Calcul du Courant dans un Circuit RL Série

Comprendre le Circuit RL Série

Un circuit RL série est un des circuits les plus courants en électricité, représentant par exemple un moteur ou tout enroulement possédant une résistance interne. Il est composé d'une résistance (R) et d'une inductance (L) connectées en série. En courant alternatif, l'inductance présente une opposition au passage du courant appelée réactance inductive (\(X_L\)), qui dépend de la fréquence. Cette réactance, combinée à la résistance, forme l'impédance totale (\(Z\)) du circuit. En raison de l'inductance, le courant dans le circuit sera toujours en retard par rapport à la tension appliquée.

Données de l'étude

Un circuit RL série est soumis à une tension sinusoïdale \(u_e(t)\) de valeur efficace \(U_e = 12 \, \text{V}\) et de fréquence \(f = 50 \, \text{Hz}\).

Résistance : \(R = 10 \, \Omega\)
Inductance : \(L = 50 \, \text{mH}\)

Schéma du Circuit RL Série

Questions à traiter

Calculer la réactance inductive (\(X_L\)) de la bobine.
Calculer l'impédance complexe (\(\underline{Z}\)) du circuit, puis déterminer son module (\(|Z|\)) et son argument (\(\phi\)).
Calculer la valeur efficace du courant (\(I\)) qui traverse le circuit.
Déterminer le déphasage (\(\phi\)) du courant par rapport à la tension d'entrée.
Écrire l'expression mathématique du courant instantané \(i(t)\), en prenant la tension d'entrée comme référence de phase (\(u_e(t) = U_e\sqrt{2}\sin(\omega t)\)).

Correction : Calcul du Courant dans un Circuit RL Série

1. Réactance Inductive (\(X_L\))

Principe :

La réactance inductive \(X_L\) est l'opposition de la bobine au passage du courant alternatif. Elle est directement proportionnelle à la fréquence du signal et à la valeur de l'inductance.

Formule(s) utilisée(s) :

X_L = L\omega = 2\pi f L

Calcul :

\begin{aligned} X_L &= 2\pi \times 50 \, \text{Hz} \times (50 \times 10^{-3} \, \text{H}) \\ &= 5\pi \, \Omega \\ &\approx 15.71 \, \Omega \end{aligned}

Résultat : La réactance inductive est \(X_L \approx 15.71 \, \Omega\).

2. Impédance Totale (\(\underline{Z}\))

Principe :

L'impédance totale \(\underline{Z}\) est la somme vectorielle de la résistance R (partie réelle) et de la réactance inductive \(X_L\) (partie imaginaire). Son module représente l'opposition totale du circuit, et son argument représente le déphasage que le circuit impose entre la tension totale et le courant.

Formule(s) utilisée(s) :

\underline{Z} = R + jX_L

Calcul :

Expression de l'impédance complexe :

\underline{Z} = (10 + j15.71) \, \Omega

Calcul du module :

\begin{aligned} |Z| &= \sqrt{R^2 + X_L^2} \\ &= \sqrt{10^2 + 15.71^2} \\ &= \sqrt{100 + 246.8} \\ &\approx 18.62 \, \Omega \end{aligned}

Calcul de l'argument (déphasage) :

\begin{aligned} \phi &= \arctan\left(\frac{X_L}{R}\right) \\ &= \arctan\left(\frac{15.71}{10}\right) \\ &\approx 57.5^\circ \end{aligned}

Résultat : L'impédance est \(\underline{Z} = (10 + j15.71) \, \Omega\), avec un module \(|Z| \approx 18.62 \, \Omega\) et un argument \(\phi \approx 57.5^\circ\).

3. Courant Efficace (\(I\))

Principe :

Le courant efficace est calculé en appliquant la loi d'Ohm avec la tension efficace de la source et le module de l'impédance totale du circuit.

Formule(s) utilisée(s) :

I = \frac{U_e}{|Z|}

Calcul :

\begin{aligned} I &= \frac{12 \, \text{V}}{18.62 \, \Omega} \\ &\approx 0.644 \, \text{A} \end{aligned}

Résultat : Le courant efficace dans le circuit est \(I \approx 0.64 \, \text{A}\).

4. Déphasage Courant / Tension

Principe :

Le déphasage \(\phi\) du circuit a été calculé comme étant l'argument de l'impédance. Cet angle représente le déphasage de la tension par rapport au courant. Le déphasage du courant par rapport à la tension est donc l'opposé de cet angle.

Valeur :

L'argument de l'impédance est \(\phi \approx +57.5^\circ\). Cela signifie que la tension totale \(u_e(t)\) est en avance de \(57.5^\circ\) sur le courant \(i(t)\). Réciproquement, le courant \(i(t)\) est en retard de \(57.5^\circ\) sur la tension \(u_e(t)\).

Résultat : Le courant est en retard de \(57.5^\circ\) par rapport à la tension.

5. Expression du Courant Instantané \(i(t)\)

Principe :

L'expression de \(i(t)\) s'écrit sous la forme \(i(t) = I_{\text{max}} \sin(\omega t + \phi_i)\), où \(I_{\text{max}} = I \times \sqrt{2}\) et \(\phi_i\) est le déphasage du courant par rapport à la tension de référence.

Calcul :

Calcul de l'amplitude maximale du courant :

\begin{aligned} I_{\text{max}} &= I \times \sqrt{2} \\ &= 0.644 \, \text{A} \times \sqrt{2} \\ &\approx 0.91 \, \text{A} \end{aligned}

Le déphasage du courant est \(\phi_i = -57.5^\circ\). Il faut le convertir en radians pour l'expression temporelle : \(\phi_i \approx -57.5 \times \frac{\pi}{180} \approx -1.0 \, \text{rad}\).

L'expression finale est donc :

i(t) \approx 0.91 \sin(100\pi t - 1.0) \, \text{A}

Résultat : L'expression du courant instantané est \(i(t) \approx 0.91 \sin(100\pi t - 1.0) \, \text{A}\).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un circuit RL série, le courant est toujours...

En phase avec la tension.
En avance sur la tension.
En retard sur la tension.
Nul.

2. Si la fréquence du signal d'entrée d'un circuit RL série augmente, qu'advient-il de l'impédance totale du circuit ?

Elle diminue.
Elle augmente.
Elle reste constante.
Elle devient purement résistive.

Glossaire

Circuit RL: Circuit électrique composé d'une résistance (R) et d'une inductance (L). En série, ils forment un circuit de base pour modéliser des charges réelles comme des moteurs.
Impédance (\(\underline{Z}\)): Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif. C'est une grandeur complexe dont le module est \(|Z| = \sqrt{R^2 + X_L^2}\) pour un circuit RL série.
Réactance Inductive (\(X_L\)): Partie imaginaire de l'impédance due à une inductance. Elle se mesure en Ohms (\(\Omega\)) et sa valeur est \(X_L = L\omega\).
Déphasage (\(\phi\)): Décalage angulaire entre la tension et le courant. Dans un circuit RL, la tension est toujours en avance sur le courant. L'angle est donné par \(\phi = \arctan(X_L/R)\).