Exercices Électricité

Analyse de la Chute de Tension dans un Réseau

Analyse de la Chute de Tension dans un Réseau

Analyse de la Chute de Tension dans un Réseau

Comprendre l'Analyse de la Chute de Tension

La chute de tension dans un réseau électrique est la diminution de la tension électrique le long d'un conducteur ou d'un ensemble de conducteurs, due à leur impédance (résistance et réactance) et au courant qui les traverse. Une chute de tension excessive peut entraîner un mauvais fonctionnement des équipements alimentés (sous-tension), une augmentation des pertes d'énergie et, dans certains cas, une instabilité du réseau. Il est donc crucial d'analyser et de contrôler les chutes de tension pour s'assurer que la tension aux points d'utilisation reste dans les limites admissibles spécifiées par les normes ou les exigences des équipements.

Cet exercice se concentre sur le calcul des chutes de tension dans une ligne de distribution triphasée alimentant plusieurs charges réparties, afin de déterminer la tension disponible à chaque point de charge.

Données de l'étude

Une ligne de distribution triphasée (400V entre phases, 50Hz) part d'un transformateur (Point A) et alimente trois charges principales (B, C, D) situées à différentes distances. Le câble utilisé est en cuivre, avec une résistivité \(\rho = 0.0225 \, \text{Ω.mm}^2/\text{m}\) et une réactance linéique \(\lambda = 0.00008 \, \text{Ω/m}\) par phase.

Caractéristiques de la ligne et des charges :

  • Tension au départ (Point A) : \(U_A = 400 \, \text{V}\) (tension entre phases)
  • Tronçon AB : Longueur \(L_{AB} = 50 \, \text{m}\), section des conducteurs \(S_{AB} = 35 \, \text{mm}^2\).
    • Charge au Point B : Puissance apparente \(S_B = 20 \, \text{kVA}\), facteur de puissance \(\cos \varphi_B = 0.85\) (inductif).
  • Tronçon BC : Longueur \(L_{BC} = 30 \, \text{m}\), section des conducteurs \(S_{BC} = 25 \, \text{mm}^2\).
    • Charge au Point C : Puissance active \(P_C = 12 \, \text{kW}\), facteur de puissance \(\cos \varphi_C = 0.90\) (inductif).
  • Tronçon CD : Longueur \(L_{CD} = 20 \, \text{m}\), section des conducteurs \(S_{CD} = 16 \, \text{mm}^2\).
    • Charge au Point D : Puissance active \(P_D = 8 \, \text{kW}\), facteur de puissance \(\cos \varphi_D = 1\).
  • Chute de tension totale maximale admissible entre le point A et le point D : \(6\%\) de \(U_A\).
Schéma de la Ligne de Distribution Radiale
A (Source) 400V LAB=50m, SAB=35mm² B SB=20kVA cos φB=0.85 LBC=30m, SBC=25mm² C PC=12kW cos φC=0.9 LCD=20m, SCD=16mm² D PD=8kW cos φD=1 IAB IBC ICD

Schéma de la ligne de distribution triphasée avec charges réparties.

Questions à traiter

  1. Calculer le courant \(I_B\), \(I_C\), et \(I_D\) absorbé par chaque charge.
  2. Calculer le courant circulant dans chaque tronçon de câble : \(I_{AB}\), \(I_{BC}\), et \(I_{CD}\).
  3. Pour chaque tronçon, calculer sa résistance (\(R\)) et sa réactance (\(X\)).
  4. Calculer la chute de tension (en volts) dans chaque tronçon : \(\Delta U_{AB}\), \(\Delta U_{BC}\), et \(\Delta U_{CD}\). Utiliser la formule approchée : \(\Delta U_{\text{tronçon}} \approx \sqrt{3} \cdot I_{\text{tronçon}} \cdot (R_{\text{tronçon}} \cos\varphi_{\text{charge équivalente aval}} + X_{\text{tronçon}} \sin\varphi_{\text{charge équivalente aval}})\). Pour simplifier, on utilisera le \(\cos\varphi\) de la charge équivalente en aval pour chaque tronçon (ex: pour \(\Delta U_{AB}\), utiliser \(\cos\varphi\) global des charges B, C, D).
  5. Calculer la tension aux points B (\(U_B\)), C (\(U_C\)), et D (\(U_D\)).
  6. Calculer la chute de tension totale en pourcentage entre A et D.
  7. Conclure sur la conformité de l'installation par rapport à la chute de tension admissible.

