Calcul de la Résistance Équivalente Totale
Contexte : L'analyse de circuits électriques est fondamentale en électrotechnique.
Un des premiers concepts à maîtriser est le calcul de la résistance équivalenteLa résistance unique qui pourrait remplacer un réseau de résistances tout en conservant le même courant total pour la même tension appliquée., notée \( R_{\text{éq}} \). Cette compétence permet de simplifier des circuits complexes pour analyser leur comportement global, notamment pour déterminer le courant total qui les traverse en utilisant la Loi d'OhmPrincipe fondamental qui lie la tension (U), le courant (I) et la résistance (R) par la formule U = R * I.. Cet exercice vous guidera pas à pas dans la simplification d'un circuit mixte, combinant des résistances en série et en parallèle.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème complexe en sous-problèmes plus simples. En identifiant méthodiquement les groupements de résistances en série et en parallèle, vous pourrez simplifier n'importe quel circuit de ce type.
Objectifs Pédagogiques
- Identifier les groupements de résistances en série et en parallèle dans un circuit.
- Appliquer les formules de calcul pour les associations de résistances.
- Calculer la résistance équivalente totale d'un circuit mixte.
- Utiliser la Loi d'Ohm pour déterminer le courant total du circuit.
Données de l'étude
Schéma du Circuit Électrique
| Composant | Valeur |
|---|---|
| Résistance R1 | 100 Ω |
| Résistance R2 | 50 Ω |
| Résistance R3 | 50 Ω |
| Résistance R4 | 75 Ω |
| Résistance R5 | 150 Ω |
Questions à traiter
- Calculer la résistance équivalente du groupement parallèle (R2 // R3). On la nommera \( R_{\text{23}} \).
- Calculer la résistance équivalente de la branche contenant R23 et R4. On la nommera \( R_{\text{234}} \).
- Calculer la résistance équivalente du groupement contenant R234 et R5. On la nommera \( R_{\text{2345}} \).
- En déduire la résistance équivalente totale \( R_{\text{éq}} \) du circuit entre les bornes A et B.
- Si une tension de 12 V est appliquée entre A et B, quel sera le courant total \( I_{\text{total}} \) débité par la source ?
Les bases sur les Associations de Résistances
Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de connaître les deux formules de base pour simplifier les groupements de résistances.
1. Association en Série
Lorsque deux ou plusieurs résistances sont connectées bout à bout, elles sont en série. Le courant qui les traverse est le même. Leur résistance équivalente est la somme de leurs résistances individuelles.
\[ R_{\text{série}} = R_a + R_b + \dots + R_n \]
2. Association en Parallèle (ou Dérivation)
Lorsque deux ou plusieurs résistances sont connectées aux mêmes deux nœuds, elles sont en parallèle. La tension à leurs bornes est la même. L'inverse de leur résistance équivalente est la somme des inverses de leurs résistances.
\[ \frac{1}{R_{\text{parallèle}}} = \frac{1}{R_a} + \frac{1}{R_b} + \dots + \frac{1}{R_n} \]
Pour le cas spécifique de deux résistances en parallèle, on utilise souvent la formule produit sur somme :
\[ R_{\text{parallèle}} = \frac{R_a \times R_b}{R_a + R_b} \]
Correction : Calcul de la Résistance Équivalente Totale
Question 1 : Calcul de la résistance équivalente \( R_{\text{23}} \) (R2 // R3)
Principe
La première étape de la simplification consiste à identifier le groupement le plus simple à résoudre. Ici, les résistances R2 et R3 sont clairement en parallèle, car leurs deux bornes sont connectées aux mêmes nœuds électriques.
Mini-Cours
En électrotechnique, un groupement est dit 'en parallèle' lorsque la tension à ses bornes est identique pour chaque composant. Le courant total se divise alors entre les différentes branches du groupement. C'est le principe du 'diviseur de courant'.
