Analyse d'un Filtre Passe-Bas RL

Vous travaillez en tant qu’ingénieur électronicien sur un projet de conception d’un système de filtrage pour une application audio. Une partie de votre tâche consiste à concevoir un filtre passe-bas qui utilise une inductance pour lisser le signal audio entrant. Vous devez calculer les valeurs requises de l’inductance et vérifier le comportement du circuit dans différentes conditions.

Données fournies

Fréquence de coupure souhaitée : \(f_c = 2 \, \text{kHz} = 2000 \, \text{Hz}\)
Résistance du circuit : \(R = 600 \, \Omega\)
Tension d’entrée du filtre : \(V_{in} = 5 \, \text{V}_{\text{pp}}\) (volts crête à crête)

Schéma du filtre passe-bas RL simple (sortie prise aux bornes de R).

Questions

Calculer l’inductance \(L\) nécessaire pour atteindre la fréquence de coupure souhaitée.
Déterminer la tension de sortie maximale théorique \(V_{out(max)}\) à la fréquence de coupure \(f_c\).
Calculer la constante de temps \(\tau\) du circuit et expliquer son impact sur la réponse du filtre.

Correction : Analyse d’un Filtre Passe-Bas RL

1. Calcul de l'Inductance Nécessaire (\(L\))

Pour un filtre passe-bas RL (avec la sortie prise aux bornes de la résistance R), la fréquence de coupure \(f_c\) est la fréquence à laquelle la réactance inductive (\(X_L = L\omega\)) est égale à la résistance (\(R\)). La fréquence de coupure est donnée par la formule : \[ f_c = \frac{R}{2 \pi L} \] Nous pouvons réarranger cette formule pour calculer l'inductance \(L\) nécessaire. \[ L = \frac{R}{2 \pi f_c} \]

Données pour cette étape

Fréquence de coupure souhaitée : \(f_c = 2000 \, \text{Hz}\)
Résistance : \(R = 600 \, \Omega\)

Calcul

\begin{aligned} L &= \frac{R}{2 \pi f_c} \\ L &= \frac{600 \, \Omega}{2 \pi (2000 \, \text{Hz})} \\ L &= \frac{600}{4000 \pi} \, \text{H} \\ L &\approx \frac{600}{12566.37} \, \text{H} \\ L &\approx 0.0477 \, \text{H} \end{aligned}

Convertissons en millihenrys (mH) : \(1 \, \text{H} = 1000 \, \text{mH}\).

L \approx 0.0477 \times 1000 \, \text{mH} = 47.7 \, \text{mH}

Résultat

L'inductance nécessaire pour obtenir une fréquence de coupure de 2 kHz est \(L \approx 47.7 \, \text{mH}\).

2. Tension de Sortie Maximale à la Fréquence de Coupure (\(V_{out(max)} @ f_c\))

La fréquence de coupure (\(f_c\)) est définie comme la fréquence à laquelle la puissance du signal de sortie est réduite de moitié par rapport à la puissance maximale (dans la bande passante). Pour la tension, cela correspond à une réduction de l'amplitude à \(1/\sqrt{2}\) (environ 70.7%) de l'amplitude maximale. Dans un filtre passe-bas RL, le gain maximal (à fréquence nulle ou très basse) est de 1 (ou 0 dB), car l'inductance se comporte comme un court-circuit et toute la tension d'entrée se retrouve aux bornes de R. Donc, à la fréquence de coupure \(f_c\), la tension de sortie \(V_{out}\) est : \[ V_{out}(f_c) = \frac{V_{in}}{\sqrt{2}} \] L'énoncé donne la tension d'entrée crête à crête (\(V_{in(pp)} = 5 \, \text{V}\)). L'amplitude (tension crête, \(V_{in(peak)}\)) est la moitié de cette valeur. La tension de sortie maximale (crête) à \(f_c\) sera donc \(\frac{V_{in(peak)}}{\sqrt{2}}\).

