Exercices Électricité

Champ Électrique en Utilisant la Superposition

Champ Électrique en utilisant la Superposition

Champ Électrique en utilisant la Superposition

Comprendre le Principe de Superposition pour le Champ Électrique

Le champ électrique est une région de l'espace où une charge électrique ponctuelle subirait une force électrostatique. Lorsqu'un point de l'espace est soumis à l'influence de plusieurs charges électriques sources, le champ électrique résultant en ce point est la somme vectorielle des champs électriques créés individuellement par chaque charge source. C'est ce qu'on appelle le principe de superposition. Ce principe simplifie grandement le calcul du champ électrique dans des configurations complexes impliquant de multiples charges.

Données de l'étude

Deux charges ponctuelles, \(q_A\) et \(q_B\), sont placées dans le vide aux points A et B d'un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\). On souhaite déterminer le champ électrique résultant au point P.

  • Charge \(q_A = +4.0 \, \mu\text{C}\) placée au point A\((-3 \, \text{cm} ; 0 \, \text{cm})\)
  • Charge \(q_B = -4.0 \, \mu\text{C}\) placée au point B\((+3 \, \text{cm} ; 0 \, \text{cm})\)
  • Point de calcul du champ P\((0 \, \text{cm} ; 4 \, \text{cm})\)
  • Constante de Coulomb (\(k\)) : \( \approx 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
Schéma : Champ électrique créé par deux charges
x y O A (qA) (-3,0) B (qB) (+3,0) P (0,4) rAP rBP E1 E2 EP Superposition des Champs Électriques

Deux charges \(q_A\) et \(q_B\) créent un champ électrique résultant \(\vec{E}_P\) au point P.

Questions à traiter

  1. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\vec{r}_{AP}\) (de A vers P) et \(\vec{r}_{BP}\) (de B vers P). Calculer leurs modules \(r_{AP}\) et \(r_{BP}\).
  2. Calculer les composantes du vecteur champ électrique \(\vec{E}_1\) créé par la charge \(q_A\) au point P. En déduire son module \(E_1\).
  3. Calculer les composantes du vecteur champ électrique \(\vec{E}_2\) créé par la charge \(q_B\) au point P. En déduire son module \(E_2\).
  4. En utilisant le principe de superposition, déterminer les composantes du champ électrique résultant \(\vec{E}_P\) au point P.
  5. Calculer le module \(E_P\) et l'angle \(\alpha_P\) que fait le vecteur \(\vec{E}_P\) avec l'axe des abscisses (Ox).

Correction : Champ Électrique en utilisant la Superposition

Question 1 : Vecteurs position \(\vec{r}_{AP}\), \(\vec{r}_{BP}\) et leurs modules

Principe :

Un vecteur position \(\vec{r}_{XY}\) allant d'un point X\((x_X, y_X)\) à un point Y\((x_Y, y_Y)\) a pour composantes \((x_Y - x_X ; y_Y - y_X)\). Le module d'un vecteur \(\vec{v} = (v_x, v_y)\) est \(||\vec{v}|| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\).

Coordonnées : A\((-3 \, \text{cm} ; 0 \, \text{cm})\), B\((3 \, \text{cm} ; 0 \, \text{cm})\), P\((0 \, \text{cm} ; 4 \, \text{cm})\).

Conversion en mètres : A\((-0.03 \, \text{m} ; 0 \, \text{m})\), B\((0.03 \, \text{m} ; 0 \, \text{m})\), P\((0 \, \text{m} ; 0.04 \, \text{m})\).

