Calcul du Dopage dans un Semi-conducteur

Détermination des concentrations de porteurs majoritaires et minoritaires dans le silicium dopé.

Énoncé : Calcul du Dopage dans un Semi-conducteur

Les propriétés électriques des semi-conducteurs, comme le silicium (Si), peuvent être modifiées de manière contrôlée en introduisant de faibles quantités d'impuretés : c'est le dopage. Le dopage crée des porteurs de charge supplémentaires (électrons ou trous) et détermine si le semi-conducteur est de type N (majorité d'électrons) ou de type P (majorité de trous).

Contexte

Le dopage est la pierre angulaire de l'électronique moderne. C'est en créant des zones de type N et de type P adjacentes que l'on forme les jonctions P-N, qui sont la base des diodes, des transistors (bipolaires, MOSFETs), et donc de tous les circuits intégrés (microprocesseurs, mémoires...). Le contrôle précis des concentrations de dopants permet de définir les caractéristiques électriques de ces composants.

Représentation schématique d'un réseau de silicium avec des atomes dopants (P : donneur, B : accepteur) et les porteurs de charge associés.

Données du Problème

On considère un échantillon de silicium (Si) à température ambiante (environ 300 K).

Concentration intrinsèque de porteurs dans le silicium à 300 K : \(n_i = 1,0 \times 10^{10} \, \text{cm}^{-3}\)
Loi d'action de masse : Dans un semi-conducteur à l'équilibre thermique, le produit des concentrations d'électrons (\(n\)) et de trous (\(p\)) est constant et égal au carré de la concentration intrinsèque : \(n \times p = n_i^2\).
On dope cet échantillon avec du phosphore (P), qui est un atome donneur (type N), à une concentration \(N_D = 5,0 \times 10^{16} \, \text{cm}^{-3}\).
On suppose que tous les atomes donneurs sont ionisés.

Questions

Quel est le type de ce semi-conducteur dopé (type N ou type P) ? Justifier.
Quels sont les porteurs de charge majoritaires et minoritaires dans cet échantillon ?
En première approximation, quelle est la concentration des porteurs majoritaires (\(n\)) ? Justifier cette approximation.
En utilisant la loi d'action de masse, calculer la concentration des porteurs minoritaires (\(p\)).
Comparer la concentration des porteurs majoritaires et minoritaires. Que peut-on en conclure ?
Si on avait dopé le silicium avec du Bore (B), un accepteur (type P), à une concentration \(N_A = 2,0 \times 10^{15} \, \text{cm}^{-3}\), quelles seraient (approximativement) les concentrations des porteurs majoritaires (\(p\)) et minoritaires (\(n\)) ?

Correction : Calcul du Dopage dans un Semi-conducteur

1. Type du Semi-conducteur Dopé

Le type de semi-conducteur est déterminé par la nature de l'impureté majoritaire introduite. Les atomes donneurs (comme le phosphore, colonne V) fournissent des électrons supplémentaires. Les atomes accepteurs (comme le bore, colonne III) créent des "trous" (manque d'électrons).

Analyse

L'échantillon est dopé avec du phosphore (P), qui est un atome donneur. Il va donc fournir des électrons libres au réseau cristallin.

Résultat

Le semi-conducteur est de type N, car il est dopé avec des atomes donneurs qui augmentent la concentration d'électrons.

2. Porteurs Majoritaires et Minoritaires

Dans un semi-conducteur de type N, les électrons sont les porteurs de charge ajoutés par le dopage, ils deviennent donc majoritaires. Les trous, dont la concentration diminue par recombinaison, deviennent minoritaires. L'inverse est vrai pour un semi-conducteur de type P.

Analyse

Puisque le semi-conducteur est de type N (dopage par donneurs), les électrons sont en plus grand nombre.

Résultat

Les porteurs majoritaires sont les électrons. Les porteurs minoritaires sont les trous.

3. Concentration des Porteurs Majoritaires (\(n\))

Dans un semi-conducteur de type N, la concentration d'électrons (\(n\)) est principalement déterminée par la concentration des atomes donneurs ionisés (\(N_D\)), car chaque donneur fournit un électron. On néglige généralement les électrons provenant de la génération intrinsèque (\(n_i\)) car \(N_D \gg n_i\). Approximation : \(n \approx N_D\).

Données pour cette étape

Concentration des donneurs \(N_D = 5,0 \times 10^{16} \, \text{cm}^{-3}\)
Concentration intrinsèque \(n_i = 1,0 \times 10^{10} \, \text{cm}^{-3}\)

Justification de l'approximation

On vérifie que \(N_D = 5,0 \times 10^{16} \, \text{cm}^{-3}\) est très supérieur à \(n_i = 1,0 \times 10^{10} \, \text{cm}^{-3}\). L'approximation est donc valide.

