Théorème de Norton pour l'Analyse de Circuits

Un ingénieur en électronique travaille sur la conception d’un dispositif de surveillance de la température. Le circuit principal doit être alimenté par une source d’énergie stable et contrôlée pour assurer la précision des mesures. L’ingénieur décide d’analyser une partie du circuit utilisant le théorème de Norton pour optimiser l’interface avec le capteur de température.

Données

Source de tension \(V_1 = 12 \, \text{V}\)
Résistances : \(R_1 = 100 \, \Omega\), \(R_2 = 200 \, \Omega\), \(R_3 = 300 \, \Omega\)
Résistance de charge \(R_L = 150 \, \Omega\)
Configuration du circuit : \(V_1\) en série avec \(R_1\). Le groupe (\(R_2\) || \(R_3\)) est connecté après \(R_1\). La charge \(R_L\) est connectée en parallèle avec le groupe (\(R_2\) || \(R_3\)). Les bornes A et B pour l'équivalent de Norton sont aux bornes de \(R_L\).

Schéma du circuit original. L'équivalent de Norton est calculé aux bornes A et B (aux bornes de \(R_L\)).

Questions

Calculer l’équivalent de Norton du circuit vu aux bornes de \(R_L\) :
- Calculer le courant de court-circuit \(I_{Norton}\).
- Déterminer la résistance équivalente de Norton \(R_{Norton}\).
Reconnexion de \(R_L\) et détermination :
- Le courant passant à travers \(R_L\) utilisant l’équivalent de Norton.
- La tension aux bornes de \(R_L\).
Analyse de l’impact de la modification de \(R_L\) :
- Que se passe-t-il si \(R_L\) est doublée ?
- Que se passe-t-il si \(R_L\) est divisée par deux ?

Correction : Théorème de Norton pour l’Analyse de Circuits

1. Calcul de l'Équivalent de Norton

Le théorème de Norton permet de remplacer un circuit linéaire complexe par une source de courant idéale (\(I_{Norton}\)) en parallèle avec une résistance équivalente (\(R_{Norton}\)), vues depuis deux bornes spécifiques (ici, aux bornes de \(R_L\)).

Calcul du Courant de Norton (\(I_{Norton}\))

Pour trouver \(I_{Norton}\), on retire la charge \(R_L\) et on court-circuite les bornes A et B. \(I_{Norton}\) est le courant qui traverse ce court-circuit.

Circuit pour calculer \(I_{Norton}\) (RL retirée, A et B court-circuitées).

Avec le court-circuit entre A et B, les résistances R2 et R3 sont également court-circuitées. Le courant total fourni par la source V1 ne passe que par R1 et le court-circuit.

\begin{aligned} I_{Norton} &= \frac{V_1}{R_1} \\ I_{Norton} &= \frac{12 \, \text{V}}{100 \, \Omega} \\ I_{Norton} &= 0.12 \, \text{A} \end{aligned}

Calcul de la Résistance de Norton (\(R_{Norton}\))

Pour trouver \(R_{Norton}\), on retire la charge \(R_L\), on désactive les sources indépendantes (la source de tension \(V_1\) est remplacée par un court-circuit) et on calcule la résistance équivalente vue depuis les bornes A et B.

Circuit pour calculer \(R_{Norton}\) (V1 désactivée, vue depuis A et B).

En regardant depuis les bornes A et B, la résistance \(R_1\) est connectée entre A et la masse (car \(V_1\) est court-circuitée). Les résistances \(R_2\) et \(R_3\) sont également connectées entre A et B (la masse). Par conséquent, les trois résistances \(R_1\), \(R_2\), et \(R_3\) sont en parallèle.

\begin{aligned} \frac{1}{R_{Norton}} &= \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \\ \frac{1}{R_{Norton}} &= \frac{1}{100 \, \Omega} + \frac{1}{200 \, \Omega} + \frac{1}{300 \, \Omega} \\ \frac{1}{R_{Norton}} &= \frac{6}{600 \, \Omega} + \frac{3}{600 \, \Omega} + \frac{2}{600 \, \Omega} \\ \frac{1}{R_{Norton}} &= \frac{11}{600 \, \Omega} \\ R_{Norton} &= \frac{600}{11} \, \Omega \\ R_{Norton} &\approx 54.55 \, \Omega \end{aligned}

Résultat de l'équivalent de Norton

L'équivalent de Norton du circuit vu depuis les bornes de \(R_L\) est :

Courant de Norton : \(I_{Norton} = 0.12 \, \text{A}\)
Résistance de Norton : \(R_{Norton} \approx 54.55 \, \Omega\)

2. Reconnexion de \(R_L\) et Calculs

Maintenant, nous reconnectons la résistance de charge \(R_L = 150 \, \Omega\) aux bornes A et B du circuit équivalent de Norton. Le circuit est une source de courant \(I_{Norton}\) en parallèle avec \(R_{Norton}\) et \(R_L\).

Circuit équivalent de Norton avec la charge \(R_L\) reconnectée.

