Application des Lois d’Ohm et de Kirchhoff
Contexte : L'analyse de circuits en courant continu (DC)Un type de courant électrique qui circule de manière unidirectionnelle, contrairement au courant alternatif (AC)..
L'analyse des circuits électriques est fondamentale en électronique et en génie électrique. Elle repose sur des lois simples mais puissantes qui permettent de déterminer le comportement de n'importe quel circuit. Cet exercice se concentre sur l'application des deux piliers de cette analyse : la Loi d'OhmRelation fondamentale liant la tension, le courant et la résistance dans un circuit : V = I × R. et les Lois de KirchhoffDeux lois (loi des nœuds et loi des mailles) qui décrivent la conservation de la charge et de l'énergie dans les circuits électriques.. Nous allons étudier un circuit à deux mailles pour calculer les courants qui le parcourent.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème de circuit complexe en un système d'équations simples et à le résoudre méthodiquement. C'est une compétence essentielle pour tout technicien ou ingénieur en électronique.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la loi des mailles de Kirchhoff (LdM) pour écrire des équations de tension.
- Appliquer la loi des nœuds de Kirchhoff (LdN) pour écrire des équations de courant.
- Utiliser la loi d'Ohm pour relier tension, courant et résistance.
- Résoudre un système d'équations linéaires pour trouver les inconnues du circuit.
Données de l'étude
Composants du Circuit
Schéma du circuit à analyser
| Composant | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Source de tension 1 | \(V_1\) | \(12 \text{ V}\) |
| Source de tension 2 | \(V_2\) | \(5 \text{ V}\) |
| Résistance 1 | \(R_1\) | \(2 \text{ Ω}\) |
| Résistance 2 | \(R_2\) | \(4 \text{ Ω}\) |
| Résistance 3 | \(R_3\) | \(6 \text{ Ω}\) |
Questions à traiter
- Identifier les nœuds principaux et les mailles indépendantes du circuit.
- Appliquer la loi des nœuds de Kirchhoff au nœud A pour établir une relation entre les courants \(I_1\), \(I_2\) et \(I_3\).
- Appliquer la loi des mailles de Kirchhoff à la maille de gauche (contenant \(V_1\), \(R_1\) et \(R_2\)) pour obtenir une première équation.
- Appliquer la loi des mailles de Kirchhoff à la maille de droite (contenant \(V_2\), \(R_3\) et \(R_2\)) pour obtenir une seconde équation.
- Résoudre le système de trois équations pour déterminer les valeurs numériques de \(I_1\), \(I_2\) et \(I_3\).
Les bases sur l'analyse de circuits DC
Pour résoudre cet exercice, trois lois fondamentales de l'électricité sont nécessaires. Elles forment la base de l'analyse de tous les circuits en courant continu.
1. La Loi d'Ohm
La loi d'Ohm décrit la relation entre la tension (différence de potentiel) aux bornes d'un composant, le courant qui le traverse, et sa résistance. C'est la formule la plus fondamentale de l'électronique.
\[ V = R \cdot I \]
Où \(V\) est la tension en Volts (\(\text{V}\)), \(R\) la résistance en Ohms (\(\text{Ω}\)), et \(I\) le courant en Ampères (\(\text{A}\)).
2. La Loi des Nœuds de Kirchhoff (LdN)
Aussi appelée première loi de Kirchhoff, elle exprime la conservation de la charge électrique. Elle stipule que la somme des courants qui entrent dans un nœud (un point de jonction) est égale à la somme des courants qui en sortent.
\[ \sum I_{\text{entrant}} = \sum I_{\text{sortant}} \]
3. La Loi des Mailles de Kirchhoff (LdM)
Aussi appelée seconde loi de Kirchhoff, elle exprime la conservation de l'énergie. Elle stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) dans une boucle fermée (une maille) est nulle.
\[ \sum V = 0 \]
Correction : Application des Lois d’Ohm et de Kirchhoff
Question 1 : Identification des nœuds et mailles
Principe (le concept physique)
Avant tout calcul, il faut comprendre la "géographie" du circuit. Cela consiste à identifier les carrefours (nœuds) où le courant se sépare et les boucles (mailles) sur lesquelles on peut se déplacer pour revenir à son point de départ. C'est le plan du circuit.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Nœud : Un point de connexion où au moins trois branches du circuit se rencontrent. Branche : Une partie du circuit située entre deux nœuds. Maille : Tout chemin fermé dans un circuit. Une maille est dite indépendante si elle contient au moins une branche qui n'appartient à aucune autre maille sélectionnée.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Prenez toujours le temps de redessiner le circuit au brouillon et de marquer clairement les nœuds et les mailles que vous allez utiliser. Une bonne préparation évite 90% des erreurs de calcul.
