Calcul du Gain en dB d’un Filtre Électronique

Expression et interprétation du gain d'un filtre en décibels.

Énoncé : Calcul du Gain en dB d’un Filtre Électronique

Un filtre électronique est un circuit qui modifie l'amplitude et/ou la phase des signaux électriques en fonction de leur fréquence. Le gain en tension (\(G_v\)) d'un filtre mesure le rapport entre l'amplitude de la tension de sortie (\(V_{out}\)) et l'amplitude de la tension d'entrée (\(V_{in}\)). Pour faciliter l'analyse sur de larges gammes de fréquences et d'amplitudes, on exprime souvent ce gain en décibels (dB).

Contexte

L'échelle en décibels est très utilisée en électronique, en acoustique et en télécommunications. Pour les filtres, elle permet de visualiser facilement les bandes passantes (fréquences que le filtre laisse passer) et les bandes coupées (fréquences que le filtre atténue). Un gain positif en dB signifie une amplification, un gain négatif en dB signifie une atténuation, et un gain de 0 dB signifie que les tensions d'entrée et de sortie ont la même amplitude.

Schéma bloc d'un filtre électronique.

Données du Problème

On mesure les tensions efficaces d'entrée et de sortie d'un filtre électronique pour différentes fréquences.

Cas 1 : Pour une fréquence \(f_1\), \(V_{in,1} = 2,0 \, \text{V}\) et \(V_{out,1} = 1,8 \, \text{V}\).
Cas 2 : Pour une fréquence \(f_2\), \(V_{in,2} = 2,0 \, \text{V}\) et \(V_{out,2} = 10,0 \, \text{V}\).
Cas 3 : Pour une fréquence \(f_3\), \(V_{in,3} = 2,0 \, \text{V}\) et \(V_{out,3} = 0,2 \, \text{V}\).

On rappelle la formule du gain en tension en décibels : \(G_{dB} = 20 \times \log_{10}(G_v) = 20 \times \log_{10}\left(\frac{V_{out}}{V_{in}}\right)\).

Questions

Pour le Cas 1 (\(f_1\)) :
1. Calculer le gain en tension \(G_{v,1} = V_{out,1} / V_{in,1}\).
2. Calculer le gain en décibels \(G_{dB,1}\).
3. Interpréter le signe du gain en dB (amplification ou atténuation).
Pour le Cas 2 (\(f_2\)) :
1. Calculer le gain en tension \(G_{v,2}\).
2. Calculer le gain en décibels \(G_{dB,2}\).
3. Interpréter le signe du gain en dB.
Pour le Cas 3 (\(f_3\)) :
1. Calculer le gain en tension \(G_{v,3}\).
2. Calculer le gain en décibels \(G_{dB,3}\).
3. Interpréter le signe du gain en dB.
Si un filtre a un gain de \(-6 \, \text{dB}\) à une certaine fréquence, par quel facteur l'amplitude de la tension de sortie est-elle multipliée par rapport à celle de l'entrée ?

Correction : Calcul du Gain en dB d’un Filtre Électronique

1. Analyse du Cas 1 (\(f_1\))

On calcule d'abord le gain linéaire \(G_{v,1}\) puis le gain en décibels \(G_{dB,1}\) en utilisant la formule fournie.

Données pour cette étape

\(V_{in,1} = 2,0 \, \text{V}\)
\(V_{out,1} = 1,8 \, \text{V}\)

Calculs

a) Gain en tension \(G_{v,1}\) :

\begin{aligned} G_{v,1} &= \frac{V_{out,1}}{V_{in,1}} \\ &= \frac{1,8 \, \text{V}}{2,0 \, \text{V}} \\ &= 0,9 \end{aligned}

b) Gain en décibels \(G_{dB,1}\) :

\begin{aligned} G_{dB,1} &= 20 \times \log_{10}(G_{v,1}) \\ &= 20 \times \log_{10}(0,9) \\ &\approx 20 \times (-0,04576) \\ &\approx -0,915 \, \text{dB} \end{aligned}

c) Interprétation :

Le gain en dB est négatif (\(-0,915 \, \text{dB}\)). Cela signifie que le filtre atténue légèrement le signal à cette fréquence \(f_1\). La tension de sortie est plus faible que la tension d'entrée.

