Exercices Électricité

Calcul du Rendement d’un Transformateur

Calcul du Rendement d’un Transformateur

Calcul du Rendement d’un Transformateur

Comprendre le Rendement d'un Transformateur

Le rendement d'un transformateur de puissance est un indicateur clé de son efficacité énergétique. Il représente la fraction de la puissance d'entrée qui est effectivement transférée à la sortie. Un rendement élevé signifie que peu de puissance est perdue lors de la transformation. Les pertes dans un transformateur sont principalement de deux types : les pertes fer (ou pertes à vide), qui se produisent dans le noyau magnétique et sont pratiquement constantes quelle que soit la charge, et les pertes cuivre (ou pertes en charge), qui se produisent dans les enroulements et varient avec le carré du courant de charge. L'objectif de cet exercice est de calculer le rendement d'un transformateur dans différentes conditions de fonctionnement à partir des résultats d'essais normalisés.

Données de l'étude

On étudie un transformateur monophasé dont les caractéristiques nominales et les résultats d'essais sont les suivants :

Caractéristiques nominales :

  • Puissance apparente nominale (\(S_n\)) : \(100 \, \text{kVA}\)
  • Tension primaire nominale (\(V_{1n}\)) : \(10000 \, \text{V}\)
  • Tension secondaire nominale (\(V_{2n}\)) : \(400 \, \text{V}\)
  • Fréquence (\(f\)) : \(50 \, \text{Hz}\)

Résultats des essais :

  • Essai à vide (effectué côté Basse Tension - BT, sous tension \(V_{2n}\)) :
    • Tension à vide (\(V_{oc} = V_{2n}\)) : \(400 \, \text{V}\)
    • Courant à vide (\(I_{oc}\)) : \(3.0 \, \text{A}\)
    • Puissance absorbée à vide (\(P_{oc}\)) : \(300 \, \text{W}\)
  • Essai en court-circuit (effectué côté Haute Tension - HT, avec le secondaire en court-circuit, courant primaire \(I_{1cc} = I_{1n}\)) :
    • Courant de court-circuit (\(I_{1cc} = I_{1n}\)) : (à calculer)
    • Puissance absorbée en court-circuit (\(P_{sc}\)) : \(1200 \, \text{W}\)
Schéma Simplifié d'un Transformateur Monophasé
V₁ Primaire V₂ Secondaire Transformateur Monophasé

Représentation schématique d'un transformateur avec ses enroulements primaire et secondaire autour d'un noyau.

Questions à traiter

  1. Calculer les pertes fer (\(P_{fe}\)) et les pertes cuivre nominales (\(P_{cu,n}\)) du transformateur.
  2. Calculer le rendement (\(\eta\)) du transformateur à pleine charge (\(x=1\)) pour un facteur de puissance de la charge \(\cos(\phi_2) = 0.8\) inductif.
  3. Calculer le rendement (\(\eta\)) du transformateur à 75% de sa charge nominale (\(x=0.75\)) pour un facteur de puissance unitaire (\(\cos(\phi_2) = 1\)).
  4. Déterminer le taux de charge (\(x\)) pour lequel le rendement du transformateur est maximal.
  5. Calculer ce rendement maximal (\(\eta_{max}\)) si la charge a un facteur de puissance de 0.9 inductif.

Correction : Calcul du Rendement d’un Transformateur

Question 1 : Calcul des pertes fer (\(P_{fe}\)) et des pertes cuivre nominales (\(P_{cu,n}\))

Principe :

Les pertes fer (\(P_{fe}\)) sont déterminées par l'essai à vide et sont considérées comme constantes. La puissance mesurée lors de l'essai à vide (\(P_{oc}\)) correspond essentiellement aux pertes fer.

Les pertes cuivre nominales (\(P_{cu,n}\)) sont déterminées par l'essai en court-circuit lorsque le transformateur débite son courant nominal. La puissance mesurée lors de cet essai (\(P_{sc}\)) correspond aux pertes cuivre à ce courant nominal.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{fe} = P_{oc}\] \[P_{cu,n} = P_{sc} \quad (\text{lorsque } I_{1cc} = I_{1n})\]
Données spécifiques :
  • Puissance absorbée à vide (\(P_{oc}\)) : \(300 \, \text{W}\)
  • Puissance absorbée en court-circuit (au courant nominal) (\(P_{sc}\)) : \(1200 \, \text{W}\)
Calcul :
\[P_{fe} = 300 \, \text{W}\] \[P_{cu,n} = 1200 \, \text{W}\]
Résultat Question 1 :
  • Pertes fer (\(P_{fe}\)) : \(300 \, \text{W}\)
  • Pertes cuivre nominales (\(P_{cu,n}\)) : \(1200 \, \text{W}\)

