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Exercice : Circuits en Dérivation

Courant et Résistance dans les Circuits en Dérivation

Contexte : Le Circuit en DérivationUn montage électrique où les composants sont connectés à travers plusieurs chemins. La tension est la même à leurs bornes..

Bienvenue dans cet exercice sur les circuits électriques en dérivation (ou parallèles). Contrairement aux circuits en série où le courant n'a qu'un seul chemin, les circuits en dérivation offrent plusieurs chemins. Comprendre comment le courant se divise et comment la résistance totale se comporte est fondamental en électricité. Cet exercice vous guidera à travers le calcul de la résistance équivalente, du courant total et des courants de branche en utilisant la Loi d'OhmUne loi fondamentale qui lie la tension (V), le courant (I) et la résistance (R) par la formule V = I x R. et la Loi des Nœuds de KirchhoffLa somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortant de ce nœud. (ΣI = 0).

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à analyser un circuit en dérivation. L'objectif est de maîtriser le concept que si la tension est constante, le courant se divise de manière inversement proportionnelle à la résistance de chaque branche.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la résistance équivalente (\(R_{\text{eq}}\)) d'un groupe de résistances en dérivation.
Appliquer la Loi d'Ohm pour déterminer le courant total (\(I_{\text{T}}\)) fourni par la source.
Déterminer le courant individuel (\(I_{\text{1}}, I_{\text{2}}, I_{\text{3}}\)) circulant dans chaque branche du circuit.
Vérifier la validité des calculs en appliquant la Loi des Nœuds de Kirchhoff (KCL).

Données de l'étude

On considère un circuit électrique simple alimenté par une source de tension continue \(V_{\text{S}}\). Trois résistances, \(R_{\text{1}}\), \(R_{\text{2}}\), et \(R_{\text{3}}\), sont connectées en dérivation aux bornes de cette source.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type de Circuit	Dérivation (Parallèle)
Composants	1 Source de Tension (DC), 3 Résistances
Objectif	Analyse complète du circuit (R, I)

Schéma du Circuit Électrique

Nom du Paramètre	Description ou Formule	Valeur	Unité
Tension Source (\(V_{\text{S}}\))	Tension fournie par l'alimentation	12	V (Volts)
Résistance 1 (\(R_{\text{1}}\))	Résistance de la première branche	10	Ω (Ohms)
Résistance 2 (\(R_{\text{2}}\))	Résistance de la deuxième branche	20	Ω (Ohms)
Résistance 3 (\(R_{\text{3}}\))	Résistance de la troisième branche	30	Ω (Ohms)

Questions à traiter

Quelle est la formule littérale permettant de calculer la résistance équivalente (\(R_{\text{eq}}\)) de trois résistances en dérivation ?
Calculez la valeur numérique de la résistance équivalente (\(R_{\text{eq}}\)) du circuit.
En utilisant la loi d'Ohm, calculez le courant total (\(I_{\text{T}}\)) fourni par la source de tension.
Calculez les courants individuels (\(I_{\text{1}}\), \(I_{\text{2}}\), et \(I_{\text{3}}\)) qui traversent respectivement les résistances \(R_{\text{1}}\), \(R_{\text{2}}\), et \(R_{\text{3}}\).
Vérifiez que la somme des courants de branche (\(I_{\text{1}} + I_{\text{2}} + I_{\text{3}}\)) est bien égale au courant total (\(I_{\text{T}}\)) que vous avez calculé à la question 3.

Les bases sur les Circuits en Dérivation

Un circuit en dérivation se caractérise par deux points principaux : la tension aux bornes de chaque branche est identique (et égale à la tension de la source), tandis que le courant total se divise pour passer dans les différentes branches.

1. Loi d'Ohm
La relation fondamentale entre la tension (V, en Volts), le courant (I, en Ampères) et la résistance (R, en Ohms) est donnée par la Loi d'Ohm. \[ V = I \times R \] On peut la réarranger pour trouver le courant : \( I = \frac{V}{R} \) ou la résistance : \( R = \frac{V}{I} \).

2. Résistance Équivalente en Dérivation
L'inverse de la résistance équivalente (\(R_{\text{eq}}\)) est égal à la somme des inverses de chaque résistance individuelle. \[ \frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_{\text{1}}} + \frac{1}{R_{\text{2}}} + \frac{1}{R_{\text{3}}} + \dots \] Une fois la somme calculée, n'oubliez pas d'inverser le résultat pour trouver \(R_{\text{eq}}\).