Correction : Analyse de la Chute de Tension dans un Réseau

Question 1 : Courant absorbé par chaque charge (\(I_B, I_C, I_D\))

Principe :

Le courant pour chaque charge triphasée est calculé par \(I = S / (\sqrt{3} \cdot U)\) ou \(I = P / (\sqrt{3} \cdot U \cdot \cos\varphi)\). On suppose que la tension aux bornes de chaque charge est proche de 400V pour ce premier calcul de courant.

Calculs :

Charge B :

\[ \begin{aligned} I_B &= \frac{S_B}{\sqrt{3} \cdot U_A} \\ &= \frac{20000 \, \text{VA}}{\sqrt{3} \cdot 400 \, \text{V}} \\ &\approx \frac{20000}{692.8203} \, \text{A} \\ &\approx 28.868 \, \text{A} \end{aligned} \]

Charge C :

\[ \begin{aligned} I_C &= \frac{P_C}{\sqrt{3} \cdot U_A \cdot \cos \varphi_C} \\ &= \frac{12000 \, \text{W}}{\sqrt{3} \cdot 400 \, \text{V} \cdot 0.90} \\ &\approx \frac{12000}{623.5383} \, \text{A} \\ &\approx 19.245 \, \text{A} \end{aligned} \]

Charge D :

\[ \begin{aligned} I_D &= \frac{P_D}{\sqrt{3} \cdot U_A \cdot \cos \varphi_D} \\ &= \frac{8000 \, \text{W}}{\sqrt{3} \cdot 400 \, \text{V} \cdot 1} \\ &\approx \frac{8000}{692.8203} \, \text{A} \\ &\approx 11.547 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • \(I_B \approx 28.87 \, \text{A}\) (avec \(\cos\varphi_B = 0.85\))
  • \(I_C \approx 19.25 \, \text{A}\) (avec \(\cos\varphi_C = 0.90\))
  • \(I_D \approx 11.55 \, \text{A}\) (avec \(\cos\varphi_D = 1\))

Question 2 : Courant dans chaque tronçon (\(I_{AB}, I_{BC}, I_{CD}\))

Principe :

Le courant dans un tronçon est la somme vectorielle des courants des charges alimentées par ce tronçon et au-delà. Pour cela, nous calculons les puissances actives (P) et réactives (Q) de chaque charge, puis les puissances cumulées pour chaque tronçon afin de déterminer le courant et le facteur de puissance équivalent pour ce tronçon.

Puissances par charge :

  • Charge B: \[P_B = S_B \cos\varphi_B \] \[P_B = 20 \cdot 0.85 \] \[P_B = 17 \, \text{kW}\]. \[\sin\varphi_B = \sqrt{1-0.85^2} \approx 0.5268\]. \[Q_B = S_B \sin\varphi_B \] \[Q_B = 20 \cdot 0.5268 \] \[Q_B \approx 10.536 \, \text{kVAR}\](inductif)
  • Charge C: \[P_C = 12 \, \text{kW}\]. \[\sin\varphi_C = \sqrt{1-0.90^2} \approx 0.4359\]. \[Q_C = P_C \tan(\arccos(0.90)) \] \[Q_C = 12 \cdot (0.4359/0.90) \] \[Q_C \approx 12 \cdot 0.4843 \] \[Q_C \approx 5.812 \, \text{kVAR}\](inductif)
  • Charge D: \[P_D = 8 \, \text{kW}\] \[Q_D = 0 \, \text{kVAR}\] \[ \cos\varphi_D = 1 \]

Courant \(I_{CD}\) (alimente D) :

\[ I_{CD} = I_D \approx 11.55 \, \text{A} \]

Pour \(I_{CD}\), \(\cos\varphi_{CD} = \cos\varphi_D = 1\), \(\sin\varphi_{CD} = 0\).

