Calcul d’un Amplificateur Opérationnel Inverseur
Contexte : L'Amplificateur Opérationnel (AOP)Un composant électronique actif à haute impédance d'entrée, faible impédance de sortie et gain très élevé, utilisé dans une multitude d'applications analogiques. est l'un des circuits intégrés les plus polyvalents en électronique.
Le montage amplificateur inverseur est une configuration fondamentale qui permet d'amplifier un signal tout en inversant sa phase de 180°. Il est largement utilisé dans le conditionnement de signaux, les filtres actifs ou encore les sommations. Cet exercice vous guidera pas à pas dans le calcul des caractéristiques clés de ce montage.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les concepts de la masse virtuelle et de la loi des nœuds pour analyser un circuit à base d'AOP, et à vérifier les limites de fonctionnement linéaire du composant (saturation).
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le fonctionnement et la modélisation d'un montage AOP inverseur idéal.
- Calculer le gain en tension du montage en fonction des résistances.
- Déterminer la tension de sortie pour une tension d'entrée donnée.
- Identifier et justifier l'état de saturation ou de non-saturation de l'AOP.
Données de l'étude
Schéma du montage amplificateur inverseur
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Tension d'entrée | \(V_e\) | +0.5 V |
| Résistance d'entrée | \(R_1\) | 10 kΩ |
| Résistance de contre-réaction | \(R_2\) | 47 kΩ |
| Tensions d'alimentation | \(V_{cc+}/V_{cc-}\) | +15 V / -15 V |
Questions à traiter
- Donner l'expression littérale du gain en tension \(A_v = V_s / V_e\).
- Calculer la valeur numérique du gain en tension \(A_v\).
- Calculer la tension de sortie \(V_s\) du montage.
- Le montage fonctionne-t-il en régime linéaire ou est-il saturé ? Justifier.
Les bases de l'Amplificateur Opérationnel Inverseur
Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser les propriétés de l'AOP en mode de fonctionnement idéal et linéaire (avec contre-réaction).
1. L'AOP Idéal en Régime Linéaire
On pose deux hypothèses fondamentales :
- L'amplification différentielle \(A_d\) est considérée comme infinie. En conséquence, la différence de potentiel entre les entrées \(e^+ - e^-\) est nulle : \(e^+ = e^-\).
- Les courants d'entrée \(i^+\) et \(i^-\) sont nuls, car l'impédance d'entrée est considérée comme infinie.
2. Démonstration de la Formule du Gain
Dans le montage inverseur, l'entrée non-inverseuse \(e^+\) est reliée à la masse, donc \(e^+ = 0\,\text{V}\). À cause de la contre-réaction via \(R_2\), on a \(e^- = e^+ = 0\,\text{V}\). On parle de masse virtuelleUn nœud d'un circuit qui est maintenu à un potentiel de référence stable (souvent 0V), sans y être directement connecté. sur l'entrée \(e^-\).
Le courant \(i^-\) étant nul, on peut appliquer la loi des nœuds en \(e^-\) :
\[ i_{R1} + i_{R2} = 0 \Rightarrow i_{R1} = -i_{R2} \]
En utilisant la loi d'Ohm :
\[ \frac{V_e - e^-}{R_1} = - \frac{V_s - e^-}{R_2} \]
Comme \(e^- = 0\,\text{V}\), on simplifie :
\[ \frac{V_e}{R_1} = - \frac{V_s}{R_2} \Rightarrow V_s = -V_e \cdot \frac{R_2}{R_1} \]
Le gain en tension est donc :
\[ A_v = \frac{V_s}{V_e} = -\frac{R_2}{R_1} \]
Correction : Calcul d’un Amplificateur Opérationnel Inverseur
Question 1 : Expression littérale du gain en tension \(A_v\)
Principe
L'objectif est de trouver la relation mathématique (l'expression littérale) qui lie la tension de sortie \(V_s\) à la tension d'entrée \(V_e\). Cette relation, appelée gain en tension, dépend uniquement des composants passifs du circuit (les résistances) lorsque l'AOP est considéré comme idéal.
Mini-Cours
Le montage est dit "inverseur" car la tension d'entrée est appliquée sur la broche inverseuse (-) via la résistance \(R_1\). La sortie est connectée à cette même broche via la résistance de contre-réaction (ou feedback) \(R_2\). Cette contre-réaction négative est cruciale : elle stabilise le système et permet de définir un gain précis, nous affranchissant du gain interne de l'AOP qui est extrêmement élevé et instable.
Remarque Pédagogique
Pour analyser un circuit à AOP, la méthode est quasi-systématique : 1. Poser les hypothèses de l'AOP idéal. 2. Appliquer les lois fondamentales de l'électricité (loi des nœuds, loi d'Ohm) sur les entrées de l'AOP. 3. Résoudre l'équation pour trouver la relation sortie/entrée.
