Analyse d'un Circuit Monophasé R-L Série
Contexte : Le circuit R-L série.
En électrotechnique, de nombreux récepteurs (moteurs, transformateurs, ballasts de lampes...) se comportent comme une association d'une résistance R et d'une inductance L. L'étude du circuit R-L série en régime sinusoïdal monophasé est donc fondamentale pour comprendre le comportement de ces charges industrielles, notamment leur consommation d'énergie et l'apparition d'un déphasageLe décalage temporel ou angulaire entre deux ondes de même fréquence. Dans un circuit R-L, il s'agit du décalage entre l'onde de tension et l'onde de courant. entre la tension et le courant, qui impacte le facteur de puissanceRapport entre la puissance active (utile) et la puissance apparente (totale). Un facteur de puissance proche de 1 indique une utilisation efficace de l'énergie..
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de maîtriser le calcul des grandeurs électriques clés d'un circuit R-L : impédance, courant, puissances et facteur de puissance. Ces compétences sont essentielles pour le dimensionnement des installations électriques et pour les problématiques de compensation de l'énergie réactive.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la réactance inductive et l'impédance complexe d'un circuit R-L.
- Appliquer la loi d'Ohm en régime sinusoïdal pour déterminer le courant.
- Calculer le déphasage tension-courant et en déduire le caractère du circuit.
- Maîtriser le calcul des puissances (active, réactive, apparente) et du facteur de puissance.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Modèle du récepteur | Résistance (R) en série avec Inductance (L) |
| Nature du courant | Sinusoïdal monophasé |
| Objectif | Analyse complète des grandeurs électriques |
Schéma du Circuit R-L Série
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension d'alimentation | V | 230 | V |
| Fréquence | f | 50 | Hz |
| Résistance | R | 20 | Ω |
| Inductance | L | 50 | mH |
Questions à traiter
- Calculer la réactance inductive \(X_L\) de la bobine.
- Calculer le module de l'impédance totale \(|Z|\) du circuit.
- Calculer l'intensité efficace \(I\) du courant traversant le circuit.
- Calculer le déphasage \(\phi\) entre la tension et le courant. Le circuit est-il inductif, capacitif ou résistif ?
- Déterminer le facteur de puissance (FP) et calculer les puissances active (P), réactive (Q) et apparente (S).
Les bases sur les Circuits R-L en Régime Sinusoïdal
Pour résoudre cet exercice, nous aurons besoin de quelques formules et concepts fondamentaux de l'électrotechnique en courant alternatif.
1. La Réactance Inductive (\(X_L\))
Une bobine (inductance) s'oppose aux variations du courant. En régime sinusoïdal, cette opposition est appelée réactance inductive, notée \(X_L\) et mesurée en Ohms (Ω). Elle dépend de la fréquence \(f\) et de l'inductance \(L\).
\[ X_L = L \cdot \omega = L \cdot 2 \pi f \]
2. L'Impédance Complexe (\(Z\))
L'impédance est l'opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif. Pour un circuit R-L série, l'impédance complexe est \(\underline{Z} = R + jX_L\). Son module, qui représente la grandeur de cette opposition, se calcule avec le théorème de Pythagore.
\[ |Z| = \sqrt{R^2 + X_L^2} \]
3. Le Triangle des Puissances
En régime sinusoïdal, on distingue trois puissances :
- Puissance Active (P) : la puissance réellement consommée (transformée en chaleur, travail...). Unité : Watt (W). \(P = V \cdot I \cdot \cos(\phi)\)
- Puissance Réactive (Q) : la puissance "échangée" par les éléments réactifs (bobines, condensateurs). Unité : Voltampère Réactif (VAR). \(Q = V \cdot I \cdot \sin(\phi)\)
- Puissance Apparente (S) : la puissance totale fournie par la source. Unité : Voltampère (VA). \(S = V \cdot I = \sqrt{P^2 + Q^2}\)
Correction : Analyse d'un Circuit Monophasé R-L Série
Question 1 : Calculer la réactance inductive \(X_{\text{L}}\) de la bobine.
Principe
La réactance inductive quantifie l'opposition de la bobine au passage du courant alternatif. Elle est directement proportionnelle à la fréquence du signal et à la valeur de l'inductance.
Mini-Cours
La pulsation \(\omega\) (en rad/s) est liée à la fréquence \(f\) (en Hz) par la relation \(\omega = 2\pi f\). La réactance \(X_{\text{L}}\) est la partie imaginaire de l'impédance complexe de la bobine \(\underline{Z}_{\text{L}} = jL\omega\). Physiquement, elle représente l'énergie magnétique stockée puis restituée par la bobine à chaque période.
