Calcul du Gain en dB d’un Filtre Électronique
Contexte : Le filtrage électroniqueLe processus de traitement d'un signal pour éliminer ou atténuer sélectivement certaines fréquences ou bandes de fréquences..
En électronique, les filtres sont des circuits fondamentaux qui permettent de manipuler les signaux en fonction de leur fréquence. Ils sont omniprésents : dans les systèmes audio pour séparer les graves des aigus, dans les télécommunications pour isoler un signal utile, ou encore dans les alimentations pour éliminer les bruits parasites. Cet exercice se concentre sur l'analyse d'un filtre simple, le filtre RC passe-bas, et sur le calcul de son gainLe rapport entre l'amplitude du signal de sortie et l'amplitude du signal d'entrée. Il indique si le filtre amplifie ou atténue le signal., une mesure clé de sa performance, exprimé en décibels (dB)Une unité logarithmique qui exprime le rapport entre deux valeurs. En électronique, elle est très utilisée pour quantifier le gain ou l'atténuation..
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à analyser le comportement en fréquence d'un circuit de base et à utiliser l'échelle logarithmique des décibels, indispensable pour tracer et interpréter les diagrammes de Bode.
Objectifs Pédagogiques
- Établir la fonction de transfert d'un circuit RC simple.
- Calculer la fréquence de coupure d'un filtre du premier ordre.
- Convertir un rapport de tension (gain) en décibels (dB).
- Comprendre et identifier le comportement d'un filtre passe-bas.
Données de l'étude
Fiche Technique
Schéma du filtre RC passe-bas
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance | \(R\) | 1 | k\(\Omega\) |
| Capacité | \(C\) | 100 | nF |
Questions à traiter
- Déterminer l'expression de la fonction de transfert complexe \(H(j\omega) = \frac{V_{\text{s}}}{V_{\text{e}}}\).
- Calculer la fréquence de coupure à -3 dB, notée \(f_{\text{c}}\).
- Calculer le gain en décibels \(G_{\text{dB}}\) pour une fréquence \(f = 1000\) Hz.
- Quelle est la valeur du gain en dB à la fréquence de coupure \(f_{\text{c}}\) ? Justifier sans calcul.
- Quelle est la nature de ce filtre (passe-bas, passe-haut, etc.) ? Justifier votre réponse en étudiant le comportement du gain pour les très basses et très hautes fréquences.
Les bases sur les Filtres Électroniques
Pour analyser un filtre, on étudie sa réponse à un signal sinusoïdal de pulsation \(\omega\). On utilise la notation complexe où les tensions deviennent des nombres complexes (\(V_{\text{e}}\), \(V_{\text{s}}\)) et les composants sont représentés par leur impédance complexe (\(Z\)).
1. Impédances Complexes
L'impédance généralise la notion de résistance aux circuits en régime sinusoïdal.
- Pour une résistance R : \(Z_{\text{R}} = R\)
- Pour un condensateur C : \(Z_{\text{C}} = \frac{1}{jC\omega}\)
2. Fonction de Transfert et Gain en dB
La fonction de transfert \(H(j\omega)\) est le rapport de la tension de sortie sur la tension d'entrée. C'est un nombre complexe qui dépend de la fréquence.
\[ H(j\omega) = \frac{V_{\text{s}}}{V_{\text{e}}} \]
Le gain \(G\) est le module de la fonction de transfert : \(G = |H(j\omega)|\). Pour l'exprimer en décibels (dB), on utilise la formule :
\[ G_{\text{dB}} = 20 \log_{10}(|H(j\omega)|) \]
Correction : Calcul du Gain d’un Filtre Électronique
Question 1 : Déterminer la fonction de transfert complexe \(H(j\omega)\).
Principe
Pour trouver la relation entre la sortie \(V_{\text{s}}\) et l'entrée \(V_{\text{e}}\), on modélise le circuit comme un pont diviseur de tension. Cette méthode simple permet de calculer la tension aux bornes d'un composant dans un circuit en série.
