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Calcul de la résistance dans un circuit résidentiel

Calcul de la Résistance dans un Circuit Résidentiel

Calcul de la Résistance dans un Circuit Résidentiel

Comprendre la Résistance dans les Circuits Résidentiels

Dans les installations électriques résidentielles, la compréhension de la résistance des circuits est fondamentale. Chaque appareil électrique (lampe, chauffage, appareil ménager) présente une certaine résistance au passage du courant. De plus, les câbles eux-mêmes possèdent une résistance, bien que faible, qui peut entraîner des chutes de tension et des pertes d'énergie, surtout sur de longues distances.

L'analyse de ces circuits implique souvent de calculer la résistance équivalente de groupements de résistances en série et en parallèle pour déterminer le courant total fourni par la source (généralement le tableau électrique) et les courants et tensions spécifiques à chaque appareil. La loi d'Ohm (\(V=RI\)) et les lois de Kirchhoff (loi des nœuds et loi des mailles) sont les outils de base pour ces calculs. Un dimensionnement correct assure que chaque appareil reçoit la tension adéquate pour son fonctionnement et que les câbles et protections sont adaptés pour éviter les surcharges et les risques d'incendie.

Cet exercice se concentre sur le calcul de la résistance équivalente d'un circuit DC simple simulant une partie d'une installation résidentielle, ainsi que sur la détermination des courants et tensions dans ce circuit.

Données de l'étude

On considère un circuit alimenté par une source de tension continue, représentant une petite section d'une installation domestique.

Caractéristiques du circuit :

  • Source de tension continue (\(V_S\)) : \(24 \, \text{V}\)
  • Résistance \(R_1\) (câblage initial) : \(1 \, \text{Ω}\)
  • Résistance \(R_2\) (groupe d'éclairage 1) : \(12 \, \text{Ω}\)
  • Résistance \(R_3\) (groupe d'éclairage 2) : \(6 \, \text{Ω}\)
  • Résistance \(R_4\) (appareil ou câblage additionnel) : \(2 \, \text{Ω}\)
  • Configuration : \(R_1\) est en série. Elle est suivie d'un groupement en parallèle de \(R_2\) et \(R_3\). Cet ensemble parallèle est ensuite en série avec \(R_4\). Le tout est alimenté par \(V_S\).
Schéma du Circuit Résidentiel Simplifié
VS +- R1 P R2 Q R3 R4 Masse (0V) IS I2 I3 IS

Circuit DC avec des résistances en série et en parallèle.

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance équivalente \(R_{23}\) du groupement parallèle de \(R_2\) et \(R_3\).
  2. Calculer la résistance totale équivalente \(R_{\text{eq}}\) du circuit vue par la source \(V_S\).
  3. Calculer le courant total \(I_S\) fourni par la source \(V_S\).
  4. Calculer la tension \(V_P\) au nœud P (entre \(R_1\) et le groupement \(R_{23}\)) par rapport à la masse.
  5. Calculer la tension \(V_{R23}\) aux bornes du groupement parallèle \(R_{23}\).
  6. Calculer les courants \(I_2\) (traversant \(R_2\)) et \(I_3\) (traversant \(R_3\)).
  7. Calculer la tension \(V_{R4}\) aux bornes de la résistance \(R_4\).
  8. Vérifier la loi des mailles pour la boucle passant par \(V_S, R_1, R_2, R_4\).
  9. Calculer la puissance totale \(P_{\text{tot}}\) dissipée par le circuit.

Correction : Calcul de la Résistance dans un Circuit Résidentiel

Question 1 : Résistance équivalente \(R_{23}\)

Principe :

Pour deux résistances \(R_2\) et \(R_3\) en parallèle, la résistance équivalente \(R_{23}\) est donnée par \(R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{23} = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}\]
Données spécifiques :
  • \(R_2 = 12 \, \text{Ω}\)
  • \(R_3 = 6 \, \text{Ω}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{23} &= \frac{12 \, \text{Ω} \cdot 6 \, \text{Ω}}{12 \, \text{Ω} + 6 \, \text{Ω}} \\ &= \frac{72 \, \text{Ω}^2}{18 \, \text{Ω}} \\ &= 4 \, \text{Ω} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La résistance équivalente du groupement parallèle est \(R_{23} = 4 \, \text{Ω}\).

Question 2 : Résistance totale équivalente \(R_{\text{eq}}\)

Principe :

Les résistances \(R_1\), \(R_{23}\) (l'équivalent de \(R_2 || R_3\)), et \(R_4\) sont en série.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{eq}} = R_1 + R_{23} + R_4\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 1 \, \text{Ω}\)
  • \(R_{23} = 4 \, \text{Ω}\) (de Q1)
  • \(R_4 = 2 \, \text{Ω}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{eq}} &= 1 \, \text{Ω} + 4 \, \text{Ω} + 2 \, \text{Ω} \\ &= 7 \, \text{Ω} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La résistance totale équivalente du circuit est \(R_{\text{eq}} = 7 \, \text{Ω}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si trois résistances identiques \(R\) sont en série, leur résistance équivalente est :

Question 3 : Courant total \(I_S\)

Principe :

Le courant total fourni par la source est donné par la loi d'Ohm appliquée à l'ensemble du circuit : \(I_S = V_S / R_{\text{eq}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_S = \frac{V_S}{R_{\text{eq}}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_S = 24 \, \text{V}\)
  • \(R_{\text{eq}} = 7 \, \text{Ω}\) (de Q2)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_S &= \frac{24 \, \text{V}}{7 \, \text{Ω}} \\ &\approx 3.42857 \, \text{A} \end{aligned} \]

Nous arrondirons à \(I_S \approx 3.43 \, \text{A}\).