Remarque Pédagogique
Voyez la réactance comme une "résistance dynamique" qui n'existe qu'en courant alternatif. Plus la fréquence est élevée, plus le courant change de sens rapidement, et plus la bobine "freine" ce changement, d'où l'augmentation de \(X_{\text{L}}\).
Normes
Les calculs en régime sinusoïdal sont régis par les normes internationales de la Commission Électrotechnique Internationale (CEI), notamment la série CEI 60038 pour les tensions normalisées.
Formule(s)
Formule de la réactance inductive :
Hypothèses
On considère que la bobine est "parfaite", c'est-à-dire qu'elle ne possède qu'une inductance pure, sa résistance interne étant incluse dans la résistance R du circuit. Le régime sinusoïdal est établi.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Fréquence | f | 50 | Hz |
| Inductance | L | 50 | mH |
Astuces
Pour une fréquence de 50 Hz, un cas très courant en Europe, la pulsation \(\omega = 2\pi f\) vaut environ 314 rad/s. Mémoriser cette valeur peut accélérer les calculs.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma du Circuit R-L Série
Calcul(s)
Conversion de l'inductance :
Calcul de la réactance :
Schéma (Après les calculs)
Diagramme des Impédances
Réflexions
Ce résultat de 15.71 Ω est une valeur d'opposition comparable à celle de la résistance (20 Ω). Cela nous indique que l'effet de l'inductance sera significatif dans le comportement global du circuit.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir les millihenrys (mH) en Henrys (H). Une autre est de confondre la pulsation \(\omega\) (rad/s) et la fréquence \(f\) (Hz).
Points à retenir
La réactance inductive \(X_{\text{L}}\) est une opposition au courant alternatif qui dépend de la fréquence. Sa formule \(X_{\text{L}} = L \cdot 2 \pi f\) est l'une des plus fondamentales de l'électrotechnique.
Le saviez-vous ?
En courant continu (f = 0 Hz), la réactance inductive est nulle (\(X_{\text{L}} = 0\)). Une bobine parfaite se comporte alors comme un simple fil. C'est pourquoi les inductances n'ont d'effet qu'en régime variable.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Que vaudrait la réactance \(X_{\text{L}}\) si l'inductance était de 100 mH ?
Question 2 : Calculer le module de l'impédance totale \(|Z|\) du circuit.
Principe
Le module de l'impédance représente l'amplitude de l'opposition totale du circuit (résistance + réactance) au courant. Dans le plan complexe, la résistance R (partie réelle) et la réactance \(X_{\text{L}}\) (partie imaginaire) sont orthogonales. On utilise donc le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de l'hypoténuse, qui est \(|Z|\).
Mini-Cours
L'impédance est un nombre complexe \(\underline{Z} = R + jX_{\text{L}}\). Le module \(|Z|\) est la norme de ce vecteur dans le plan complexe. C'est cette valeur qui est utilisée dans la loi d'Ohm en régime sinusoïdal pour les calculs de grandeurs efficaces : \(V_{\text{eff}} = |Z| \cdot I_{\text{eff}}\).
Remarque Pédagogique
Ne jamais additionner arithmétiquement R et \(X_{\text{L}}\) ! Elles ne sont pas "dans la même direction". Pensez à un déplacement : si vous faites 20 pas vers l'Est (R) puis 15.7 pas vers le Nord (\(X_{\text{L}}\)), vous ne serez pas à 35.7 pas du départ, mais à \(\sqrt{20^2 + 15.7^2}\) pas.
Normes
La notation complexe pour les impédances est une convention standardisée (CEI 60027) pour simplifier l'analyse des circuits en régime sinusoïdal.
Formule(s)
Formule du module de l'impédance :
Hypothèses
Les composants R et L sont considérés comme idéaux et connectés en série parfaite. Les impédances s'additionnent donc de manière vectorielle.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance | R | 20 | Ω |
| Réactance Inductive | \(X_{\text{L}}\) | 15.71 | Ω |
Astuces
Si \(X_{\text{L}}\) est très petit devant R, alors \(|Z| \approx R\). Si R est très petit devant \(X_{\text{L}}\), alors \(|Z| \approx X_{\text{L}}\). C'est un bon moyen de vérifier l'ordre de grandeur de votre résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme des Impédances
Calcul(s)
Calcul du module de l'impédance :
Schéma (Après les calculs)
Diagramme des Impédances avec Valeurs
Réflexions
Comme attendu, l'impédance totale (25.43 Ω) est supérieure à la résistance seule (20 Ω) et à la réactance seule (15.71 Ω), car la bobine ajoute son opposition à celle de la résistance. Le circuit s'opposera donc plus au courant qu'un circuit purement résistif de 20 Ω.