Normes (la référence réglementaire)
En électronique, la topologie des circuits n'est pas régie par des normes au sens strict, mais par des conventions universellement acceptées issues de la théorie des graphes, qui est la base mathématique de l'analyse de circuit.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour cette étape, il n'y a pas de formule, mais une méthode d'inspection visuelle du circuit.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les fils de connexion sont parfaits, c'est-à-dire qu'ils ont une résistance nulle. Ainsi, tous les points sur un même fil entre deux composants sont au même potentiel électrique.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Donnée | Description |
|---|---|
| Schéma du circuit | La structure topologique du problème à analyser. |
Astuces (Pour aller plus vite)
Un nœud relie souvent plus de deux "fils". Ne comptez pas les virages dans un fil comme des nœuds. Pour les mailles, pensez aux "fenêtres" du circuit ; chaque fenêtre est généralement une maille indépendante.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma du circuit à analyser
Calcul(s) (l'application numérique)
Par inspection directe du schéma, nous identifions :
- Deux nœuds principaux : Le point A (jonction de R₁, R₂ et R₃) et le point B (jonction de V₁, R₂ et V₂).
- Deux mailles indépendantes : La maille de gauche (passant par V₁, R₁, R₂, B) et la maille de droite (passant par A, R₃, V₂, B, R₂).
Schéma (Après les calculs)
Identification des Nœuds et Mailles
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'identification correcte de 2 nœuds et 2 mailles indépendantes nous indique que nous aurons besoin de \(N_{\text{nœuds}}-1 = 1\) équation de nœud et \(N_{\text{mailles}} = 2\) équations de mailles pour former un système de 3 équations qui nous permettra de trouver nos 3 courants inconnus.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à ne pas considérer un simple coude dans un fil comme un nœud. Un nœud doit connecter au moins trois chemins distincts. De même, ne pas utiliser la grande maille extérieure comme troisième équation, car elle est une combinaison linéaire des deux autres et n'apporterait aucune nouvelle information.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Pour un circuit, le nombre d'équations de mailles indépendantes nécessaires est égal au nombre de branches moins le nombre de nœuds plus un (\(M = B - N + 1\)). Ici, B=5, N=2, donc M=5-2+1=4 branches et non 3. Le nombre de mailles indépendantes est \(B-(N-1)\) = 5-(2-1) = 4. Ici, nous avons 3 courants inconnus, donc 3 équations suffisent.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Gustav Kirchhoff a formulé ses lois en 1845, alors qu'il n'était encore qu'un étudiant. Ces lois sont des généralisations des travaux de Georg Ohm et sont fondamentales non seulement en électricité, mais aussi en thermodynamique et en spectroscopie.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)
Dans un circuit en "pont de Wheatstone" (4 résistances formant un losange avec une source), combien y a-t-il de nœuds principaux et de mailles indépendantes ?
Question 2 : Application de la Loi des Nœuds (LdN)
Principe (le concept physique)
La loi des nœuds est basée sur le principe fondamental de la conservation de la charge électrique. Imaginez un carrefour : le nombre de voitures qui y entrent par seconde doit être égal au nombre de voitures qui en sortent. Pour l'électricité, les "voitures" sont les charges, et leur débit est le courant.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La loi stipule : \(\sum_{k=1}^{n} I_k = 0\). C'est-à-dire que la somme algébrique des courants dans les branches qui se rencontrent en un nœud est toujours nulle. Par convention, les courants entrants sont comptés positivement (+) et les courants sortants négativement (-).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le choix initial du sens des flèches de courant est arbitraire. Ne vous inquiétez pas si vous vous trompez. Si le calcul final donne une valeur de courant négative, cela signifie simplement que le courant circule en réalité dans le sens opposé à votre flèche.