3. Loi des Nœuds de Kirchhoff (KCL)
Cette loi stipule que la somme des courants qui entrent dans un nœud (un point de connexion) est égale à la somme des courants qui en sortent. Pour notre circuit, le courant total \(I_{\text{T}}\) entre dans le nœud principal et se divise en \(I_{\text{1}}\), \(I_{\text{2}}\), et \(I_{\text{3}}\). \[ I_{\text{T}} = I_{\text{1}} + I_{\text{2}} + I_{\text{3}} \]

Correction : Courant et Résistance dans les Circuits en Dérivation

Question 1 : Quelle est la formule littérale permettant de calculer la résistance équivalente (\(R_{\text{eq}}\)) de trois résistances en dérivation ?

Principe

Dans un montage en dérivation (parallèle), l'ajout de nouvelles branches offre de nouveaux chemins au courant. Cela a pour effet de *diminuer* la résistance globale du circuit, car le courant peut "plus facilement" traverser le montage. La formule reflète ce fait en additionnant les "conductances" (l'inverse de la résistance, soit la "facilité de passage") plutôt que les résistances elles-mêmes.

Mini-Cours

Conductance (G) : L'inverse de la résistance (\(G = 1/R\)) est appelé la conductance. Elle mesure la *facilité* avec laquelle le courant passe. Son unité est le Siemens (S). En dérivation, les facilités s'additionnent logiquement : la facilité totale est la somme des facilités individuelles.
\(G_{\text{eq}} = G_{\text{1}} + G_{\text{2}} + G_{\text{3}}\).
En remplaçant G par 1/R, on obtient la formule de la question : \(\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_{\text{1}}} + \frac{1}{R_{\text{2}}} + \frac{1}{R_{\text{3}}}\).

Remarque Pédagogique

Pensez à un péage autoroutier. S'il n'y a qu'une seule cabine (R1), la "résistance" au flux de voitures est élevée. Si on ouvre deux autres cabines (R2, R3) en parallèle (en dérivation), le flux total de voitures pouvant passer par minute augmente considérablement car il y a plus de chemins. La résistance globale du péage au passage des voitures a donc *diminué*.

Formule(s)

La formule générale pour *n* résistances en dérivation est la somme des conductances :

\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_{\text{1}}} + \frac{1}{R_{\text{2}}} + \dots + \frac{1}{R_{\text{n}}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{R_{\text{i}}}

Cas spécifique (3 résistances)

Pour cet exercice, la formule littérale demandée est :

\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_{\text{1}}} + \frac{1}{R_{\text{2}}} + \frac{1}{R_{\text{3}}}

Hypothèses

Cette formule est valable en supposant que les composants sont des résistances ohmiques pures (idéales), c'est-à-dire que leur valeur ne change pas avec la température ou la tension, et que les fils de connexion ont une résistance nulle.

Astuces

Pour le cas spécial de deux résistances seulement, on peut démontrer et mémoriser la formule "Produit sur Somme" : \(R_{\text{eq}} = \frac{R_{\text{1}} \times R_{\text{2}}}{R_{\text{1}} + R_{\text{2}}}\).

Schéma

Le schéma conceptuel illustre le but du calcul : remplacer un groupe de résistances en parallèle par une seule résistance qui aurait le même effet sur le reste du circuit.

Concept de Résistance Équivalente

Réflexions

Cette formule \(\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_{\text{1}}} + \frac{1}{R_{\text{2}}} + \frac{1}{R_{\text{3}}}\) montre que la conductance totale (\(1/R_{\text{eq}}\)) est plus grande que n'importe quelle conductance de branche (\(1/R_{\text{i}}\)). Par conséquent, en inversant, la résistance totale \(R_{\text{eq}}\) sera toujours *plus petite* que la plus petite des résistances de branche (\(R_{\text{min}}\)). C'est une vérification conceptuelle essentielle à toujours effectuer.

Points de vigilance

Ne pas confondre avec la formule des résistances en série, où l'on additionne simplement les résistances : \(R_{\text{eq}} = R_{\text{1}} + R_{\text{2}} + R_{\text{3}}\). En série, la résistance totale augmente (plus d'obstacles sur un seul chemin) ; en dérivation, elle diminue (plus de chemins disponibles).

Points à retenir

La formule additionne les inverses des résistances (les conductances, mesurées en Siemens).
Le résultat \(\frac{1}{R_{\text{eq}}}\) doit être inversé à la fin pour obtenir \(R_{\text{eq}}\).
La résistance équivalente d'un montage en dérivation est toujours *plus petite* que la plus petite des résistances du montage.

Le saviez-vous ?

Cette même formule \(\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_{\text{1}}} + \dots\) s'applique aux condensateurs en SÉRIE. Les formules sont inversées entre résistances et condensateurs ! Pour les condensateurs en dérivation, on fait simplement \(C_{\text{eq}} = C_{\text{1}} + C_{\text{2}} + \dots\).

