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Calcul de la Puissance d’un Alternateur Éolien

Calcul de la Puissance d’un Alternateur Éolien

Calcul de la Puissance d’un Alternateur Éolien

Comprendre comment l'énergie du vent est convertie en énergie électrique par une éolienne et calculer les différentes puissances mises en jeu.

Une éolienne convertit l'énergie cinétique du vent en énergie mécanique de rotation des pales, puis cette énergie mécanique est transformée en énergie électrique par un alternateur.

La puissance cinétique du vent (\(P_{vent}\)) qui traverse une surface \(A_{pale}\) (aire balayée par les pales) à une vitesse \(v_{vent}\) est donnée par :

\[ P_{vent} = \frac{1}{2} \cdot \rho_{air} \cdot A_{pale} \cdot v_{vent}^3 \]

Où :

  • \(P_{vent}\) est la puissance du vent en Watts (W).
  • \(\rho_{air}\) est la masse volumique de l'air en kg/m³.
  • \(A_{pale}\) est l'aire balayée par les pales en m² (pour une éolienne à axe horizontal, \(A_{pale} = \pi R^2\) où \(R\) est le rayon d'une pale).
  • \(v_{vent}\) est la vitesse du vent en m/s.

Toute la puissance du vent ne peut pas être captée. Le coefficient de puissance (\(C_p\)), ou limite de Betz, indique la fraction maximale de l'énergie du vent qui peut être extraite par une éolienne (théoriquement \(C_{p,max} \approx 0.59\)). La puissance mécanique (\(P_{meca}\)) réellement captée par les pales est :

\[ P_{meca} = C_p \cdot P_{vent} \]

L'alternateur convertit ensuite cette puissance mécanique en puissance électrique (\(P_{elec}\)) avec un certain rendement (\(\eta_{alt}\)) :

\[ P_{elec} = \eta_{alt} \cdot P_{meca} \]

Données du Problème

On étudie une éolienne de taille moyenne.

  • Rayon des pales de l'éolienne : \(R = 25 \text{ m}\)
  • Vitesse du vent : \(v_{vent} = 12 \text{ m/s}\)
  • Masse volumique de l'air : \(\rho_{air} = 1.2 \text{ kg/m}^3\)
  • Coefficient de puissance de l'éolienne : \(C_p = 0.40\)
  • Rendement de l'alternateur (incluant le multiplicateur s'il y en a un) : \(\eta_{alt} = 0.85\) (85%)
  • On prendra \(\pi \approx 3.1416\)
Vent (v_vent) Alternateur (P_elec) Éolienne
Schéma simplifié d'une éolienne et de la conversion d'énergie.

Questions

  1. Calculer l'aire \(A_{pale}\) balayée par les pales de l'éolienne.
  2. Calculer la puissance du vent (\(P_{vent}\)) interceptée par les pales.
  3. Calculer la puissance mécanique (\(P_{meca}\)) réellement captée par les pales.
  4. Calculer la puissance électrique (\(P_{elec}\)) fournie par l'alternateur de l'éolienne. Exprimer le résultat en kilowatts (kW).
  5. Si cette éolienne fonctionne à sa puissance électrique calculée pendant 24 heures, quelle quantité d'énergie électrique (en kWh) produirait-elle ?
  6. La vitesse du vent double et passe à \(24 \text{ m/s}\). En supposant que \(C_p\) et \(\eta_{alt}\) restent les mêmes, par quel facteur la puissance électrique produite est-elle multipliée ? Calculer cette nouvelle puissance électrique.

Correction : Calcul de la Puissance d’un Alternateur Éolien

1. Calcul de l'Aire Balayée par les Pales (\(A_{pale}\))

L'aire balayée par les pales d'une éolienne à axe horizontal est un disque de rayon \(R\). \(A_{pale} = \pi R^2\).

Données :

  • \(R = 25 \text{ m}\)
  • \(\pi \approx 3.1416\)
\begin{aligned} A_{pale} &= \pi \times (25 \text{ m})^2 \\ &= \pi \times 625 \text{ m}^2 \\ &\approx 3.1416 \times 625 \text{ m}^2 \\ &\approx 1963.5 \text{ m}^2 \end{aligned}

L'aire balayée par les pales est \(A_{pale} \approx 1963.5 \text{ m}^2\).