Résultats (Cas 1)

\(G_{v,1} = 0,9\)
\(G_{dB,1} \approx -0,92 \, \text{dB}\)
Le filtre provoque une légère atténuation à la fréquence \(f_1\).

2. Analyse du Cas 2 (\(f_2\))

On procède de la même manière pour la fréquence \(f_2\).

Données pour cette étape

\(V_{in,2} = 2,0 \, \text{V}\)
\(V_{out,2} = 10,0 \, \text{V}\)

Calculs

a) Gain en tension \(G_{v,2}\) :

\begin{aligned} G_{v,2} &= \frac{V_{out,2}}{V_{in,2}} \\ &= \frac{10,0 \, \text{V}}{2,0 \, \text{V}} \\ &= 5,0 \end{aligned}

b) Gain en décibels \(G_{dB,2}\) :

\begin{aligned} G_{dB,2} &= 20 \times \log_{10}(G_{v,2}) \\ &= 20 \times \log_{10}(5,0) \\ &\approx 20 \times 0,69897 \\ &\approx 13,979 \, \text{dB} \end{aligned}

c) Interprétation :

Le gain en dB est positif (\(+13,98 \, \text{dB}\)). Cela signifie que le filtre amplifie le signal à cette fréquence \(f_2\). La tension de sortie est plus grande que la tension d'entrée.

Résultats (Cas 2)

\(G_{v,2} = 5,0\)
\(G_{dB,2} \approx +14,0 \, \text{dB}\)
Le filtre provoque une amplification à la fréquence \(f_2\).

3. Analyse du Cas 3 (\(f_3\))

On procède de la même manière pour la fréquence \(f_3\).

Données pour cette étape

\(V_{in,3} = 2,0 \, \text{V}\)
\(V_{out,3} = 0,2 \, \text{V}\)

Calculs

a) Gain en tension \(G_{v,3}\) :

\begin{aligned} G_{v,3} &= \frac{V_{out,3}}{V_{in,3}} \\ &= \frac{0,2 \, \text{V}}{2,0 \, \text{V}} \\ &= 0,1 \end{aligned}

b) Gain en décibels \(G_{dB,3}\) :

\begin{aligned} G_{dB,3} &= 20 \times \log_{10}(G_{v,3}) \\ &= 20 \times \log_{10}(0,1) \\ &= 20 \times (-1) \\ &= -20 \, \text{dB} \end{aligned}

c) Interprétation :

Le gain en dB est négatif (\(-20 \, \text{dB}\)). Cela signifie que le filtre atténue fortement le signal à cette fréquence \(f_3\). La tension de sortie est dix fois plus faible que la tension d'entrée.

Résultats (Cas 3)

\(G_{v,3} = 0,1\)
\(G_{dB,3} = -20 \, \text{dB}\)
Le filtre provoque une forte atténuation (division par 10) à la fréquence \(f_3\).

4. Facteur de Multiplication pour un Gain de -6 dB

On a \(G_{dB} = -6 \, \text{dB}\) et on cherche le gain linéaire \(G_v = V_{out} / V_{in}\). On utilise la relation inverse : \(G_{dB} = 20 \times \log_{10}(G_v) \implies \log_{10}(G_v) = \frac{G_{dB}}{20}\). Donc, \(G_v = 10^{\left(\frac{G_{dB}}{20}\right)}\).

Données pour cette étape

\(G_{dB} = -6 \, \text{dB}\)

Calcul

\begin{aligned} G_v &= 10^{\left(\frac{G_{dB}}{20}\right)} \\ &= 10^{\left(\frac{-6}{20}\right)} \\ &= 10^{(-0,3)} \\ &\approx 0,501 \end{aligned}

Un gain de -6 dB correspond approximativement à une division par 2 de la tension (\(1/2 = 0,5\)). De même, un gain de +6 dB correspond environ à une multiplication par 2.

Résultat

Un gain de \(-6 \, \text{dB}\) signifie que l'amplitude de la tension de sortie est multipliée par un facteur \(G_v \approx 0,5\). La tension de sortie est environ la moitié de la tension d'entrée.

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