Mini-Cours
Le pont diviseur de tension stipule que pour deux impédances \(Z_1\) et \(Z_2\) en série, la tension aux bornes de \(Z_2\) est une fraction de la tension totale, proportionnelle à la valeur de \(Z_2\) par rapport à l'impédance totale \(Z_1 + Z_2\). C'est une application directe des lois de Kirchhoff et d'Ohm en régime sinusoïdal.
Remarque Pédagogique
La clé pour appliquer correctement le pont diviseur est de toujours bien identifier : 1) La tension d'entrée totale appliquée à la branche série, et 2) l'impédance aux bornes de laquelle la tension de sortie est mesurée.
Normes
Ce calcul ne fait pas appel à une norme de construction ou de sécurité, mais se base sur les lois fondamentales de l'électrocinétique (lois d'Ohm et de Kirchhoff en notation complexe).
Formule(s)
Formule générale du pont diviseur
Dans notre cas, \(Z_{\text{sortie}} = Z_{\text{C}}\) et \(Z_{\text{totale}} = Z_{\text{R}} + Z_{\text{C}}\).
Hypothèses
Pour cette analyse théorique, nous posons les hypothèses suivantes :
- Les composants (résistance, condensateur) sont idéaux, sans pertes ni effets parasites.
- Le circuit fonctionne en régime linéaire, c'est-à-dire que les valeurs des composants ne varient pas avec la tension ou le courant.
- La source de tension est parfaite (impédance de sortie nulle).
Donnée(s)
Pour cette question purement littérale, seules les expressions des impédances sont nécessaires :
| Paramètre | Symbole | Expression |
|---|---|---|
| Impédance de la résistance | \(Z_{\text{R}}\) | \(R\) |
| Impédance du condensateur | \(Z_{\text{C}}\) | \(1/(jC\omega)\) |
Astuces
Face à une fraction complexe comme celle-ci, une bonne astuce est de chercher à éliminer les "fractions dans la fraction". Multiplier le numérateur et le dénominateur par le terme \(jC\omega\) est la méthode la plus rapide pour obtenir une forme propre.
Schéma (Avant les calculs)
Circuit du filtre RC
Calcul(s)
Application de la formule du pont diviseur
Simplification de l'expression
Schéma (Après les calculs)
Représentation en bloc de la fonction de transfert
Réflexions
L'expression \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega}\) est la forme canonique d'un système du premier ordre. Elle nous montre que le gain dépend de la fréquence via le terme \(RC\omega\). Plus la fréquence \(\omega\) est élevée, plus le dénominateur est grand, et donc plus le gain est faible. Cela préfigure un comportement de type "passe-bas".
Points de vigilance
Une erreur commune est d'inverser R et C dans le pont diviseur. Rappelez-vous toujours que la tension de sortie est prise aux bornes de C, donc \(Z_{\text{C}}\) doit être au numérateur de la fraction.
Points à retenir
La fonction de transfert d'un filtre RC passe-bas est \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega}\). Cette forme est fondamentale et se retrouve dans de nombreux systèmes physiques (mécaniques, thermiques, etc.).
Le saviez-vous ?
Le produit \(\tau = RC\) est appelé "constante de temps" du circuit. Il représente le temps nécessaire au condensateur pour se charger à environ 63% de la tension finale dans une réponse à un échelon. Cette même constante de temps définit le comportement fréquentiel du filtre.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la fonction de transfert si la sortie était prise aux bornes de la résistance R au lieu du condensateur C ?
Question 2 : Calculer la fréquence de coupure \(f_{\text{c}}\).
Principe
La fréquence de coupure \(f_{\text{c}}\) est une fréquence caractéristique du filtre. Pour un filtre du premier ordre, c'est la fréquence pour laquelle le gain en tension a chuté à \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) de sa valeur maximale, ce qui correspond à une atténuation de -3 dB. Mathématiquement, cela se produit lorsque la partie réelle et la partie imaginaire du dénominateur de la fonction de transfert sont égales en module.