Quiz Intermédiaire

Question : Si le rayon des pales d'une éolienne double, l'aire balayée par les pales est multipliée par :

  • \(\pi\)

2. Calcul de la Puissance du Vent (\(P_{vent}\))

On utilise \(P_{vent} = \frac{1}{2} \cdot \rho_{air} \cdot A_{pale} \cdot v_{vent}^3\).

Données :

  • \(\rho_{air} = 1.2 \text{ kg/m}^3\)
  • \(A_{pale} \approx 1963.5 \text{ m}^2\)
  • \(v_{vent} = 12 \text{ m/s}\)
\begin{aligned} P_{vent} &\approx \frac{1}{2} \times 1.2 \text{ kg/m}^3 \times 1963.5 \text{ m}^2 \times (12 \text{ m/s})^3 \\ &\approx 0.6 \times 1963.5 \times 1728 \text{ W} \\ &\approx 1178.1 \times 1728 \text{ W} \\ &\approx 2035236.8 \text{ W} \\ &\approx 2.035 \times 10^6 \text{ W} \end{aligned}

La puissance du vent interceptée est \(P_{vent} \approx 2035237 \text{ W}\) (soit environ 2.04 MW).

3. Calcul de la Puissance Mécanique (\(P_{meca}\)) Captée

On utilise \(P_{meca} = C_p \cdot P_{vent}\).

Données :

  • \(C_p = 0.40\)
  • \(P_{vent} \approx 2035236.8 \text{ W}\)
\begin{aligned} P_{meca} &\approx 0.40 \times 2035236.8 \text{ W} \\ &\approx 814094.72 \text{ W} \end{aligned}

La puissance mécanique captée par les pales est \(P_{meca} \approx 814095 \text{ W}\) (soit environ 814 kW).

Quiz Intermédiaire

Question : Le coefficient de puissance \(C_p\) d'une éolienne :

4. Calcul de la Puissance Électrique (\(P_{elec}\)) Fournie

On utilise \(P_{elec} = \eta_{alt} \cdot P_{meca}\).

Données :

  • \(\eta_{alt} = 0.85\)
  • \(P_{meca} \approx 814094.72 \text{ W}\)
\begin{aligned} P_{elec} &\approx 0.85 \times 814094.72 \text{ W} \\ &\approx 691980.512 \text{ W} \end{aligned}

Conversion en kilowatts (\(1 \text{ kW} = 1000 \text{ W}\)) :

\begin{aligned} P_{elec} &\approx \frac{691980.512}{1000} \text{ kW} \\ &\approx 691.98 \text{ kW} \end{aligned}

La puissance électrique fournie par l'alternateur est \(P_{elec} \approx 692.0 \text{ kW}\).

5. Énergie Électrique Produite en 24 heures

L'énergie \(E\) est \(E = P_{elec} \cdot \Delta t\). La puissance doit être en kW et le temps en heures pour obtenir des kWh.

Données :

  • \(P_{elec} \approx 691.98 \text{ kW}\)
  • \(\Delta t = 24 \text{ h}\)
\begin{aligned} E_{24h} &\approx 691.98 \text{ kW} \times 24 \text{ h} \\ &\approx 16607.52 \text{ kWh} \end{aligned}

L'énergie électrique produite en 24 heures est \(E_{24h} \approx 16608 \text{ kWh}\).

Quiz Intermédiaire

Question : Si un appareil de 2 kW fonctionne pendant 30 minutes, l'énergie consommée est de :

6. Effet du Doublement de la Vitesse du Vent

La puissance du vent \(P_{vent}\) est proportionnelle au cube de la vitesse du vent (\(v_{vent}^3\)). Si \(v_{vent}\) double, \(v_{vent}^3\) est multiplié par \(2^3 = 8\). Comme \(P_{meca} = C_p P_{vent}\) et \(P_{elec} = \eta_{alt} P_{meca}\), si \(C_p\) et \(\eta_{alt}\) restent constants, la puissance électrique sera également multipliée par 8.