Courant \(I_{BC}\) (alimente C et D) :

\[ \begin{aligned} P_{C+D} &= P_C + P_D \\ &= 12 \, \text{kW} + 8 \, \text{kW} \\ &= 20 \, \text{kW} \\ Q_{C+D} &= Q_C + Q_D \\ &= 5.812 \, \text{kVAR} + 0 \, \text{kVAR} \\ &= 5.812 \, \text{kVAR} \\ S_{C+D} &= \sqrt{P_{C+D}^2 + Q_{C+D}^2} \\ &= \sqrt{(20)^2 + (5.812)^2} \\ &= \sqrt{400 + 33.779344} \\ &= \sqrt{433.779344} \\ &\approx 20.827 \, \text{kVA} \\ I_{BC} &= \frac{S_{C+D}}{\sqrt{3} \cdot U_A} \\ &= \frac{20827 \, \text{VA}}{\sqrt{3} \cdot 400 \, \text{V}} \\ &\approx 30.078 \, \text{A} \\ \cos\varphi_{C+D} &= \frac{P_{C+D}}{S_{C+D}} \\ &= \frac{20}{20.827} \\ &\approx 0.9603 \\ \sin\varphi_{C+D} &= \frac{Q_{C+D}}{S_{C+D}} \\ &= \frac{5.812}{20.827} \\ &\approx 0.2790 \end{aligned} \]

Courant \(I_{AB}\) (alimente B, C et D) :

\[ \begin{aligned} P_{B+C+D} &= P_B + P_{C+D} \\ &= 17 \, \text{kW} + 20 \, \text{kW} \\ &= 37 \, \text{kW} \\ Q_{B+C+D} &= Q_B + Q_{C+D} \\ &= 10.536 \, \text{kVAR} + 5.812 \, \text{kVAR} \\ &= 16.348 \, \text{kVAR} \\ S_{B+C+D} &= \sqrt{P_{B+C+D}^2 + Q_{B+C+D}^2} \\ &= \sqrt{(37)^2 + (16.348)^2} \\ &= \sqrt{1369 + 267.257504} \\ &= \sqrt{1636.257504} \\ &\approx 40.4507 \, \text{kVA} \\ I_{AB} &= \frac{S_{B+C+D}}{\sqrt{3} \cdot U_A} \\ &= \frac{40450.7 \, \text{VA}}{\sqrt{3} \cdot 400 \, \text{V}} \\ &\approx 58.413 \, \text{A} \\ \cos\varphi_{B+C+D} &= \frac{P_{B+C+D}}{S_{B+C+D}} \\ &= \frac{37}{40.4507} \\ &\approx 0.9147 \\ \sin\varphi_{B+C+D} &= \frac{Q_{B+C+D}}{S_{B+C+D}} \\ &= \frac{16.348}{40.4507} \\ &\approx 0.4041 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 :
  • \(I_{CD} \approx 11.55 \, \text{A}\) (avec \(\cos\varphi_{CD} = 1\), \(\sin\varphi_{CD}=0\))
  • \(I_{BC} \approx 30.08 \, \text{A}\) (avec \(\cos\varphi_{C+D} \approx 0.9603\), \(\sin\varphi_{C+D} \approx 0.2790\))
  • \(I_{AB} \approx 58.41 \, \text{A}\) (avec \(\cos\varphi_{B+C+D} \approx 0.9147\), \(\sin\varphi_{B+C+D} \approx 0.4041\))

Question 3 : Résistance (\(R\)) et Réactance (\(X\)) de chaque tronçon

Principe :

\(R = \rho \cdot L / S\) et \(X = \lambda \cdot L\).

Calculs :

Tronçon AB : \(L_{AB}=50\text{m}, S_{AB}=35\text{mm}^2\)

\[ \begin{aligned} R_{AB} &= \frac{0.0225 \, \text{Ω.mm}^2/\text{m} \cdot 50 \, \text{m}}{35 \, \text{mm}^2} \\ &= \frac{1.125}{35} \, \text{Ω} \\ &\approx 0.03214 \, \text{Ω} \\ X_{AB} &= 0.00008 \, \text{Ω/m} \cdot 50 \, \text{m} \\ &= 0.004 \, \text{Ω} \end{aligned} \]

Tronçon BC : \(L_{BC}=30\text{m}, S_{BC}=25\text{mm}^2\)

\[ \begin{aligned} R_{BC} &= \frac{0.0225 \, \text{Ω.mm}^2/\text{m} \cdot 30 \, \text{m}}{25 \, \text{mm}^2} \\ &= \frac{0.675}{25} \, \text{Ω} \\ &= 0.027 \, \text{Ω} \\ X_{BC} &= 0.00008 \, \text{Ω/m} \cdot 30 \, \text{m} \\ &= 0.0024 \, \text{Ω} \end{aligned} \]