Normes
Il n'y a pas de norme réglementaire pour ce calcul fondamental, mais la méthode d'analyse et les symboles utilisés (\(R_1, R_2, V_e, V_s\)) sont standardisés dans tous les ouvrages et fiches techniques (datasheets) d'électronique.
Formule(s)
Loi des nœuds de Kirchhoff
Loi d'Ohm
Hypothèses
On se place dans le cadre du modèle de l'AOP idéal en fonctionnement linéaire (non saturé) :
- Les courants d'entrée sont nuls : \(i^+ = i^- = 0\,\text{A}\).
- La différence de tension entre les entrées est nulle : \(V_d = e^+ - e^- = 0 \Rightarrow e^+ = e^-\).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Tension d'entrée | \(V_e\) | Symbolique |
| Tension de sortie | \(V_s\) | Symbolique |
| Résistances | \(R_1, R_2\) | Symbolique |
Astuces
Le concept de "masse virtuelle" est un raccourci puissant. Puisque \(e^+\) est à la masse (0V) et que \(e^+ = e^-\), on sait immédiatement que le nœud sur l'entrée inverseuse est à 0V, ce qui simplifie grandement l'application de la loi d'Ohm.
Schéma (Avant les calculs)
Analyse du circuit
Calcul(s)
Loi des noeuds au point e-
Expression des courants avec la loi d'Ohm
Simplification avec la masse virtuelle (e- = 0V)
Expression finale du gain Av
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de l'inversion de phase
Réflexions
L'expression finale montre que le gain ne dépend que du rapport des deux résistances. Cela est extrêmement utile en conception car on peut fixer un gain très précis simplement en choisissant les bonnes valeurs de résistances. Le signe "-" confirme le caractère "inverseur" du montage.
Points de vigilance
Cette formule n'est valable que pour le montage amplificateur inverseur. D'autres configurations (non-inverseur, suiveur, différentiel) ont des expressions de gain différentes. Il est crucial de ne pas les confondre.
Points à retenir
- La formule du gain de l'AOP inverseur est \(A_v = -R_2/R_1\).
- Cette formule découle des deux hypothèses de l'AOP idéal : \(i^- = 0\) et \(e^+ = e^-\).
- Le concept de masse virtuelle à l'entrée \(e^-\) est la clé de la démonstration.
Le saviez-vous ?
Le premier amplificateur opérationnel modulaire commercial, le K2-W, a été inventé par George A. Philbrick en 1952. Il fonctionnait avec des tubes à vide et coûtait 24$. Aujourd'hui, un AOP intégré comme le LM741 coûte quelques centimes !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Sans faire de calcul, que vaudrait le gain en tension \(A_v\) si les deux résistances \(R_1\) et \(R_2\) étaient identiques ?
Question 2 : Calcul de la valeur numérique du gain \(A_v\)
Principe
Il s'agit d'une application numérique directe de la formule littérale trouvée à la question précédente. On remplace les symboles des résistances par les valeurs données dans l'énoncé pour trouver la valeur chiffrée du gain.
Mini-Cours
Le gain en tension est un rapport sans dimension. Il quantifie le facteur multiplicatif entre la tension de sortie et la tension d'entrée. Un gain de -4.7 signifie que l'amplitude du signal de sortie sera 4.7 fois plus grande que celle du signal d'entrée, et que le signal sera inversé.
Remarque Pédagogique
Avant de calculer, ayez un ordre d'idée du résultat. Ici, \(R_2\) est environ 5 fois plus grande que \(R_1\), on s'attend donc à un gain proche de -5. Cela permet de détecter rapidement une erreur de calcul grossière.
Normes
Les valeurs de résistances comme 10kΩ et 47kΩ sont des valeurs normalisées, issues de la série E (E12 ou E24). Cette normalisation permet de limiter le nombre de valeurs de composants à produire industriellement.
Formule(s)
Formule du gain
Hypothèses
Nous utilisons le résultat de la question 1, qui repose sur les hypothèses de l'AOP idéal en régime linéaire. Nous supposons que les valeurs des résistances sont exactes.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance d'entrée | \(R_1\) | 10 | kΩ |
| Résistance de contre-réaction | \(R_2\) | 47 | kΩ |
Astuces
Lorsque les deux résistances sont exprimées avec le même multiple (ici, le kilo-Ohm : kΩ), il n'est pas nécessaire de les convertir en Ohms pour le calcul du gain. Le rapport \(47k / 10k\) est identique au rapport \(47000 / 10000\), les multiples s'annulent.
