Application de la Loi des Mailles : Circuit à Deux Mailles
Contexte : Le calcul de circuitsProcessus de détermination des tensions et courants dans un circuit électrique..
L'analyse de circuits électriques est fondamentale en ingénierie. Pour des circuits complexes, la Loi des MaillesAussi appelée Loi des Tensions de Kirchhoff (LVK), elle stipule que la somme algébrique des tensions dans une boucle fermée (maille) est nulle., combinée à la Loi d'OhmDéfinit la relation entre la tension (V), le courant (I) et la résistance (R) : V = R * I., est une méthode puissante pour déterminer les courants circulant dans chaque branche. Cet exercice vous guidera à travers la résolution d'un circuit classique à deux mailles.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à poser méthodiquement les équations de maille, à gérer les conventions de signe (essentielles !) et à résoudre le système d'équations linéaires qui en résulte pour trouver les courants inconnus.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la Loi des Mailles (Loi des Tensions de Kirchhoff) à un circuit multi-boucles.
- Définir un sens de parcours pour les courants de mailleCourants fictifs supposés circuler dans chaque maille. Le courant réel dans une branche est la somme ou la différence de ces courants de maille..
- Appliquer correctement les conventions de signe pour les générateurs et les récepteurs.
- Résoudre un système d'équations linéaires 2x2 pour trouver les courants de maille.
- Calculer le courant et la tension pour un composant partagé entre deux mailles.
Schéma du Circuit
Composants du Circuit
| Composant | Description |
|---|---|
| \(E_1\), \(E_2\) | Générateurs de tension continue parfaits. |
| \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) | Résistances linéaires. |
Circuit électrique à deux mailles
| Composant | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Générateur 1 | \(E_1\) | 10 | \(\text{V}\) |
| Générateur 2 | \(E_2\) | 5 | \(\text{V}\) |
| Résistance 1 | \(R_1\) | 2 | \(\Omega\) |
| Résistance 2 | \(R_2\) | 4 | \(\Omega\) |
| Résistance 3 | \(R_3\) | 6 | \(\Omega\) |
Questions à traiter
- Identifier et dessiner les deux courants de maille \(I_1\) et \(I_2\) (dans le sens horaire).
- Écrire l'équation de la Loi des Mailles pour la Maille 1 (boucle de gauche).
- Écrire l'équation de la Loi des Mailles pour la Maille 2 (boucle de droite).
- Mettre les deux équations sous forme d'un système et le résoudre pour trouver les valeurs de \(I_1\) et \(I_2\).
- Calculer le courant réel \(I_{\text{R2}}\) traversant la résistance \(R_2\) ainsi que la tension \(V_{\text{R2}}\) à ses bornes.
Les bases : Loi des Mailles et Loi d'Ohm
Pour résoudre cet exercice, deux lois fondamentales de l'électricité sont nécessaires.
1. La Loi des Mailles (Loi des Tensions de Kirchhoff - LVK)
Cette loi stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de n'importe quelle boucle fermée (maille) d'un circuit est égale à zéro (\(\sum V_k = 0\)). On peut aussi l'interpréter comme l'égalité entre la somme des "montées" de potentiel (sources traversées de - à +) et la somme des "chutes" de potentiel (sources traversées de + à - et résistances traversées dans le sens du courant).
2. La Loi d'Ohm
Aux bornes d'une résistance \(R\) traversée par un courant \(I\), il apparaît une différence de potentiel (tension) \(V = R \cdot I\). Le côté par où le courant entre est au potentiel le plus élevé (+).
Correction : Application de la Loi des Mailles : Circuit à Deux Mailles
Question 1 : Identifier et dessiner les deux courants de maille \(I_1\) et \(I_2\)
Principe
L'analyse par mailles consiste à définir des courants fictifs, appelés courants de maille, qui tournent dans chaque boucle indépendante du circuit. Le nombre de mailles indépendantes détermine le nombre d'équations à poser.
