Analyse des Paramètres d’Ondes Alternatives
Contexte : Électronique et Traitement du Signal.
Dans de nombreux systèmes électriques (réseau de distribution, amplificateurs audio, transmissions radio), les signaux ne sont pas constants mais varient périodiquement dans le temps. Le cas le plus fondamental est le courant alternatif (AC) de forme sinusoïdale. Pour dimensionner correctement un composant ou analyser un circuit, il est crucial de savoir extraire les paramètres clés d'une telle onde : sa PériodeDurée d'un motif élémentaire du signal (en secondes)., sa fréquence, son amplitude maximale et sa valeur efficace.
Remarque Pédagogique : Maîtriser ces conversions (notamment entre valeur maximale et efficace) est indispensable pour la sécurité électrique et le choix des appareils de mesure.
Objectifs Pédagogiques
- Identifier la période sur un oscillogramme.
- Calculer la fréquence à partir de la période.
- Calculer la pulsation et la tension efficace.
Données de l'étude
On relève à l'oscilloscope la tension aux bornes d'un générateur basse fréquence (GBF) utilisé pour tester un circuit audio. Le signal obtenu est représenté ci-dessous.
Relevé Oscilloscopique
OSCILLOSCOPE CHANNEL 1
Calibres de l'oscilloscope
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Sensibilité Verticale (Tension) | \(5 \text{ V/div}\) |
| Sensibilité Horizontale (Temps) | \(5 \text{ ms/div}\) |
Questions à traiter
- Déterminer la période \(T\) du signal.
- En déduire la fréquence \(f\) du signal.
- Calculer la pulsation \(\omega\).
- Déterminer la tension maximale \(U_{\text{max}}\) et en déduire la tension efficace \(U_{\text{eff}}\).
- Écrire l'équation temporelle du signal \(u(t)\).
Rappel : Grandeurs sinusoïdales
Un signal alternatif sinusoïdal est caractérisé par sa répétition dans le temps et son amplitude. Il s'écrit généralement sous la forme \(u(t) = U_{\text{max}} \sin(\omega t + \phi)\).
Fréquence et Période
La fréquence correspond au nombre de cycles par seconde. Elle est l'inverse de la période.
Pulsation
La pulsation est la vitesse angulaire de rotation du vecteur associé au signal.
Valeur Efficace
C'est la valeur de tension continue qui produirait le même échauffement dans une résistance.
Correction : Analyse des Paramètres d’Ondes Alternatives
Question 1 : Détermination de la Période \(T\)
Principe
On mesure la période graphiquement en comptant le nombre de divisions horizontales (carreaux) pour un motif complet, puis on multiplie par le calibre de temps (sensibilité horizontale).
Mini-Cours
La période est la durée minimale au bout de laquelle le signal se répète à l'identique.
Remarque Pédagogique
Pour plus de précision, choisissez deux points faciles à repérer, par exemple deux passages par zéro sur le front montant.
Normes
La notation internationale pour la période est \(T\), exprimée en secondes (\(\text{s}\)) dans le Système International.
Formule(s)
Formule utilisée
Hypothèses
On suppose que :
- Le balayage de l'oscilloscope est parfaitement linéaire.
- Le signal est périodique et stable dans le temps.
Donnée(s)
Source : D'après la lecture du relevé oscilloscopique et les calibres donnés.
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Nb divisions (1 cycle) | 4 | \(\text{div}\) |
| Sensibilité Horiz. | 5 | \(\text{ms/div}\) |
Astuces
Si le motif ne tombe pas juste sur le quadrillage, mesurez sur plusieurs périodes (ex: 3 périodes) et divisez la durée totale par 3 pour réduire l'erreur de lecture.
Schéma (Avant les calculs)
Lecture Graphique
Calcul(s)
Application numérique
On applique la formule en multipliant le nombre de carreaux horizontaux par la valeur temporelle d'un carreau :
Le résultat brut est en millisecondes. Pour l'utiliser dans les formules physiques suivantes (notamment pour la fréquence), il est impératif de le convertir en secondes (unité du Système International) :
Schéma (Après les calculs)
Résultat converti
Réflexions
La valeur de 20 ms est très courante en Europe car elle correspond exactement à la période du courant secteur (50 Hz).
Points de vigilance
Attention à bien convertir les millisecondes (\(\text{ms}\)) en secondes (\(\text{s}\)) pour la suite ! \(1 \text{ ms} = 10^{-3} \text{ s}\). Une erreur ici faussera le calcul de la fréquence.
Points à Retenir
L'essentiel :
- La période se lit toujours sur l'axe horizontal (temps).
