Calcul de la Résistance Équivalente Totale
Calculer la résistance équivalente d'un groupement mixte de résistances et le courant total dans le circuit.
En électrotechnique, les circuits sont souvent composés de plusieurs résistances associées en série, en parallèle, ou de manière mixte. Il est crucial de savoir calculer la résistance équivalente d'un tel groupement pour analyser le comportement global du circuit (par exemple, pour déterminer le courant total fourni par une source).
Rappels :
- Résistances en Série : La résistance équivalente \(R_{eq}\) de résistances \(R_1, R_2, ..., R_n\) en série est \(R_{eq} = R_1 + R_2 + ... + R_n\).
- Résistances en Parallèle : L'inverse de la résistance équivalente \(R_{eq}\) de résistances \(R_1, R_2, ..., R_n\) en parallèle est \(\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n}\). Pour deux résistances \(R_a\) et \(R_b\) en parallèle, \(R_{eq} = \frac{R_a \times R_b}{R_a + R_b}\).
La loi d'Ohm relie la tension \(U\) aux bornes d'un conducteur ohmique, sa résistance \(R\), et le courant \(I\) qui le traverse : \(U = R \times I\).
Données du Problème
On considère le circuit électrique représenté ci-dessous, alimenté par une source de tension continue \(U_{AB}\) entre les points A et B.
- Résistance \(R_1 = 10 \text{ } \Omega\)
- Résistance \(R_2 = 30 \text{ } \Omega\)
- Résistance \(R_3 = 60 \text{ } \Omega\)
- Résistance \(R_4 = 5 \text{ } \Omega\)
- Tension d'alimentation : \(U_{AB} = 24 \text{ V}\)
Dans ce circuit, \(R_1\) est en série avec le groupement parallèle de \(R_2\) et \(R_3\). L'ensemble (que nous appellerons \(R_{123}\)) est ensuite en série avec \(R_4\).
Questions
- Calculer la résistance équivalente (\(R_{23}\)) du groupement des résistances \(R_2\) et \(R_3\) en parallèle.
- Calculer la résistance équivalente (\(R_{123}\)) du groupement série formé par \(R_1\) et \(R_{23}\).
- Calculer la résistance équivalente totale (\(R_{AB}\)) du circuit entre les points A et B.
- Calculer l'intensité du courant total (\(I_{total}\)) débité par la source de tension \(U_{AB}\).
- Calculer la tension \(U_{XY}\) aux bornes du groupement parallèle (R\(_2\) || R\(_3\)).
Correction : Calcul de la Résistance Équivalente Totale
1. Calcul de la Résistance Équivalente \(R_{23}\)
Les résistances \(R_2\) et \(R_3\) sont en parallèle. On utilise la formule \(R_{eq} = \frac{R_a \times R_b}{R_a + R_b}\).
Données :
\(R_2 = 30 \text{ } \Omega\)
\(R_3 = 60 \text{ } \Omega\)
La résistance équivalente du groupement parallèle \(R_2\) et \(R_3\) est \(R_{23} = 20 \text{ } \Omega\).
2. Calcul de la Résistance Équivalente \(R_{123}\)
La résistance \(R_1\) est en série avec le groupement \(R_{23}\). Leur résistance équivalente \(R_{123}\) est la somme de \(R_1\) et \(R_{23}\).
Données :
\(R_1 = 10 \text{ } \Omega\)
\(R_{23} = 20 \text{ } \Omega\) (calculé à l'étape 1)
La résistance équivalente du groupement \(R_1\) en série avec \(R_{23}\) est \(R_{123} = 30 \text{ } \Omega\).
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3. Calcul de la Résistance Équivalente Totale \(R_{AB}\)
Le groupement \(R_{123}\) est en série avec la résistance \(R_4\).
Données :
\(R_{123} = 30 \text{ } \Omega\)
\(R_4 = 5 \text{ } \Omega\)
La résistance équivalente totale du circuit entre les points A et B est \(R_{AB} = 35 \text{ } \Omega\).
4. Calcul du Courant Total (\(I_{total}\))
On utilise la loi d'Ohm pour le circuit équivalent : \(U_{AB} = R_{AB} \times I_{total}\).
Données :
\(U_{AB} = 24 \text{ V}\)
\(R_{AB} = 35 \text{ } \Omega\)
L'intensité du courant total débité par la source est \(I_{total} \approx 0.686 \text{ A}\).
5. Calcul de la Tension \(U_{XY}\)
La tension \(U_{XY}\) est la tension aux bornes du groupement parallèle \(R_{23}\). Ce groupement est traversé par le courant total \(I_{total}\) (puisque \(R_1\), \(R_{23}\) et \(R_4\) sont en série, \(I_{total}\) traverse \(R_{23}\)).
Données :
\(R_{23} = 20 \text{ } \Omega\)
\(I_{total} \approx 0.6857 \text{ A}\)
La tension aux bornes du groupement parallèle \(R_{23}\) est \(U_{XY} \approx 13.7 \text{ V}\).
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Glossaire des Termes Clés
Résistance Électrique (R) :
Grandeur physique caractérisant l'opposition d'un matériau au passage d'un courant électrique. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Résistor (ou Résistance) :
Composant électronique conçu pour introduire une résistance électrique déterminée dans un circuit.
Circuit en Série :
Montage où les composants sont connectés les uns à la suite des autres, formant un seul chemin pour le courant.
Circuit en Parallèle (ou en Dérivation) :
Montage où les composants sont connectés de manière à ce que la tension à leurs bornes soit la même. Le courant se divise entre les différentes branches.
Résistance Équivalente (\(R_{eq}\)) :
Résistance unique qui, si elle remplaçait un groupement de résistances dans un circuit, aurait le même effet global sur le circuit (même courant total pour une même tension appliquée aux bornes du groupement).
Loi d'Ohm :
Relation entre la tension \(U\), le courant \(I\) et la résistance \(R\) : \(U = RI\).
Nœud :
Point d'un circuit électrique où au moins trois conducteurs se rencontrent.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment calculerait-on le courant \(I_2\) traversant la résistance \(R_2\) et le courant \(I_3\) traversant la résistance \(R_3\) dans cet exercice ?
2. Si toutes les résistances du circuit avaient la même valeur \(R\), quelle serait la résistance équivalente \(R_{AB}\) ?
3. Dans un circuit domestique, les appareils sont-ils branchés en série ou en parallèle ? Pourquoi ?
4. Que se passe-t-il si l'une des résistances dans un montage en série est coupée (circuit ouvert) ? Et dans un montage en parallèle ?
5. Comment la puissance totale dissipée par le circuit \(R_{AB}\) peut-elle être calculée à partir de \(U_{AB}\) et \(I_{total}\) ?
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