Mini-Cours
Le point "-3 dB" est aussi appelé "fréquence de demi-puissance". En effet, la puissance dans une résistance est proportionnelle au carré de la tension (\(P = V^2/R\)). Si la tension est divisée par \(\sqrt{2}\), la puissance \(P_{\text{s}}\) en sortie devient \((\frac{V_{\text{max}}}{\sqrt{2}})^2 / R = \frac{V_{\text{max}}^2/R}{2} = P_{\text{max}}/2\). La puissance est donc divisée par deux.
Remarque Pédagogique
Une erreur fréquente est de confondre la pulsation de coupure \(\omega_{\text{c}}\) (en \(\text{rad/s}\)) et la fréquence de coupure \(f_{\text{c}}\) (en \(\text{Hz}\)). N'oubliez jamais le facteur \(2\pi\) qui les relie : \(\omega = 2\pi f\). L'énoncé demande une fréquence, la réponse doit être en Hertz.
Normes
La définition de la fréquence de coupure à -3 dB est une convention universellement acceptée en électronique et en traitement du signal pour caractériser la bande passante d'un système.
Formule(s)
Condition de la pulsation de coupure
Formule de la fréquence de coupure
Hypothèses
Pour cette analyse théorique, nous posons les hypothèses suivantes :
- Les composants (résistance, condensateur) sont idéaux, sans pertes ni effets parasites.
- Le circuit fonctionne en régime linéaire.
- La source de tension est parfaite.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance | R | 1 | k\(\Omega\) |
| Capacité | C | 100 | nF |
Astuces
Le produit RC est la constante de temps \(\tau\). Si vous l'avez déjà calculée, vous pouvez utiliser la formule \(f_{\text{c}} = 1/(2\pi\tau)\). C'est un raccourci mental utile pour vérifier la cohérence de vos calculs.
Schéma (Avant les calculs)
Circuit du filtre RC
Calcul(s)
Avant le calcul, on convertit les unités dans le Système International : \(R = 1000 \text{ }\Omega\) et \(C = 100 \times 10^{-9} \text{ F}\).
Calcul de la fréquence de coupure
Schéma (Après les calculs)
Localisation de la Fréquence de Coupure sur le diagramme de Bode
Réflexions
Cette fréquence de 1592 Hz est la "frontière" du filtre. Les signaux dont la fréquence est bien inférieure à 1592 Hz passeront avec très peu d'atténuation. Ceux dont la fréquence est bien supérieure seront fortement atténués.
Points de vigilance
La principale source d'erreur est la conversion des unités. Assurez-vous que R est en Ohms (\(\Omega\)) et C en Farads (F) avant d'appliquer la formule. Un oubli sur un préfixe (k, M, n, p, ...) faussera complètement le résultat.
Points à retenir
La formule \(f_{\text{c}} = \frac{1}{2\pi RC}\) est une des plus importantes en électronique analogique pour les filtres du premier ordre. Elle doit être connue par cœur.
Le saviez-vous ?
Le concept de "fréquence de coupure" ne s'applique pas qu'à l'électronique. En acoustique, on l'utilise pour caractériser les enceintes (crossover). En optique, pour les filtres de couleur. C'est un concept fondamental de la théorie des systèmes.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Que devient la fréquence de coupure si on utilise une résistance de 10 k\(\Omega\) ?
Question 3 : Calculer le gain en décibels \(G_{\text{dB}}\) pour \(f = 1000\) Hz.
Principe
Pour calculer le gain en dB, il faut d'abord calculer le module de la fonction de transfert \(|H(j\omega)|\) à la fréquence donnée, puis appliquer la formule de conversion en décibels.