Calcul du Courant dans \(R_L\) (\(I_L\))

Le courant \(I_{Norton}\) se divise entre \(R_{Norton}\) et \(R_L\). On utilise la règle du diviseur de courant :

\begin{aligned} I_L &= I_{Norton} \times \frac{R_{Norton}}{R_{Norton} + R_L} \\ I_L &= (0.12 \, \text{A}) \times \frac{54.55 \, \Omega}{54.55 \, \Omega + 150 \, \Omega} \\ I_L &= (0.12 \, \text{A}) \times \frac{54.55}{204.55} \\ I_L &\approx (0.12 \, \text{A}) \times 0.2667 \\ I_L &\approx 0.032 \, \text{A} \quad (32 \, \text{mA}) \end{aligned}

Calcul de la Tension aux bornes de \(R_L\) (\(V_L\))

On utilise la loi d'Ohm : \(V_L = I_L \times R_L\).

\begin{aligned} V_L &= I_L \times R_L \\ V_L &\approx (0.032 \, \text{A}) \times (150 \, \Omega) \\ V_L &\approx 4.80 \, \text{V} \end{aligned} \] Alternativement : \(V_L\) est la tension aux bornes du circuit de Norton chargé : \(V_L = I_{Norton} \times (R_{Norton} || R_L)\) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); \[ \begin{aligned} R_{eq} &= R_{Norton} || R_L = \frac{R_{Norton} \times R_L}{R_{Norton} + R_L} \\ R_{eq} &\approx \frac{54.55 \times 150}{54.55 + 150} = \frac{8182.5}{204.55} \approx 40.00 \, \Omega \\ V_L &= I_{Norton} \times R_{eq} \\ V_L &\approx (0.12 \, \text{A}) \times (40.00 \, \Omega) \\ V_L &\approx 4.80 \, \text{V} \end{aligned}

Résultats pour \(R_L = 150 \, \Omega\)

Avec l'équivalent de Norton et \(R_L = 150 \, \Omega\) :

Courant dans la charge : \(I_L \approx 0.032 \, \text{A}\) (ou 32 mA)
Tension aux bornes de la charge : \(V_L \approx 4.80 \, \text{V}\)

3. Analyse de l'Impact de la Modification de \(R_L\)

Utilisons l'équivalent de Norton pour voir comment \(I_L\) et \(V_L\) changent si \(R_L\) varie.

Cas 1 : \(R_L\) est doublée (\(R_L = 2 \times 150 = 300 \, \Omega\))

\begin{aligned} I_L &= I_{Norton} \times \frac{R_{Norton}}{R_{Norton} + R_L} \\ I_L &= (0.12 \, \text{A}) \times \frac{54.55 \, \Omega}{54.55 \, \Omega + 300 \, \Omega} \\ I_L &= (0.12 \, \text{A}) \times \frac{54.55}{354.55} \\ I_L &\approx (0.12 \, \text{A}) \times 0.1539 \\ I_L &\approx 0.0185 \, \text{A} \quad (18.5 \, \text{mA}) \\ \\ V_L &= I_L \times R_L \\ V_L &\approx (0.0185 \, \text{A}) \times (300 \, \Omega) \\ V_L &\approx 5.55 \, \text{V} \end{aligned}

Si \(R_L\) augmente, le courant \(I_L\) diminue (car \(R_L\) prend une plus petite fraction du courant total \(I_{Norton}\)) et la tension \(V_L\) augmente (car la résistance équivalente \(R_{Norton} || R_L\) augmente).

Cas 2 : \(R_L\) est divisée par deux (\(R_L = 150 / 2 = 75 \, \Omega\))

\begin{aligned} I_L &= I_{Norton} \times \frac{R_{Norton}}{R_{Norton} + R_L} \\ I_L &= (0.12 \, \text{A}) \times \frac{54.55 \, \Omega}{54.55 \, \Omega + 75 \, \Omega} \\ I_L &= (0.12 \, \text{A}) \times \frac{54.55}{129.55} \\ I_L &\approx (0.12 \, \text{A}) \times 0.4211 \\ I_L &\approx 0.0505 \, \text{A} \quad (50.5 \, \text{mA}) \\ \\ V_L &= I_L \times R_L \\ V_L &\approx (0.0505 \, \text{A}) \times (75 \, \Omega) \\ V_L &\approx 3.79 \, \text{V} \end{aligned}

Si \(R_L\) diminue, le courant \(I_L\) augmente (car \(R_L\) prend une plus grande fraction du courant total \(I_{Norton}\)) et la tension \(V_L\) diminue (car la résistance équivalente \(R_{Norton} || R_L\) diminue).

Conclusion sur l'impact

La modification de la résistance de charge \(R_L\) affecte à la fois le courant qui la traverse et la tension à ses bornes, conformément au comportement du diviseur de courant formé par \(R_{Norton}\) et \(R_L\) alimenté par \(I_{Norton}\).

Augmenter \(R_L\) diminue \(I_L\) et augmente \(V_L\).
Diminuer \(R_L\) augmente \(I_L\) et diminue \(V_L\).

Théorème de Norton pour l’Analyse de Circuits