Résultat Final

La formule littérale pour trois résistances est : \(\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_{\text{1}}} + \frac{1}{R_{\text{2}}} + \frac{1}{R_{\text{3}}}\)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Addition des conductances (\(1/R\)).
Formule Essentielle : \(\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \Sigma \frac{1}{R_{\text{i}}}\).
Analogie : Ouvrir plus de caisses à un péage.

Question 2 : Calculez la valeur numérique de la résistance équivalente (\(R_{\text{eq}}\)) du circuit.

Principe

Nous allons appliquer la formule littérale de la question 1 avec les valeurs numériques fournies dans l'énoncé. Pour additionner les fractions, nous trouverons un dénominateur commun, effectuerons la somme, puis nous n'oublierons pas d'inverser le résultat final pour isoler \(R_{\text{eq}}\).

Mini-Cours

Dénominateur Commun : Pour additionner des fractions \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\), on utilise un dénominateur commun (par exemple \(b \times d\)) pour obtenir \(\frac{ad + cb}{bd}\). Ici, avec 10, 20, et 30, le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) est 60, ce qui simplifie le calcul.

Remarque Pédagogique

L'erreur la plus fréquente est d'oublier l'étape finale : inverser la fraction. Beaucoup d'étudiants s'arrêtent à \(\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{11}{60}\) et donnent 0.183 comme réponse. Pensez toujours à ce que vous calculez : \(R_{\text{eq}}\) doit être plus petit que \(R_{\text{1}}\) (10 Ω), donc 0.183 Ω serait illogique.

Normes

Ce calcul est une application directe des lois fondamentales de l'électricité (Lois de Kirchhoff et d'Ohm) et ne dépend pas d'une norme de construction spécifique, mais la méthode est universelle (CEI, ANSI, etc.).

Formule(s)

Formule de base

\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_{\text{1}}} + \frac{1}{R_{\text{2}}} + \frac{1}{R_{\text{3}}}

Hypothèses

On suppose que les résistances sont "idéales" (leur valeur ne change pas avec la température) et que les fils de connexion ont une résistance nulle.

Résistances pures et constantes.
Fils de connexion parfaits (résistance = 0 Ω).

Donnée(s)

Les valeurs des résistances de l'énoncé sont :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance 1	\(R_{\text{1}}\)	10	Ω
Résistance 2	\(R_{\text{2}}\)	20	Ω
Résistance 3	\(R_{\text{3}}\)	30	Ω

Astuces

Le plus petit dénominateur commun pour 10, 20 et 30 est 60. Utiliser des fractions (\(\frac{1}{10} = \frac{6}{60}\)) évite les erreurs d'arrondi jusqu'à la toute fin.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé s'applique. Nous cherchons à remplacer les trois résistances (R1, R2, R3) par une seule résistance \(R_{\text{eq}}\).

Concept de Résistance Équivalente

Calcul(s)

Nous allons maintenant appliquer les formules vues précédemment avec les données du problème. Chaque étape est détaillée dans un bloc séparé pour que vous puissiez suivre le raisonnement pas à pas.

Étape 1 : Poser l'équation avec les valeurs

\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30}

Étape 2 : Mettre au même dénominateur (PPCM de 10, 20, 30 = 60)

Pour additionner, on transforme chaque fraction pour qu'elle ait 60 au dénominateur :
- Pour \(\frac{1}{10}\), on multiplie le haut et le bas par 6 :

\frac{1 \times 6}{10 \times 6} = \frac{6}{60}

- Pour \(\frac{1}{20}\), on multiplie le haut et le bas par 3 :

\frac{1 \times 3}{20 \times 3} = \frac{3}{60}

- Pour \(\frac{1}{30}\), on multiplie le haut et le bas par 2 :

\frac{1 \times 2}{30 \times 2} = \frac{2}{60}

On a donc :

\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{6}{60} + \frac{3}{60} + \frac{2}{60}

Étape 3 : Additionner les numérateurs

Maintenant que le dénominateur est commun, on additionne les chiffres du haut (les numérateurs) :

\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{6 + 3 + 2}{60} = \frac{11}{60} \, \Omega^{-1} \text{ (ou Siemens)}

Étape 4 : Inverser pour trouver \(R_{\text{eq}}\)

Ceci est la valeur de \(1/R_{\text{eq}}\). Pour trouver \(R_{\text{eq}}\), on doit inverser la fraction (prendre l'inverse des deux côtés) :

R_{\text{eq}} = \frac{60}{11} \, \Omega

Pour la valeur numérique, on effectue la division : \(60 \div 11 = 5.4545\dots\)

R_{\text{eq}} \approx 5.45 \, \Omega

Schéma (Après les calculs)

Le schéma conceptuel du circuit est maintenant simplifié à sa forme la plus élémentaire, avec une seule résistance équivalente ayant la valeur que nous venons de calculer.

