Hz) est l'unité de fréquence du Système International d'unités (SI).
Formule(s)
La formule de conversion est :
Donnée(s)
On utilise les valeurs de l'énoncé.
- Résistance, \(R = 1 \, \text{k}\Omega = 10^3 \, \Omega\)
- Capacité, \(C = 100 \, \text{nF} = 100 \times 10^{-9} \, \text{F} = 10^{-7} \, \text{F}\)
Astuces
Le produit \(RC\) est la constante de temps \(\tau\). Calculez-la d'abord : \(\tau = 10^3 \times 10^{-7} = 10^{-4} \, \text{s}\). Ensuite, \(f_c = 1/(2\pi\tau)\). Cela évite de se tromper avec les fractions au dénominateur.
Schéma (Avant les calculs)
Circuit avec valeurs numériques
Calcul(s)
Calcul de la fréquence de coupure \(f_c\)
Schéma (Après les calculs)
Position de la Fréquence de Coupure
Réflexions
Une fréquence de coupure de 1.6 kHz signifie que le filtre commencera à atténuer significativement les signaux au-delà de cette fréquence. C'est une fréquence typique pour des applications audio, par exemple pour isoler les basses fréquences.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est la gestion des préfixes (kilo, nano). Convertissez toujours toutes les valeurs dans les unités de base du Système International (Ohm, Farad) avant de faire le calcul pour éviter les erreurs de puissance de 10.
Points à retenir
La fréquence de coupure d'un filtre RC est inversement proportionnelle au produit RC. Pour baisser la fréquence de coupure, il faut augmenter R ou C.
Le saviez-vous ?
La fréquence de coupure est aussi appelée "fréquence à -3dB". À cette fréquence, la puissance du signal de sortie est exactement la moitié de la puissance du signal d'entrée. Comme les décibels (dB) sont sur une échelle logarithmique, une division de la puissance par 2 correspond à une chute de 3 dB.
FAQ
Résultat Final
La fréquence de coupure du filtre est d'environ :
A vous de jouer
Si on remplace la résistance par une résistance de \(2 \, \text{k}\Omega\), que devient la nouvelle fréquence de coupure \(f'_c\) en Hz ?
Question 5 : Calcul du gain et du déphasage à 1.5 kHz
Principe
La fonction de transfert complexe \(\underline{H}(j\omega)\) contient deux informations cruciales : son module \(|\underline{H}|\) qui représente le gain (rapport des amplitudes des signaux sortie/entrée), et son argument \(\text{arg}(\underline{H})\) qui représente le déphasage (le retard de la sortie par rapport à l'entrée).
Mini-Cours
Pour un nombre complexe \(\underline{Z} = a+jb\), son module est \(|\underline{Z}| = \sqrt{a^2+b^2}\) et son argument est \(\phi = \text{atan}(b/a)\). Pour un quotient \(\underline{Z} = \underline{Z}_1/\underline{Z}_2\), on a \(|\underline{Z}| = |\underline{Z}_1|/|\underline{Z}_2|\) et \(\text{arg}(\underline{Z}) = \text{arg}(\underline{Z}_1) - \text{arg}(\underline{Z}_2)\). Ici, \(\underline{H} = \frac{1}{1+j(\omega/\omega_c)}\), donc \(|\underline{H}| = \frac{|1|}{|1+j(\omega/\omega_c)|}\) et \(\text{arg}(\underline{H}) = \text{arg}(1) - \text{arg}(1+j(\omega/\omega_c))\).
Remarque Pédagogique
Calculer le module et l'argument d'une fonction de transfert pour une fréquence donnée est l'opération la plus courante en analyse de circuits. C'est ce qui permet de prédire précisément comment le signal sera modifié par le filtre.
Normes
Non applicable.
Formule(s)
Les formules à appliquer sont celles du module et de l'argument de la fonction de transfert :
Hypothèses
On utilise les valeurs calculées précédemment et les données de l'énoncé, en considérant toujours les composants comme idéaux.
Donnée(s)
- Fréquence, \(f = 1.5 \, \text{kHz} = 1500 \, \text{Hz}\)
- Fréquence de coupure, \(f_c \approx 1591.5 \, \text{Hz}\)
Astuces
Puisque \(\omega/\omega_c = f/f_c\), il n'est pas nécessaire de recalculer les pulsations. On peut travailler directement avec le rapport des fréquences, ce qui est plus simple.
Schéma (Avant les calculs)
Position de la Fréquence d'étude
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du rapport de fréquences
Étape 2 : Calcul du module (Gain)
Étape 3 : Calcul de l'argument (Déphasage en degrés)
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Fresnel (Phaseurs)
Réflexions
Le résultat est cohérent : la fréquence de 1.5 kHz est très proche de la fréquence de coupure (1.59 kHz). On s'attend donc à un gain proche de \(1/\sqrt{2} \approx 0.707\) et un déphasage proche de \(-45^\circ\). Nos calculs (0.728 et -43.3°) confirment cette intuition.
Points de vigilance
Attention au mode de votre calculatrice ! La fonction `atan` donne un résultat en radians. N'oubliez pas de le convertir en degrés en multipliant par \(180/\pi\) si la réponse est demandée en degrés.
Points à retenir
La fonction de transfert complexe permet de trouver en un seul calcul les deux informations essentielles : le rapport des amplitudes (via le module) et le déphasage (via l'argument).
Le saviez-vous ?
En traitement audio, un filtre comme celui-ci est la base d'un "subwoofer crossover". Il envoie les fréquences basses (en dessous de \(f_c\)) vers le caisson de basses et bloque les fréquences plus hautes, qui sont alors dirigées vers les autres haut-parleurs.
FAQ
Résultat Final
À 1.5 kHz, le gain est d'environ 0.728 et la tension de sortie est déphasée de -43.3° par rapport à l'entrée.
A vous de jouer
La meilleure façon d'apprendre, c'est de pratiquer ! Calculez le gain (sans unité) exactement à la fréquence de coupure \(f_c\).
Outil Interactif : Simulateur de Filtre RC
Utilisez les curseurs pour faire varier la résistance et la fréquence d'entrée. Observez l'impact sur le gain (en décibels) et le déphasage. Le graphique montre la réponse en fréquence complète du filtre (diagramme de Bode).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. L'impédance d'un condensateur...
2. Un filtre RC passe-bas laisse passer préférentiellement...
3. À la fréquence de coupure (\(f = f_c\)), de combien le gain a-t-il chuté ?
4. Si on double la valeur de la résistance R, la fréquence de coupure \(f_c\)...
5. Le déphasage introduit par ce filtre est...
- Amplitude Complexe
- Un nombre complexe qui représente à la fois l'amplitude (valeur maximale) et la phase (décalage temporel) d'un signal sinusoïdal. Il est noté avec une barre en dessous, ex: \(\underline{V}\).
- Impédance Complexe
- La généralisation de la notion de résistance aux circuits en régime sinusoïdal. Elle représente l'opposition d'un composant au passage d'un courant alternatif et est notée \(\underline{Z}\).
- Fonction de Transfert
- Un rapport d'amplitudes complexes, généralement \(\underline{H} = \underline{V}_{\text{sortie}} / \underline{V}_{\text{entrée}}\). Elle décrit comment un circuit modifie l'amplitude et la phase d'un signal en fonction de sa fréquence.
- Diagramme de Bode
- Une représentation graphique de la fonction de transfert d'un système. Il est composé de deux graphiques : le gain (en dB) en fonction de la fréquence (échelle log), et le déphasage en fonction de la fréquence (échelle log).
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