Calcul pour \(\vec{r}_{AP}\) et \(r_{AP}\) :
\[ \begin{aligned} \vec{r}_{AP} &= (x_P - x_A) \vec{i} + (y_P - y_A) \vec{j} \\ &= (0 - (-0.03)) \vec{i} + (0.04 - 0) \vec{j} \\ &= (0.03 \, \text{m}) \vec{i} + (0.04 \, \text{m}) \vec{j} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} r_{AP} &= ||\vec{r}_{AP}|| = \sqrt{(0.03)^2 + (0.04)^2} \\ &= \sqrt{0.0009 + 0.0016} \\ &= \sqrt{0.0025} \\ &= 0.05 \, \text{m} \quad (5 \, \text{cm}) \end{aligned} \]
Calcul pour \(\vec{r}_{BP}\) et \(r_{BP}\) :
\[ \begin{aligned} \vec{r}_{BP} &= (x_P - x_B) \vec{i} + (y_P - y_B) \vec{j} \\ &= (0 - 0.03) \vec{i} + (0.04 - 0) \vec{j} \\ &= (-0.03 \, \text{m}) \vec{i} + (0.04 \, \text{m}) \vec{j} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} r_{BP} &= ||\vec{r}_{BP}|| = \sqrt{(-0.03)^2 + (0.04)^2} \\ &= \sqrt{0.0009 + 0.0016} \\ &= \sqrt{0.0025} \\ &= 0.05 \, \text{m} \quad (5 \, \text{cm}) \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • \(\vec{r}_{AP} = (0.03 \, \text{m}) \vec{i} + (0.04 \, \text{m}) \vec{j}\) ; \(r_{AP} = 0.05 \, \text{m}\)
  • \(\vec{r}_{BP} = (-0.03 \, \text{m}) \vec{i} + (0.04 \, \text{m}) \vec{j}\) ; \(r_{BP} = 0.05 \, \text{m}\)

Question 2 : Champ électrique \(\vec{E}_1\) créé par \(q_A\) en P

Principe :

Le champ électrique \(\vec{E}\) créé par une charge ponctuelle \(q\) en un point M situé à une distance \(r\) de la charge est donné par \(\vec{E} = k \frac{q}{r^3} \vec{r}\), où \(\vec{r}\) est le vecteur position de la charge vers le point M.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\vec{E}_1 = k \frac{q_A}{r_{AP}^3} \vec{r}_{AP}\]
Données spécifiques :
  • \(q_A = +4.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(\vec{r}_{AP} = (0.03 \, \text{m}) \vec{i} + (0.04 \, \text{m}) \vec{j}\)
  • \(r_{AP} = 0.05 \, \text{m}\)
  • \(k = 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
Calcul des composantes de \(\vec{E}_1\) :

Calculons d'abord le facteur \( F_1 = k \frac{q_A}{r_{AP}^3} \) :

\[ \begin{aligned} F_1 &= (9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{4.0 \times 10^{-6} \, \text{C}}{(0.05 \, \text{m})^3} \\ &= (9 \times 10^9) \frac{4.0 \times 10^{-6}}{0.000125} \, \text{N} \cdot \text{m}^{-1}/\text{C} \\ &= (9 \times 10^9) \times (32000) \, \text{N} \cdot \text{m}^{-1}/\text{C} \\ &= 2.88 \times 10^8 \, \text{N} \cdot \text{m}^{-1}/\text{C} \end{aligned} \]

Ensuite, \(\vec{E}_1 = F_1 \times \vec{r}_{AP}\) :

\[ \begin{aligned} E_{1x} &= (2.88 \times 10^8 \, \text{N} \cdot \text{m}^{-1}/\text{C}) \times (0.03 \, \text{m}) \\ &= 0.0864 \times 10^8 \, \text{N/C} \\ &= 8.64 \times 10^6 \, \text{N/C} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} E_{1y} &= (2.88 \times 10^8 \, \text{N} \cdot \text{m}^{-1}/\text{C}) \times (0.04 \, \text{m}) \\ &= 0.1152 \times 10^8 \, \text{N/C} \\ &= 11.52 \times 10^6 \, \text{N/C} \end{aligned} \]

Donc, \(\vec{E}_1 = (8.64 \times 10^6 \, \text{N/C}) \vec{i} + (11.52 \times 10^6 \, \text{N/C}) \vec{j}\).