Tronçon CD : \(L_{CD}=20\text{m}, S_{CD}=16\text{mm}^2\)

\[ \begin{aligned} R_{CD} &= \frac{0.0225 \, \text{Ω.mm}^2/\text{m} \cdot 20 \, \text{m}}{16 \, \text{mm}^2} \\ &= \frac{0.45}{16} \, \text{Ω} \\ &= 0.028125 \, \text{Ω} \\ X_{CD} &= 0.00008 \, \text{Ω/m} \cdot 20 \, \text{m} \\ &= 0.0016 \, \text{Ω} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 :
  • Tronçon AB: \(R_{AB} \approx 0.0321 \, \text{Ω}\), \(X_{AB} = 0.004 \, \text{Ω}\)
  • Tronçon BC: \(R_{BC} = 0.027 \, \text{Ω}\), \(X_{BC} = 0.0024 \, \text{Ω}\)
  • Tronçon CD: \(R_{CD} \approx 0.0281 \, \text{Ω}\), \(X_{CD} = 0.0016 \, \text{Ω}\)

Question 4 : Chute de tension dans chaque tronçon

Principe :

Formule approchée pour la chute de tension triphasée : \(\Delta U_{\text{tronçon}} \approx \sqrt{3} \cdot I_{\text{tronçon}} \cdot (R_{\text{tronçon}} \cos\varphi_{\text{eq. aval}} + X_{\text{tronçon}} \sin\varphi_{\text{eq. aval}})\). Les facteurs de puissance \(\cos\varphi\) et \(\sin\varphi\) pour chaque tronçon correspondent à la charge équivalente qu'il alimente (calculés en Q2).

Calculs :

\(\Delta U_{AB}\) : (\(I_{AB} \approx 58.41 \, \text{A}\), \(\cos\varphi_{B+C+D} \approx 0.9147\), \(\sin\varphi_{B+C+D} \approx 0.4041\))

\[ \begin{aligned} \Delta U_{AB} &\approx \sqrt{3} \cdot 58.413 \, \text{A} \cdot (0.03214 \, \text{Ω} \cdot 0.9147 + 0.004 \, \text{Ω} \cdot 0.4041) \\ &\approx 101.18 \cdot (0.029396 + 0.001616) \\ &\approx 101.18 \cdot 0.031012 \\ &\approx 3.1379 \, \text{V} \end{aligned} \]

\(\Delta U_{BC}\) : (\(I_{BC} \approx 30.08 \, \text{A}\), \(\cos\varphi_{C+D} \approx 0.9603\), \(\sin\varphi_{C+D} \approx 0.2790\))

\[ \begin{aligned} \Delta U_{BC} &\approx \sqrt{3} \cdot 30.078 \, \text{A} \cdot (0.027 \, \text{Ω} \cdot 0.9603 + 0.0024 \, \text{Ω} \cdot 0.2790) \\ &\approx 52.096 \cdot (0.025928 + 0.0006696) \\ &\approx 52.096 \cdot 0.0265976 \\ &\approx 1.3856 \, \text{V} \end{aligned} \]

\(\Delta U_{CD}\) : (\(I_{CD} \approx 11.55 \, \text{A}\), \(\cos\varphi_{D} = 1\), \(\sin\varphi_{D} = 0\))

\[ \begin{aligned} \Delta U_{CD} &\approx \sqrt{3} \cdot 11.547 \, \text{A} \cdot (0.028125 \, \text{Ω} \cdot 1 + 0.0016 \, \text{Ω} \cdot 0) \\ &\approx 20.000 \cdot 0.028125 \\ &\approx 0.5625 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 :
  • \(\Delta U_{AB} \approx 3.14 \, \text{V}\)
  • \(\Delta U_{BC} \approx 1.39 \, \text{V}\)
  • \(\Delta U_{CD} \approx 0.56 \, \text{V}\)

Question 5 : Tension aux points B, C, D

Principe :

\(U_B = U_A - \Delta U_{AB}\), \(U_C = U_B - \Delta U_{BC}\), \(U_D = U_C - \Delta U_{CD}\).