Points de vigilance
L'erreur classique est d'oublier la racine carrée ou de faire une simple addition \(R+X_L\). Il s'agit d'une somme vectorielle, d'où l'utilisation de Pythagore.
Points à retenir
L'impédance \(|Z|\) d'un circuit R-L série se calcule toujours avec la formule de Pythagore : \(|Z| = \sqrt{R^2 + X_{\text{L}}^2}\). C'est la valeur à utiliser dans la loi d'Ohm pour les grandeurs efficaces.
Le saviez-vous ?
Le concept d'impédance a été introduit par Oliver Heaviside en 1886. L'utilisation des nombres complexes pour simplifier les calculs en électricité a été popularisée par Charles Proteus Steinmetz à la fin du 19ème siècle.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Que vaudrait \(|Z|\) si la résistance était de 30 Ω (en gardant \(X_{\text{L}} \approx 15.71 \, \Omega\)) ?
Question 3 : Calculer l'intensité efficace \(I\) du courant traversant le circuit.
Principe
On applique la loi d'Ohm généralisée au régime alternatif. L'intensité du courant est égale au rapport de la tension efficace sur le module de l'impédance totale du circuit. C'est le même principe que la loi d'Ohm en continu (\(I=U/R\)), mais adaptée aux grandeurs alternatives.
Mini-Cours
En notation complexe, la loi d'Ohm s'écrit \(\underline{V} = \underline{Z} \cdot \underline{I}\), où \(\underline{V}\), \(\underline{Z}\) et \(\underline{I}\) sont des nombres complexes (vecteurs). Quand on s'intéresse uniquement aux valeurs efficaces (les valeurs mesurées par les multimètres en mode AC), on utilise les modules : \(V_{\text{eff}} = |Z| \cdot I_{\text{eff}}\).
Remarque Pédagogique
Cette étape est cruciale car elle lie la source de tension aux caractéristiques du circuit pour en déduire le flux de charges. Le courant calculé ici est la valeur que mesurerait un ampèremètre inséré en série dans le circuit.
Normes
La tension de 230V est une tension normalisée en Europe (CEI 60038) pour les réseaux de distribution basse tension monophasés.
Formule(s)
Loi d'Ohm en alternatif :
Hypothèses
La tension de la source (230V) est supposée parfaitement stable et sinusoïdale. Les fils de connexion ont une impédance négligeable.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension efficace | V | 230 | V |
| Module de l'impédance | \(|Z|\) | 25.43 | Ω |
Astuces
Avant de calculer, estimez l'ordre de grandeur. L'impédance est d'environ 25 Ω. \(230 / 25\) est un peu moins de 10. Le résultat devrait donc être autour de 9 A. Cela permet de détecter les erreurs de calcul grossières.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma du Circuit R-L Série
Calcul(s)
Calcul de l'intensité :
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Fresnel des Tensions
Réflexions
Un courant de 9.04 A est une valeur significative. Pour un circuit domestique standard protégé par un disjoncteur de 16 A, cette charge est acceptable. Cela montre l'importance de ce calcul pour le dimensionnement des protections électriques.
Points de vigilance
Assurez-vous que toutes les unités sont dans le Système International avant d'appliquer la formule : Volts, Ohms, Ampères. Ne divisez pas la tension par la résistance seule, mais bien par l'impédance totale.
Points à retenir
La loi d'Ohm en alternatif (\(I = V/|Z|\)) est aussi fondamentale que son équivalent en continu. C'est la relation de base qui lie tension, courant et impédance.
Le saviez-vous ?
L'ampère (A), l'unité d'intensité du courant, est nommée en l'honneur d'André-Marie Ampère, physicien français qui est l'un des principaux fondateurs de l'électrodynamique.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait le courant \(I\) si la tension d'alimentation était de 400 V (avec \(|Z| \approx 25.43 \, \Omega\)) ?
Question 4 : Calculer le déphasage \(\phi\). Le circuit est-il inductif, capacitif ou résistif ?
