Calcul de la Résistance Interne d'une Source

Contexte : Le générateur de tension réelUn modèle électrique qui représente une source d'énergie (comme une pile ou une alimentation) par une source de tension idéale en série avec une résistance, appelée résistance interne..

En électronique, une source de tension parfaite n'existe pas. Toute source d'énergie, qu'il s'agisse d'une simple pile ou d'une alimentation de laboratoire complexe, possède une imperfection : sa résistance interne. Cette résistance, notée \(r\), provoque une chute de tension dès que la source débite un courant. Comprendre et savoir calculer cette résistance est fondamental pour prédire le comportement réel d'un circuit et assurer son bon fonctionnement.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à déterminer expérimentalement la résistance interne d'une source et sa force électromotrice (f.é.m.) à partir de simples mesures de tension et de courant. C'est une compétence de base essentielle pour tout technicien ou ingénieur en électronique.

Objectifs Pédagogiques

Modéliser un générateur de tension réel (modèle de Thévenin).
Appliquer la loi d'Ohm aux bornes d'un générateur.
Déterminer graphiquement et par le calcul la f.é.m. et la résistance interne d'une source.
Comprendre l'impact de la résistance interne sur la tension de sortie.

Données de l'étude

On souhaite caractériser une batterie au lithium dont on ne connaît pas les caractéristiques exactes. Pour ce faire, on réalise un montage simple où la batterie est connectée à une résistance de charge variable, \(R_{ch}\). On mesure la tension \(U\) aux bornes de la batterie pour différentes valeurs du courant \(I\) qu'elle débite.

Schéma du montage expérimental

Tableau de mesures

Point de mesure	Courant de sortie I (A)	Tension aux bornes U (V)
1 (Circuit ouvert)	0.00	12.00
2	0.50	11.75
3	1.00	11.50
4	1.50	11.25
5	2.00	11.00

Questions à traiter

Tracer la caractéristique \(U = f(I)\) du générateur sur un graphique.
Déterminer graphiquement la force électromotrice (f.é.m.) \(E\) de la batterie.
Calculer graphiquement la résistance interne \(r\) de la batterie.
Retrouver les valeurs de \(E\) et \(r\) par le calcul en utilisant deux points de mesure.
Calculer la tension aux bornes de la batterie si elle débite un courant de 2.5 A.

Les bases sur les Générateurs Réels

Un générateur réel peut être modélisé par une source de tension idéale, appelée force électromotrice (f.é.m.) et notée \(E\), en série avec une résistance interne \(r\).

Loi d'Ohm aux bornes d'un générateur
La tension \(U\) disponible aux bornes (A et B) d'un générateur réel qui débite un courant \(I\) n'est pas égale à sa f.é.m. \(E\). Elle est diminuée par la chute de tension aux bornes de sa résistance interne (\(r \times I\)). La relation est donc : \[ U = E - r \cdot I \] Cette équation est l'équation de la caractéristique tension-courant du générateur. C'est une droite de pente \(-r\) qui coupe l'axe des ordonnées à \(E\).

Correction : Calcul de la Résistance Interne d’une Source

Question 1 : Tracer la caractéristique \(U = f(I)\)

Principe

Il s'agit de représenter graphiquement les données expérimentales pour visualiser la relation entre la tension de sortie et le courant débité. Chaque couple de points (I, U) du tableau devient un point sur le graphique.

Mini-Cours

La caractéristique U=f(I) d'un générateur est une représentation fondamentale de son comportement. Pour un générateur de tension idéal, cette caractéristique serait une droite horizontale (U = E = constante). Pour un générateur réel, la présence de la résistance interne 'r' fait que la tension U diminue lorsque le courant I augmente, ce qui donne une droite à pente négative.

Remarque Pédagogique

Prenez l'habitude de bien nommer vos axes (avec les grandeurs et les unités) et de choisir une échelle adaptée pour que le graphique occupe la majorité de l'espace. Un bon graphique est un graphique lisible qui parle de lui-même.

Normes

En électricité, les conventions de représentation sont importantes. On représente généralement la tension (U) en ordonnée (axe Y) et le courant (I) en abscisse (axe X). Les flèches de tension et de courant sur le schéma du circuit doivent respecter la convention générateur.

Formule(s)

Il s'agit d'une construction graphique point par point à partir des données du tableau.

Hypothèses

On suppose que la f.é.m. E et la résistance interne r de la batterie sont constantes sur la plage de courants étudiée. On suppose également que les instruments de mesure (voltmètre, ampèremètre) sont parfaits et n'influencent pas le circuit.