Mini-Cours
Une mailleToute boucle fermée dans un circuit électrique. est une boucle fermée. Une maille est dite indépendante si elle contient au moins une branche qui n'appartient à aucune autre maille déjà définie. Dans notre cas, les boucles gauche (A-N1-N2-D-A) et droite (N1-B-C-N2-N1) sont indépendantes. La boucle extérieure (A-B-C-D-A) ne l'est pas (elle est la combinaison des deux autres). Nous définissons \(I_1\) pour la maille gauche et \(I_2\) pour la maille droite.
Remarque Pédagogique
Choisir un sens de parcours (généralement horaire) pour tous les courants de maille simplifie grandement l'écriture des équations, notamment pour les composants partagés entre plusieurs mailles. La cohérence est clé !
Hypothèses
On suppose que le circuit est planaire (peut être dessiné à plat sans que les fils ne se croisent autrement qu'aux nœuds), ce qui permet d'identifier facilement les mailles "intérieures".
Astuces
Visualisez les "fenêtres" formées par les branches du circuit sur un dessin planaire ; chaque fenêtre correspond généralement à une maille indépendante.
Schéma
Courants de Maille \(I_1\) et \(I_2\) (Sens horaire choisi)
Réflexions
Les courants \(I_1\) et \(I_2\) sont correctement positionnés et orientés sur le schéma pour la suite de l'analyse. Le choix du sens horaire est une convention qui facilitera l'application de la méthode.
Points de vigilance
Il faut bien identifier les boucles indépendantes du circuit. Ne pas définir un courant de maille pour la boucle extérieure car elle n'est pas indépendante des deux autres.
Points à retenir
L'identification correcte des mailles indépendantes et la définition cohérente des courants de maille (sens de parcours) sont la première étape indispensable de la méthode.
Le saviez-vous ?
La méthode des courants de maille est directement liée au concept de "boucles fondamentales" en théorie des graphes, utilisé pour analyser la topologie des réseaux.
Résultat Final
Question 2 : Écrire l'équation de la Loi des Mailles pour la Maille 1
Principe
Le principe fondamental est la conservation de l'énergie dans un circuit fermé. La Loi des Tensions de Kirchhoff (LVK) exprime que la somme algébrique des gains (sources) et des pertes (chutes de tension dans les résistances) de potentiel électrique le long d'une boucle fermée (maille) est nulle.
Mini-Cours
Pour appliquer la LVK : 1. Choisir un sens de parcours (ici, le sens de \(I_1\), horaire). 2. Parcourir la maille composant par composant (A \(\rightarrow\) N1 \(\rightarrow\) N2 \(\rightarrow\) D \(\rightarrow\) A). 3. Ajouter la tension du composant à la somme avec un signe :
(+) si on traverse une source de '-' vers '+'.
(-) si on traverse une source de '+' vers '-'.
(-) si on traverse une résistance dans le même sens que le courant *net* qui la parcourt (convention récepteur).
(+) si on traverse une résistance en sens inverse du courant *net* qui la parcourt.
4. Égaler la somme à zéro.
Remarque Pédagogique
La rigueur dans l'application des conventions de signe est absolument essentielle. Une seule erreur de signe faussera tout le système d'équations. Prenez l'habitude de bien flécher les tensions aux bornes des résistances (flèche opposée au courant) pour visualiser les chutes de potentiel.
Normes
La Loi des Tensions de Kirchhoff (LVK) est une loi fondamentale de l'électrocinétique, universellement acceptée et utilisée.
Formule(s)
LVK générale pour une maille
Loi d'Ohm pour une résistance
Hypothèses
On travaille en régime continu (DC). Les composants (sources, résistances) sont considérés comme idéaux et linéaires (la résistance ne dépend pas du courant ou de la tension).
Donnée(s)
Valeurs des composants de la Maille 1 et courants pertinents :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Générateur 1 | \(E_1\) | 10 | \(\text{V}\) |
| Résistance 1 | \(R_1\) | 2 | \(\Omega\) |
| Résistance 2 | \(R_2\) | 4 | \(\Omega\) |
| Courant Maille 1 | \(I_1\) | Inconnue | \(\text{A}\) |
| Courant Maille 2 | \(I_2\) | Inconnue | \(\text{A}\) |
Astuces
Pour la résistance partagée \(R_2\), exprimez directement la chute de tension dans le sens de parcours en utilisant la différence des courants : la tension aux bornes de R2 (avec + en N1) est \( V_{N1N2} = R_2 \times (I_1 - I_2) \). Comme on parcourt de N1 vers N2 (sens de \(I_1\)), c'est une chute, donc \(- V_{N1N2}\).