Données pour cette étape

Tension d'entrée crête à crête : \(V_{in(pp)} = 5 \, \text{V}\)

Calcul

Calcul de l'amplitude d'entrée (crête) :

V_{in(peak)} = \frac{V_{in(pp)}}{2} \] \[ V_{in(peak)} = \frac{5 \, \text{V}}{2} \] \[ V_{in(peak)} = 2.5 \, \text{V}

Calcul de l'amplitude de sortie (crête) à \(f_c\) :

\begin{aligned} V_{out(peak)} @ f_c &= \frac{V_{in(peak)}}{\sqrt{2}} \\ V_{out(peak)} @ f_c &= \frac{2.5 \, \text{V}}{\sqrt{2}} \\ V_{out(peak)} @ f_c &\approx \frac{2.5 \, \text{V}}{1.414} \\ V_{out(peak)} @ f_c &\approx 1.77 \, \text{V} \end{aligned}

Résultat

La tension de sortie maximale théorique (amplitude crête) à la fréquence de coupure est \(V_{out(peak)} \approx 1.77 \, \text{V}\).

(La tension crête à crête serait \(2 \times 1.77 \approx 3.54 \, \text{V}_{\text{pp}}\)).

3. Constante de Temps (\(\tau\)) et Impact

La constante de temps (\(\tau\)) d'un circuit RL série caractérise la rapidité avec laquelle le courant s'établit dans le circuit lorsqu'une tension continue est appliquée, ou la rapidité avec laquelle le circuit réagit aux changements de fréquence en régime sinusoïdal. Elle est définie par le rapport de l'inductance \(L\) sur la résistance \(R\). \[ \tau = \frac{L}{R} \] L'unité de \(\tau\) est la seconde (s).

Données pour cette étape

Inductance : \(L \approx 0.0477 \, \text{H}\) (calculée à l'étape 1)
Résistance : \(R = 600 \, \Omega\)

Calcul

\begin{aligned} \tau &= \frac{L}{R} \\ \tau &\approx \frac{0.0477 \, \text{H}}{600 \, \Omega} \\ \tau &\approx 0.0000795 \, \text{s} \end{aligned}

Convertissons en microsecondes (\(\mu s\)) : \(1 \, \text{s} = 10^6 \, \mu\text{s}\).

\tau \approx 0.0000795 \times 10^6 \, \mu\text{s} = 79.5 \, \mu\text{s}

Relation avec la fréquence de coupure : On sait que \(\omega_c = \frac{R}{L} = \frac{1}{\tau}\) pour un filtre RL passe-bas où la sortie est prise aux bornes de R. Vérifions :

\[ \omega_c = 2 \pi f_c \] \[ \frac{1}{\tau} = 2 \pi (2000 \, \text{Hz}) \] \[ \omega_c \approx 12566 \, \text{rad/s} \] \[ \frac{1}{\tau} \approx \frac{1}{79.5 \times 10^{-6} \, \text{s}} \] \[ \frac{1}{\tau} \approx 12578 \, \text{rad/s} \] Les valeurs sont cohérentes (les petites différences sont dues aux arrondis).

Résultat et Impact

La constante de temps du circuit est \(\tau \approx 79.5 \, \mu\text{s}\).

Impact sur la réponse du filtre :

Réponse temporelle : La constante de temps \(\tau\) détermine la vitesse à laquelle le courant (et donc la tension de sortie aux bornes de R) atteint sa valeur finale lorsqu'un échelon de tension est appliqué à l'entrée. Il faut environ \(5\tau\) (\(\approx 400 \, \mu\text{s}\) ici) pour que le régime transitoire soit pratiquement terminé.
Réponse fréquentielle : La constante de temps est directement liée à la fréquence de coupure (\(f_c = \frac{1}{2 \pi \tau}\) ou \(\omega_c = 1/\tau\)). Une constante de temps plus courte correspond à une fréquence de coupure plus élevée (le filtre laisse passer des fréquences plus hautes). Une constante de temps plus longue correspond à une fréquence de coupure plus basse (le filtre coupe plus tôt les hautes fréquences). Dans ce cas, \(\tau \approx 79.5 \, \mu\text{s}\) correspond bien à la fréquence de coupure \(f_c = 2 \, \text{kHz}\).

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