Schéma (Avant les calculs)
Circuit avec valeurs numériques
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Courbe de transfert avec pente du gain
Réflexions
Un gain de -4.7 signifie que tout signal appliqué en entrée sera inversé et son amplitude sera multipliée par 4.7 en sortie, tant que l'AOP ne sature pas. C'est une amplification modérée, typique des étages de pré-amplification audio ou de conditionnement de capteurs.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'inverser le rapport et de calculer \(-R_1/R_2\), ce qui donnerait un gain inférieur à 1 (atténuation). Assurez-vous que la résistance de la boucle de contre-réaction (\(R_2\)) est bien au numérateur.
Points à retenir
- Le gain de l'amplificateur inverseur est directement proportionnel à \(R_2\).
- Le gain est inversement proportionnel à \(R_1\).
- Le signe est toujours négatif.
Le saviez-vous ?
Les résistances standard ne sont pas disponibles dans toutes les valeurs possibles. Elles suivent des séries normalisées (E6, E12, E24...) qui définissent les valeurs possibles. 47kΩ et 10kΩ sont des valeurs très communes de la série E12, ce qui facilite l'approvisionnement.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez le nouveau gain \(A_v\) si l'on remplace \(R_1\) par une résistance de 22 kΩ.
Question 3 : Calcul de la tension de sortie \(V_s\)
Principe
La tension de sortie est le résultat de l'amplification de la tension d'entrée par le circuit. Elle se calcule en multipliant la tension d'entrée par le gain en tension, que nous avons calculé à la question précédente.
Mini-Cours
La relation fondamentale liant l'entrée et la sortie d'un système linéaire est \(Sortie = Gain \times Entrée\). En électronique, pour un amplificateur de tension, cela se traduit par \(V_s = A_v \cdot V_e\). Cette relation est au cœur de la théorie du traitement du signal.
Remarque Pédagogique
Faites très attention aux signes dans le calcul. Une tension d'entrée positive multipliée par un gain négatif doit donner une tension de sortie négative. Une erreur de signe est une des fautes les plus courantes.
Normes
Pas de norme applicable ici. Il s'agit d'une application directe des lois de l'électricité.
Formule(s)
Relation Sortie-Entrée
Hypothèses
Nous faisons l'hypothèse que l'AOP fonctionne dans sa zone linéaire, c'est-à-dire qu'il n'est pas saturé. Cette hypothèse devra être vérifiée à la question suivante.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Gain en tension | \(A_v\) | -4.7 | |
| Tension d'entrée | \(V_e\) | +0.5 | V |
Astuces
Un calcul mental rapide peut être fait : "environ -5 fois 0.5, ça fait environ -2.5". Votre résultat final doit être proche de cette estimation.
Schéma (Avant les calculs)
Que vaut Vs ?
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Point de fonctionnement sur la courbe de transfert
Réflexions
Le signe négatif de la tension de sortie confirme le fonctionnement "inverseur" du montage : une tension d'entrée positive de +0.5V a bien produit une tension de sortie négative de -2.35V. La sortie est bien déphasée de 180° par rapport à l'entrée.
Points de vigilance
Assurez-vous que les unités sont cohérentes. Si la tension d'entrée était donnée en millivolts (mV), il faudrait soit convertir la tension d'entrée en Volts, soit exprimer la tension de sortie en millivolts. Ici, tout est en Volts, donc le calcul est direct.
Points à retenir
- La tension de sortie est le produit du gain par la tension d'entrée.
- Le signe de la tension de sortie est opposé à celui de la tension d'entrée pour un amplificateur inverseur.
Le saviez-vous ?
Les amplificateurs inverseurs sont souvent utilisés dans les tables de mixage audio. Chaque piste (micro, instrument) passe par un amplificateur dont le gain est réglé par un potentiomètre (une résistance variable), permettant de gérer le volume de chaque source.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la tension de sortie \(V_s\) si la tension d'entrée était de -0.2 V ?
Question 4 : Analyse de la saturation
Principe
Un AOP est un composant actif alimenté. Il ne peut donc pas générer une tension de sortie qui serait en dehors de sa plage d'alimentation. La saturation est cet état limite où la sortie est "bloquée" à la valeur maximale (ou minimale) qu'elle peut atteindre.
Mini-Cours
Le régime de fonctionnement est dit "linéaire" si la tension de sortie répond proportionnellement à la tension d'entrée, selon la loi \(V_s = A_v \cdot V_e\). Ceci n'est possible que si \(V_s\) reste dans l'intervalle défini par les tensions de saturation \([V_{sat-}; V_{sat+}]\). Ces tensions de saturation sont toujours légèrement inférieures (en valeur absolue) aux tensions d'alimentation \([V_{cc-}; V_{cc+}]\).
Remarque Pédagogique
Dans un exercice, si les tensions de saturation ne sont pas précisées, on fait souvent l'approximation (simplificatrice) qu'elles sont égales aux tensions d'alimentation. Dans un cas réel, un AOP standard alimenté en ±15V saturera plutôt vers ±13.5V.