Schéma (Avant les calculs)
Parcours de la Maille 1 (A \(\rightarrow\) N1 \(\rightarrow\) N2 \(\rightarrow\) D \(\rightarrow\) A)
Calcul(s)
On applique LVK en suivant le parcours horaire de \(I_1\) (A \(\rightarrow\) N1 \(\rightarrow\) N2 \(\rightarrow\) D \(\rightarrow\) A) :
Termes de tension rencontrés
- \(R_1\) : Traversée de A vers N1 (sens de \(I_1\)). Chute de tension : \(-V_{R1}\).
- \(R_2\) : Traversée de N1 vers N2 (sens de \(I_1\)). Courant net \(I_1 - I_2\). Chute de tension : \(-V_{R2}\).
- \(E_1\) : Traversée de D vers A (de '-' vers '+'). Montée de tension : \(+E_1\).
Somme des tensions (LVK)
On exprime les chutes de tension avec la loi d'Ohm :
Expression de \(V_{\text{R1}}\)
Expression de \(V_{\text{R2}}\) (courant net \(I_1 - I_2\) de N1 vers N2)
On substitue ces expressions dans l'équation LVK :
Substitution
On développe et on regroupe les termes en \(I_1\) et \(I_2\) :
Développement
Regroupement
On remplace par les valeurs numériques données :
Application numérique (\(E_1=10, R_1=2, R_2=4\))
Simplification numérique
Enfin, on met l'équation sous la forme standard \(a I_1 + b I_2 = c\) :
Forme standard \(a I_1 + b I_2 = c\)
Schéma (Après les calculs)
Représentation de l'équation de la Maille 1
Réflexions
L'équation obtenue lie les deux inconnues \(I_1\) et \(I_2\). Elle représente l'équilibre des tensions dans la première maille. Il nous faudra une deuxième équation (celle de la maille 2) pour résoudre le système.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente concerne la résistance partagée \(R_2\). Le courant qui la traverse est la différence des deux courants de maille. Le signe dépend du sens de parcours : pour la maille 1 (sens \(I_1\)), le courant net est (\(I_1 - I_2\)). La chute de tension est donc \(- R_2 (I_1 - I_2)\).
Points à retenir
La méthode consiste à parcourir la maille dans le sens du courant de maille, sommer les tensions (\(+\) pour une "montée" de potentiel comme un générateur traversé de - à +, \(-\) pour une "chute" de potentiel comme une résistance traversée dans le sens du courant net), et égaler la somme à zéro.
Le saviez-vous ?
Gustav Kirchhoff a énoncé ses lois sur les circuits (loi des nœuds et loi des mailles) en 1845, alors qu'il n'était encore qu'étudiant. Ces lois sont fondamentales pour toute l'électronique moderne.
FAQ
...
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(R_1\) valait \(10 \Omega\) (au lieu de 2), quel serait le coefficient devant \(I_1\) dans l'équation finale (forme \(a I_1 - b I_2 = c\)) ? (Entrez 'a')
Question 3 : Écrire l'équation de la Loi des Mailles pour la Maille 2
Principe
Application de la Loi des Tensions de Kirchhoff (LVK) à la Maille 2, en suivant le sens horaire défini pour le courant \(I_2\).
Mini-Cours
On applique les mêmes conventions de signe que pour la maille 1. Le parcours sera N1 \(\rightarrow\) B \(\rightarrow\) C \(\rightarrow\) N2 \(\rightarrow\) N1. Il faut être attentif à l'orientation de la source \(E_2\) et au courant net dans la résistance partagée \(R_2\), qui dépend maintenant de \(I_2\) et \(I_1\).
Remarque Pédagogique
Attention, la source \(E_2\) est orientée avec le '+' en bas. Lorsque l'on parcourt la maille 2 dans le sens horaire (N1 \(\rightarrow\) B \(\rightarrow\) C \(\rightarrow\) N2 \(\rightarrow\) N1), on traverse \(E_2\) de C vers B, c'est-à-dire du '+' vers le '-'. C'est donc une chute de potentiel qui compte négativement (\(-E_2\)) dans la somme LVK.