Remarque Pédagogique
Pour identifier un groupement parallèle, cherchez les 'nœuds' de connexion. Si plusieurs chemins partent d'un nœud A et se rejoignent tous en un nœud B, les composants sur ces chemins sont en parallèle entre A et B.
Normes
Pour cet exercice fondamental, nous n'appliquons pas de norme industrielle spécifique (comme la C 15-100 pour les installations électriques), mais les lois universelles de l'électrocinétique établies par Kirchhoff et Ohm.
Formule(s)
Résistances en parallèle (produit sur somme)
Hypothèses
Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :
- Les résistances sont idéales, c'est-à-dire que leur valeur est constante et ne dépend pas de la température.
- Les fils de connexion du circuit ont une résistance nulle.
Donnée(s)
Nous utilisons les valeurs de R2 et R3 fournies dans l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance 2 | R2 | 50 | Ω |
| Résistance 3 | R3 | 50 | Ω |
Astuces
Lorsque deux résistances de même valeur sont en parallèle, leur résistance équivalente est simplement la moitié de leur valeur. Ici, R2 = R3 = 50 Ω, donc on peut prévoir que \( R_{\text{23}} \) sera de 25 Ω. C'est un excellent moyen de vérifier son calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Groupement R2 // R3
Calcul(s)
Application de la formule
Schéma (Après les calculs)
Circuit Simplifié - Étape 1
Réflexions
Le résultat (25 Ω) est inférieur à la plus petite des deux résistances (50 Ω). C'est une caractéristique essentielle des groupements en parallèle : l'ajout d'une branche offre un nouveau chemin au courant, ce qui diminue la résistance globale que le circuit oppose à son passage.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'additionner les résistances en parallèle comme si elles étaient en série. Assurez-vous de toujours utiliser la formule d'inversion ou la formule produit/somme pour les groupements en parallèle.
Points à retenir
- Deux résistances sont en parallèle si elles sont soumises à la même tension.
- La résistance équivalente est toujours plus faible que la plus petite résistance du groupe.
- Cas particulier : si \(R_A = R_B\), alors \(R_{\text{éq}} = R_A / 2\).
Le saviez-vous ?
Le concept de résistance a été formalisé par Georg Ohm en 1827. Au départ, ses travaux furent mal accueillis par la communauté scientifique de l'époque avant d'être universellement reconnus comme une loi fondamentale de l'électricité.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si R2 valait 40 Ω et R3 valait 60 Ω, quelle serait la valeur de \(R_{\text{23}}\) ?
Question 2 : Calcul de la résistance \( R_{\text{234}} \) (\(R_{\text{23}}\) en série avec R4)
Principe
Après la première simplification, on observe sur le nouveau schéma que la résistance équivalente \( R_{\text{23}} \) que nous venons de calculer est connectée bout à bout avec la résistance R4. Elles forment donc un groupement en série.
Mini-Cours
Un groupement est dit 'en série' lorsque les composants sont traversés par le même courant. La tension totale aux bornes du groupement est alors la somme des tensions aux bornes de chaque composant. C'est le principe du 'diviseur de tension'.
Remarque Pédagogique
Pour identifier un groupement en série, assurez-vous qu'il n'y a aucun 'nœud' ou bifurcation entre les composants. Le courant qui entre dans le premier doit être le même qui sort du dernier, sans avoir pu s'échapper par un autre chemin.
Normes
Les lois fondamentales de l'électrocinétique, notamment la loi des mailles de Kirchhoff qui stipule que la somme des tensions dans une boucle fermée est nulle, sous-tendent le calcul des associations en série.
Formule(s)
Résistances en série
Hypothèses
Nous continuons avec les mêmes hypothèses de composants et de fils idéaux.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance équivalente | \(R_{\text{23}}\) | 25 | Ω |
| Résistance 4 | R4 | 75 | Ω |
Astuces
Il n'y a pas vraiment d'astuce pour une simple addition, mais une bonne pratique est de toujours vérifier l'ordre de grandeur. On ajoute deux résistances, le résultat doit logiquement être plus grand que chacune d'entre elles.
