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Analyse d’un Circuit en Série avec Trois Lampes

Analyse d’un Circuit en Série avec Trois Lampes

Analyse d’un Circuit en Série avec Trois Lampes

Comprendre les Circuits en Série

Dans un circuit en série, les composants sont connectés les uns à la suite des autres, de sorte que le courant qui les traverse est le même pour tous. La résistance totale du circuit est la somme des résistances individuelles. La tension de la source se répartit entre les différents composants en proportion de leur résistance (loi d'Ohm). L'analyse des circuits en série est fondamentale pour comprendre comment les tensions et les courants se distribuent et comment la puissance est consommée par chaque élément. Cet exercice se concentre sur un circuit simple avec trois lampes à incandescence (modélisées comme des résistances) connectées en série à une source de tension continue.

Données de l'étude

Trois lampes à incandescence L1, L2 et L3, ayant des caractéristiques nominales différentes, sont connectées en série à une source de tension continue \(V_S\).

Caractéristiques du système :

  • Tension de la source (\(V_S\)) : \(240 \, \text{V}\)
  • Lampe L1 : Puissance nominale \(P_{n1} = 60 \, \text{W}\), Tension nominale \(V_{n1} = 120 \, \text{V}\)
  • Lampe L2 : Puissance nominale \(P_{n2} = 100 \, \text{W}\), Tension nominale \(V_{n2} = 120 \, \text{V}\)
  • Lampe L3 : Puissance nominale \(P_{n3} = 40 \, \text{W}\), Tension nominale \(V_{n3} = 120 \, \text{V}\)

On supposera que la résistance des lampes reste constante et égale à leur résistance calculée en conditions nominales.

Schéma du Circuit en Série avec Trois Lampes
+ - Vs L1 L2 L3 I Circuit Série de Lampes

Trois lampes L1, L2, L3 connectées en série à une source de tension \(V_S\).

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance nominale (\(R_1, R_2, R_3\)) de chaque lampe.
  2. Calculer la résistance totale (\(R_{totale}\)) du circuit série.
  3. Calculer le courant total (\(I\)) circulant dans le circuit.
  4. Calculer la tension réelle (\(V_{L1}, V_{L2}, V_{L3}\)) aux bornes de chaque lampe dans ce circuit.
  5. Calculer la puissance réelle (\(P_{eff,1}, P_{eff,2}, P_{eff,3}\)) dissipée par chaque lampe dans ce circuit.
  6. Comparer les puissances réelles dissipées aux puissances nominales. Les lampes brilleront-elles normalement, faiblement ou risquent-elles de griller ? Discuter.

Correction : Analyse d’un Circuit en Série avec Trois Lampes

Question 1 : Résistance nominale de chaque lampe

Principe :

La puissance nominale \(P_n\) d'une lampe est liée à sa tension nominale \(V_n\) et à sa résistance nominale \(R_n\) par la formule \(P_n = V_n^2 / R_n\). On peut donc en déduire \(R_n = V_n^2 / P_n\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_n = \frac{V_n^2}{P_n}\]
Calculs :

Pour L1 :

\[ \begin{aligned} R_1 &= \frac{(120 \, \text{V})^2}{60 \, \text{W}} \\ &= \frac{14400}{60} \, \Omega \\ &= 240 \, \Omega \end{aligned} \]

Pour L2 :

\[ \begin{aligned} R_2 &= \frac{(120 \, \text{V})^2}{100 \, \text{W}} \\ &= \frac{14400}{100} \, \Omega \\ &= 144 \, \Omega \end{aligned} \]

Pour L3 :

\[ \begin{aligned} R_3 &= \frac{(120 \, \text{V})^2}{40 \, \text{W}} \\ &= \frac{14400}{40} \, \Omega \\ &= 360 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • Résistance de L1 : \(R_1 = 240 \, \Omega\)
  • Résistance de L2 : \(R_2 = 144 \, \Omega\)
  • Résistance de L3 : \(R_3 = 360 \, \Omega\)

Question 2 : Résistance totale (\(R_{totale}\)) du circuit série

Principe :

Dans un circuit en série, la résistance totale est la somme des résistances individuelles.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{totale} = R_1 + R_2 + R_3\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{totale} &= 240 \, \Omega + 144 \, \Omega + 360 \, \Omega \\ &= 744 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La résistance totale du circuit est \(R_{totale} = 744 \, \Omega\).

Quiz Intermédiaire 1 : Dans un circuit série, si une résistance est ajoutée, la résistance totale :

Question 3 : Courant total (\(I\)) circulant dans le circuit

Principe :

Le courant total dans un circuit série est donné par la loi d'Ohm : \(I = V_S / R_{totale}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I = \frac{V_S}{R_{totale}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_S = 240 \, \text{V}\)
  • \(R_{totale} = 744 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I &= \frac{240 \, \text{V}}{744 \, \Omega} \\ &\approx 0.32258 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le courant total circulant dans le circuit est \(I \approx 0.323 \, \text{A}\).

Question 4 : Tension réelle aux bornes de chaque lampe

Principe :

La tension aux bornes de chaque lampe (résistance) est donnée par la loi d'Ohm : \(V_L = R_L \cdot I\), où \(I\) est le courant total du circuit série.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{L1} = R_1 I\] \[V_{L2} = R_2 I\] \[V_{L3} = R_3 I\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 240 \, \Omega\), \(R_2 = 144 \, \Omega\), \(R_3 = 360 \, \Omega\)
  • \(I \approx 0.32258 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{L1} &= 240 \, \Omega \times 0.32258 \, \text{A} \\ &\approx 77.419 \, \text{V} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} V_{L2} &= 144 \, \Omega \times 0.32258 \, \text{A} \\ &\approx 46.452 \, \text{V} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} V_{L3} &= 360 \, \Omega \times 0.32258 \, \text{A} \\ &\approx 116.129 \, \text{V} \end{aligned} \]

Vérification : \(V_{L1} + V_{L2} + V_{L3} \approx 77.419 + 46.452 + 116.129 = 240.000 \, \text{V} = V_S\).