Donnée(s)

Les données sont les couples (I, U) fournis dans le tableau de l'énoncé.

Courant I (A)	Tension U (V)
0.00	12.00
0.50	11.75
1.00	11.50
1.50	11.25
2.00	11.00

Astuces

Utilisez du papier millimétré pour plus de précision si vous tracez à la main. Si vous utilisez un logiciel, un tableur comme Excel ou Google Sheets peut tracer le graphique et même calculer la "droite de régression" qui passe au mieux par tous les points.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma est un graphique vide, avec les axes gradués, prêt à recevoir les points de mesure.

Repère pour le tracé de U = f(I)

Calcul(s)

Le "calcul" consiste à placer chaque point du tableau sur le graphique. Par exemple, pour le point 3, on se déplace à 1.00 sur l'axe des abscisses (I) et on monte jusqu'à 11.50 sur l'axe des ordonnées (U).

Schéma (Après les calculs)

Le graphique obtenu, avec les points placés et la droite de tendance tracée, est la caractéristique externe du générateur.

Caractéristique U = f(I) de la batterie

Réflexions

On observe que les points sont quasiment alignés, ce qui confirme que le modèle du générateur réel (\(U = E - rI\)) est bien adapté. La tension diminue de manière linéaire lorsque le courant augmente, ce qui est la signature de l'effet de la résistance interne.

Points de vigilance

Une erreur fréquente est d'inverser les axes. Assurez-vous de bien mettre U en fonction de I, et non l'inverse. Attention également aux échelles : une mauvaise échelle peut fausser l'interprétation visuelle de la pente.

Points à retenir

La caractéristique d'un générateur de tension réel est une droite décroissante. La représentation graphique est une méthode puissante pour visualiser et vérifier la validité d'un modèle physique.

Le saviez-vous ?

Le modèle de Thévenin (une source de tension E en série avec une résistance r) est un des outils les plus puissants de l'électronique. Il permet de simplifier n'importe quelle partie complexe d'un circuit linéaire en ce modèle simple, ce qui facilite grandement les calculs.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

Le graphique de la caractéristique U = f(I) est tracé, montrant une relation linéaire décroissante.

A vous de jouer

Sur votre graphique, quelle serait approximativement la tension si le courant était de 0.75 A ?

Question 2 : Déterminer graphiquement la f.é.m. E

Principe

La force électromotrice \(E\) est la tension du générateur lorsqu'il ne débite aucun courant (tension à vide). Sur le graphique \(U = f(I)\), cela correspond à l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire la valeur de \(U\) pour \(I=0\).

Mini-Cours

La f.é.m. est une caractéristique intrinsèque de la source. Elle représente l'énergie par unité de charge que la source est capable de fournir. C'est la "force" qui pousse les électrons. Elle ne dépend que de la constitution physico-chimique de la source (pour une pile) et non du circuit auquel elle est connectée.

Remarque Pédagogique

Graphiquement, il suffit de prolonger la droite que vous avez tracée jusqu'à ce qu'elle coupe l'axe vertical (l'axe des U). Le point d'intersection vous donne directement la valeur de E.

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique ici, mais la définition de la f.é.m. comme tension à vide est une convention universelle en électricité.

Formule(s)

Relation fondamentale pour \(I=0\)

U(I=0) = E - r \cdot 0 \Rightarrow U(I=0) = E

Hypothèses

On suppose que la droite de tendance tracée à la question 1 représente fidèlement le comportement de la source, même pour I=0.

Donnée(s)

On utilise le graphique tracé à la question 1. La première ligne du tableau de mesures nous donne aussi directement cette information : pour I=0A, U=12.00V.

Astuces

L'expérience la plus simple pour mesurer la f.é.m. est de brancher un voltmètre directement aux bornes de la source, sans aucune autre charge. Le courant débité par un voltmètre moderne étant quasi-nul, la tension mesurée est une excellente approximation de E.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma montre la caractéristique du générateur et met en évidence l'axe des ordonnées où la valeur de E doit être lue.

Lecture de l'ordonnée à l'origine

Calcul(s)

Par lecture graphique de l'intersection de la droite avec l'axe \(U\) (pour \(I=0\)).

E = U(I=0) \approx 12.0 \, \text{V}

Schéma (Après les calculs)

Le même schéma, mais avec la valeur de E annotée sur l'axe.

Valeur de E déterminée

Réflexions

La f.é.m. représente la tension "maximale" que la source peut fournir. La première mesure du tableau, effectuée à courant nul (circuit ouvert), nous donnait directement cette valeur, ce qui confirme notre lecture graphique.