Circuit Équivalent (Valeur Calculée)

Réflexions

Le résultat (\( \approx 5.45 \, \Omega \)) est bien inférieur à la plus petite résistance du circuit (\(R_{\text{1}} = 10 \, \Omega\)). C'est logique : en offrant plus de chemins (branches), le circuit global devient *plus facile* à traverser pour le courant, d'où une résistance globale plus faible.

Points de vigilance

L'erreur d'inversion ! Ne jamais s'arrêter à \(\frac{11}{60}\). C'est la valeur de \(\frac{1}{R_{\text{eq}}}\) (la conductance), pas de \(R_{\text{eq}}\). Pensez toujours à inverser à la fin. \(R_{\text{eq}} = \frac{60}{11}\) et non \(\frac{11}{60}\).

Points à retenir

La résistance équivalente en dérivation est TOUJOURS plus petite que la plus petite résistance de branche.
Pour additionner, on utilise un dénominateur commun (le PPCM est le plus efficace).

Le saviez-vous ?

L'inverse de la résistance, \(\frac{1}{R}\), est appelé la Conductance (G) et se mesure en Siemens (S). La formule de la résistance équivalente en dérivation est donc simplement l'addition des conductances : \(G_{\text{eq}} = G_{\text{1}} + G_{\text{2}} + G_{\text{3}}\).

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La résistance équivalente est \(R_{\text{eq}} = \frac{60}{11} \, \Omega \approx 5.45 \, \Omega\).

A vous de jouer

Si \(R_{\text{1}}\) et \(R_{\text{2}}\) valaient toutes les deux \(10 \, \Omega\) (et \(R_{\text{3}} = 30 \, \Omega\)), quelle serait la nouvelle \(R_{\text{eq}}\) ? (Arrondir à 2 décimales).
Indice : \(\frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{30}\)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Calcul : \(\frac{1}{10} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{6+3+2}{60} = \frac{11}{60}\).
Inversion : \(R_{\text{eq}} = \frac{60}{11}\).
Vérification : \(5.45 \, \Omega < 10 \, \Omega\) (C'est correct).

Question 3 : En utilisant la loi d'Ohm, calculez le courant total (\(I_{\text{T}}\)) fourni par la source de tension.

Principe

Pour trouver le courant total (\(I_{\text{T}}\)) débité par la source, on applique la Loi d'Ohm à l'ensemble du circuit. On "simplifie" mentalement le circuit en remplaçant les trois résistances par la résistance équivalente \(R_{\text{eq}}\) unique que nous venons de calculer. Le circuit devient alors un circuit simple avec une source \(V_{\text{S}}\) et une seule résistance \(R_{\text{eq}}\).

Mini-Cours

Loi d'Ohm Globale : La Loi d'Ohm \(V=IR\) s'applique à un composant individuel (ex: \(V_{\text{1}} = I_{\text{1}} R_{\text{1}}\)) mais aussi à l'ensemble du circuit (ex: \(V_{\text{Source}} = I_{\text{Total}} \times R_{\text{Equivalente}}\)). C'est cette deuxième application que nous utilisons ici pour trouver le courant total.

Remarque Pédagogique

Pour ce calcul, le circuit "voit" la source \(V_{\text{S}}\) et lui oppose une résistance globale \(R_{\text{eq}}\). Le courant \(I_{\text{T}}\) est le résultat de cette confrontation : \(I_{\text{T}} = V_{\text{S}} / R_{\text{eq}}\). C'est le courant total qui sort de la borne "+" de la source, avant de se diviser dans les branches.

Normes

Application de la Loi d'Ohm, une loi fondamentale de la physique.

Formule(s)

Loi d'Ohm pour le circuit complet

V_{\text{S}} = I_{\text{T}} \times R_{\text{eq}} \implies I_{\text{T}} = \frac{V_{\text{S}}}{R_{\text{eq}}}

Hypothèses

On utilise la valeur de \(R_{\text{eq}}\) calculée précédemment, en supposant que la source de tension est "idéale" (elle fournit 12V peu importe le courant demandé).

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé et le résultat de la Q2 :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension Source	\(V_{\text{S}}\)	12	V
Résistance Équivalente	\(R_{\text{eq}}\)	\(\frac{60}{11}\) (ou 5.45...)	Ω

Astuces

Pour un calcul précis, il est préférable d'utiliser la forme fractionnaire de \(R_{\text{eq}}\) (\(\frac{60}{11}\)). Diviser par une fraction \(\frac{a}{b}\) revient à multiplier par son inverse \(\frac{b}{a}\). C'est plus simple que de diviser 12 par 5.4545...