Normes (la référence réglementaire)
Cette loi est une loi fondamentale de la physique, pas une norme industrielle. Elle est universellement appliquée dans tous les domaines de l'électrotechnique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le circuit est en régime stationnaire, c'est-à-dire que les courants et les tensions ne varient pas dans le temps. Aucune charge ne peut donc s'accumuler ou disparaître au niveau du nœud.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Donnée | Description |
|---|---|
| Courants au nœud A | \(I_1\) (entrant), \(I_2\) (sortant), \(I_3\) (sortant) |
Astuces (Pour aller plus vite)
Pensez "ce qui rentre = ce qui sort". C'est la façon la plus intuitive d'appliquer la loi sans se tromper avec les signes.
Schéma (Avant les calculs)
Focus sur le Nœud A
Calcul(s) (l'application numérique)
Équation des courants au nœud A
Schéma (Après les calculs)
Relation des courants au Nœud A
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette équation simple est cruciale. Elle nous dit que le courant fourni par la branche de gauche se divise pour alimenter les deux autres branches. Elle lie nos trois inconnues, réduisant ainsi la complexité du problème.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est une erreur de signe. Assurez-vous de bien séparer les courants entrants des courants sortants, ou utilisez la convention de signe (+ entrant, - sortant) de manière cohérente.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La loi des nœuds est la première étape pour résoudre les circuits à plusieurs branches. Retenez simplement : la somme des courants arrivant à un point est égale à la somme des courants qui en partent.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La loi des nœuds est analogue au principe de conservation de la masse en mécanique des fluides : le débit d'eau entrant dans une jonction de tuyaux est égal au débit total sortant.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)
Un nœud reçoit un courant de 5A et un autre de 2A. Deux branches en repartent. Si le courant dans l'une est de 4A, quel est le courant dans l'autre ?
Question 3 : Loi des Mailles (LdM) - Maille de Gauche
Principe (le concept physique)
La loi des mailles est l'expression de la conservation de l'énergie. Imaginez que la tension est une altitude. Si vous faites une randonnée en boucle et revenez à votre point de départ, votre dénivelé total (montées - descentes) est nul. Dans un circuit, les sources de tension sont des "montées" (gain d'énergie potentielle) et les résistances des "descentes" (perte d'énergie).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La loi stipule \(\sum V = 0\). On choisit un sens de parcours (ex: horaire). On somme les tensions : +V si on traverse une source de - à +, -V si on traverse de + à -. Pour une résistance, la chute de tension est -RI si on la parcourt dans le sens du courant, et +RI si on la parcourt à contre-courant.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La clé est la rigueur. Fixez un sens de parcours pour votre maille et ne le changez pas. Appliquez ensuite méticuleusement les conventions de signe pour chaque composant rencontré. C'est une méthode infaillible.
Normes (la référence réglementaire)
Comme la loi des nœuds, c'est une loi fondamentale de la physique et non une norme industrielle. Elle est universelle.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Loi des mailles
Loi d'Ohm
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les sources de tension sont idéales (sans résistance interne) et que les résistances sont ohmiques (leur valeur ne change pas avec le courant ou la température).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Tension Source 1 | \(V_1\) | \(12 \text{ V}\) |
| Résistance 1 | \(R_1\) | \(2 \text{ Ω}\) |
| Résistance 2 | \(R_2\) | \(4 \text{ Ω}\) |
Astuces (Pour aller plus vite)
Pour éviter les erreurs de signe, vous pouvez mettre toutes les "montées" (sources de tension positives) d'un côté de l'équation et toutes les "descentes" (chutes de tension dans les résistances) de l'autre : \(\sum V_{\text{sources}} = \sum R \cdot I\).