Mini-Cours
Le logarithme en base 10 (noté log ou log10) est la fonction réciproque de la puissance de 10. Par exemple, \(\log_{10}(100) = 2\) car \(10^2=100\). Le facteur 20 dans la formule \(20 \log_{10}(G)\) vient du fait que le gain en puissance est \(10 \log_{10}(P_{\text{s}}/P_{\text{e}})\) et que la puissance est proportionnelle au carré de la tension, donc \(10 \log_{10}((V_{\text{s}}/V_{\text{e}})^2) = 2 \times 10 \log_{10}(V_{\text{s}}/V_{\text{e}}) = 20 \log_{10}(G)\).
Remarque Pédagogique
La séquence de calcul est immuable : 1. Calculer la pulsation \(\omega = 2\pi f\). 2. Calculer le module du gain \(|H|\). 3. Appliquer la formule \(20 \log_{10}(|H|)\). Ne tentez pas de prendre le logarithme d'un nombre complexe !
Normes
L'utilisation du décibel pour les gains de tension est une convention standardisée dans tous les domaines de l'ingénierie (électronique, acoustique, télécommunications).
Formule(s)
Module de la fonction de transfert
Formule du gain en décibels
Hypothèses
Pour cette analyse théorique, nous posons les hypothèses suivantes :
- Les composants (résistance, condensateur) sont idéaux, sans pertes ni effets parasites.
- Le circuit fonctionne en régime linéaire.
- La source de tension est parfaite.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Résistance | R | \(1000 \text{ }\Omega\) |
| Capacité | C | \(100 \times 10^{-9} \text{ F}\) |
| Fréquence | f | \(1000 \text{ Hz}\) |
Astuces
Sachez que \(\log_{10}(x)\) est négatif pour \(x < 1\). Comme un filtre passif atténue forcément le signal (\(|H| \le 1\)), le gain en dB sera toujours négatif ou nul. Si vous trouvez une valeur positive, il y a une erreur.
Schéma (Avant les calculs)
Localisation du point à calculer sur le diagramme
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la pulsation
Étape 2 : Calcul du terme RC\(\omega\)
Étape 3 : Calcul du module
Étape 4 : Conversion en décibels
Schéma (Après les calculs)
Résultat du calcul sur le diagramme de Bode
Réflexions
La fréquence de 1000 Hz est inférieure à la fréquence de coupure (1592 Hz). Elle se trouve donc dans la "bande passante" du filtre. Le résultat de -1.45 dB montre que le signal est très légèrement atténué, ce qui est cohérent avec le rôle d'un filtre passe-bas pour des fréquences inférieures à sa coupure.
Points de vigilance
Attention à votre calculatrice : assurez-vous d'utiliser la fonction logarithme en base 10 (souvent notée "log") et non le logarithme népérien (noté "ln" ou "log_e").
Points à retenir
Le calcul du gain en un point précis suit toujours la même procédure : calculer \(\omega\), puis \(|H|\), puis \(G_{\text{dB}}\). Maîtrisez cette séquence pour ne jamais vous tromper.
Le saviez-vous ?
La pente d'atténuation d'un filtre du premier ordre comme celui-ci, bien après la fréquence de coupure, est de -20 dB par décade. Cela signifie que si on multiplie la fréquence par 10, le gain chute de 20 dB. C'est une propriété fondamentale visible sur les diagrammes de Bode.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Pour vous entraîner, quel serait le gain en \(\text{dB}\) si la fréquence était de 3000 Hz ?
Question 4 : Quelle est la valeur du gain en dB à la fréquence de coupure \(f_{\text{c}}\) ?
Principe
La réponse à cette question ne nécessite pas de calcul car elle découle directement de la définition de la fréquence de coupure pour les filtres électroniques.
Mini-Cours
Comme vu précédemment, la fréquence de coupure est définie comme la fréquence où la puissance de sortie est la moitié de la puissance d'entrée (dans la bande passante). Cette division de puissance par deux correspond, pour la tension, à une division par \(\sqrt{2}\), ce qui se traduit précisément par une atténuation de 3 dB.