Schéma (Avant les calculs)
Groupement R23 + R4
Calcul(s)
Application de la formule
Schéma (Après les calculs)
Circuit Simplifié - Étape 2
Réflexions
Le résultat (100 Ω) est bien la somme des deux résistances (25 Ω et 75 Ω). Cela confirme que la branche centrale a une résistance totale de 100 Ω.
Points de vigilance
Attention à ne pas considérer R4 en parallèle avec R2 ou R3. L'analyse doit être séquentielle : on résout d'abord le parallèle (R2//R3) AVANT de le combiner en série avec R4.
Points à retenir
- Deux résistances sont en série si elles sont parcourues par le même courant.
- La résistance équivalente est la somme des résistances individuelles.
- La simplification de circuit se fait par étapes successives.
Le saviez-vous ?
Les anciennes décorations de Noël utilisaient des ampoules en série. Si une seule ampoule grillait, elle coupait le circuit et toute la guirlande s'éteignait, rendant la recherche de l'ampoule défectueuse très fastidieuse !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si \( R_{\text{23}} \) valait 30 Ω et R4 valait 90 Ω, quelle serait la valeur de \(R_{\text{234}}\) ?
Question 3 : Calcul de la résistance \( R_{\text{2345}} \) (\(R_{\text{234}}\) // R5)
Principe
Le bloc \( R_{\text{234}} \) que nous venons de calculer est connecté aux mêmes nœuds que la résistance R5. Ces deux éléments sont donc en parallèle.
Mini-Cours
La simplification d'un circuit mixte est un processus itératif. On identifie un groupement simple (série ou parallèle), on le calcule, on redessine mentalement le circuit avec la résistance équivalente, et on recommence jusqu'à n'avoir plus qu'une seule résistance.
Remarque Pédagogique
Le schéma simplifié de l'étape 2 est crucial ici. Il met clairement en évidence que la branche contenant \( R_{\text{234}} \) est en parallèle avec la branche contenant R5. Ne vous laissez pas perturber par la géométrie complexe du schéma initial.
Normes
La loi des nœuds de Kirchhoff, qui stipule que la somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortant, est le principe physique qui régit le comportement des circuits en parallèle.
Formule(s)
Résistances en parallèle (produit sur somme)
Hypothèses
Les hypothèses d'idéalité des composants et des connexions restent valables.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance équivalente | \(R_{\text{234}}\) | 100 | Ω |
| Résistance 5 | R5 | 150 | Ω |
Astuces
Pour des calculs mentaux rapides, vous pouvez simplifier la fraction. \( \frac{100 \times 150}{100 + 150} = \frac{15000}{250} \). Vous pouvez enlever un zéro : \( \frac{1500}{25} \). Comme il y a 4 fois 25 dans 100, il y a 60 fois 25 dans 1500 (15*4).
Schéma (Avant les calculs)
Groupement R234 // R5
Calcul(s)
Application de la formule
Schéma (Après les calculs)
Circuit Simplifié - Étape 3
Réflexions
Le résultat (60 Ω) est bien inférieur à la plus petite des deux résistances en parallèle (100 Ω). Cela confirme une fois de plus la règle fondamentale des associations en parallèle.
Points de vigilance
Ne soyez pas intimidé par les indices des résistances (ex: \(R_{\text{234}}\)). Considérez-les simplement comme des étiquettes pour un bloc unique qui a une valeur de résistance bien définie.
Points à retenir
- La simplification de circuit est un processus de "réduction" : on part d'un schéma complexe pour arriver à un schéma simple.
- Redessiner le circuit après chaque étape est une méthode très efficace pour éviter les erreurs.
Le saviez-vous ?
La plupart des installations électriques domestiques sont câblées en parallèle. Cela garantit que chaque appareil (lampe, télévision, etc.) reçoit la même tension (230 V en Europe) et peut fonctionner indépendamment des autres.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si \( R_{\text{234}} \) valait 200 Ω et R5 valait 300 Ω, quelle serait la valeur de \(R_{\text{2345}}\) ?