Normes
Les tensions de saturation (\(V_{OM}\) ou "Output Voltage Swing" en anglais) sont des caractéristiques électriques garanties par le fabricant et spécifiées dans la fiche technique (datasheet) du composant pour des conditions de charge données.
Formule(s)
Condition de non-saturation (AOP réel)
Condition de non-saturation (AOP idéal)
Hypothèses
On considère l'AOP comme idéal, donc ses tensions de saturation sont égales à ses tensions d'alimentation.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tensions d'alimentation | \(V_{cc\pm}\) | ±15 | V |
| Tension de sortie calculée | \(V_s\) | -2.35 | V |
Astuces
Pour savoir si un montage sature, il suffit de comparer la valeur absolue de la tension de sortie calculée à la tension d'alimentation. Si \(|V_s| < |V_{cc}|\), le fonctionnement est linéaire.
Schéma (Avant les calculs)
Courbe de transfert d'un AOP
Calcul(s)
Vérification de la condition de non-saturation
La condition est bien respectée.
Schéma (Après les calculs)
Positionnement du point de fonctionnement
Réflexions
Le fait que le montage soit en régime linéaire est crucial. Cela signifie que le signal de sortie est une image fidèle (amplifiée et inversée) du signal d'entrée. Il n'y a pas de distorsion. Si l'AOP était saturé, le signal de sortie serait "écrêté", c'est-à-dire aplati aux niveaux des tensions de saturation.
Points de vigilance
Ne pas oublier de vérifier la saturation est une erreur fréquente. Un calcul de \(V_s\) n'a de sens physique que si le composant peut effectivement fournir cette tension. C'est une étape de validation indispensable.
Points à retenir
- Un AOP fonctionne en mode linéaire si sa sortie calculée est dans l'intervalle \([V_{\text{cc-}}, V_{\text{cc+}}]\).
- Si \(V_{s, \text{calculée}} > V_{\text{cc+}}\), alors la sortie réelle est \(V_s \approx V_{\text{cc+}}\).
- Si \(V_{s, \text{calculée}} < V_{\text{cc-}}\), alors la sortie réelle est \(V_s \approx V_{\text{cc-}}\).
Le saviez-vous ?
On utilise volontairement la saturation des AOP dans les circuits de comparateurs. Un comparateur compare deux tensions d'entrée et sa sortie bascule brutalement vers \(+V_{sat}\) ou \(-V_{sat}\) selon laquelle des deux entrées est la plus élevée. C'est la base de la conversion analogique-numérique.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la tension d'entrée maximale positive \(V_{e,max}\) que l'on pourrait appliquer avant que l'AOP ne sature en négatif (\(V_s = -15\,\text{V}\)) ?
Outil Interactif : Simulateur de l'AOP Inverseur
Utilisez les curseurs pour faire varier la tension d'entrée \(V_e\) et les résistances \(R_1\) et \(R_2\). Observez en temps réel l'impact sur le gain, la tension de sortie et la courbe de transfert du circuit.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la principale caractéristique de la tension de sortie d'un amplificateur inverseur par rapport à sa tension d'entrée ?
2. Si la résistance de contre-réaction \(R_2\) est doublée, que devient le gain en valeur absolue ?
3. Dans un montage inverseur idéal en régime linéaire, quelle est la tension sur l'entrée inverseuse (-) ?
4. Qu'est-ce qui provoque la saturation d'un AOP ?
5. Si on applique une tension d'entrée \(V_e = 0\,\text{V}\), quelle est la tension de sortie \(V_s\) ?
Glossaire
- Amplificateur Opérationnel (AOP)
- Un circuit intégré qui sert d'amplificateur de tension différentielle. Il possède deux entrées (inverseuse et non-inverseuse) et une sortie. C'est un composant fondamental en électronique analogique.
- Gain en tension (\(A_v\))
- Le rapport entre la tension de sortie et la tension d'entrée d'un amplificateur (\(A_v = V_s / V_e\)). Il indique le facteur d'amplification du circuit.
- Masse virtuelle
- Un point dans un circuit qui se trouve à un potentiel de 0V mais n'est pas directement connecté à la masse. Dans l'AOP inverseur, l'entrée (-) est une masse virtuelle.
- Contre-réaction (Feedback)
- Le principe de réinjecter une partie du signal de sortie à l'entrée. Dans ce montage, la contre-réaction négative via \(R_2\) stabilise le gain et le fonctionnement de l'AOP.
- Saturation
- L'état dans lequel un AOP ne peut plus fonctionner de manière linéaire car la tension de sortie a atteint les limites imposées par ses tensions d'alimentation. La sortie est alors "bloquée" à \(V_{sat+}\) ou \(V_{sat-}\).
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