Schéma (Avant les calculs)

On utilise le schéma conceptuel du circuit équivalent (voir Q2) avec le courant total \(I_{\text{T}}\).

Circuit Équivalent avec Courant Total

Calcul(s)

Étape 1 : Application de la formule

On remplace \(V_{\text{S}}\) par 12 et \(R_{\text{eq}}\) par la fraction \(\frac{60}{11}\) pour garder la précision.

I_{\text{T}} = \frac{V_{\text{S}}}{R_{\text{eq}}} = \frac{12}{\frac{60}{11}}

Étape 2 : Résolution (Diviser par une fraction)

Rappel de mathématiques : Diviser par une fraction (\(\frac{a}{b}\)) est identique à multiplier par son inverse (\(\frac{b}{a}\)).
Donc, \(\frac{12}{\frac{60}{11}}\) devient \(12 \times \frac{11}{60}\).

\begin{aligned} I_{\text{T}} &= 12 \times \frac{11}{60} \\ I_{\text{T}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} I_{\text{T}} &= \frac{12 \times 11}{60} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} I_{\text{T}} &= \frac{132}{60} \end{aligned}

On peut simplifier \(\frac{132}{60}\). On peut aussi voir que \(\frac{12}{60} = \frac{1}{5}\), donc \(I_{\text{T}} = \frac{11}{5}\).
Calcul de la valeur : \(11 \div 5 = 2.2\). (Ou \(132 \div 60 = 2.2\)).

I_{\text{T}} = 2.2 \text{ A}

Schéma (Après les calculs)

Le circuit équivalent montre maintenant le courant total \(I_{\text{T}}\) de 2.2 A circulant de la source vers la résistance équivalente \(R_{\text{eq}}\).

Circuit Équivalent avec Courant Total

Réflexions

Un courant de 2.2 Ampères est fourni par la source. Ce courant va ensuite se "partager" entre les trois branches R1, R2 et R3. La somme des courants dans ces branches doit être égale à 2.2 A (voir Q5).

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser la tension TOTALE (\(V_{\text{S}}\)) avec la résistance TOTALE (\(R_{\text{eq}}\)). Ne mélangez pas une tension de branche avec une résistance totale, ou vice-versa.

Points à retenir

Le courant total du circuit est déterminé par la tension de la source et la résistance équivalente totale.

Le saviez-vous ?

Dans votre maison, toutes vos prises et lumières sont branchées en dérivation (parallèle) sur le 230V (en Europe) ou 120V (Amérique du Nord). Si elles étaient en série, dès qu'une ampoule grille, tout s'éteindrait !

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le courant total fourni par la source est \(I_{\text{T}} = 2.2 \text{ A}\).

A vous de jouer

En gardant la même résistance équivalente (\(R_{\text{eq}} \approx 5.45 \, \Omega\)), quel serait le courant total \(I_{\text{T}}\) si la source fournissait \(24 \text{ V}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Loi d'Ohm globale.
Formule : \(I_{\text{T}} = V_{\text{S}} / R_{\text{eq}}\).
Calcul : \(12 \text{ V} / (60/11 \, \Omega) = 2.2 \text{ A}\).

Question 4 : Calculez les courants individuels (\(I_{\text{1}}\), \(I_{\text{2}}\), et \(I_{\text{3}}\)) qui traversent... les résistances \(R_{\text{1}}\), \(R_{\text{2}}\), et \(R_{\text{3}}\).

Principe

La propriété fondamentale d'un circuit en dérivation est que la tension aux bornes de chaque branche est la même. Toutes les résistances sont connectées *directement* aux bornes de la source \(V_{\text{S}}\). Par conséquent, la tension aux bornes de \(R_{\text{1}}\) est \(V_{\text{S}}\), la tension aux bornes de \(R_{\text{2}}\) est \(V_{\text{S}}\), et la tension aux bornes de \(R_{\text{3}}\) est aussi \(V_{\text{S}}\).

Mini-Cours

Loi d'Unicité de la Tension (en dérivation) : Dans un montage parallèle, \(V_{\text{Source}} = V_{\text{1}} = V_{\text{2}} = V_{\text{3}} = \dots\).
Pour trouver le courant dans une branche, on applique simplement la Loi d'Ohm à *cette branche uniquement*, en utilisant la tension commune (\(V_{\text{S}}\)) et la résistance de la branche (\(R_{\text{i}}\)).