Remarque Pédagogique
C'est une question de cours classique. Connaître cette définition par cœur peut vous faire gagner des points et du temps précieux lors d'un examen. C'est un test de compréhension plus que de calcul.
Normes
C'est une définition standard en ingénierie, reconnue internationalement par des organismes comme l'IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers).
Formule(s)
Justification mathématique
Hypothèses
Cette définition est valable pour tous les filtres (passe-bas, passe-haut, etc.) du premier et du second ordre.
Astuces
Associez mentalement "Fréquence de coupure" avec "-3 dB". C'est un réflexe à développer pour l'analyse de filtres.
Schéma (Avant les calculs)
Définition de la Fréquence de Coupure
Calcul(s)
Aucun calcul numérique n'est requis. La justification est dans la définition même du terme "fréquence de coupure à -3 dB".
Schéma (Après les calculs)
Localisation de la Fréquence de Coupure sur le diagramme de Bode
Réflexions
Par définition, la fréquence de coupure à -3 dB est la fréquence pour laquelle la puissance du signal de sortie est divisée par deux par rapport à la puissance maximale. Pour un signal de tension, cela correspond à une amplitude de sortie qui est \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) fois l'amplitude d'entrée. En convertissant ce rapport en décibels, on obtient -3 dB.
Points de vigilance
Ne pas confondre une atténuation de 3 dB (puissance divisée par 2) et une atténuation de 6 dB (tension divisée par 2). C'est une erreur fréquente liée au facteur 20 dans la formule.
Points à retenir
La fréquence de coupure \(f_{\text{c}}\) d'un filtre est, par définition, la fréquence à laquelle son gain est de -3 dB par rapport au gain dans la bande passante.
Le saviez-vous ?
L'oreille humaine perçoit les variations de puissance sonore de manière logarithmique. Une chute de 3 dB est généralement considérée comme la plus petite variation de volume clairement perceptible par la plupart des gens.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
À quelle fréquence (qualitativement) le gain de ce filtre est-il de 0 dB ?
Question 5 : Quelle est la nature de ce filtre ?
Principe
Pour déterminer la nature d'un filtre, on étudie son comportement aux fréquences extrêmes : lorsque la fréquence tend vers zéro (basses fréquences) et lorsqu'elle tend vers l'infini (hautes fréquences). On observe quelles fréquences "passent" (gain non nul) et lesquelles sont "coupées" (gain nul ou très faible).
Mini-Cours
Le comportement d'un condensateur est la clé. À très basse fréquence (\(f \to 0\)), son impédance \(Z_{\text{C}} = 1/(jC\omega)\) tend vers l'infini : il se comporte comme un circuit ouvert. À très haute fréquence (\(f \to \infty\)), son impédance tend vers zéro : il se comporte comme un court-circuit (un fil).
Remarque Pédagogique
Une méthode intuitive est de redessiner le circuit pour \(f=0\) et \(f=\infty\) en remplaçant le condensateur par un interrupteur ouvert ou un fil. On voit alors immédiatement si la tension de sortie \(V_{\text{s}}\) est égale à \(V_{\text{e}}\) ou à zéro.
Normes
La classification des filtres (passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande) est une nomenclature standard en traitement du signal.
Formule(s)
Limite à basse fréquence
Limite à haute fréquence
Hypothèses
L'analyse asymptotique suppose que l'on peut atteindre des fréquences suffisamment basses ou hautes pour que le comportement du circuit soit dominé par un seul de ses composants.
Donnée(s)
Aucune donnée numérique n'est requise, seule l'expression de \(H(j\omega)\) est nécessaire.
Astuces
Regardez où est le condensateur. Si la sortie est prise à ses bornes, il "court-circuite" la sortie à haute fréquence, c'est donc un passe-bas. Si la sortie était prise aux bornes de la résistance, le condensateur court-circuiterait la masse à haute fréquence, laissant tout le signal passer vers R : ce serait un passe-haut.