- Toujours convertir en unités SI (secondes) avant d'utiliser la valeur dans d'autres formules.
Le saviez-vous ?
Les premiers oscilloscopes utilisaient des tubes cathodiques, utilisant un faisceau d'électrons dévié magnétiquement, exactement comme les vieilles télévisions à tube.
FAQ
Puis-je mesurer la période entre deux pics max ?
Oui, c'est tout à fait valable mathématiquement. Cependant, visuellement, les sommets sont parfois plus arrondis et moins précis à pointer que le passage par zéro où la pente est la plus raide.
A vous de jouer
Convertissez 10 ms en secondes.
📝 Mémo
Pensez "Temps" = Axe horizontal = "x".
Question 2 : Calcul de la Fréquence \(f\)
Principe
La fréquence représente le nombre de répétitions du signal par seconde. Elle est inversement proportionnelle à la période : plus la période est courte, plus la fréquence est élevée.
Mini-Cours
L'unité est le Hertz (\(\text{Hz}\)), nommé en l'honneur du physicien Heinrich Hertz. \(1 \text{ Hz}\) correspond à 1 événement (cycle) par seconde.
Remarque Pédagogique
C'est une grandeur fondamentale qui détermine par exemple la hauteur d'un son (en acoustique) ou le canal d'une station radio.
Normes
La fréquence standard du réseau de distribution électrique européen est fixée à \(50 \text{ Hz} \pm 1\%\) par la norme EN 50160.
Formule(s)
Hypothèses
- La période \(T\) a été correctement convertie en secondes.
Donnée(s)
Source : Donnée calculée dans la question précédente.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Période | \(T\) | 0,020 | \(\text{s}\) |
Astuces
Le calcul \(f = 1/T\) est facile à vérifier de tête pour des valeurs simples : l'inverse de 0,02 est 50, l'inverse de 0,05 est 20, l'inverse de 0,1 est 10.
Schéma (Avant les calculs)
Comprendre la Fréquence
Relation Inverse : Plus T est petit, plus il y a de "bosses" par seconde.
Calcul(s)
Application numérique
On utilise la relation inverse entre période et fréquence en remplaçant \(T\) par sa valeur en secondes :
Pour simplifier le calcul mental, on peut transformer le nombre décimal en fraction :
La fréquence est donc de 50 Hertz.
Schéma (Après les calculs)
Résultat : \(f = 50 \text{ Hz}\)
Réflexions
Ce résultat confirme que nous analysons probablement un signal issu du secteur ou d'un transformateur standard.
Points de vigilance
Erreur classique : utiliser \(T\) en ms dans la formule donne \(f\) en kHz. \(1/20 = 0{,}05 \text{ kHz} = 50 \text{ Hz}\). Il est plus sûr de tout mettre en unités SI (secondes) dès le début.
Points à Retenir
L'essentiel : \(f \times T = 1\). Ce sont deux façons de décrire la même réalité temporelle.
Le saviez-vous ?
L'oreille humaine perçoit les fréquences sonores comprises entre \(20 \text{ Hz}\) (graves profonds) et \(20\,000 \text{ Hz}\) (aigus stridents).
FAQ
C'est quoi physiquement un Hertz ?
C'est une unité qui signifie "par seconde". Sa dimension physique est \(s^{-1}\). Dire "50 Hz" revient à dire "50 fois par seconde".
A vous de jouer
Si la période T vaut 0.1 s, que vaut la fréquence f ?
📝 Mémo
Fréquence = Rapidité du cycle.
Question 3 : Calcul de la Pulsation \(\omega\)
Principe
La pulsation (ou fréquence angulaire) traduit la fréquence linéaire en une vitesse de rotation angulaire. Elle est indispensable pour l'écriture mathématique du signal.
Mini-Cours
Elle correspond à la vitesse à laquelle le vecteur de Fresnel tourne dans le plan complexe. Elle s'exprime en radians par seconde (\(\text{rad/s}\)).
Remarque Pédagogique
Imaginez un point sur un pneu de vélo. La fréquence est le nombre de tours par seconde, la pulsation est l'angle parcouru par seconde.
Normes
Le symbole normalisé est \(\omega\) (oméga minuscule). Il ne faut pas le confondre avec \(\Omega\) (Ohm).
Formule(s)
Hypothèses
- Le signal est sinusoïdal (rotation circulaire uniforme).
Donnée(s)
Source : Donnée calculée dans la question précédente.