Remarque Pédagogique

Imaginez la source comme un château d'eau (tension) et les résistances comme des tuyaux de différents diamètres (résistance). Les trois tuyaux sont branchés au même château d'eau (même tension de 12V). Le tuyau le plus large (plus faible résistance, \(R_{\text{1}}\)) aura le plus grand débit (courant, \(I_{\text{1}}\)).

Normes

Application de la Loi d'Ohm (\(I = V/R\)) à chaque composant individuel.

Formule(s)

Loi d'Ohm par branche

I_{\text{1}} = \frac{V_{\text{S}}}{R_{\text{1}}} \quad ; \quad I_{\text{2}} = \frac{V_{\text{S}}}{R_{\text{2}}} \quad ; \quad I_{\text{3}} = \frac{V_{\text{S}}}{R_{\text{3}}}

Hypothèses

La tension de la source \(V_{\text{S}} = 12 \text{ V}\) est appliquée uniformément à chaque branche.

Donnée(s)

On utilise les valeurs individuelles de l'énoncé :

\(V_{\text{S}} = 12 \text{ V}\)
\(R_{\text{1}} = 10 \, \Omega\)
\(R_{\text{2}} = 20 \, \Omega\)
\(R_{\text{3}} = 30 \, \Omega\)

Astuces

Ce sont trois calculs indépendants. Vous n'avez pas besoin de \(R_{\text{eq}}\) ou \(I_{\text{T}}\) pour répondre à cette question. C'est une application directe de \(I = V/R\).

Schéma (Avant les calculs)

On reprend le schéma de l'énoncé, en se concentrant sur les courants \(I_{\text{1}}, I_{\text{2}}, I_{\text{3}}\) dans chaque branche.

Division du Courant (KCL)

Calcul(s)

Calcul de \(I_{\text{1}}\) (Branche 1)

On applique la Loi d'Ohm à la branche 1, avec \(V_{\text{S}} = 12 \text{ V}\) et \(R_{\text{1}} = 10 \, \Omega\).

I_{\text{1}} = \frac{V_{\text{S}}}{R_{\text{1}}} \] \[ I_{\text{1}}= \frac{12 \text{ V}}{10 \, \Omega} \] \[ I_{\text{1}} = 1.2 \text{ A}

Calcul de \(I_{\text{2}}\) (Branche 2)

On applique la Loi d'Ohm à la branche 2, avec \(V_{\text{S}} = 12 \text{ V}\) et \(R_{\text{2}} = 20 \, \Omega\).

I_{\text{2}} = \frac{V_{\text{S}}}{R_{\text{2}}} \] \[ I_{\text{2}} = \frac{12 \text{ V}}{20 \, \Omega}\] \[ I_{\text{2}} = 0.6 \text{ A}

Calcul de \(I_{\text{3}}\) (Branche 3)

On applique la Loi d'Ohm à la branche 3, avec \(V_{\text{S}} = 12 \text{ V}\) et \(R_{\text{3}} = 30 \, \Omega\).

I_{\text{3}} = \frac{V_{\text{S}}}{R_{\text{3}}} \] \[ I_{\text{3}} = \frac{12 \text{ V}}{30 \, \Omega} \] \[ I_{\text{3}}= 0.4 \text{ A}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma original peut maintenant être annoté avec les valeurs des courants que nous avons calculées for chaque branche. Notez que le courant \(I_{\text{1}}\) (branche la moins résistante) est le plus élevé.

Circuit avec Courants de Branche Calculés

Réflexions

On remarque que la branche avec la plus petite résistance (\(R_{\text{1}} = 10 \, \Omega\)) "tire" le plus de courant (\(1.2 \text{ A}\)). La branche avec la plus grande résistance (\(R_{\text{3}} = 30 \, \Omega\)) "tire" le moins de courant (\(0.4 \text{ A}\)). C'est le principe même de la division du courant : le courant "préfère" le chemin le plus facile (le moins résistant).

Points de vigilance

Ne pas utiliser le courant total \(I_{\text{T}}\) ou la résistance équivalente \(R_{\text{eq}}\) pour ces calculs. C'est une erreur fréquente. Chaque branche est indépendante et ne "voit" que la tension \(V_{\text{S}}\) et sa propre résistance \(R_{\text{i}}\).

Points à retenir

En dérivation, la tension est la même partout.
Le courant se divise : la branche la moins résistante prend le plus de courant.

Le saviez-vous ?

C'est ainsi que fonctionne le disjoncteur de votre maison. Si vous branchez trop d'appareils (chacun étant une nouvelle branche en dérivation), la résistance équivalente totale de votre maison baisse, et le courant total \(I_{\text{T}}\) augmente. S'il dépasse la limite (ex: 16A), le disjoncteur "saute" pour protéger les fils de la surchauffe !