Points de vigilance

Ne confondez pas la f.é.m. (E) et la tension aux bornes (U). E est une constante caractéristique de la source, tandis que U dépend du courant débité. U est toujours inférieure ou égale à E.

Points à retenir

La f.é.m. E est la tension à vide du générateur.
Graphiquement, c'est l'ordonnée à l'origine de la caractéristique U=f(I).

Le saviez-vous ?

Le terme "force électromotrice" est un peu trompeur. Ce n'est pas une "force" au sens mécanique (en Newtons), mais bien une tension (une différence de potentiel), qui se mesure en Volts. Le nom historique est resté.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

La force électromotrice de la batterie est \(E = 12.0 \, \text{V}\).

A vous de jouer

Si une autre batterie a une f.é.m. de 9V, où couperait-elle l'axe des ordonnées sur un graphique similaire ?

Question 3 : Calculer graphiquement la résistance interne r

Principe

D'après l'équation \(U = E - rI\), la résistance interne \(r\) est l'opposé du coefficient directeur (la pente) de la droite \(U = f(I)\). On peut la calculer en choisissant deux points A et B sur la droite pour calculer cette pente.

Mini-Cours

Mathématiquement, une équation de droite s'écrit \(y = ax + b\). En comparant avec notre équation physique \(U = (-r)I + E\), on voit que U joue le rôle de y, I joue le rôle de x, la f.é.m. E est l'ordonnée à l'origine b, et l'opposé de la résistance interne (-r) est le coefficient directeur a. Le calcul de la pente d'une droite est donc la méthode directe pour trouver r.

Remarque Pédagogique

Pour obtenir la meilleure précision possible, choisissez deux points sur la droite de tendance qui soient les plus éloignés l'un de l'autre. Cela minimise l'impact des petites erreurs de lecture graphique.

Normes

Le calcul du coefficient directeur d'une droite est une méthode mathématique standard qui n'est pas régie par une norme d'ingénierie, mais son application à la caractéristique d'un générateur est une pratique universelle.

Formule(s)

Formule de la pente

\text{pente} = a = \frac{\Delta U}{\Delta I} = \frac{U_B - U_A}{I_B - I_A}

Relation entre la pente et la résistance interne

r = - \text{pente} = -a = - \frac{\Delta U}{\Delta I}

Hypothèses

On suppose que la droite tracée est une représentation fidèle du comportement du générateur. On choisit des points sur la droite de tendance plutôt que les points de mesure eux-mêmes pour lisser les erreurs expérimentales.

Donnée(s)

On utilise les coordonnées de deux points A et B de la droite tracée à la question 1.

Point	Courant I (A)	Tension U (V)
A	0.0	12.0
B	2.0	11.0

Astuces

Pour faciliter le calcul, vous pouvez former un triangle rectangle en utilisant un segment de la droite comme hypoténuse. La pente est alors le rapport de la hauteur (variation de U) sur la base (variation de I) de ce triangle. N'oubliez pas le signe négatif !

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma montre la caractéristique du générateur avec deux points A et B choisis pour former un triangle de pente.

Construction pour le calcul de la pente

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} r &= - \frac{U_B - U_A}{I_B - I_A} \\ &= - \frac{11.0 \, \text{V} - 12.0 \, \text{V}}{2.0 \, \text{A} - 0.0 \, \text{A}} \\ &= - \frac{-1.0 \, \text{V}}{2.0 \, \text{A}} \\ &= 0.5 \, \Omega \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le même schéma, mais avec les valeurs de ΔU et ΔI annotées.

Pente calculée

Réflexions

Une résistance interne de 0.5 \(\Omega\) est une valeur plausible pour ce type de batterie. Elle signifie que pour chaque ampère de courant débité, la tension aux bornes de la batterie chutera de 0.5 Volt par rapport à sa f.é.m.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier le signe "moins". La pente de la droite est négative, mais une résistance est toujours une valeur positive. Donc \(r = -(\text{pente})\).

Points à retenir

La résistance interne 'r' est l'opposé de la pente de la caractéristique U=f(I).
Une résistance interne faible est le signe d'un bon générateur, capable de maintenir une tension stable même à fort courant.

Le saviez-vous ?

Pour démarrer une voiture, la batterie doit fournir un courant très intense (plusieurs centaines d'ampères) pendant un court instant. C'est pourquoi les batteries de voiture sont conçues pour avoir une résistance interne extrêmement faible (quelques milliohms), afin que la tension ne s'effondre pas sous cette forte charge.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

La résistance interne de la batterie est de \(r = 0.5 \, \Omega\).