Principe
Le déphasage \(\phi\) représente l'angle entre le vecteur tension et le vecteur courant. Dans le triangle des impédances, cet angle peut être trouvé à l'aide de fonctions trigonométriques, car il est géométriquement le même que l'angle de l'impédance complexe \(\underline{Z}\). Le signe de l'angle nous renseigne sur la nature du circuit.
Mini-Cours
Le déphasage \(\phi\) est l'argument du nombre complexe \(\underline{Z} = R + jX_{\text{L}}\). On peut le trouver par différentes relations trigonométriques : \(\cos(\phi) = R/|Z|\), \(\sin(\phi) = X_{\text{L}}/|Z|\) ou \(\tan(\phi) = X_{\text{L}}/R\). La fonction arc tangente est souvent la plus directe si on connaît R et \(X_{\text{L}}\).
Remarque Pédagogique
Un déphasage non nul est la signature d'un circuit contenant des éléments réactifs (bobines ou condensateurs). Il est crucial car il est directement lié à la notion de puissance réactive et de facteur de puissance.
Normes
Par convention internationale (CEI), un déphasage est compté positivement pour un circuit inductif (courant en retard sur la tension) et négativement pour un circuit capacitif (courant en avance sur la tension).
Formule(s)
Formule du déphasage via l'arc tangente :
Hypothèses
On suppose que la tension de la source est la référence de phase (angle 0°). L'angle \(\phi\) calculé sera donc l'angle du vecteur tension par rapport au vecteur courant.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance | R | 20 | Ω |
| Réactance Inductive | \(X_{\text{L}}\) | 15.71 | Ω |
Astuces
Si \(X_{\text{L}} = R\), alors le déphasage est de 45°. Si \(X_{\text{L}}\) est beaucoup plus grand que R, \(\phi\) tend vers 90°. Si \(X_{\text{L}}\) est beaucoup plus petit que R, \(\phi\) tend vers 0°. Ici, \(X_{\text{L}}\) est un peu plus petit que R, on s'attend donc à un angle un peu inférieur à 45°.
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme des Impédances
Calcul(s)
Calcul du déphasage :
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Fresnel des Tensions
Réflexions
L'angle \(\phi\) est positif (supérieur à 0). Par convention, cela signifie que la tension est en avance sur le courant (ou que le courant est en retard sur la tension). Un déphasage positif est la caractéristique d'un circuit inductif. Cela est logique, car le circuit contient une bobine qui s'oppose à l'établissement du courant, le retardant ainsi par rapport à la tension qui lui donne naissance.
Points de vigilance
Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" (DEG) et non "radians" (RAD) pour obtenir le résultat en degrés. Une erreur de mode est très fréquente.
Points à retenir
Le déphasage \(\phi\) dans un circuit R-L est toujours compris entre 0° et 90°. Un \(\phi\) positif caractérise un circuit inductif. La formule \(\tan(\phi) = X_{\text{L}}/R\) est le moyen le plus direct pour le calculer.
Le saviez-vous ?
Le déphasage créé par les moteurs et transformateurs sur le réseau électrique oblige les fournisseurs d'énergie à produire de la puissance réactive. Les grandes usines doivent souvent "compenser" cette énergie réactive en installant des bancs de condensateurs pour améliorer leur facteur de puissance et éviter des pénalités financières.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait le déphasage \(\phi\) si R et \(X_{\text{L}}\) étaient tous les deux égaux à 20 Ω ?
Question 5 : Déterminer le facteur de puissance (FP) et les puissances P, Q et S.
Principe
Le facteur de puissance est le cosinus de l'angle de déphasage \(\phi\). Il mesure l'efficacité du circuit. Les trois puissances (active P, réactive Q, apparente S) se déduisent ensuite de la tension, du courant et de cet angle, formant le triangle des puissances qui est géométriquement similaire au triangle des impédances.
Mini-Cours
La puissance apparente S est le produit des valeurs efficaces V et I. C'est la puissance totale que la source doit être capable de fournir. La puissance active P est la part de S qui produit un travail utile (chaleur, etc.). La puissance réactive Q est la part de S qui est échangée sans être consommée, servant à magnétiser les circuits (bobines).
Remarque Pédagogique
Imaginez un verre de bière. S est la taille totale du verre (VA), P est la bière que vous buvez (W), et Q est la mousse qui ne désaltère pas mais occupe du volume (VAR). Le but d'un bon distributeur (et d'un électricien) est de servir un verre avec le moins de mousse possible, c'est-à-dire avec un facteur de puissance (FP = P/S) proche de 1.