Quiz Intermédiaire 1 : Les pertes fer dans un transformateur sont principalement localisées dans :

Question 2 : Rendement (\(\eta\)) à pleine charge, \(\cos(\phi_2) = 0.8\) inductif

Principe :

Le rendement (\(\eta\)) est le rapport de la puissance active fournie à la charge (\(P_{sortie}\)) sur la puissance active absorbée par le transformateur (\(P_{entree}\)). La puissance d'entrée est la somme de la puissance de sortie et des pertes totales (\(P_{fe} + P_{cu,charge}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\eta = \frac{P_{sortie}}{P_{entree}} = \frac{P_{sortie}}{P_{sortie} + P_{fe} + P_{cu,charge}}\] \[P_{sortie} = x \cdot S_n \cdot \cos(\phi_2)\] \[P_{cu,charge} = x^2 \cdot P_{cu,n}\]

Où \(x\) est le taux de charge (ici \(x=1\) pour la pleine charge).

Données spécifiques :
  • Taux de charge \(x = 1\)
  • \(S_n = 100 \, \text{kVA} = 100000 \, \text{VA}\)
  • \(\cos(\phi_2) = 0.8\)
  • \(P_{fe} = 300 \, \text{W}\)
  • \(P_{cu,n} = 1200 \, \text{W}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{sortie} &= 1 \times 100000 \, \text{VA} \times 0.8 \\ &= 80000 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{cu,charge} &= (1)^2 \times 1200 \, \text{W} \\ &= 1200 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \eta &= \frac{80000 \, \text{W}}{80000 \, \text{W} + 300 \, \text{W} + 1200 \, \text{W}} \\ &= \frac{80000}{81500} \\ &\approx 0.981595 \\ &\approx 98.16\% \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le rendement à pleine charge pour \(\cos(\phi_2) = 0.8\) inductif est \(\eta \approx 98.16\%\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si un transformateur fonctionne à pleine charge, cela signifie que :

Question 3 : Rendement (\(\eta\)) à 75% de charge, \(\cos(\phi_2) = 1\)

Principe :

Le calcul du rendement suit la même logique que précédemment, mais avec un taux de charge et un facteur de puissance différents.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\eta = \frac{P_{sortie}}{P_{sortie} + P_{fe} + P_{cu,charge}}\] \[P_{sortie} = x \cdot S_n \cdot \cos(\phi_2)\] \[P_{cu,charge} = x^2 \cdot P_{cu,n}\]
Données spécifiques :
  • Taux de charge \(x = 0.75\)
  • \(S_n = 100000 \, \text{VA}\)
  • \(\cos(\phi_2) = 1\)
  • \(P_{fe} = 300 \, \text{W}\)
  • \(P_{cu,n} = 1200 \, \text{W}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{sortie} &= 0.75 \times 100000 \, \text{VA} \times 1 \\ &= 75000 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{cu,charge} &= (0.75)^2 \times 1200 \, \text{W} \\ &= 0.5625 \times 1200 \, \text{W} \\ &= 675 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \eta &= \frac{75000 \, \text{W}}{75000 \, \text{W} + 300 \, \text{W} + 675 \, \text{W}} \\ &= \frac{75000}{75975} \\ &\approx 0.987167 \\ &\approx 98.72\% \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le rendement à 75% de charge pour \(\cos(\phi_2) = 1\) est \(\eta \approx 98.72\%\).

Quiz Intermédiaire 3 : Pour un même taux de charge, le rendement d'un transformateur est généralement plus élevé lorsque le facteur de puissance de la charge est :

Question 4 : Taux de charge (\(x\)) pour rendement maximal

Principe :

Le rendement d'un transformateur est maximal lorsque les pertes cuivre variables (\(P_{cu,charge}\)) sont égales aux pertes fer constantes (\(P_{fe}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{cu,charge} = P_{fe}\] \[x^2 P_{cu,n} = P_{fe}\] \[x = \sqrt{\frac{P_{fe}}{P_{cu,n}}}\]
Données spécifiques :
  • \(P_{fe} = 300 \, \text{W}\)
  • \(P_{cu,n} = 1200 \, \text{W}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} x &= \sqrt{\frac{300 \, \text{W}}{1200 \, \text{W}}} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4}} \\ &= \sqrt{0.25} \\ &= 0.5 \end{aligned} \]

Le rendement est maximal à 50% de la charge nominale.

Résultat Question 4 : Le rendement est maximal pour un taux de charge \(x = 0.5\) (soit 50%).