Normes
La LVK et la Loi d'Ohm restent les références.
Formule(s)
LVK générale pour une maille
Loi d'Ohm pour une résistance
Hypothèses
Régime continu, composants idéaux et linéaires.
Donnée(s)
Valeurs des composants de la Maille 2 et courants pertinents :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Générateur 2 | \(E_2\) | 5 | \(\text{V}\) |
| Résistance 2 | \(R_2\) | 4 | \(\Omega\) |
| Résistance 3 | \(R_3\) | 6 | \(\Omega\) |
| Courant Maille 1 | \(I_1\) | Inconnue | \(\text{A}\) |
| Courant Maille 2 | \(I_2\) | Inconnue | \(\text{A}\) |
Astuces
Pour \(R_2\), en parcourant dans le sens de \(I_2\) (de N2 vers N1, bas vers haut), le courant \(I_1\) (qui va de haut vers bas) s'oppose. Le courant net dans le sens de parcours est donc (\(I_2 - I_1\)). La chute de tension est \(- R_2 \times (I_2 - I_1)\).
Schéma (Avant les calculs)
Parcours de la Maille 2 (N1 \(\rightarrow\) B \(\rightarrow\) C \(\rightarrow\) N2 \(\rightarrow\) N1)
Calcul(s)
On applique LVK en suivant le parcours horaire de \(I_2\) (N1 \(\rightarrow\) B \(\rightarrow\) C \(\rightarrow\) N2 \(\rightarrow\) N1) :
Termes de tension rencontrés
- \(R_3\) : Traversée de N1 vers B (sens de \(I_2\)). Chute de tension : \(-V_{R3}\).
- \(E_2\) : Traversée de C vers B (de '+' vers '-'). Chute de tension : \(-E_2\).
- \(R_2\) : Traversée de N2 vers N1 (sens de \(I_2\)). Courant net \(I_2 - I_1\). Chute de tension : \(-V_{R2}\).
Somme des tensions (LVK)
On exprime les chutes de tension avec la loi d'Ohm :
Expression de \(V_{\text{R3}}\)
Expression de \(V_{\text{R2}}\) (courant net \(I_2 - I_1\) de N2 vers N1)
On substitue ces expressions dans l'équation LVK :
Substitution
On développe et on regroupe les termes en \(I_1\) et \(I_2\) :
Développement
Regroupement
On remplace par les valeurs numériques données :
Application numérique (\(E_2=5, R_2=4, R_3=6\))
Simplification numérique
Enfin, on met l'équation sous la forme standard \(a I_1 + b I_2 = c\) :
Forme standard \(a I_1 + b I_2 = c\)
Schéma (Après les calculs)
Représentation de l'équation de la Maille 2
Réflexions
Nous avons maintenant la deuxième équation liant \(I_1\) et \(I_2\). Combinée avec l'équation de la maille 1, nous pouvons déterminer les valeurs uniques de ces deux courants.
Points de vigilance
Attention au signe de \(E_2\) ! En parcourant dans le sens horaire (sens de \(I_2\)), on rencontre le pôle '+' avant le pôle '-'. \(E_2\) s'oppose au courant \(I_2\) et agit donc comme un récepteur dans cette maille, d'où le signe '\(-E_2\)'. Vérifiez aussi le courant dans \(R_2\) : le courant net dans le sens du parcours (N2 vers N1) est (\(I_2 - I_1\)). La chute de tension est \(- R_2 (I_2 - I_1)\).
Points à retenir
La méthode est la même pour chaque maille. L'attention aux signes des tensions des sources (selon le sens de parcours) et des chutes de tension aux bornes des résistances (selon le sens du courant net par rapport au sens de parcours) est essentielle.
Le saviez-vous ?
Les lois de Kirchhoff sont une conséquence directe de la conservation de l'énergie (pour la loi des mailles) et de la conservation de la charge (pour la loi des nœuds) dans les circuits électriques.
FAQ
...