Schéma (Avant les calculs)
Parcours de la Maille de Gauche (sens horaire)
Calcul(s) (l'application numérique)
Somme des tensions dans la maille
Équation de la maille
Schéma (Après les calculs)
Maille de Gauche avec Tensions Indiquées
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette équation traduit l'équilibre des tensions dans la première boucle. Elle nous montre que la tension fournie par \(V_1\) est entièrement "consommée" par les chutes de tension dans les résistances \(R_1\) et \(R_2\). C'est une relation entre \(I_1\) et \(I_2\).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est d'oublier un signe, ou de mal appliquer la convention pour les chutes de tension. Parcourez la boucle lentement et notez le signe de chaque terme un par un.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Pour appliquer la loi des mailles : 1. Choisissez une maille. 2. Choisissez un sens de parcours. 3. Parcourez la maille en additionnant les tensions (+ pour un gain, - pour une chute). 4. Égalez la somme à zéro.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La loi des mailles est directement liée au fait que le champ électrique est un champ conservatif. Cela signifie que le travail effectué par le champ pour déplacer une charge sur une boucle fermée est nul, ce qui est l'équivalent physique de \(\sum V = 0\).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)
Réécrivez l'équation de la maille 1 si la tension \(V_1\) était inversée (borne + en bas).
Question 4 : Loi des Mailles (LdM) - Maille de Droite
Principe (le concept physique)
Le principe de conservation de l'énergie est appliqué de la même manière à la deuxième boucle indépendante du circuit. La somme des "montées" et "descentes" de potentiel doit encore être nulle.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La méthode est identique à la question précédente. La seule subtilité concerne les composants partagés entre plusieurs mailles, comme \(R_2\). Le traitement de sa chute de tension dépend du sens de parcours de la maille actuelle par rapport au sens du courant qui la traverse.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est ici que la rigueur est la plus payante. Concentrez-vous uniquement sur la maille de droite. Le fait que \(R_2\) appartienne aussi à une autre maille n'a aucune importance pour l'écriture de cette équation-ci.
Normes (la référence réglementaire)
Loi fondamentale de la physique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les composants sont considérés comme idéaux.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Tension Source 2 | \(V_2\) | \(5 \text{ V}\) |
| Résistance 2 | \(R_2\) | \(4 \text{ Ω}\) |
| Résistance 3 | \(R_3\) | \(6 \text{ Ω}\) |
Astuces (Pour aller plus vite)
Avant de commencer, identifiez les composants où vous irez "à contre-courant". Ici, en parcourant la maille de droite dans le sens horaire, on remonte le courant \(I_2\). Attendez-vous donc à un terme en \(+R_2I_2\).
Schéma (Avant les calculs)
Parcours de la Maille de Droite (sens horaire)
Calcul(s) (l'application numérique)
Somme des tensions dans la maille
Équation de la maille
Schéma (Après les calculs)
Maille de Droite avec Tensions Indiquées
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette équation nous donne une deuxième relation indépendante, cette fois entre les courants \(I_2\) et \(I_3\). Nous avons maintenant assez d'équations pour résoudre le problème.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Le point le plus délicat ici est la résistance \(R_2\). Comme notre parcours horaire traverse \(R_2\) de bas en haut, nous allons à contre-courant de \(I_2\), qui va de haut en bas. La tension à ses bornes sera donc comptée comme un gain (+R₂I₂) et non une chute.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La tension aux bornes d'une résistance partagée dépend du sens de parcours de la maille considérée. C'est la seule vraie difficulté de la méthode des mailles.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
L'énergie "perdue" dans les résistances n'est pas vraiment perdue, elle est transformée en chaleur. C'est l'effet Joule, utilisé dans les grille-pains, les radiateurs électriques, mais c'est une perte d'énergie non désirée dans les circuits électroniques.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)
Si le courant \(I_2\) était nul, quelle serait la valeur de \(I_3\) ?
Question 5 : Résolution du système d'équations
Principe (le concept physique)
La physique nous a donné les lois pour modéliser le circuit. Maintenant, les mathématiques prennent le relais pour résoudre ce modèle. Nous avons créé un système de trois équations linéaires à trois inconnues, que nous pouvons résoudre pour trouver la valeur unique de chaque courant.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La méthode de substitution consiste à isoler une variable dans une équation (par exemple, exprimer \(I_1\) en fonction de \(I_2\) et \(I_3\)) et à remplacer cette expression dans les autres équations. Cela réduit le nombre de variables et d'équations, jusqu'à n'en avoir plus qu'une, que l'on peut résoudre directement.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Soyez organisé. Numérotez vos équations. Écrivez chaque étape de la substitution clairement. C'est un travail de pure algèbre où la propreté du raisonnement est la clé pour éviter les erreurs.