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Fréquence \(f\) | 50 \(\text{Hz}\) |
Astuces
Pour \(f=50\text{ Hz}\), la valeur \(\omega \approx 314\) revient tout le temps (\(100 \times 3{,}14\)). Pour \(f=60\text{ Hz}\), c'est \(\approx 377\).
Schéma (Avant les calculs)
Concept de Rotation Vectorielle
Calcul(s)
Application numérique
La pulsation se calcule à partir de la fréquence en ajoutant le facteur \(2\pi\) (un tour complet) :
On regroupe les termes numériques pour simplifier l'expression et on effectue le calcul :
On arrondit généralement à l'entier le plus proche pour les applications courantes.
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Cette valeur élevée montre que le vecteur fait 50 tours complets (\(50 \times 2\pi\) radians) chaque seconde.
Points de vigilance
N'oubliez pas le facteur \(2\pi\). \(\omega\) n'est pas égal à \(f\). La confusion est fréquente chez les débutants.
Points à Retenir
\(\omega\) est le lien mathématique entre le temps \(t\) et l'angle d'un sinus.
Le saviez-vous ?
L'usage des radians simplifie énormément les calculs de dérivées en physique (\((\sin x)' = \cos x\)). En degrés, il faudrait traîner des facteurs \(\pi/180\) partout.
FAQ
Pourquoi des radians et pas des degrés ?
Le radian est l'unité naturelle des angles : c'est le rapport entre l'arc et le rayon. C'est l'unité SI requise dans les formules physiques.
A vous de jouer
Si f = 100 Hz, que vaut omega (arrondi) ?
📝 Mémo
314 pour 50 Hz.
Question 4 : Tensions Max et Efficace
Principe
On détermine l'amplitude maximale par lecture graphique (axe vertical), puis on calcule la valeur efficace, qui est la grandeur "utile" énergétiquement.
Mini-Cours
La tension efficace (\(U_{\text{eff}}\) ou RMS) correspond à la tension continue qui dissiperait la même puissance thermique dans une résistance.
Remarque Pédagogique
La plupart des multimètres mesurent la valeur efficace, alors que les oscilloscopes montrent la valeur instantanée et maximale.
Normes
La norme IEC 60038 définit les tensions standards. Le "230 V" domestique est une valeur efficace ; la crête est en réalité bien plus haute (\(\approx 325 \text{ V}\)).
Formule(s)
Hypothèses
- Le signal est purement sinusoïdal (la formule avec \(\sqrt{2}\) ne marche que pour le sinus).
Donnée(s)
Source : Données issues de la lecture graphique et des calibres.
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Hauteur Max (depuis 0) | 2 div |
| Sensibilité Verticale | 5 \(\text{V/div}\) |
Astuces
Diviser par \(\sqrt{2}\) revient à multiplier par environ \(0{,}707\). C'est souvent plus facile à taper : \(U_{\text{eff}} \approx 0{,}707 \times U_{\text{max}}\).
Schéma (Avant les calculs)
Tension Max vs Efficace
Ueff "remplit" moins que Umax.
Calcul(s)
Application numérique
D'abord, calculons la tension maximale \(U_{\text{max}}\) à partir de la lecture graphique (nombre de divisions verticales) :
Ensuite, on déduit la tension efficace \(U_{\text{eff}}\) en divisant cette amplitude par \(\sqrt{2}\) :
Sachant que \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\), on effectue la division :
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
La valeur efficace est toujours inférieure à la valeur maximale. Si vous trouvez \(U_{\text{eff}} > U_{\text{max}}\), c'est qu'il y a une erreur (probablement une multiplication par \(\sqrt{2}\) au lieu d'une division).
Points de vigilance
Ne confondez pas \(U_{\text{max}}\) avec la tension crête-à-crête (\(U_{pp}\) ou \(U_{cc}\)), qui vaut \(2 \times U_{\text{max}}\) (soit 20V ici). L'oscilloscope mesure souvent \(U_{pp}\) automatiquement.
Points à Retenir
\(U_{\text{eff}}\) représente la capacité du signal à fournir de l'énergie (chauffer, éclairer).
Le saviez-vous ?
RMS signifie Root Mean Square (Racine de la Moyenne du Carré), ce qui décrit exactement le calcul mathématique pour trouver cette valeur sur n'importe quel signal.
FAQ
Cette formule marche-t-elle pour un signal carré ?
Non ! Pour un signal carré symétrique parfait, \(U_{\text{eff}} = U_{\text{max}}\) car la tension est constante en valeur absolue. Le facteur \(\sqrt{2}\) est spécifique au sinus.
A vous de jouer
Si Umax = 1.414 V, combien vaut Ueff ?