Schéma (Avant les calculs)
Comportement Asymptotique
\(f \to 0\) (C = circuit ouvert)
\(f \to \infty\) (C = court-circuit)
Calcul(s)
Étape 1 : Comportement à basse fréquence (\(f \to 0\))
Lorsque \(f \to 0\), alors \(\omega \to 0\). Le terme \(jRC\omega \to 0\).
Le module du gain tend vers 1 (soit 0 dB). Le filtre laisse passer intégralement les basses fréquences.
Étape 2 : Comportement à haute fréquence (\(f \to \infty\))
Lorsque \(f \to \infty\), alors \(\omega \to \infty\). Le terme \(jRC\omega \to \infty\).
Le module du gain tend vers 0 (soit \(-\infty\) dB). Le filtre bloque (atténue fortement) les hautes fréquences.
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Bode confirmant la nature passe-bas
Réflexions
Puisque le filtre laisse passer les basses fréquences (gain de 0 dB) et coupe les hautes fréquences (gain tendant vers \(-\infty\) dB), il s'agit d'un filtre passe-bas. Son rôle est d'éliminer les composantes haute fréquence d'un signal.
Points de vigilance
Ne vous contentez pas d'affirmer la nature du filtre. Une justification rigoureuse en deux points (comportement à basse ET à haute fréquence) est toujours attendue.
Points à retenir
L'analyse asymptotique (à \(f=0\) et \(f=\infty\)) est une méthode puissante et rapide pour déterminer la nature de n'importe quel filtre.
Le saviez-vous ?
Un filtre passe-bas simple comme celui-ci est utilisé dans les circuits dits "d'intégration". Si on lui applique un signal carré en entrée, le signal de sortie ressemblera à un signal triangulaire, car le filtre a "lissé" les transitions brusques (qui contiennent beaucoup de hautes fréquences).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant l'analyse asymptotique, confirmez que le circuit où R et C sont inversés est bien un filtre passe-haut.
Outil Interactif : Diagramme de Bode
Utilisez les curseurs pour modifier les valeurs de la résistance et de la capacité, et observez en temps réel comment la réponse en fréquence (diagramme de Bode) du filtre est affectée. Le point rouge sur la courbe indique la position de la fréquence de coupure.
Paramètres du Filtre
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Un gain de -20 dB correspond à un rapport de tension \(|V_{\text{s}}|/|V_{\text{e}}|\) de :
2. Si on double la valeur de la résistance R ET du condensateur C dans un filtre passe-bas RC, la fréquence de coupure \(f_{\text{c}}\) est :
3. Pour un filtre passe-bas, que vaut le gain (en dB) lorsque la fréquence tend vers zéro ?
4. L'impédance d'un condensateur...
5. La fonction de transfert \(H(j\omega)\) d'un filtre est un nombre complexe. Que représente son argument (ou sa phase) ?
- Fonction de Transfert
- Rapport complexe entre le signal de sortie et le signal d'entrée d'un système, exprimé en fonction de la fréquence. Elle caractérise entièrement le comportement fréquentiel du système.
- Gain
- Mesure de l'amplification ou de l'atténuation d'un signal par un circuit. C'est le module (la magnitude) de la fonction de transfert.
- Décibel (dB)
- Unité logarithmique utilisée pour exprimer des rapports, comme le gain. Une échelle en dB permet de visualiser de grandes variations de gain sur un graphique (diagramme de Bode) et simplifie les calculs lorsque des filtres sont mis en cascade.
- Fréquence de Coupure (\(f_c\))
- Fréquence qui délimite la bande passante d'un filtre. Pour un filtre passe-bas, ce sont les fréquences inférieures à \(f_c\) qui sont "passantes" et celles supérieures qui sont "coupées" (atténuées). Elle correspond à une atténuation de -3 dB.
- Impédance (\(Z\))
- Opposition d'un circuit électrique au passage d'un courant alternatif sinusoïdal. Elle généralise la résistance aux composants comme les condensateurs et les bobines.
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