Résultat Question 4 :
  • Tension aux bornes de L1 : \(V_{L1} \approx 77.42 \, \text{V}\)
  • Tension aux bornes de L2 : \(V_{L2} \approx 46.45 \, \text{V}\)
  • Tension aux bornes de L3 : \(V_{L3} \approx 116.13 \, \text{V}\)

Question 5 : Puissance réelle dissipée par chaque lampe

Principe :

La puissance réelle dissipée par chaque lampe est \(P_{eff} = R I^2\) ou \(P_{eff} = V_L I\), où \(V_L\) est la tension réelle aux bornes de la lampe.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{eff} = R I^2\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{eff,1} &= R_1 I^2 \\ &= 240 \, \Omega \times (0.32258 \, \text{A})^2 \\ &\approx 240 \times 0.104057 \\ &\approx 24.97 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{eff,2} &= R_2 I^2 \\ &= 144 \, \Omega \times (0.32258 \, \text{A})^2 \\ &\approx 144 \times 0.104057 \\ &\approx 14.98 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{eff,3} &= R_3 I^2 \\ &= 360 \, \Omega \times (0.32258 \, \text{A})^2 \\ &\approx 360 \times 0.104057 \\ &\approx 37.46 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 :
  • Puissance réelle de L1 : \(P_{eff,1} \approx 24.97 \, \text{W}\)
  • Puissance réelle de L2 : \(P_{eff,2} \approx 14.98 \, \text{W}\)
  • Puissance réelle de L3 : \(P_{eff,3} \approx 37.46 \, \text{W}\)

Quiz Intermédiaire 2 : Si trois résistances différentes sont en série, laquelle dissipera le plus de puissance ?

Question 6 : Comparaison des puissances et discussion

Principe :

On compare la puissance réelle dissipée par chaque lampe à sa puissance nominale pour évaluer leur luminosité.

Comparaison :
  • Lampe L1 : \(P_{n1} = 60 \, \text{W}\), \(P_{eff,1} \approx 24.97 \, \text{W}\). \(P_{eff,1} < P_{n1}\).
  • Lampe L2 : \(P_{n2} = 100 \, \text{W}\), \(P_{eff,2} \approx 14.98 \, \text{W}\). \(P_{eff,2} < P_{n2}\).
  • Lampe L3 : \(P_{n3} = 40 \, \text{W}\), \(P_{eff,3} \approx 37.46 \, \text{W}\). \(P_{eff,3} < P_{n3}\).
Discussion :

Toutes les lampes dissipent une puissance bien inférieure à leur puissance nominale. Elles brilleront donc toutes beaucoup plus faiblement que prévu.

La lampe L3 (40W nominal, 360\(\Omega\)) est celle qui a la plus grande résistance. Dans un circuit série, c'est elle qui aura la plus grande chute de tension à ses bornes et dissipera le plus de puissance parmi les trois (\(P = I^2R\), I est commun). Ici, \(P_{eff,3} \approx 37.46 \, \text{W}\) est la plus proche de sa puissance nominale (\(40 \, \text{W}\)), elle sera donc la plus "brillante" des trois, mais toujours bien en dessous de sa luminosité nominale.

La lampe L2 (100W nominal, 144\(\Omega\)) a la plus faible résistance et dissipe le moins de puissance (\(P_{eff,2} \approx 14.98 \, \text{W}\)), elle sera donc la plus faible des trois, et très loin de sa luminosité nominale.

Aucune lampe ne risque de griller car elles sont toutes sous-alimentées en tension et en puissance. Le montage en série de lampes de caractéristiques nominales différentes (surtout si les tensions nominales sont prévues pour un montage en parallèle sur une tension de source différente) conduit généralement à un fonctionnement non optimal et à des luminosités inégales et faibles.

Résultat Question 6 : Toutes les lampes brilleront faiblement. L3 sera la plus lumineuse des trois (mais toujours faible), et L2 la moins lumineuse. Aucune ne risque de griller.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans un circuit en série, le courant :

2. La résistance d'une lampe à incandescence est calculée à partir de sa puissance nominale \(P_n\) et de sa tension nominale \(V_n\) par :

3. Si des lampes de tensions nominales identiques mais de puissances nominales différentes sont montées en série sur une source de tension supérieure à leur tension nominale individuelle :

Glossaire

Circuit en Série
Circuit électrique où les composants sont connectés bout à bout, formant un seul chemin pour le courant.
Lampe à Incandescence
Source de lumière qui produit de la lumière en chauffant un filament jusqu'à incandescence. Elle se comporte essentiellement comme une résistance.
Puissance Nominale (\(P_n\))
Puissance pour laquelle un appareil est conçu pour fonctionner dans des conditions normales (généralement à sa tension nominale).
Tension Nominale (\(V_n\))
Tension pour laquelle un appareil est conçu pour fonctionner de manière optimale.
Résistance Électrique (\(R\))
Opposition au passage du courant électrique. Unité SI : Ohm (\(\Omega\)).
Loi d'Ohm
Relation entre la tension (\(V\)), le courant (\(I\)) et la résistance (\(R\)) : \(V = IR\).
Puissance Électrique (\(P\))
Taux de transfert d'énergie électrique. \(P = VI = I^2R = V^2/R\). Unité SI : Watt (W).
Chute de Tension
Différence de potentiel électrique aux bornes d'un composant résistif due au passage du courant.
Analyse d’un Circuit en Série avec Trois Lampes

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