Normes
Les fournisseurs d'électricité facturent généralement la puissance active P (en kWh), mais surveillent la puissance réactive Q. Une consommation excessive de puissance réactive (facteur de puissance trop bas) peut entraîner des pénalités pour les clients industriels (ex: en France, si tan(\(\phi\)) > 0.4).
Formule(s)
Formule du Facteur de Puissance :
Formule de la Puissance Apparente :
Formule de la Puissance Active :
Formule de la Puissance Réactive :
Hypothèses
Les valeurs de V et I utilisées sont des valeurs efficaces (RMS), comme c'est la norme en électrotechnique pour les calculs de puissance.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension efficace | V | 230 | V |
| Intensité efficace | I | 9.04 | A |
| Déphasage | \(\phi\) | 38.15 | ° |
Astuces
On peut aussi calculer les puissances sans passer par l'angle : \(P = R \cdot I^2\), \(Q = X_{\text{L}} \cdot I^2\) et \(S = |Z| \cdot I^2\). C'est un excellent moyen de vérifier ses résultats.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle des Puissances (Principe)
Calcul(s)
Calcul du Facteur de Puissance (FP) :
Calcul de la Puissance Apparente (S) :
Calcul de la Puissance Active (P) :
Calcul de la Puissance Réactive (Q) :
Schéma (Après les calculs)
Triangle des Puissances (Valeurs)
Réflexions
Le facteur de puissance de 0.786 est assez faible. Cela signifie que pour 2079 VA de puissance "tirée" sur le réseau, seulement 1634 W sont réellement utiles. Les 1285 VAR restants correspondent à de l'énergie qui "oscille" entre la source et la bobine, surchargeant inutilement les lignes sans produire de travail.
Points de vigilance
Ne confondez pas les unités : W pour la puissance active, VAR pour la réactive, et VA pour l'apparente. N'oubliez pas non plus de préciser si le facteur de puissance est en "avance" (capacitif) ou en "retard" (inductif).
Points à retenir
Le triangle des puissances est un outil essentiel. Retenez les trois formules \(P = S \cos(\phi)\), \(Q = S \sin(\phi)\) et \(S = V \cdot I\). Un bon facteur de puissance (proche de 1) est synonyme d'efficacité énergétique.
Le saviez-vous ?
James Watt, qui a donné son nom à l'unité de puissance active, n'a pas inventé la machine à vapeur, mais il l'a considérablement améliorée, ce qui a été un élément clé de la Révolution Industrielle. Le concept de "cheval-vapeur" a été créé par lui pour comparer la puissance de ses machines à celle des chevaux.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
Puissances : P ≈ 1634 W, Q ≈ 1285 VAR, S ≈ 2079 VA.
A vous de jouer
Si le facteur de puissance était amélioré à 0.95 (inductif) pour la même puissance active P (1634.3 W), quelle serait la nouvelle puissance apparente S ?
Outil Interactif : Simulateur de Circuit R-L
Utilisez les curseurs ci-dessous pour modifier la résistance et l'inductance du circuit. Observez en temps réel comment l'impédance totale et le facteur de puissance sont affectés. Le graphique montre l'évolution de l'impédance en fonction de la fréquence pour les valeurs de R et L choisies.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (à 50 Hz)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si la fréquence du réseau augmente, que devient la réactance inductive \(X_{\text{L}}\) ?
2. Dans un circuit purement inductif (R=0), quel est le déphasage \(\phi\) de la tension par rapport au courant ?
3. Quelle est l'unité de la puissance réactive ?
4. Un facteur de puissance de 0.8 en retard (lagging) signifie que :
5. La puissance apparente S est toujours...
Glossaire
- Impédance (Z)
- Opposition totale (résistive et réactive) d'un circuit au passage d'un courant alternatif sinusoïdal. Elle est mesurée en Ohms (Ω).
- Réactance Inductive (\(X_{\text{L}}\))
- Partie de l'impédance due à une inductance. Elle représente l'opposition de la bobine aux changements de courant et se mesure en Ohms (Ω).
- Facteur de Puissance (FP)
- Rapport entre la puissance active (P) et la puissance apparente (S). Il quantifie l'efficacité avec laquelle l'énergie électrique est convertie en travail utile. Un FP de 1 est idéal.
- Déphasage (\(\phi\))
- Décalage angulaire entre la sinusoïde de la tension et celle du courant. Dans un circuit inductif, le courant est en retard sur la tension (\(\phi > 0\)).
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