Calcul du module \(E_1\) :
\[ \begin{aligned} E_1 &= k \frac{|q_A|}{r_{AP}^2} \\ &= (9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{4.0 \times 10^{-6} \, \text{C}}{(0.05 \, \text{m})^2} \\ &= (9 \times 10^9) \frac{4.0 \times 10^{-6}}{0.0025} \, \text{N/C} \\ &= (9 \times 10^9) \times (1.6 \times 10^{-3}) \, \text{N/C} \\ &= 14.4 \times 10^6 \, \text{N/C} \\ &= 1.44 \times 10^7 \, \text{N/C} \end{aligned} \]

Vérification : \(E_1 = \sqrt{(8.64 \times 10^6)^2 + (11.52 \times 10^6)^2} = \sqrt{74.6496 \times 10^{12} + 132.7104 \times 10^{12}} = \sqrt{207.36 \times 10^{12}} = 14.4 \times 10^6 \, \text{N/C}\).

Résultat Question 2 : \(\vec{E}_1 = (8.64 \times 10^6 \, \text{N/C}) \vec{i} + (11.52 \times 10^6 \, \text{N/C}) \vec{j}\). Module \(E_1 = 1.44 \times 10^7 \, \text{N/C}\).

Question 3 : Champ électrique \(\vec{E}_2\) créé par \(q_B\) en P

Formule(s) utilisée(s) :
\[\vec{E}_2 = k \frac{q_B}{r_{BP}^3} \vec{r}_{BP}\]
Données spécifiques :
  • \(q_B = -4.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(\vec{r}_{BP} = (-0.03 \, \text{m}) \vec{i} + (0.04 \, \text{m}) \vec{j}\)
  • \(r_{BP} = 0.05 \, \text{m}\)
Calcul des composantes de \(\vec{E}_2\) :

Calculons d'abord le facteur \( F_2 = k \frac{q_B}{r_{BP}^3} \) :

\[ \begin{aligned} F_2 &= (9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{-4.0 \times 10^{-6} \, \text{C}}{(0.05 \, \text{m})^3} \\ &= (9 \times 10^9) \frac{-4.0 \times 10^{-6}}{0.000125} \, \text{N} \cdot \text{m}^{-1}/\text{C} \\ &= (9 \times 10^9) \times (-32000) \, \text{N} \cdot \text{m}^{-1}/\text{C} \\ &= -2.88 \times 10^8 \, \text{N} \cdot \text{m}^{-1}/\text{C} \end{aligned} \]

Ensuite, \(\vec{E}_2 = F_2 \times \vec{r}_{BP}\) :

\[ \begin{aligned} E_{2x} &= (-2.88 \times 10^8 \, \text{N} \cdot \text{m}^{-1}/\text{C}) \times (-0.03 \, \text{m}) \\ &= 0.0864 \times 10^8 \, \text{N/C} \\ &= 8.64 \times 10^6 \, \text{N/C} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} E_{2y} &= (-2.88 \times 10^8 \, \text{N} \cdot \text{m}^{-1}/\text{C}) \times (0.04 \, \text{m}) \\ &= -0.1152 \times 10^8 \, \text{N/C} \\ &= -11.52 \times 10^6 \, \text{N/C} \end{aligned} \]

Donc, \(\vec{E}_2 = (8.64 \times 10^6 \, \text{N/C}) \vec{i} - (11.52 \times 10^6 \, \text{N/C}) \vec{j}\).

Calcul du module \(E_2\) :
\[ \begin{aligned} E_2 &= k \frac{|q_B|}{r_{BP}^2} = (9 \times 10^9) \frac{|-4.0 \times 10^{-6}|}{(0.05)^2} \\ &= 1.44 \times 10^7 \, \text{N/C} \end{aligned} \]

Vérification : \(E_2 = \sqrt{(8.64 \times 10^6)^2 + (-11.52 \times 10^6)^2} = 14.4 \times 10^6 \, \text{N/C}\).

Résultat Question 3 : \(\vec{E}_2 = (8.64 \times 10^6 \, \text{N/C}) \vec{i} - (11.52 \times 10^6 \, \text{N/C}) \vec{j}\). Module \(E_2 = 1.44 \times 10^7 \, \text{N/C}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Le champ électrique créé par une charge négative en un point P est dirigé :

Question 4 : Champ électrique résultant \(\vec{E}_P\)

Principe :

