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Calcul du vecteur de Poynting

Calcul du Vecteur de Poynting

Calcul du Vecteur de Poynting

Comprendre le Vecteur de Poynting

Le vecteur de Poynting, noté \(\vec{S}\), est une grandeur vectorielle en électromagnétisme qui décrit la direction et la densité de flux d'énergie (puissance par unité de surface) transportée par une onde électromagnétique. Il est défini par le produit vectoriel du champ électrique \(\vec{E}\) et du champ magnétique \(\vec{H}\) (ou \(\vec{B}/\mu_0\) dans le vide) : \(\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}\). La direction de \(\vec{S}\) indique la direction de propagation de l'énergie, et sa magnitude représente l'intensité de l'onde (puissance par unité de surface). L'étude du vecteur de Poynting est essentielle pour comprendre comment l'énergie est transportée par les ondes électromagnétiques, par exemple dans les guides d'ondes, les antennes, ou la lumière solaire.

Données de l'étude

On considère une onde électromagnétique plane sinusoïdale se propageant dans le vide le long de l'axe \(z\). Le champ électrique de l'onde est polarisé linéairement le long de l'axe \(x\).

Caractéristiques de l'onde :

  • Amplitude du champ électrique (\(E_0\)) : \(300 \, \text{V/m}\)
  • Fréquence de l'onde (\(f\)) : \(500 \, \text{MHz}\)

Constantes :

  • Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Permittivité du vide (\(\epsilon_0\)) : \(8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
  • Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) : \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}\)
  • Impédance caractéristique du vide (\(\eta_0 = \sqrt{\mu_0/\epsilon_0}\)) : \(\approx 377 \, \Omega\)
Schéma : Onde Électromagnétique Plane et Vecteur de Poynting
x (E) z (prop.) y (B) E B S Onde Électromagnétique Plane

Une onde électromagnétique plane avec les champs \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\) orthogonaux, et le vecteur de Poynting \(\vec{S}\) indiquant la direction de propagation de l'énergie.

Questions à traiter

  1. Calculer la pulsation (\(\omega\)) et le nombre d'onde (\(k\)) de l'onde.
  2. Écrire les expressions vectorielles instantanées du champ électrique \(\vec{E}(z,t)\) et du champ magnétique \(\vec{B}(z,t)\) de l'onde. (Déterminer d'abord l'amplitude \(B_0\)).
  3. Calculer le vecteur de Poynting instantané \(\vec{S}(z,t)\).
  4. Calculer la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting, \(\langle \vec{S} \rangle\), qui représente l'intensité de l'onde (\(I\)).
  5. Calculer la puissance moyenne \(P_{moy}\) transportée par cette onde à travers une surface d'aire \(A_{surf} = 0.5 \, \text{m}^2\) perpendiculaire à la direction de propagation.

Correction : Calcul du Vecteur de Poynting

Question 1 : Pulsation (\(\omega\)) et nombre d'onde (\(k\))

Principe :

La pulsation \(\omega\) est liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\). Le nombre d'onde \(k\) est lié à la longueur d'onde \(\lambda\) par \(k = 2\pi/\lambda\), et comme \(\lambda = c/f\), on a \(k = \omega/c\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\omega = 2\pi f\] \[k = \frac{\omega}{c}\]
Données spécifiques :
  • Fréquence (\(f\)) : \(500 \, \text{MHz} = 500 \times 10^6 \, \text{Hz} = 5 \times 10^8 \, \text{Hz}\)
  • Vitesse de la lumière (\(c\)) : \(3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \omega &= 2\pi \times (5 \times 10^8 \, \text{Hz}) \\ &= 10\pi \times 10^8 \, \text{rad/s} \\ &= \pi \times 10^9 \, \text{rad/s} \\ &\approx 3.14159 \times 10^9 \, \text{rad/s} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} k &= \frac{\pi \times 10^9 \, \text{rad/s}}{3 \times 10^8 \, \text{m/s}} \\ &= \frac{10\pi}{3} \, \text{rad/m} \\ &\approx 10.472 \, \text{rad/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • Pulsation : \(\omega = \pi \times 10^9 \, \text{rad/s} \approx 3.14 \times 10^9 \, \text{rad/s}\)
  • Nombre d'onde : \(k = \frac{10\pi}{3} \, \text{rad/m} \approx 10.47 \, \text{rad/m}\)

Question 2 : Expressions de \(\vec{E}(z,t)\) et \(\vec{B}(z,t)\)

Principe :