Normes (la référence réglementaire)
Les méthodes de résolution de systèmes linéaires relèvent des mathématiques pures (algèbre linéaire) et ne sont pas soumises à des normes techniques.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Système d'équations à résoudre
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le système d'équations a une solution unique, ce qui est le cas pour la quasi-totalité des circuits passifs comme celui-ci.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Donnée | Description |
|---|---|
| Équation 1 | Relation des courants issue de la LdN |
| Équation 2 | Relation des tensions issue de la Maille 1 |
| Équation 3 | Relation des tensions issue de la Maille 2 |
Astuces (Pour aller plus vite)
L'équation (1) est déjà parfaite pour la substitution. Utilisez-la immédiatement pour éliminer \(I_1\) des autres équations. C'est le chemin le plus direct.
Schéma (Avant les calculs)
Circuit Prêt pour la Résolution
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Substitution de \(I_1\) dans l'équation (2)
Étape 2 : Isolation de \(I_3\)
Étape 3 : Substitution de \(I_3\) dans l'équation (3)
Étape 4 : Calcul de \(I_3\)
Étape 5 : Calcul de \(I_1\)
Schéma (Après les calculs)
Circuit Résolu avec Valeurs des Courants
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Toutes les valeurs de courant calculées sont positives. Cela signifie que le sens que nous avions arbitrairement choisi pour chaque courant au début était correct. On voit que la majorité du courant \(I_1\) passe par la branche centrale (\(I_2\)), ce qui est logique car la tension \(V_2\) s'oppose au passage du courant dans la branche de droite.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Les erreurs de calcul sont fréquentes. Double-vérifiez chaque étape de substitution et de simplification. Une simple erreur de signe au début se propagera et donnera un résultat final complètement faux.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La méthode est toujours la même : 1. Écrire N-1 équations de nœuds. 2. Écrire les équations pour les mailles indépendantes. 3. Résoudre le système d'équations obtenu. Maîtrisez cette séquence et vous pourrez résoudre la plupart des circuits DC.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Pour les circuits très complexes avec de nombreuses mailles, la résolution manuelle devient impossible. Les ingénieurs utilisent des logiciels de simulation (comme SPICE) qui représentent le système d'équations sous forme de matrices et les résolvent numériquement en quelques millisecondes.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)
Calculez la tension aux bornes de la résistance \(R_2\). (Indice : Loi d'Ohm !)
Outil Interactif : Simulateur de Circuit
Utilisez les curseurs ci-dessous pour modifier les valeurs des sources de tension et observez en temps réel comment les courants dans les différentes branches du circuit sont affectés.
Paramètres d'Entrée
Courants Calculés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. La loi des nœuds de Kirchhoff est une conséquence de la conservation de...
2. Dans une maille, la somme des tensions est...
3. Si on double la tension aux bornes d'une résistance, que devient le courant qui la traverse (selon la loi d'Ohm) ?
4. Qu'est-ce qu'un nœud dans un circuit électrique ?
5. Si \(I_1 = 3\text{ A}\) et \(I_3 = 1\text{ A}\), que vaut \(I_2\) selon l'équation \(I_1 = I_2 + I_3\) ?
Glossaire
- Courant (I)
- Débit de charges électriques dans un conducteur, mesuré en Ampères (A).
- Loi d'Ohm
- Loi fondamentale qui établit que la tension aux bornes d'une résistance est proportionnelle au courant qui la traverse (\(V = R \cdot I\)).
- Loi des Mailles (LdM)
- La somme algébrique des tensions dans n'importe quelle boucle fermée (maille) d'un circuit est égale à zéro. C'est une expression de la conservation de l'énergie.
- Loi des Nœuds (LdN)
- La somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortant de ce nœud. C'est une expression de la conservation de la charge.
- Maille
- Un chemin fermé ou une boucle dans un circuit électrique.
- Nœud
- Un point dans un circuit où trois conducteurs ou plus sont connectés.
- Résistance (R)
- Propriété d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique, mesurée en Ohms (Ω).
- Tension (V)
- Différence de potentiel électrique entre deux points, mesurée en Volts (V). C'est la "force" qui pousse les charges électriques.
D’autres exercices d’electronique:
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