Calculs :
\[ \begin{aligned} U_B &= 400 \, \text{V} - 3.1379 \, \text{V} \\ &\approx 396.862 \, \text{V} \\ \\ U_C &= 396.862 \, \text{V} - 1.3856 \, \text{V} \\ &\approx 395.476 \, \text{V} \\ \\ U_D &= 395.476 \, \text{V} - 0.5625 \, \text{V} \\ &\approx 394.914 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 :
  • \(U_B \approx 396.86 \, \text{V}\)
  • \(U_C \approx 395.48 \, \text{V}\)
  • \(U_D \approx 394.91 \, \text{V}\)

Question 6 : Chute de tension totale en pourcentage entre A et D

Principe :

\(\Delta U_{\text{totale, AD}} = U_A - U_D\). \(\Delta U_{\text{totale, AD}\%} = (\Delta U_{\text{totale, AD}} / U_A) \cdot 100\%\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta U_{\text{totale, AD}} &= \Delta U_{AB} + \Delta U_{BC} + \Delta U_{CD} \\ &= 3.1379 \, \text{V} + 1.3856 \, \text{V} + 0.5625 \, \text{V} \\ &\approx 5.086 \, \text{V} \\ \\ \Delta U_{\text{totale, AD}\%} &= \frac{5.086 \, \text{V}}{400 \, \text{V}} \cdot 100\% \\ &\approx 0.012715 \cdot 100\% \\ &\approx 1.27\% \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La chute de tension totale entre A et D est \(\approx 5.09 \, \text{V}\), soit environ \(1.27\%\).

Question 7 : Conformité par rapport à la chute de tension admissible

Principe :

Comparer \(\Delta U_{\text{totale, AD}\%}\) à \(\Delta U_{\text{adm}\%}\).

Comparaison :
  • \(\Delta U_{\text{totale, AD}\%} \approx 1.27\%\)
  • \(\Delta U_{\text{adm}\%} = 6\%\)
\[1.27\% \leq 6\% \quad (\text{Condition respectée})\]
Résultat Question 7 : La chute de tension totale calculée (\(\approx 1.27\%\)) est inférieure à la chute de tension maximale admissible (\(6\%\)). L'installation est conforme de ce point de vue avec les sections de câbles choisies pour chaque tronçon.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La chute de tension dans un câble est principalement causée par :

2. Dans une ligne de distribution radiale avec plusieurs charges, le courant dans un tronçon de câble est :

3. Si la chute de tension calculée pour une installation dépasse la limite admissible, une solution possible est :

Glossaire

Chute de Tension (\(\Delta U\))
Diminution de la tension électrique le long d'un circuit due à l'impédance des conducteurs et au courant les traversant. Elle est critique pour le bon fonctionnement des équipements.
Impédance (\(Z\))
Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif, combinant la résistance (\(R\)) et la réactance (\(X\)). \(Z = \sqrt{R^2 + X^2}\).
Résistance Linéique (\(r_0\))
Résistance électrique d'un conducteur par unité de longueur (ex: \(\text{Ω/km}\) ou \(\text{Ω/m}\)). Elle dépend de la résistivité du matériau et de la section du conducteur.
Réactance Linéique (\(x_0\) ou \(\lambda\))
Partie imaginaire de l'impédance linéique d'un conducteur, due principalement à son inductance. Unité : \(\text{Ω/km}\) ou \(\text{Ω/m}\).
Courant de Ligne (\(I_L\))
Courant circulant dans les conducteurs de phase d'une ligne d'alimentation.
Tension entre Phases (\(U\))
Tension mesurée entre deux conducteurs de phase dans un système triphasé.
Tension Phase-Neutre (\(V\))
Tension mesurée entre un conducteur de phase et le conducteur neutre dans un système triphasé avec neutre.
Charge Équilibrée
Dans un système triphasé, se dit de charges réparties de manière égale sur les trois phases, entraînant des courants de phase de même amplitude et déphasés de 120° les uns par rapport aux autres.
Point de Livraison (PDL)
Point physique où l'énergie électrique est transférée du réseau de distribution public à l'installation privée du consommateur.
Tableau de Distribution Général (TDG)
Tableau électrique principal d'une installation, à partir duquel les différents circuits de l'installation sont alimentés et protégés.
Analyse de la Chute de Tension dans un Réseau Électrique

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