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Les courants de branche sont : \(I_{\text{1}} = 1.2 \text{ A}\), \(I_{\text{2}} = 0.6 \text{ A}\), et \(I_{\text{3}} = 0.4 \text{ A}\).

A vous de jouer

Si la tension de la source \(V_{\text{S}}\) était de \(24 \text{ V}\), quel serait le nouveau courant \(I_{\text{1}}\) dans la résistance \(R_{\text{1}}\) (\(10 \, \Omega\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Tension constante en dérivation (\(V_{\text{S}} = V_{\text{1}} = V_{\text{2}} = V_{\text{3}}\)).
Formule : \(I_{\text{i}} = V_{\text{S}} / R_{\text{i}}\).
Résultats : \(I_{\text{1}}=1.2\text{A}\), \(I_{\text{2}}=0.6\text{A}\), \(I_{\text{3}}=0.4\text{A}\).

Question 5 : Vérifiez que la somme des courants de branche (\(I_{\text{1}} + I_{\text{2}} + I_{\text{3}}\)) est bien égale au courant total (\(I_{\text{T}}\)).

Principe

Cette question est une vérification de la Loi des Nœuds de Kirchhoff (KCL)La somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortant de ce nœud. (ΣI = 0). Le courant total \(I_{\text{T}}\) (calculé en Q3) qui sort de la source arrive au nœud supérieur. Là, il se sépare en \(I_{\text{1}}\), \(I_{\text{2}}\), et \(I_{\text{3}}\) (calculés en Q4). La KCL dit que ce qui entre doit être égal à ce qui sort.

Mini-Cours

La Loi des Nœuds (KCL - Kirchhoff's Current Law) : C'est l'un des principes les plus fondamentaux de l'électricité, basé sur la conservation de la charge électrique. La somme algébrique des courants dans un réseau de conducteurs se rencontrant en un point (nœud) est nulle. Plus simplement : \(\Sigma I_{\text{entrant}} = \Sigma I_{\text{sortant}}\).

Remarque Pédagogique

C'est une excellente façon de vérifier l'ensemble de votre travail. Si la somme des courants de branche (calculés séparément) n'est pas égale au courant total (calculé avec \(R_{\text{eq}}\)), vous avez fait une erreur de calcul soit dans Q2/Q3, soit dans Q4.

Normes

Application de la Loi des Nœuds de Kirchhoff.

Formule(s)

Loi des Nœuds (KCL)

I_{\text{T}} = I_{\text{1}} + I_{\text{2}} + I_{\text{3}}

Hypothèses

On suppose que les fils de connexion entre les branches n'ont pas de fuite de courant.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions 3 et 4 :

Paramètre	Symbole	Valeur (calculée)	Unité
Courant Total (de Q3)	\(I_{\text{T}}\)	2.2	A
Courant Branche 1 (de Q4)	\(I_{\text{1}}\)	1.2	A
Courant Branche 2 (de Q4)	\(I_{\text{2}}\)	0.6	A
Courant Branche 3 (de Q4)	\(I_{\text{3}}\)	0.4	A

Astuces

C'est une simple addition. Faites-la de tête pour une vérification rapide : \(1.2 + 0.6 = 1.8\). Puis \(1.8 + 0.4 = 2.2\). Ça correspond !

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de la Q4 illustre parfaitement la loi que nous allons vérifier : le courant \(I_{\text{T}}\) arrive au nœud et se divise en \(I_{\text{1}}\), \(I_{\text{2}}\), et \(I_{\text{3}}\). Nous allons maintenant calculer la somme de ces courants de branche pour la comparer au courant total.

Calcul(s)

Étape 1 : Somme des courants de branche

On prend les trois valeurs de courant calculées à la question 4 et on les additionne :

\begin{aligned} \Sigma I_{\text{branches}} &= I_{\text{1}} + I_{\text{2}} + I_{\text{3}} \\ \Sigma I_{\text{branches}} &= 1.2 \text{ A} + 0.6 \text{ A} + 0.4 \text{ A} \end{aligned}

Calcul de l'addition :
\(1.2 + 0.6 = 1.8\)
\(1.8 + 0.4 = 2.2\)

\Sigma I_{\text{branches}} = 2.2 \text{ A}

Étape 2 : Vérification (Comparaison avec \(I_{\text{T}}\))

On compare ce résultat (la somme des parties) avec le courant total \(I_{\text{T}}\) calculé globalement à la question 3, qui valait 2.2 A.

\begin{aligned} \Sigma I_{\text{branches}} &\stackrel{?}{=} I_{\text{T}} \\ 2.2 \text{ A} &= 2.2 \text{ A} \quad (\text{C'est vérifié !}) \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma ci-dessous illustre visuellement le résultat de notre vérification. Le courant total entrant de 2.2 A est parfaitement équilibré par la somme des courants sortants (1.2 A + 0.6 A + 0.4 A = 2.2 A), confirmant la Loi des Nœuds de Kirchhoff.

