Calcul de la Résistance Interne d’une Source
Détermination des caractéristiques d'une source de tension réelle (pile, batterie).
Énoncé : Calcul de la Résistance Interne d’une Source
Une source de tension réelle (comme une pile ou une batterie) ne se comporte pas comme une source idéale. Lorsqu'elle débite un courant, sa tension aux bornes diminue. Ce phénomène est modélisé en considérant la source réelle comme une source de tension idéale (de force électromotrice, f.é.m., notée \(E\)) en série avec une résistance appelée résistance interne (\(r\)).
Contexte
Connaître la résistance interne d'une source est crucial pour plusieurs raisons. Elle limite le courant maximal que la source peut fournir (courant de court-circuit). Elle est responsable de pertes d'énergie par effet Joule à l'intérieur de la source, ce qui affecte son rendement et provoque son échauffement. Elle influence également la tension réellement disponible pour le circuit extérieur (la charge). C'est un paramètre clé pour évaluer l'état d'usure d'une batterie, par exemple.
Données du Problème
On étudie une batterie dont on veut déterminer la f.é.m. \(E\) et la résistance interne \(r\). Pour cela, on réalise deux mesures :
- Mesure 1 (circuit ouvert ou très faible courant) : On mesure la tension à vide (quand la batterie ne débite quasiment aucun courant). On trouve \(U_{PN, vide} = 9,20 \, \text{V}\).
- Mesure 2 (en charge) : On connecte une résistance de charge \(R_L = 4,0 \, \Omega\) aux bornes de la batterie. On mesure alors :
- La tension aux bornes de la batterie : \(U_{PN, charge} = 8,80 \, \text{V}\)
- Le courant débité par la batterie : \(I_{charge} = 2,20 \, \text{A}\)
On rappelle la loi d'Ohm pour un générateur : \(U_{PN} = E - r \times I\).
Questions
- Quelle est la signification physique de la tension mesurée à vide \(U_{PN, vide}\) ? En déduire la valeur de la f.é.m. \(E\) de la batterie.
- En utilisant la loi d'Ohm pour un générateur et les mesures effectuées en charge (Mesure 2), écrire l'équation reliant \(U_{PN, charge}\), \(E\), \(r\), et \(I_{charge}\).
- Calculer la valeur de la résistance interne \(r\) de la batterie.
- Vérifier la cohérence des mesures en calculant la tension aux bornes de la résistance de charge \(R_L\) lorsqu'elle est traversée par le courant \(I_{charge}\). Comparer cette valeur à \(U_{PN, charge}\).
- Calculer le courant de court-circuit \(I_{CC}\) de cette batterie (courant maximal théorique que la batterie pourrait débiter si ses bornes étaient reliées par un fil de résistance nulle).
Correction : Calcul de la Résistance Interne d’une Source
1. Signification de la Tension à Vide et F.É.M. \(E\)
La tension à vide d'une source est la tension mesurée à ses bornes lorsqu'elle ne débite aucun courant (ou un courant négligeable). Dans le modèle \(U_{PN} = E - r \times I\), si \(I \approx 0\), alors \(U_{PN, vide} \approx E\).
Données pour cette étape
- Tension à vide \(U_{PN, vide} = 9,20 \, \text{V}\)
Déduction
La tension à vide correspond à la force électromotrice (f.é.m.) de la source idéale équivalente.
Résultat
La force électromotrice de la batterie est \(E = U_{PN, vide} = 9,20 \, \text{V}\).
2. Loi d'Ohm pour le Générateur en Charge
On applique la loi d'Ohm pour un générateur (\(U_{PN} = E - r \times I\)) aux conditions de la Mesure 2 (en charge).
Données pour cette étape
- \(U_{PN, charge} = 8,80 \, \text{V}\)
- \(I_{charge} = 2,20 \, \text{A}\)
- \(E = 9,20 \, \text{V}\) (déduit à l'étape 1)
- \(r\) est l'inconnue.
Équation
Résultat
L'équation reliant les grandeurs mesurées en charge est : \(8,80 \, \text{V} = 9,20 \, \text{V} - r \times (2,20 \, \text{A})\).
3. Calcul de la Résistance Interne \(r\)
On réarrange l'équation précédente pour isoler et calculer la résistance interne \(r\). \[ r \times I_{charge} = E - U_{PN, charge} \] \[ r = \frac{E - U_{PN, charge}}{I_{charge}} \] La différence \(E - U_{PN, charge}\) représente la chute de tension aux bornes de la résistance interne.
Données pour cette étape
- \(E = 9,20 \, \text{V}\)
- \(U_{PN, charge} = 8,80 \, \text{V}\)
- \(I_{charge} = 2,20 \, \text{A}\)
Calcul
Résultat
La résistance interne de la batterie est \(r \approx 0,18 \, \Omega\).
4. Vérification de la Cohérence des Mesures
La tension mesurée aux bornes de la batterie en charge (\(U_{PN, charge}\)) doit être égale à la tension aux bornes de la résistance de charge externe \(R_L\), car elles sont connectées en parallèle (aux bornes P et N). On calcule la tension aux bornes de \(R_L\) par la loi d'Ohm : \(U_{RL} = R_L \times I_{charge}\).
Données pour cette étape
- \(R_L = 4,0 \, \Omega\)
- \(I_{charge} = 2,20 \, \text{A}\)
- \(U_{PN, charge} = 8,80 \, \text{V}\) (valeur mesurée à comparer)
Calcul
Comparaison : La tension calculée aux bornes de la charge (\(8,80 \, \text{V}\)) est égale à la tension mesurée aux bornes de la batterie en charge (\(8,80 \, \text{V}\)).
Résultat
La tension calculée aux bornes de \(R_L\) (\(U_{RL} = 8,80 \, \text{V}\)) est égale à la tension mesurée aux bornes de la source en charge (\(U_{PN, charge} = 8,80 \, \text{V}\)). Les mesures sont cohérentes.
5. Calcul du Courant de Court-Circuit \(I_{CC}\)
Le courant de court-circuit \(I_{CC}\) est le courant maximal que la source pourrait débiter si ses bornes P et N étaient directement reliées (\(R_L = 0\)). Dans ce cas, la tension aux bornes \(U_{PN}\) serait nulle. En utilisant \(U_{PN} = E - r \times I\), on a \(0 = E - r \times I_{CC}\). \[ I_{CC} = \frac{E}{r} \] Attention : Ne jamais réaliser un court-circuit en pratique sur une source de tension, cela peut être dangereux !
Données pour cette étape
- \(E = 9,20 \, \text{V}\)
- \(r \approx 0,1818 \, \Omega\) (valeur non arrondie pour plus de précision)
Calcul
Résultat
Le courant de court-circuit théorique de cette batterie est \(I_{CC} \approx 50,6 \, \text{A}\).
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