Question 4 : Calcul de la résistance totale \( R_{\text{éq}} \)
Principe
Le circuit est maintenant simplifié à sa forme la plus élémentaire : la résistance R1 en série avec le bloc \( R_{\text{2345}} \) que nous venons de calculer. C'est l'étape finale de la simplification.
Mini-Cours
La résistance équivalente totale d'un dipôle est la résistance qu'il faudrait placer entre ses bornes pour que le reste du circuit "voie" exactement le même comportement. C'est une modélisation essentielle pour appliquer les grands théorèmes de l'électricité comme Thévenin ou Norton.
Remarque Pédagogique
Vous êtes à la dernière étape. Le travail de décomposition est terminé. Il ne reste qu'une simple addition, rendue possible par toutes les simplifications successives. C'est la récompense d'une analyse méthodique !
Normes
Ce calcul est une application directe des lois de base de l'électricité, qui sont le fondement de toutes les normes électriques plus complexes.
Formule(s)
Résistances en série
Hypothèses
Les hypothèses d'idéalité des composants et des connexions sont maintenues jusqu'à la fin du calcul.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance 1 | R1 | 100 | Ω |
| Résistance équivalente | \(R_{\text{2345}}\) | 60 | Ω |
Astuces
Une dernière vérification : le circuit complet contient des associations en parallèle, donc la résistance totale (160 Ω) devrait être inférieure à la somme de toutes les résistances (100+50+50+75+150 = 425 Ω). C'est bien le cas, notre résultat est cohérent.
Schéma (Avant les calculs)
Circuit Simplifié - Étape 3
Calcul(s)
Application de la formule
Schéma (Après les calculs)
Circuit Simplifié Final
Réflexions
Nous avons transformé un circuit de cinq résistances en un circuit équivalent n'en contenant qu'une seule. Toute l'analyse du circuit vu de l'extérieur (depuis les bornes A et B) peut maintenant se faire en utilisant cette unique valeur de 160 Ω, ce qui simplifie grandement les calculs ultérieurs.
Points de vigilance
L'ordre de simplification est primordial. Si on avait tenté de combiner R1 et R5, par exemple, on aurait commis une erreur car elles ne sont ni en série, ni en parallèle. Il faut toujours commencer par les groupements les plus 'internes' au circuit.
Points à retenir
- La simplification de circuit est une méthode pas à pas.
- Identifier correctement le premier groupement à simplifier est la clé du succès.
- Le but final est d'obtenir une seule résistance équivalente.
Le saviez-vous ?
Le concept de circuit équivalent est l'une des idées les plus puissantes en ingénierie. Il permet de modéliser des systèmes extrêmement complexes (comme un microprocesseur entier !) par des modèles simplifiés pour en analyser une caractéristique précise, sans avoir à calculer le comportement de chacun de ses milliards de composants.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si R1 valait 40 Ω et \( R_{\text{2345}} \) valait 60 Ω, quelle serait la valeur de \(R_{\text{éq}}\) ?
Question 5 : Calcul du courant total \( I_{\text{total}} \) pour U = 12 V
Principe
Maintenant que nous avons simplifié le circuit à une seule résistance équivalente, nous pouvons utiliser la Loi d'Ohm, la relation la plus fondamentale de l'électricité, pour lier la tension, la résistance et le courant.
Mini-Cours
La Loi d'Ohm stipule que pour un dipôle comme une résistance, la tension à ses bornes est directement proportionnelle au courant qui le traverse. Le coefficient de proportionnalité est la valeur de la résistance. Cette loi est la pierre angulaire de l'analyse des circuits résistifs.
Remarque Pédagogique
C'est ici que tout le travail de simplification prend son sens. Au lieu de résoudre un système complexe d'équations avec les cinq résistances, une simple division nous donne le courant total. La simplification est une stratégie essentielle de l'ingénieur.