A vous de jouer

Si la pente de la caractéristique d'une autre batterie est de -0.2 V/A, quelle est sa résistance interne ?

Question 4 : Retrouver E et r par le calcul

Principe

On peut résoudre un système de deux équations à deux inconnues (\(E\) et \(r\)) en utilisant deux couples de mesures (I, U) du tableau, sans avoir besoin de tracer un graphique.

Mini-Cours

C'est une application directe de l'algèbre. L'équation \(U = E - rI\) est une équation linéaire. Avec deux points de mesure distincts, on obtient un système de deux équations linéaires à deux inconnues, qui a une solution unique. C'est une méthode plus précise que la lecture graphique, car elle n'est pas sujette aux imprécisions du tracé.

Remarque Pédagogique

La méthode de substitution ou de combinaison (soustraction d'équations ici) sont les deux approches classiques pour résoudre ce type de système. La soustraction est souvent plus rapide car elle permet d'éliminer directement l'inconnue E.

Normes

La résolution de systèmes d'équations linéaires est une technique mathématique fondamentale, pas une norme d'ingénierie.

Formule(s)

Système d'équations basé sur deux points A et B

\begin{cases} U_A = E - r \cdot I_A \\ U_B = E - r \cdot I_B \end{cases}

Hypothèses

On suppose que les deux points de mesure choisis sont exacts et représentatifs du comportement linéaire de la source.

Donnée(s)

Utilisons le point 2 (\(I_2=0.5\,\text{A}, U_2=11.75\,\text{V}\)) et le point 5 (\(I_5=2.0\,\text{A}, U_5=11.00\,\text{V}\)) du tableau de l'énoncé.

Point	Courant I (A)	Tension U (V)
2	0.5	11.75
5	2.0	11.00

Astuces

Pour minimiser les erreurs de calcul, choisissez des points avec des valeurs "rondes" si possible. Utiliser le point à I=0 est aussi une excellente astuce car il donne E directement, simplifiant la résolution pour r.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma illustre le concept de prendre deux points sur la caractéristique pour définir un système d'équations.

Illustration du système d'équations

Calcul(s)

Mise en place du système d'équations

\begin{cases} 11.75 = E - r \cdot 0.5 & (\text{1}) \\ 11.00 = E - r \cdot 2.0 & (\text{2}) \end{cases}

Étape 1 : Soustraction des équations pour trouver r

\begin{aligned} 11.75 - 11.00 &= (E - 0.5r) - (E - 2.0r) \\ 0.75 &= 1.5r \\ r &= \frac{0.75}{1.5} \\ &\Rightarrow r = 0.5 \, \Omega \end{aligned}

Étape 2 : Substitution de r pour trouver E

\begin{aligned} 11.75 &= E - (0.5 \cdot 0.5) \\ 11.75 &= E - 0.25 \\ E &= 11.75 + 0.25 \\ &\Rightarrow E = 12.0 \, \text{V} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma représente le modèle final du générateur avec les valeurs de E et r déterminées.

Modèle de Thévenin final

Réflexions

Les valeurs obtenues par le calcul sont identiques à celles trouvées par la méthode graphique. Cela confirme la validité de nos deux approches et la bonne qualité des mesures initiales.

Points de vigilance

Soyez méticuleux dans vos calculs algébriques, notamment avec les signes et les manipulations d'équations. Une simple erreur de signe peut mener à un résultat physiquement absurde (comme une résistance négative).

Points à retenir

La méthode algébrique est souvent plus précise et plus rigoureuse que la méthode graphique pour déterminer les paramètres d'un modèle linéaire.

Le saviez-vous ?

Cette méthode de caractérisation est utilisée dans les testeurs de batteries modernes. Ils appliquent différentes charges à la batterie, mesurent les couples (U, I) et calculent en temps réel la résistance interne pour évaluer "l'état de santé" (State of Health - SOH) de la batterie.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

Par le calcul, on retrouve bien \(E = 12.0 \, \text{V}\) et \(r = 0.5 \, \Omega\).

A vous de jouer

Recalculez 'r' en utilisant le point 1 (I=0A, U=12V) et le point 3 (I=1A, U=11.5V).

Question 5 : Tension pour un courant de 2.5 A

Principe

Maintenant que nous connaissons le modèle complet de la batterie (\(E\) et \(r\)), nous pouvons utiliser l'équation de la caractéristique pour prédire la tension à ses bornes pour n'importe quel courant débité, même s'il n'a pas été mesuré.