Nouvelle vitesse du vent : \(v'_{vent} = 2 \times 12 \text{ m/s} = 24 \text{ m/s}\).

Nouvelle puissance électrique \(P'_{elec}\) :

\begin{aligned} P'_{elec} &= P_{elec} \times (2)^3 \\ &\approx 691.98 \text{ kW} \times 8 \\ &\approx 5535.84 \text{ kW} \end{aligned}

Vérification par calcul direct :

Nouveau \(P'_{vent}\) :

\begin{aligned} P'_{vent} &\approx \frac{1}{2} \times 1.2 \times 1963.5 \times (24)^3 \\ &\approx 0.6 \times 1963.5 \times 13824 \\ &\approx 16281894.4 \text{ W} \end{aligned}

(Note: \(P'_{vent} = P_{vent} \times 8 \approx 2035236.8 \times 8 = 16281894.4 \text{ W}\))

Nouveau \(P'_{meca}\) :

\begin{aligned} P'_{meca} &\approx 0.40 \times 16281894.4 \text{ W} \\ &\approx 6512757.76 \text{ W} \end{aligned}

Nouveau \(P'_{elec}\) :

\begin{aligned} P'_{elec} &\approx 0.85 \times 6512757.76 \text{ W} \\ &\approx 5535844.096 \text{ W} \\ &\approx 5535.84 \text{ kW} \end{aligned}

Si la vitesse du vent double, la puissance électrique est multipliée par \(2^3 = 8\). La nouvelle puissance électrique serait d'environ \(5535.8 \text{ kW}\).

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : La puissance disponible dans le vent est proportionnelle à :

Question 2 : Le coefficient de puissance \(C_p\) d'une éolienne :

Question 3 : Le rendement d'un alternateur \(\eta_{alt}\) est le rapport :

Question 4 : Si la vitesse du vent triple, la puissance du vent est multipliée par :

Glossaire des Termes Clés

Éolienne :

Machine qui convertit l'énergie cinétique du vent en énergie mécanique, laquelle est ensuite généralement convertie en énergie électrique par un alternateur.

Alternateur :

Machine électrique qui convertit l'énergie mécanique de rotation en énergie électrique sous forme de courant alternatif.

Puissance du Vent (\(P_{vent}\)) :

Puissance cinétique totale de la masse d'air traversant l'aire balayée par les pales par unité de temps.

Aire Balayée (\(A_{pale}\)) :

Surface circulaire couverte par la rotation des pales de l'éolienne.

Masse Volumique de l'Air (\(\rho_{air}\)) :

Masse de l'air par unité de volume. Elle dépend de la température, de la pression et de l'humidité.

Coefficient de Puissance (\(C_p\)) :

Rapport entre la puissance mécanique extraite par les pales et la puissance totale du vent traversant l'aire balayée. Sa valeur maximale théorique est la limite de Betz (\(\approx 0.59\)).

Puissance Mécanique (\(P_{meca}\)) :

Puissance transférée du vent aux pales de l'éolienne, disponible sur l'arbre du rotor.

Puissance Électrique (\(P_{elec}\)) :

Puissance électrique produite par l'alternateur de l'éolienne.

Rendement (\(\eta\)) :

Rapport entre la puissance de sortie et la puissance d'entrée d'un système. Pour l'alternateur, \(\eta_{alt} = P_{elec} / P_{meca}\).

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Pourquoi la puissance du vent dépend-elle du cube de la vitesse du vent ? Quelles sont les implications pour la production d'énergie éolienne ?

2. La limite de Betz (\(C_p \approx 0.59\)) signifie qu'une éolienne ne peut pas capter 100% de l'énergie du vent. Pourquoi existe-t-il une telle limite théorique ?

3. Quels sont les différents types d'éoliennes (axe horizontal, axe vertical) et leurs avantages/inconvénients respectifs ?

4. Comment la hauteur du mât d'une éolienne influence-t-elle la vitesse du vent rencontrée par les pales et donc la puissance produite ?

5. L'énergie éolienne est une source d'énergie renouvelable. Quels sont ses principaux avantages et défis environnementaux et sociétaux ?

Calcul de la Puissance d’un Alternateur Éolien

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