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(R_3\) valait \(16 \Omega\) (au lieu de 6), quel serait le coefficient devant \(I_2\) dans l'équation finale (forme \(c I_1 - d I_2 = e\)) ? (Entrez 'd')
Question 4 : Résoudre le système pour trouver \(I_1\) et \(I_2\)
Principe
Trouver les valeurs de \(I_1\) et \(I_2\) qui satisfont simultanément les deux équations de maille établies précédemment. Cela revient à trouver l'intersection de deux droites dans le plan (\(I_1, I_2\)).
Mini-Cours
Un système de 2 équations linéaires \( \begin{cases} aI_1 + bI_2 = c \\ dI_1 + eI_2 = f \end{cases} \) peut être résolu :
- Par substitution : isoler une variable dans une équation (ex: \(I_1 = \dots\)) et remplacer son expression dans l'autre équation.
- Par combinaison linéaire : multiplier les équations par des coefficients appropriés pour qu'en les additionnant (ou soustrayant), une des variables s'élimine.
- Par Méthode de Cramer (matricielle) : \( I_1 = D_{I1}/D, I_2 = D_{I2}/D \), où \(D = ae - bd\) est le déterminant du système.
Remarque Pédagogique
Choisissez la méthode qui vous semble la plus simple ou la moins sujette aux erreurs de calcul. La substitution est souvent directe pour les systèmes 2x2. Pensez à vérifier votre solution en la réinjectant dans les équations initiales.
Normes
La résolution de systèmes d'équations linéaires est une branche fondamentale de l'algèbre linéaire.
Formule(s)
Système d'équations (simplifié)
Hypothèses
Le déterminant du système \(D = (3)(-10) - (-2)(4) = -30 + 8 = -22\) est non nul, donc le système admet une solution unique.
Donnée(s)
Les deux équations linéaires formant le système :
| Équation | Forme |
|---|---|
| Éq. (1') | \(3 I_1 - 2 I_2 = 5\) |
| Éq. (2) | \(4 I_1 - 10 I_2 = 5\) |
Astuces
Si vous utilisez la combinaison, multiplier (1') par 5 donne \(15I_1 - 10I_2 = 25\). Soustraire l'équation (2) (\(4I_1 - 10I_2 = 5\)) élimine directement \(I_2\).
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation du système d'équations
Calcul(s)
Utilisons la méthode par substitution, en commençant par isoler \(I_1\) de l'équation (1') :
Étape 1 : Isoler \(I_1\)
Maintenant, on remplace cette expression de \(I_1\) dans l'équation (2) :
Étape 2 : Substitution dans Éq. (2)
Pour éliminer la fraction, on multiplie toute l'équation par 3 :
Étape 3a : Multiplier par 3
Étape 3b : Simplification et Développement
On regroupe les termes en \(I_2\) et les constantes :
Étape 3c : Regroupement
Étape 3d : Isoler \(I_2\)
Étape 3e : Calcul final de \(I_2\)
Ayant trouvé \(I_2\), on utilise l'expression de \(I_1\) de l'étape 1 pour calculer sa valeur :
Étape 4a : Substitution de \(I_2\) pour trouver \(I_1\)
Étape 4b : Simplification
Étape 4c : Mise au même dénominateur
Étape 4d : Calcul final de \(I_1\)
Schéma (Après les calculs)
Courants de Maille Calculés (Approximation)
Réflexions
Les deux courants \(I_1\) et \(I_2\) sont positifs. Cela signifie que le sens que nous avons arbitrairement choisi (horaire) est le sens réel du courant pour les deux mailles. Les valeurs fractionnaires (\(20/11\) A et \(5/22\) A) sont exactes, les valeurs décimales sont des approximations utiles pour l'intuition.
Points de vigilance
Vérifiez bien les signes lors des substitutions et des manipulations algébriques. Une erreur de signe est vite arrivée et fausse tout le résultat. Une bonne pratique est de vérifier la solution en la substituant dans les deux équations *originales* (avant simplification).
Points à retenir
- La méthode des mailles aboutit à un système d'équations linéaires.
- Maîtriser la résolution de ces systèmes (substitution, combinaison) est nécessaire.