📝 Mémo
Diviser par 1.414 pour l'efficace.
Question 5 : Équation temporelle \(u(t)\)
Principe
L'objectif est de donner l'expression mathématique complète du signal. Il s'agit d'assembler les pièces du puzzle (\(U_{\text{max}}\), \(\omega\)) dans le modèle standard de la fonction sinusoïdale.
Mini-Cours
L'équation horaire d'une tension alternative s'écrit : \(u(t) = \hat{U} \sin(\omega t + \phi_0)\) où \(\hat{U}\) est l'amplitude et \(\phi_0\) la phase à l'origine.
Remarque Pédagogique
Dans cette équation, la variable est \(t\) (le temps). Les autres lettres (\(U_{\text{max}}, \omega\)) doivent être remplacées par leurs valeurs numériques trouvées précédemment.
Normes
C'est la notation standard utilisée en physique et en mathématiques pour décrire les phénomènes oscillatoires harmoniques.
Formule(s)
Hypothèses
- On observe que le signal passe par 0 en croissant à l'instant \(t=0\) (sur l'axe vertical).
- Par convention, cela signifie que la phase à l'origine \(\phi = 0\).
Donnée(s)
Source : Données calculées dans les questions précédentes.
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Amplitude \(U_{\text{max}}\) | 10 \(\text{V}\) |
| Pulsation \(\omega\) | 314 \(\text{rad/s}\) |
| Phase \(\phi\) | 0 \(\text{rad}\) |
Astuces
Pour vérifier votre équation, testez \(t=0\). \(\sin(0)=0\), donc \(u(0)=0\). Cela correspond bien au point de départ du graphique.
Schéma (Avant les calculs)
Structure de l'équation
Calcul(s)
Application numérique
On remplace simplement les symboles du modèle mathématique par les valeurs numériques calculées précédemment :
L'expression est maintenant complète. Elle permet de calculer la tension pour n'importe quel instant \(t\).
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Cette équation est puissante : elle permet de prédire la tension exacte à n'importe quel millième de seconde, ce que la simple lecture graphique ne permet pas.
Points de vigilance
Important : Si vous utilisez cette formule pour calculer une valeur ponctuelle avec votre calculatrice, celle-ci doit impérativement être configurée en mode RADIANS, car le terme \(314 t\) est un angle en radians.
Points à Retenir
L'amplitude se place devant le sinus. La pulsation se place dedans, multipliée par le temps.
Le saviez-vous ?
En électricité avancée (régime sinusoïdal forcé), on utilise souvent la notation complexe \( \underline{U} = U_{\text{eff}} e^{j(\omega t + \phi)} \) pour simplifier les calculs avec des condensateurs et des bobines.
FAQ
Et si la courbe ne commençait pas à 0 ?
Il faudrait déterminer le déphasage \(\phi\). Par exemple, si la courbe commence à son maximum (fonction cosinus), alors \(\phi = \pi/2\).
A vous de jouer
Avec votre calculatrice (mode Rad), calculez u(t) à t=0.005s.
📝 Mémo
Toujours vérifier le mode de la calculatrice (Deg/Rad).
Schéma Bilan des Paramètres
Synthèse visuelle des grandeurs temporelles et d'amplitude.
📝 Grand Mémo : Analyse AC
-
⏱️
Temps : La période \(T\) se lit en secondes. La fréquence \(f=1/T\) est en Hertz.
-
⚡
Tension : L'oscilloscope affiche \(U_{\text{max}}\), mais le voltmètre affiche \(U_{\text{eff}}\).
-
📐
Relation Clé : \(U_{\text{eff}} = U_{\text{max}} / \sqrt{2} \approx 0{,}707 \cdot U_{\text{max}}\).
🎛️ Simulateur d'Onde Sinusoïdale
Modifiez la fréquence et l'amplitude pour visualiser l'impact sur l'onde et la tension efficace.
Paramètres du GBF
📝 Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si la période d'un signal est de 20ms, quelle est sa fréquence ?
2. Quelle est la relation entre Umax et Ueff pour un sinus ?
3. Quelle grandeur mesure un multimètre en mode AC ?
📚 Glossaire
- Amplitude
- Valeur maximale atteinte par le signal par rapport à zéro.
- Fréquence
- Nombre de répétitions du motif périodique par seconde (en Hertz).
- Période
- Durée minimale au bout de laquelle le signal se répète identique à lui-même.
- GBF
- Générateur Basse Fréquence. Appareil de laboratoire générant des signaux standards.
- Tension Efficace
- Valeur équivalente en tension continue fournissant la même puissance thermique.
Le Saviez-vous ?
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