Résultat Question 3 : Le courant total fourni par la source est \(I_S \approx 3.43 \, \text{A}\).

Question 4 : Tension \(V_P\) au nœud P

Principe :

Le nœud P est situé après la résistance \(R_1\). La tension \(V_P\) par rapport à la masse est la tension de la source moins la chute de tension aux bornes de \(R_1\). \(V_{R1} = I_S R_1\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_P = V_S - I_S R_1\]
Données spécifiques :
  • \(V_S = 24 \, \text{V}\)
  • \(I_S \approx 3.42857 \, \text{A}\) (valeur plus précise de Q3)
  • \(R_1 = 1 \, \text{Ω}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{R1} &= (3.42857 \, \text{A}) \cdot (1 \, \text{Ω}) \\ &= 3.42857 \, \text{V} \\ V_P &= 24 \, \text{V} - 3.42857 \, \text{V} \\ &\approx 20.57143 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La tension au nœud P est \(V_P \approx 20.57 \, \text{V}\).

Question 5 : Tension \(V_{R23}\) aux bornes du groupement parallèle

Principe :

La tension aux bornes du groupement parallèle \(R_{23}\) est donnée par la loi d'Ohm, où le courant traversant \(R_{23}\) est le courant total \(I_S\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{R23} = I_S \cdot R_{23}\]
Données spécifiques :
  • \(I_S \approx 3.42857 \, \text{A}\) (de Q3)
  • \(R_{23} = 4 \, \text{Ω}\) (de Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{R23} &= (3.42857 \, \text{A}) \cdot (4 \, \text{Ω}) \\ &\approx 13.71428 \, \text{V} \end{aligned} \]

Note : La tension au nœud P par rapport à la masse est \(V_P\). Le nœud Q (après le groupement \(R_{23}\)) a une tension \(V_Q = V_P - V_{R23}\). Ici, \(V_{R23}\) est la tension entre P et Q.

Résultat Question 5 : La tension aux bornes du groupement parallèle \(R_{23}\) est \(V_{R23} \approx 13.71 \, \text{V}\).

Question 6 : Courants \(I_2\) et \(I_3\)

Principe :

Les courants dans les branches parallèles \(R_2\) et \(R_3\) peuvent être calculés en utilisant la tension \(V_{R23}\) (qui est la tension \(V_{PQ}\)) à leurs bornes : \(I_2 = V_{R23}/R_2\) et \(I_3 = V_{R23}/R_3\). On doit vérifier que \(I_2 + I_3 = I_S\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_2 = \frac{V_{R23}}{R_2} \quad ; \quad I_3 = \frac{V_{R23}}{R_3}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{R23} \approx 13.71428 \, \text{V}\) (de Q5)
  • \(R_2 = 12 \, \text{Ω}\)
  • \(R_3 = 6 \, \text{Ω}\)
  • \(I_S \approx 3.42857 \, \text{A}\) (de Q3)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_2 &= \frac{13.71428 \, \text{V}}{12 \, \text{Ω}} \\ &\approx 1.142857 \, \text{A} \\ \\ I_3 &= \frac{13.71428 \, \text{V}}{6 \, \text{Ω}} \\ &\approx 2.285714 \, \text{A} \\ \\ I_2 + I_3 &\approx 1.142857 \, \text{A} + 2.285714 \, \text{A} \\ &\approx 3.428571 \, \text{A} \end{aligned} \]

La somme \(I_2 + I_3\) est bien égale à \(I_S\), ce qui vérifie la loi des nœuds au point P.

Résultat Question 6 :
  • \(I_2 \approx 1.14 \, \text{A}\)
  • \(I_3 \approx 2.29 \, \text{A}\)

Quiz Intermédiaire 2 : Dans un groupement de résistances en parallèle, le courant principal se divise de telle sorte que :

Question 7 : Tension \(V_{R4}\)

Principe :

La tension aux bornes de \(R_4\) est \(V_{R4} = I_S R_4\), car \(R_4\) est parcourue par le courant total \(I_S\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{R4} = I_S R_4\]
Données spécifiques :
  • \(I_S \approx 3.42857 \, \text{A}\) (de Q3)
  • \(R_4 = 2 \, \text{Ω}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{R4} &= (3.42857 \, \text{A}) \cdot (2 \, \text{Ω}) \\ &\approx 6.85714 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : La tension aux bornes de \(R_4\) est \(V_{R4} \approx 6.86 \, \text{V}\).