- Le signe du résultat indique si le sens initialement choisi pour le courant de maille était correct (positif) ou opposé (négatif).
Le saviez-vous ?
Pour des circuits plus complexes avec de nombreuses mailles, la résolution manuelle devient fastidieuse. Les logiciels de simulation de circuits (comme SPICE) utilisent des méthodes numériques basées sur l'algèbre linéaire (matrices) pour résoudre efficacement ces systèmes à grande échelle.
FAQ
...
Résultat Final
\(I_1 = \frac{20}{11} \text{ A} \approx 1.818 \text{ A}\)
\(I_2 = \frac{5}{22} \text{ A} \approx 0.227 \text{ A}\)
A vous de jouer
Si \(E_1\) passait à 20 V (et \(E_2\) à 5V), que vaudrait \(I_1\) ? (Utilisez les équations de base : \(6I_1-4I_2=20\) et \(4I_1-10I_2=5\))
Question 5 : Calculer le courant \(I_{\text{R2}}\) et la tension \(V_{\text{R2}}\)
Principe
Le courant réel dans une branche qui est commune à plusieurs mailles (ici \(R_2\)) est la somme algébrique (superposition) des courants de maille qui la traversent. Une fois ce courant de branche connu, la tension à ses bornes est donnée par la Loi d'Ohm.
Mini-Cours
Pour une branche appartenant aux mailles A et B avec les courants \(I_A\) et \(I_B\):
1. Définir un sens positif pour le courant de branche \(I_{branche}\) (par ex. flèche de N1 vers N2 pour \(I_{R2}\)).
2. Exprimer \(I_{branche}\) : \(I_{branche} = (\text{courant maille dans sens } I_{branche}) - (\text{courant maille sens opposé})\). Ici, \(I_{\text{R2}} = I_1 - I_2\).
3. Calculer la tension avec la Loi d'Ohm : \(V_{branche} = R_{branche} \times I_{branche}\). La polarité de la tension est telle que le courant entre par le '+' (ici N1) et sort par le '-' (ici N2).
Remarque Pédagogique
Soyez cohérent avec le sens choisi pour \(I_{\text{R2}}\). Si on le définit de haut en bas (N1 vers N2), \(I_1\) contribue positivement et \(I_2\) négativement. Si le résultat \(I_{\text{R2}}\) est positif, le courant va effectivement de haut en bas ; s'il est négatif, il va de bas en haut.
Normes
Le principe de superposition pour les courants dans les branches partagées découle de la linéarité des lois de Kirchhoff et d'Ohm.
Formule(s)
Courant dans la branche \(R_2\) (sens N1 vers N2)
Tension aux bornes de \(R_2\) (\(V_{N1N2}\), Loi d'Ohm)
Hypothèses
Les calculs de \(I_1\) et \(I_2\) sont corrects. Les composants sont idéaux.
Donnée(s)
Valeurs calculées et données :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Courant Maille 1 | \(I_1\) | \(\frac{20}{11}\) | \(\text{A}\) |
| Courant Maille 2 | \(I_2\) | \(\frac{5}{22}\) | \(\text{A}\) |
| Résistance 2 | \(R_2\) | 4 | \(\Omega\) |
Astuces
Conservez les fractions pour les calculs intermédiaires afin d'éviter les erreurs d'arrondi. Ne convertissez en décimal qu'à la fin si nécessaire.
Schéma (Avant les calculs)
Zoom sur la branche \(R_2\) avec sens définis
Calcul(s)
On calcule d'abord le courant net \(I_{\text{R2}}\) en utilisant les valeurs exactes (fractions) de \(I_1\) et \(I_2\).
Étape 1a : Calcul de \(I_{\text{R2}}\) (Différence des courants)
On met au même dénominateur (22) :
Étape 1b : Mise au même dénominateur
Étape 1c : Calcul final de \(I_{\text{R2}}\)
Ensuite, on utilise la loi d'Ohm pour trouver la tension \(V_{\text{R2}}\) aux bornes de \(R_2\), correspondant au courant \(I_{\text{R2}}\).