Quiz Intermédiaire 4 : Si les pertes fer d'un transformateur augmentent, le taux de charge pour un rendement maximal :

Question 5 : Calcul du rendement maximal (\(\eta_{max}\)) pour \(\cos(\phi_2) = 0.9\) inductif

Principe :

Le rendement maximal est calculé au taux de charge \(x\) déterminé à la question précédente (où \(P_{cu,charge} = P_{fe}\)). Le facteur de puissance de la charge influence la puissance de sortie et donc la valeur du rendement maximal.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\eta_{max} = \frac{P_{sortie, max\_rend}}{P_{sortie, max\_rend} + 2 \cdot P_{fe}}\] \[P_{sortie, max\_rend} = x \cdot S_n \cdot \cos(\phi_2)\]

Où \(x = 0.5\) (taux de charge pour \(\eta_{max}\)) et \(\cos(\phi_2) = 0.9\).

Données spécifiques :
  • \(x = 0.5\)
  • \(S_n = 100000 \, \text{VA}\)
  • \(\cos(\phi_2) = 0.9\)
  • \(P_{fe} = 300 \, \text{W}\)
  • (Au rendement maximal, \(P_{cu,charge} = P_{fe} = 300 \, \text{W}\))
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{sortie, max\_rend} &= 0.5 \times 100000 \, \text{VA} \times 0.9 \\ &= 50000 \, \text{VA} \times 0.9 \\ &= 45000 \, \text{W} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \eta_{max} &= \frac{45000 \, \text{W}}{45000 \, \text{W} + P_{fe} + P_{cu,charge\_max\_rend}} \\ &= \frac{45000}{45000 + 300 + 300} \\ &= \frac{45000}{45600} \\ &\approx 0.986842 \\ &\approx 98.68\% \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le rendement maximal pour un facteur de puissance de 0.9 inductif est \(\eta_{max} \approx 98.68\%\).

Quiz Intermédiaire 5 : Au point de rendement maximal, les pertes totales du transformateur sont égales à :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'essai en court-circuit d'un transformateur est effectué en appliquant une tension réduite au primaire tout en :

2. La régulation de tension d'un transformateur est idéalement :

3. Les pertes fer dans un transformateur sont principalement dues :

Glossaire

Transformateur
Appareil électrique statique qui transfère de l'énergie électrique d'un circuit à un autre par induction électromagnétique, généralement avec un changement de tension et de courant.
Rendement (\(\eta\))
Rapport de la puissance active de sortie à la puissance active d'entrée. Il mesure l'efficacité énergétique du transformateur.
Régulation de Tension (\(\Delta V_2\%\))
Mesure de la variation de la tension secondaire d'un transformateur entre le fonctionnement à vide et le fonctionnement en charge, exprimée en pourcentage de la tension nominale en charge.
Pertes Fer (\(P_{fe}\) ou \(P_{oc}\))
Pertes de puissance dans le noyau magnétique du transformateur, dues aux courants de Foucault et au cycle d'hystérésis. Elles sont pratiquement constantes quelle que soit la charge.
Pertes Cuivre (\(P_{cu}\) ou \(P_{sc}\) à charge nominale)
Pertes par effet Joule dans les résistances des enroulements primaire et secondaire. Elles varient avec le carré du courant de charge.
Circuit Équivalent
Modèle électrique simplifié représentant le comportement d'un transformateur réel, utilisé pour analyser sa performance.
Essai à Vide (Open Circuit Test)
Essai effectué en alimentant un enroulement (généralement le primaire ou le secondaire selon la praticité) à sa tension nominale, l'autre enroulement étant laissé ouvert. Il permet de déterminer les pertes fer et les paramètres de la branche de magnétisation.
Essai en Court-Circuit (Short Circuit Test)
Essai effectué en alimentant un enroulement (généralement le primaire) avec une tension réduite de manière à faire circuler le courant nominal, l'autre enroulement étant court-circuité. Il permet de déterminer les pertes cuivre nominales et les paramètres de l'impédance de fuite.
Facteur de Puissance (fp ou \(\cos(\phi)\))
Rapport entre la puissance active (\(\text{W}\)) et la puissance apparente (\(\text{VA}\)) dans un circuit AC. Il indique l'efficacité avec laquelle la puissance est utilisée par la charge.
Taux de Charge (\(x\))
Rapport entre la puissance apparente fournie par le transformateur à un instant donné et sa puissance apparente nominale (\(S_n\)). Il peut aussi être exprimé par le rapport du courant de charge au courant nominal.
Puissance Apparente (\(S\))
Produit de la valeur efficace de la tension par la valeur efficace du courant dans un circuit AC. Unité : Voltampère (\(\text{VA}\)).
Puissance Active (\(P\))
Partie de la puissance électrique qui est effectivement transformée en travail utile ou dissipée sous forme de chaleur. Unité : Watt (\(\text{W}\)). \(P = S \cdot \cos(\phi)\).
Calcul du Rendement d’un Transformateur

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