Pour une onde plane se propageant selon \(+z\), polarisée linéairement selon \(x\), le champ électrique est \(\vec{E}(z,t) = E_0 \cos(\omega t - kz + \phi_0) \vec{u}_x\). On prendra \(\phi_0 = 0\). Le champ magnétique \(\vec{B}\) est perpendiculaire à \(\vec{E}\) et à la direction de propagation, et son amplitude \(B_0\) est liée à \(E_0\) par \(E_0 = c B_0\). La direction de \(\vec{B}\) est telle que \(\vec{E} \times \vec{B}\) soit dans la direction de propagation (\(+\vec{u}_z\)). Si \(\vec{E}\) est selon \(\vec{u}_x\) et la propagation selon \(\vec{u}_z\), alors \(\vec{B}\) est selon \(\vec{u}_y\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\vec{E}(z,t) = E_0 \cos(\omega t - kz) \vec{u}_x\] \[B_0 = \frac{E_0}{c}\] \[\vec{B}(z,t) = B_0 \cos(\omega t - kz) \vec{u}_y\]
Données spécifiques :
  • \(E_0 = 300 \, \text{V/m}\)
  • \(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • \(\omega = \pi \times 10^9 \, \text{rad/s}\)
  • \(k = \frac{10\pi}{3} \, \text{rad/m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} B_0 &= \frac{300 \, \text{V/m}}{3 \times 10^8 \, \text{m/s}} \\ &= 100 \times 10^{-8} \, \text{T} \\ &= 1 \times 10^{-6} \, \text{T} = 1 \, \mu\text{T} \end{aligned} \]

Donc :

\[ \vec{E}(z,t) = 300 \cos(\pi \times 10^9 t - \frac{10\pi}{3} z) \vec{u}_x \, \text{V/m} \] \[ \vec{B}(z,t) = 10^{-6} \cos(\pi \times 10^9 t - \frac{10\pi}{3} z) \vec{u}_y \, \text{T} \]
Résultat Question 2 :
  • \(\vec{E}(z,t) = 300 \cos(\pi \times 10^9 t - \frac{10\pi}{3} z) \vec{u}_x \, \text{V/m}\)
  • \(\vec{B}(z,t) = 10^{-6} \cos(\pi \times 10^9 t - \frac{10\pi}{3} z) \vec{u}_y \, \text{T}\)

Quiz Intermédiaire 1 : Pour une onde électromagnétique plane dans le vide, les vecteurs \(\vec{E}\), \(\vec{B}\) et la direction de propagation sont :

Question 3 : Vecteur de Poynting instantané \(\vec{S}(z,t)\)

Principe :

Le vecteur de Poynting est donné par \(\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B})\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\vec{S}(z,t) = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E}(z,t) \times \vec{B}(z,t))\]
Données spécifiques (expressions de \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\) de Q2) :
  • \(\vec{E}(z,t) = E_0 \cos(\omega t - kz) \vec{u}_x\)
  • \(\vec{B}(z,t) = B_0 \cos(\omega t - kz) \vec{u}_y\)
  • \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{E} \times \vec{B} &= (E_0 \cos(\omega t - kz) \vec{u}_x) \times (B_0 \cos(\omega t - kz) \vec{u}_y) \\ &= E_0 B_0 \cos^2(\omega t - kz) (\vec{u}_x \times \vec{u}_y) \\ &= E_0 B_0 \cos^2(\omega t - kz) \vec{u}_z \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \vec{S}(z,t) &= \frac{1}{\mu_0} E_0 B_0 \cos^2(\omega t - kz) \vec{u}_z \end{aligned} \]

Avec \(B_0 = E_0/c\) et \(c = 1/\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}\), on a \(\mu_0 c = \sqrt{\mu_0/\epsilon_0} = \eta_0\). Donc :

\[ \begin{aligned} \vec{S}(z,t) &= \frac{E_0 (E_0/c)}{\mu_0} \cos^2(\omega t - kz) \vec{u}_z \\ &= \frac{E_0^2}{\mu_0 c} \cos^2(\omega t - kz) \vec{u}_z \\ &= \frac{E_0^2}{\eta_0} \cos^2(\omega t - kz) \vec{u}_z \end{aligned} \]

Valeurs numériques :

\[ \begin{aligned} \frac{E_0 B_0}{\mu_0} &= \frac{(300 \, \text{V/m}) \times (10^{-6} \, \text{T})}{4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}} \\ &= \frac{300 \times 10^{-6}}{1.256637 \times 10^{-6}} \, \text{W/m}^2 \\ &\approx 238.73 \, \text{W/m}^2 \end{aligned} \] \[ \vec{S}(z,t) \approx 238.73 \cos^2(\pi \times 10^9 t - \frac{10\pi}{3} z) \vec{u}_z \, \text{W/m}^2 \]
Résultat Question 3 : \(\vec{S}(z,t) = \frac{E_0 B_0}{\mu_0} \cos^2(\omega t - kz) \vec{u}_z \approx 238.73 \cos^2(\pi \times 10^9 t - \frac{10\pi}{3} z) \vec{u}_z \, \text{W/m}^2\).