Mini-Cours

C'est l'un des principaux intérêts de la modélisation : une fois qu'un modèle mathématique a été établi et validé par l'expérience, il peut être utilisé pour faire des prédictions. On passe d'une approche descriptive (le tableau de mesures) à une approche prédictive (l'équation).

Remarque Pédagogique

C'est une simple application numérique. Assurez-vous de bien utiliser les valeurs de E et r que vous venez de déterminer et de ne pas faire d'erreur de calcul.

Normes

Pas de norme applicable.

Formule(s)

Formule de la tension aux bornes

U = E - r \cdot I

Hypothèses

On suppose que le modèle linéaire est encore valide pour un courant de 2.5 A, ce qui est une extrapolation raisonnable par rapport à nos mesures qui allaient jusqu'à 2.0 A.

Donnée(s)

On utilise les valeurs calculées précédemment et la nouvelle valeur de courant.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Force électromotrice	E	12.0	V
Résistance interne	r	0.5	Ω
Courant de sortie	I	2.5	A

Astuces

Vous pouvez vérifier visuellement votre résultat en prolongeant la droite sur votre graphique jusqu'à I = 2.5 A et en lisant la valeur de U correspondante. Cela devrait correspondre à votre calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma montre la caractéristique du générateur et une projection à partir de I=2.5A pour trouver la tension U correspondante.

Prédiction de U pour I = 2.5 A

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} U &= 12.0 \, \text{V} - (0.5 \, \Omega \cdot 2.5 \, \text{A}) \\ &= 12.0 \, \text{V} - 1.25 \, \text{V} \\ &= 10.75 \, \text{V} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le même schéma, mais avec la valeur calculée de U reportée sur l'axe.

Résultat de la prédiction

Réflexions

On voit que la chute de tension est maintenant de 1.25V, ce qui est significatif. Plus le courant demandé est élevé, plus la tension de sortie s'éloigne de la f.é.m. C'est un concept crucial pour le dimensionnement des alimentations.

Points de vigilance

Attention, ce modèle n'est valable que dans une certaine plage de courant. Un courant trop élevé (proche du courant de court-circuit \(I_{cc} = E/r\)) pourrait endommager la batterie ou faire chuter la tension de manière non linéaire à cause d'effets thermiques ou chimiques.

Points à retenir

Le modèle (\(E, r\)) permet de prédire la tension de sortie d'une source pour n'importe quel courant de fonctionnement (dans sa plage nominale).

Le saviez-vous ?

La puissance dissipée en chaleur à l'intérieur de la batterie est donnée par la loi de Joule : \(P_{\text{pertes}} = r \cdot I^2\). Dans notre exemple, à 2.5A, la batterie dissipe \(0.5 \cdot (2.5)^2 = 3.125\) Watts. C'est pour cela que les batteries chauffent lorsqu'elles se déchargent rapidement !

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

Pour un courant de 2.5 A, la tension aux bornes de la batterie sera de 10.75 V.

A vous de jouer

Quelle serait la tension de sortie si la batterie ne débitait que 0.1 A ?

Outil Interactif : Simulateur de Source

Utilisez les curseurs pour faire varier la résistance de charge et observez l'impact sur le courant débité et la tension de sortie de notre batterie (\(E=12\text{V}, r=0.5\Omega\)).

Paramètres d'Entrée

Résistance de charge \(R_{ch}\) (\(\Omega\)) 10 \(\Omega\)

Résultats Clés

Courant de sortie I (A) -

Tension de sortie U (V) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce que la force électromotrice (f.é.m.) d'un générateur ?

La tension lorsque le courant est maximal.
La tension à vide, quand aucun courant n'est débité.
La même chose que la résistance interne.

2. Si la résistance interne d'une pile augmente avec l'usure, que se passe-t-il ?

Sa tension de sortie augmente quand elle débite du courant.
Sa f.é.m. augmente.
Sa tension de sortie chute davantage quand elle débite du courant.

3. L'équation \(U = E - rI\) représente :

Une droite avec une pente négative.
Une parabole.
Une droite avec une pente positive.

Force Électromotrice (f.é.m.), E: Tension maximale qu'un générateur peut produire, mesurée à ses bornes lorsqu'il ne débite aucun courant (circuit ouvert). Unité : Volt (V).
Résistance Interne, r: Résistance inhérente à un générateur de tension qui cause une chute de tension interne proportionnelle au courant débité. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Caractéristique d'un générateur: Relation, souvent représentée par un graphique, qui lie la tension U aux bornes du générateur au courant I qu'il fournit au circuit extérieur.