Normes
La Loi d'Ohm est une loi physique, pas une norme. Cependant, les normes de sécurité électrique (comme l'IEC 60364) fixent des limites de courant et de tension pour protéger les personnes et les équipements, limites dont le calcul découle directement de la Loi d'Ohm.
Formule(s)
Loi d'Ohm
Hypothèses
Nous supposons que la source de tension est idéale, c'est-à-dire qu'elle peut fournir le courant calculé tout en maintenant une tension de 12 V stable à ses bornes.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension | \(U_{AB}\) | 12 | V |
| Résistance équivalente | \(R_{\text{éq}}\) | 160 | Ω |
Astuces
Avant de calculer, utilisez le "sens physique". Si la résistance augmente, le courant doit diminuer, et vice-versa. Cela vous aide à vérifier si votre résultat est logique. Ici, 12V / 160Ω doit donner un courant assez faible, bien inférieur à 1A.
Schéma (Avant les calculs)
Modèle final pour la Loi d'Ohm
Calcul(s)
Application de la Loi d'Ohm
Conversion en milliampères (mA)
Schéma (Après les calculs)
Circuit Simplifié Final
Réflexions
Un courant de 75 mA est un courant relativement faible, typique des circuits électroniques de basse puissance. Ce résultat finalise l'analyse de base du circuit : nous connaissons sa résistance globale et le courant qu'il consommera sous une tension donnée.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente avec la loi d'Ohm est une erreur d'unité. Assurez-vous que la tension est en Volts (V), la résistance en Ohms (Ω) pour obtenir un courant en Ampères (A). Ne mélangez jamais des kΩ, mV ou mA directement dans la formule sans les convertir.
Points à retenir
- La Loi d'Ohm est \( U = R \times I \).
- On peut en déduire \( I = U / R \) et \( R = U / I \).
- La cohérence des unités (V, Ω, A) est absolument critique.
Le saviez-vous ?
La puissance dissipée par une résistance (l'énergie qu'elle transforme en chaleur) se calcule avec la formule \( P = U \times I \). En utilisant la loi d'Ohm, on peut aussi l'écrire \( P = R \times I^2 \). C'est pour cela qu'une résistance chauffe quand un courant la traverse ! Pour notre circuit, la puissance serait de \( P = 12\,\text{V} \times 0.075\,\text{A} = 0.9\,\text{W} \).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la résistance équivalente était de 300 Ω et la tension de 15 V, quel serait le courant total en mA ?
Outil Interactif : Simulateur de Circuit
Utilisez les curseurs pour modifier les valeurs des résistances R1 et R5 et observez en temps réel l'impact sur la résistance équivalente totale et le courant total pour une tension fixe de 12V.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (pour U = 12V)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on ajoute une résistance en série dans un circuit, que devient la résistance équivalente totale ?
2. Deux résistances de 10 Ω et 30 Ω sont en parallèle. Quelle est leur résistance équivalente ?
3. Dans un groupement de résistances en parallèle, quelle est la grandeur électrique qui est commune à toutes les résistances ?
4. Un circuit a une résistance de 200 Ω. Si on applique 50 V, quel est le courant ?
5. La résistance équivalente d'un groupement parallèle est toujours...
Glossaire
- Résistance Équivalente
- La résistance unique qui pourrait remplacer un réseau de résistances tout en conservant le même courant total pour la même tension appliquée.
- Circuit en Série
- Un circuit où les composants sont connectés les uns à la suite des autres, formant un seul chemin pour le courant.
- Circuit en Parallèle
- Un circuit où les composants sont connectés sur des branches distinctes. Le courant se divise pour traverser les différentes branches.
- Loi d'Ohm
- Principe fondamental qui lie la tension (U), le courant (I) et la résistance (R) par la formule U = R * I.
- Nœud électrique
- Un point dans un circuit où deux ou plusieurs composants sont connectés, et où le courant peut se diviser ou se recombiner.
D’autres exercices d’electrotechnique:
0 commentaires