Étape 2a : Calcul de \(V_{\text{R2}}\) (Loi d'Ohm)
Étape 2b : Simplification
Étape 2c : Calcul final de \(V_{\text{R2}}\)
Schéma (Après les calculs)
Courant et Tension dans R2 (Résultats)
Réflexions
Le courant \(I_{\text{R2}}\) étant positif (\(\approx 1.591 \text{ A}\)), cela confirme que le courant net dans la branche centrale circule bien de haut en bas (de N1 vers N2), car c'est le sens que nous avions choisi pour définir \(I_{\text{R2}} = I_1 - I_2\). La tension \(V_{\text{R2}}\) (\(\approx 6.364 \text{ V}\)) est la différence de potentiel \(V_{N1} - V_{N2}\), confirmant que le nœud N1 est au potentiel le plus élevé.
Points de vigilance
Ne pas confondre les courants de maille (fictifs, \(I_1, I_2\)) avec les courants de branche (réels, \(I_{R1}, I_{R2}, I_{R3}\)). Le courant dans une branche externe (\(R_1\) ou \(R_3\)) est égal au courant de la maille correspondante (\(I_{R1}=I_1\), \(I_{R3}=I_2\)), mais ce n'est pas vrai pour les branches internes partagées (\(I_{R2}=I_1-I_2\)).
Points à retenir
- Le courant réel dans une branche partagée est la différence algébrique des courants de maille la traversant.
- Le sens de cette différence dépend du sens positif choisi pour le courant de branche.
- La Loi d'Ohm (\(V=RI\)) s'applique toujours avec le courant *réel* de branche.
Le saviez-vous ?
Le concept de courant de maille a été introduit par James Clerk Maxwell. C'est une méthode systématique particulièrement utile lorsque le nombre de mailles est inférieur au nombre de nœuds (moins d'équations à résoudre que par la méthode des nœuds).
FAQ
...
Résultat Final
La tension à ses bornes est \(V_{\text{R2}} = \frac{70}{11} \text{ V} \approx 6.364 \text{ V}\) (avec le '+' en haut, au nœud N1).
A vous de jouer
En utilisant les résultats de l'exercice, quelle est la puissance dissipée par la résistance \(R_1\) ? (Rappel : \(P = R \cdot I^2\), et le courant dans \(R_1\) est \(I_1\))
Outil Interactif : Simulateur de Circuit
Utilisez les curseurs pour modifier la tension \(E_1\) et la résistance \(R_2\). Observez comment les courants de maille \(I_1\) et \(I_2\) sont affectés en temps réel. Les autres valeurs (\(E_2=5\text{ V}, R_1=2\text{ } \Omega, R_3=6\text{ } \Omega\)) restent fixes.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'énonce la Loi des Mailles (LVK) ?
2. Dans la Maille 1 (parcours horaire), pourquoi le terme pour \(E_1\) est-il positif (\(+E_1\)) ?
3. Comment exprime-t-on le courant traversant la résistance partagée \(R_2\) (de haut en bas) ?
4. D'après nos calculs, \(I_1 \approx 1.818\text{ A}\) et \(I_2 \approx 0.227\text{ A}\). Les deux sont positifs. Qu'est-ce que cela signifie ?
5. Dans l'équation de la Maille 2, \(-R_2(I_2 - I_1) - R_3 I_2 - E_2 = 0\). Pourquoi \(E_2\) a-t-il un signe négatif ?
Glossaire
- Loi des Mailles (LVK)
- Aussi appelée Loi des Tensions de Kirchhoff. Elle stipule que la somme algébrique des tensions (gains et chutes) dans n'importe quelle boucle fermée d'un circuit est égale à zéro.
- Loi d'Ohm
- La loi fondamentale qui relie la tension (\(V\)), le courant (\(I\)) et la résistance (\(R\)) dans un composant résistif : \(V = R \cdot I\).
- Maille
- Un chemin fermé ou une boucle dans un circuit électrique. On parle de "maille indépendante" pour celles qui ne peuvent pas être formées en combinant d'autres mailles.
- Courant de Maille
- Un courant fictif que l'on suppose circuler dans une maille. Le courant réel dans une branche est la somme ou la différence des courants de maille qui la traversent.
- Nœud
- Un point dans un circuit où trois branches ou plus se rencontrent.
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