Le principe de superposition stipule que le champ électrique total en un point est la somme vectorielle des champs créés par chaque charge individuelle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\vec{E}_P = \vec{E}_1 + \vec{E}_2\]
\[E_{Px} = E_{1x} + E_{2x}\]
\[E_{Py} = E_{1y} + E_{2y}\]
Calcul des composantes de \(\vec{E}_P\) :
\[ \begin{aligned} E_{Px} &= E_{1x} + E_{2x} \\ &= (8.64 \times 10^6 \, \text{N/C}) + (8.64 \times 10^6 \, \text{N/C}) \\ &= 17.28 \times 10^6 \, \text{N/C} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} E_{Py} &= E_{1y} + E_{2y} \\ &= (11.52 \times 10^6 \, \text{N/C}) + (-11.52 \times 10^6 \, \text{N/C}) \\ &= 0 \, \text{N/C} \end{aligned} \]
\[\vec{E}_P = (17.28 \times 10^6 \, \text{N/C}) \vec{i} + (0 \, \text{N/C}) \vec{j}\]
Résultat Question 4 : Le champ électrique résultant est \(\vec{E}_P = (1.728 \times 10^7 \, \text{N/C}) \vec{i}\).

Question 5 : Module \(E_P\) et angle \(\alpha_P\) du champ résultant

Principe :

Le module d'un vecteur \(\vec{V} = V_x \vec{i} + V_y \vec{j}\) est \(||\vec{V}|| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2}\). L'angle \(\alpha\) qu'il fait avec l'axe Ox est tel que \(\tan(\alpha) = V_y / V_x\).

Calcul du module \(E_P\) :
\[ \begin{aligned} E_P &= \sqrt{(E_{Px})^2 + (E_{Py})^2} \\ &= \sqrt{(17.28 \times 10^6)^2 + (0)^2} \\ &= \sqrt{(17.28 \times 10^6)^2} \\ &= 17.28 \times 10^6 \, \text{N/C} \\ &= 1.728 \times 10^7 \, \text{N/C} \end{aligned} \]
Calcul de l'angle \(\alpha_P\) :

Puisque \(E_{Py} = 0\) et \(E_{Px} > 0\), le vecteur \(\vec{E}_P\) est dirigé le long de l'axe des abscisses positives.

\[ \tan(\alpha_P) = \frac{E_{Py}}{E_{Px}} \] \[ \tan(\alpha_P) = \frac{0}{17.28 \times 10^6}\] \[ \tan(\alpha_P) = 0 \]

Cela implique que \(\alpha_P = 0^\circ\) (ou \(0\) radians) par rapport à l'axe Ox positif.

Résultat Question 5 :
  • Module du champ résultant : \(E_P = 1.728 \times 10^7 \, \text{N/C}\).
  • Angle avec l'axe Ox : \(\alpha_P = 0^\circ\). Le champ est horizontal et dirigé vers les x positifs.

Quiz Intermédiaire 2 : Si les deux charges \(q_A\) et \(q_B\) étaient toutes les deux positives et de même valeur, quelle serait la direction du champ électrique \(\vec{E}_P\) au point P \((0,4 \, \text{cm})\) ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

Question 1. Le principe de superposition énonce que le champ électrique total créé par plusieurs charges est :

Question 2. Le champ électrique créé par une charge ponctuelle positive en un point M :

Question 3. L'unité du champ électrique dans le Système International est :

Glossaire

Champ Électrique (\(\vec{E}\))
Région de l'espace modifiée par la présence de charges électriques, telle qu'une autre charge y subit une force électrostatique. C'est un champ vectoriel. Unité : Newton par Coulomb (N/C) ou Volt par mètre (V/m).
Principe de Superposition
Pour les champs électriques (et les forces), ce principe stipule que le champ (ou la force) total résultant de plusieurs sources est la somme vectorielle des champs (ou des forces) créés par chaque source individuelle, comme si les autres n'existaient pas.
Charge Ponctuelle
Charge électrique dont les dimensions sont négligeables par rapport aux distances considérées.
Loi de Coulomb
Décrit la force d'interaction entre deux charges ponctuelles. Le champ électrique d'une charge ponctuelle dérive de cette loi.
Vecteur Unitaire (\(\vec{u}\))
Vecteur de module (longueur) égal à 1, utilisé pour indiquer une direction. Par exemple, \(\vec{u}_r = \vec{r}/||\vec{r}||\).
Champ Électrique en utilisant la Superposition

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