Question 4 : Valeur moyenne temporelle \(\langle \vec{S} \rangle\) (Intensité \(I\))

Principe :

L'intensité \(I\) d'une onde électromagnétique est la valeur moyenne temporelle de la magnitude du vecteur de Poynting. La valeur moyenne de \(\cos^2(\omega t - kz)\) sur une période est \(1/2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\langle \vec{S} \rangle = \frac{1}{2} \frac{E_0 B_0}{\mu_0} \vec{u}_z = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c} \vec{u}_z = \frac{E_0^2}{2\eta_0} \vec{u}_z\] \[I = |\langle \vec{S} \rangle|\]
Données spécifiques :
  • \(E_0 = 300 \, \text{V/m}\)
  • \(B_0 = 10^{-6} \, \text{T}\)
  • \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}\)
  • \(\eta_0 \approx 377 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I &= \frac{1}{2} \frac{E_0 B_0}{\mu_0} \\ &\approx \frac{1}{2} \times 238.73 \, \text{W/m}^2 \\ &\approx 119.365 \, \text{W/m}^2 \end{aligned} \]

Alternativement :

\[ \begin{aligned} I &= \frac{E_0^2}{2\eta_0} \\ &= \frac{(300 \, \text{V/m})^2}{2 \times 377 \, \Omega} \\ &= \frac{90000}{754} \, \text{W/m}^2 \\ &\approx 119.36 \, \text{W/m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'intensité de l'onde est \(I = |\langle \vec{S} \rangle| \approx 119.36 \, \text{W/m}^2\). Le vecteur moyen est \(\langle \vec{S} \rangle \approx 119.36 \, \vec{u}_z \, \text{W/m}^2\).

Quiz Intermédiaire 2 : La direction du vecteur de Poynting \(\vec{S}\) indique :

Question 5 : Puissance moyenne (\(P_{moy}\)) à travers une surface \(A_{surf}\)

Principe :

La puissance moyenne transportée par une onde électromagnétique à travers une surface \(A_{surf}\) perpendiculaire à la direction de propagation est le produit de l'intensité moyenne (magnitude de \(\langle \vec{S} \rangle\)) et de l'aire de la surface.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{moy} = I \cdot A_{surf}\]
Données spécifiques :
  • Intensité (\(I\)) : \(\approx 119.36 \, \text{W/m}^2\)
  • Aire de la surface (\(A_{surf}\)) : \(0.5 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{moy} &= (119.36 \, \text{W/m}^2) \times (0.5 \, \text{m}^2) \\ &= 59.68 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La puissance moyenne transportée à travers la surface est \(P_{moy} \approx 59.68 \, \text{W}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le vecteur de Poynting \(\vec{S}\) est défini par :

2. L'unité SI du vecteur de Poynting (et de l'intensité d'une onde) est :

3. Pour une onde électromagnétique plane sinusoïdale, l'intensité moyenne est proportionnelle à :

Glossaire

Onde Électromagnétique Plane
Onde dont les fronts d'onde (surfaces d'égale phase) sont des plans infinis perpendiculaires à la direction de propagation.
Champ Électrique (\(\vec{E}\))
Champ vectoriel décrivant la force électrostatique par unité de charge. Unité SI : Volt par mètre (V/m).
Champ Magnétique (\(\vec{B}\))
Champ vectoriel décrivant les forces magnétiques. Unité SI : Tesla (T).
Champ d'Excitation Magnétique (\(\vec{H}\))
Champ auxiliaire lié à \(\vec{B}\) par \(\vec{B} = \mu \vec{H}\). Dans le vide, \(\vec{H} = \vec{B}/\mu_0\). Unité SI : Ampère par mètre (A/m).
Vecteur de Poynting (\(\vec{S}\))
Vecteur représentant la densité de flux d'énergie (puissance par unité de surface) et la direction de propagation de l'énergie d'une onde électromagnétique. \(\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}\).
Intensité d'une Onde (\(I\))
Puissance moyenne transportée par l'onde par unité de surface perpendiculaire à la direction de propagation. C'est la magnitude de la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting, \(I = |\langle \vec{S} \rangle|\).
Permittivité du Vide (\(\epsilon_0\))
Constante physique fondamentale relative au champ électrique dans le vide.
Perméabilité du Vide (\(\mu_0\))
Constante physique fondamentale relative au champ magnétique dans le vide.
Impédance Caractéristique du Vide (\(\eta_0\))
Rapport entre les amplitudes des champs électrique et magnétique d'une onde plane dans le vide. \(\eta_0 = \sqrt{\mu_0/\epsilon_0} \approx 377 \, \Omega\).
Pulsation (\(\omega\))
Fréquence angulaire de l'onde, \(\omega = 2\pi f\).
Nombre d'Onde (\(k\))
Constant de phase spatiale, \(k = 2\pi/\lambda\).
Calcul du Vecteur de Poynting - Exercice d'Application

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