Calcul

n \approx N_D = 5,0 \times 10^{16} \, \text{cm}^{-3}

Résultat

La concentration des porteurs majoritaires (électrons) est approximativement \(n \approx 5,0 \times 10^{16} \, \text{cm}^{-3}\).

4. Concentration des Porteurs Minoritaires (\(p\))

On utilise la loi d'action de masse \(n \times p = n_i^2\) pour calculer la concentration des porteurs minoritaires (\(p\)), en utilisant la concentration des majoritaires (\(n\)) trouvée à l'étape précédente. \[ p = \frac{n_i^2}{n} \]

Données pour cette étape

Concentration intrinsèque \(n_i = 1,0 \times 10^{10} \, \text{cm}^{-3}\)
Concentration majoritaire \(n \approx 5,0 \times 10^{16} \, \text{cm}^{-3}\) (calculée à l'étape 3)

Calcul

\begin{aligned} p &= \frac{n_i^2}{n} \\ &= \frac{(1,0 \times 10^{10} \, \text{cm}^{-3})^2}{5,0 \times 10^{16} \, \text{cm}^{-3}} \\ &= \frac{1,0 \times 10^{20} \, \text{cm}^{-6}}{5,0 \times 10^{16} \, \text{cm}^{-3}} \\ &= \frac{1,0}{5,0} \times 10^{(20-16)} \, \text{cm}^{-3} \\ &= 0,2 \times 10^4 \, \text{cm}^{-3} \\ &= 2,0 \times 10^3 \, \text{cm}^{-3} \end{aligned}

Résultat

La concentration des porteurs minoritaires (trous) est \(p = 2,0 \times 10^3 \, \text{cm}^{-3}\).

5. Comparaison des Concentrations

On compare les valeurs de \(n\) et \(p\) obtenues.

Données pour cette étape

\(n \approx 5,0 \times 10^{16} \, \text{cm}^{-3}\)
\(p = 2,0 \times 10^3 \, \text{cm}^{-3}\)

Comparaison

Le rapport \(n/p = (5,0 \times 10^{16}) / (2,0 \times 10^3) = 2,5 \times 10^{13}\).

La concentration d'électrons est extrêmement supérieure à la concentration de trous (plus de 10 ordres de grandeur de différence).

Résultat

La concentration des électrons (\(n \approx 5,0 \times 10^{16} \, \text{cm}^{-3}\)) est très largement supérieure à celle des trous (\(p = 2,0 \times 10^3 \, \text{cm}^{-3}\)), ce qui confirme bien que les électrons sont les porteurs très majoritaires et les trous très minoritaires dans ce semi-conducteur de type N.

6. Cas d'un Dopage au Bore (Type P)

Si le dopage est réalisé avec du Bore (accepteur) à une concentration \(N_A\), le semi-conducteur devient de type P. Les trous sont alors majoritaires et les électrons minoritaires. Approximation : \(p \approx N_A\). Calcul de \(n\) par la loi d'action de masse : \(n = n_i^2 / p\).

Données pour cette étape

Concentration des accepteurs \(N_A = 2,0 \times 10^{15} \, \text{cm}^{-3}\)
Concentration intrinsèque \(n_i = 1,0 \times 10^{10} \, \text{cm}^{-3}\)

Calculs

a) Concentration des majoritaires (trous, \(p\)) :

\[ p \approx N_A = 2,0 \times 10^{15} \, \text{cm}^{-3} \] (Vérification : \(N_A = 2,0 \times 10^{15} \gg n_i = 1,0 \times 10^{10}\), l'approximation est valide).

b) Concentration des minoritaires (électrons, \(n\)) :

\begin{aligned} n &= \frac{n_i^2}{p} \\ &\approx \frac{(1,0 \times 10^{10} \, \text{cm}^{-3})^2}{2,0 \times 10^{15} \, \text{cm}^{-3}} \\ &= \frac{1,0 \times 10^{20} \, \text{cm}^{-6}}{2,0 \times 10^{15} \, \text{cm}^{-3}} \\ &= 0,5 \times 10^{5} \, \text{cm}^{-3} \\ &= 5,0 \times 10^{4} \, \text{cm}^{-3} \end{aligned}

Résultats (Dopage P)

Pour un dopage au Bore avec \(N_A = 2,0 \times 10^{15} \, \text{cm}^{-3}\) :

Les porteurs majoritaires sont les trous : \(p \approx 2,0 \times 10^{15} \, \text{cm}^{-3}\).
Les porteurs minoritaires sont les électrons : \(n \approx 5,0 \times 10^{4} \, \text{cm}^{-3}\).