Vérification de la Loi des Nœuds (Résultats)

Réflexions

La somme des courants de branche est exactement égale au courant total calculé. Cela confirme que nos deux approches (1. Calcul global via \(R_{\text{eq}}\) pour trouver \(I_{\text{T}}\) et 2. Calculs individuels par branche via \(V_{\text{S}}\)) sont correctes et cohérentes. La loi de Kirchhoff est respectée.

Points de vigilance

Attention aux erreurs d'arrondi si vous n'utilisez pas les valeurs exactes. Par exemple, si \(I_{\text{3}}\) avait été \(0.41\text{A}\) à cause d'un arrondi, la somme n'aurait pas été parfaite. C'est pourquoi l'utilisation de calculs simples (12/30 = 0.4) est préférable.

Points à retenir

La KCL (\(I_{\text{T}} = \Sigma I_{\text{i}}\)) est un outil puissant pour vérifier les calculs dans les circuits en dérivation.
Elle illustre la conservation de la charge électrique : aucun courant n'est "perdu" ou "créé" aux nœuds.

Le saviez-vous ?

La loi des nœuds est analogue à un carrefour dans un système de plomberie : le débit total d'eau (Courant) entrant dans le carrefour (Nœud) doit être égal au débit total sortant dans les différentes rues (Branches).

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La vérification est confirmée : \(1.2 \text{ A} + 0.6 \text{ A} + 0.4 \text{ A} = 2.2 \text{ A}\), ce qui est bien égal au \(I_{\text{T}}\) calculé.

A vous de jouer

Dans un autre circuit, le courant total \(I_{\text{T}}\) est de \(3.5 \text{ A}\). On mesure \(I_{\text{1}} = 1.5 \text{ A}\) et \(I_{\text{2}} = 1.2 \text{ A}\). Combien vaut \(I_{\text{3}}\) ? ( \(I_{\text{3}} = I_{\text{T}} - I_{\text{1}} - I_{\text{2}}\) )

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Loi des Nœuds de Kirchhoff (KCL).
Formule : \(I_{\text{T}} = \Sigma I_{\text{i}}\).
Vérification : \(2.2 \text{ A} = 1.2 \text{ A} + 0.6 \text{ A} + 0.4 \text{ A}\).

Outil Interactif : Simulateur de Circuit en Dérivation

Utilisez les curseurs pour modifier la tension de la source (\(V_{\text{S}}\)) et la valeur de la résistance \(R_{\text{1}}\). Observez en temps réel comment la résistance équivalente, le courant total et la distribution des courants dans les branches (\(I_{\text{1}}, I_{\text{2}}, I_{\text{3}}\)) sont affectés. (\(R_{\text{2}}\) et \(R_{\text{3}}\) sont fixes à 20 Ω et 30 Ω).

Paramètres d'Entrée

Tension Source (\(V_{\text{S}}\)) (V) 12 V

Résistance \(R_{\text{1}}\) (Ω) 10 Ω

Résultats Clés

Résistance Équiv. (\(R_{\text{eq}}\)) - Ω

Courant Total (\(I_{\text{T}}\)) - A

Glossaire

Circuit en Dérivation (Parallèle): Montage électrique où les composants sont connectés à travers plusieurs chemins parallèles. La tension est la même à leurs bornes, mais le courant se divise.
Courant (\(I\)): Débit de charge électrique, mesuré en Ampères (A). Dans un circuit en dérivation, le courant total se divise entre les branches.
Loi d'Ohm: Loi fondamentale \(V = I \times R\) qui lie la tension (V), le courant (I) et la résistance (R).
Loi des Nœuds (KCL): Loi de Kirchhoff qui stipule que la somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants en sortant (\(\Sigma I = 0\)).
Nœud: Point de connexion dans un circuit où trois conducteurs ou plus se rencontrent.
Résistance (\(R\)): Opposition au passage du courant électrique, mesurée en Ohms (Ω).
Résistance Équivalente (\(R_{\text{eq}}\)): Résistance unique qui aurait le même effet sur le circuit que l'ensemble des résistances combinées.
Tension (\(V\)): Différence de potentiel électrique entre deux points, mesurée en Volts (V). C'est la "pression" qui pousse le courant à circuler.

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