Question 8 : Vérification de la loi des mailles (boucle \(V_S, R_1, R_2, R_4\))

Note: La maille doit être correctement définie. La boucle principale est \(V_S, R_1, R_{23}, R_4\). Si on prend la branche avec \(R_2\), la maille est \(V_S, R_1, R_2, R_4\). La tension aux bornes de \(R_2\) est \(V_{R23}\).

Principe :

La somme algébrique des tensions dans une boucle fermée doit être nulle. On choisit un sens de parcours (par exemple, horaire en partant du pôle - de \(V_S\)) : \(+V_S - V_{R1} - V_{R23} - V_{R4} = 0\). (Note: \(V_{R23}\) est la tension aux bornes du parallèle, donc \(V_{R2} = V_{R3} = V_{R23}\)).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \Sigma V &= V_S - V_{R1} - V_{R23} - V_{R4} \\ &\approx 24 \, \text{V} - (I_S R_1) - (I_S R_{23}) - (I_S R_4) \\ &\approx 24 \, \text{V} - (3.42857 \cdot 1) \, \text{V} - (3.42857 \cdot 4) \, \text{V} - (3.42857 \cdot 2) \, \text{V} \\ &\approx 24 \, \text{V} - 3.42857 \, \text{V} - 13.71428 \, \text{V} - 6.85714 \, \text{V} \\ &\approx 24 \, \text{V} - (3.42857 + 13.71428 + 6.85714) \, \text{V} \\ &\approx 24 \, \text{V} - 23.99999 \, \text{V} \\ &\approx 0 \, \text{V} \end{aligned} \]

La somme est très proche de zéro (la petite différence est due aux arrondis).

Résultat Question 8 : La loi des mailles est vérifiée pour la boucle principale (\(\Sigma V \approx 0\)).

Question 9 : Puissance totale \(P_{\text{tot}}\) dissipée

Principe :

La puissance totale dissipée par le circuit est fournie par la source : \(P_{\text{tot}} = V_S \cdot I_S\). Elle peut aussi être calculée comme \(I_S^2 \cdot R_{\text{eq}}\) ou la somme des puissances dissipées par chaque résistance.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{\text{tot}} = V_S I_S\]
Données spécifiques :
  • \(V_S = 24 \, \text{V}\)
  • \(I_S \approx 3.42857 \, \text{A}\) (de Q3)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{tot}} &= (24 \, \text{V}) \cdot (3.42857 \, \text{A}) \\ &\approx 82.28568 \, \text{W} \end{aligned} \]

Vérification avec \(I_S^2 R_{\text{eq}}\): \( (3.42857)^2 \cdot 7 \approx 11.75509 \cdot 7 \approx 82.2856 \, \text{W}\).

Résultat Question 9 : La puissance totale dissipée par le circuit est \(P_{\text{tot}} \approx 82.29 \, \text{W}\).

Quiz Intermédiaire 3 : La puissance dissipée dans une résistance est proportionnelle :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi des mailles de Kirchhoff stipule que dans toute boucle fermée d'un circuit :

2. Lorsqu'on applique la loi des mailles, une chute de tension à travers une résistance (parcourue dans le sens du courant) est généralement comptée comme :

3. Pour deux résistances \(R_a\) et \(R_b\) en parallèle, leur résistance équivalente \(R_p\) est :

Glossaire

Loi des Mailles de Kirchhoff (KVL)
Principe fondamental de l'analyse des circuits qui stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) autour de toute boucle fermée dans un circuit est égale à zéro. Elle est basée sur la conservation de l'énergie.
Loi des Nœuds de Kirchhoff (KCL)
Principe qui stipule que la somme algébrique des courants entrant dans un nœud (ou sortant d'un nœud) dans un circuit électrique est égale à zéro. Elle est basée sur la conservation de la charge.
Maille (Boucle)
Tout chemin fermé dans un circuit électrique.
Nœud
Point dans un circuit où deux ou plusieurs composants sont connectés.
Loi d'Ohm
Relation entre la tension (\(V\)), le courant (\(I\)), et la résistance (\(R\)) dans un conducteur : \(V = IR\).
Résistance Équivalente
Résistance unique qui aurait le même effet global sur le circuit qu'un groupement de plusieurs résistances.
Circuit Série
Configuration où les composants sont connectés les uns à la suite des autres, de sorte que le même courant les traverse.
Circuit Parallèle
Configuration où les composants sont connectés de manière à ce que la même tension soit appliquée à chacun d'eux.
Chute de Tension
Diminution du potentiel électrique le long du trajet d'un courant dans un circuit électrique en raison de la résistance des composants.
Puissance Électrique (\(P\))
Taux auquel l'énergie électrique est transférée par un circuit électrique. Pour une résistance, \(P = VI = I^2R = V^2/R\). Unité : Watt (W).
Vérification de la Loi des Mailles de Kirchhoff - Exercice d'Application

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