Calcul du Champ Électrique par Superposition
Contexte : Le Principe de SuperpositionLe champ électrique total créé par plusieurs charges est la somme vectorielle des champs créés par chaque charge individuelle..
Cet exercice applique le principe de superposition pour déterminer le champ électrique résultant en un point précis, créé par un ensemble de charges ponctuelles. La superposition est un concept fondamental en électrostatique, permettant de décomposer un problème complexe en une somme de problèmes plus simples. Nous allons calculer le champ créé par deux charges et analyser sa direction et son intensité.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème d'électrostatique, à calculer un champ électrique vectoriellement, et à additionner des vecteurs pour trouver un résultat net.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et appliquer le principe de superposition.
- Calculer le module et l'orientation du champ électrique créé par une charge ponctuelle (Loi de Coulomb).
- Effectuer la somme vectorielle de deux champs électriques dans un plan.
Données de l'étude
Constantes Fondamentales
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Constante de Coulomb (\(k\)) | \( \approx 9 \times 10^9 \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2\) |
| Permittivité du vide (\(\epsilon_0\)) | \( \approx 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\) |
| Charge élémentaire (\(e\)) | \( \approx 1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\) |
Schéma de la situation
| Nom du Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Charge \(q_{\text{A}}\) | Charge en A | +2 | \(\text{nC}\) |
| Charge \(q_{\text{B}}\) | Charge en B | +2 | \(\text{nC}\) |
| Position de A | Coordonnées de A | (-10, 0) | \(\text{cm}\) |
| Position de B | Coordonnées de B | (+10, 0) | \(\text{cm}\) |
| Position de P | Coordonnées de P | (0, 15) | \(\text{cm}\) |
Questions à traiter
- Calculer le module (l'intensité) du champ électrique \(\vec{E}_{\text{A}}\) créé par la charge \(q_{\text{A}}\) au point \(P\).
- Déterminer les composantes (\(E_{\text{Ax}}\) et \(E_{\text{Ay}}\)) du vecteur champ \(\vec{E}_{\text{A}}\) au point \(P\).
- En utilisant la symétrie du problème, déduire les composantes (\(E_{\text{Bx}}\) et \(E_{\text{By}}\)) du champ \(\vec{E}_{\text{B}}\) créé par \(q_{\text{B}}\) au point \(P\).
- Appliquer le principe de superposition pour trouver les composantes du champ électrique total \(\vec{E}_{\text{P}} = \vec{E}_{\text{A}} + \vec{E}_{\text{B}}\).
- Donner le module et la direction du champ électrique total \(\vec{E}_{\text{P}}\) au point \(P\).
Les bases sur l'Électrostatique
Pour résoudre cet exercice, deux concepts clés sont nécessaires : la loi de Coulomb pour le champ électrique et le principe de superposition.
1. Champ créé par une charge ponctuelle
Une charge ponctuelle \(q\) crée en un point \(M\) situé à une distance \(r\) un champ électrique \(\vec{E}\) donné par la loi de Coulomb :
\[ \vec{E} = k \frac{q}{r^2} \vec{u}_{\text{r}} \]
où \( k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \times 10^9 \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2\) et \(\vec{u}_{\text{r}}\) est le vecteur unitaire dirigé de la charge \(q\) vers le point \(M\).
2. Principe de Superposition
Le champ électrique total créé en un point \(P\) par un ensemble de charges \(q_1, q_2, ..., q_n\) est la somme vectorielle des champs individuels que chaque charge créerait en \(P\) si elle était seule.
\[ \vec{E}_{\text{P}} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + ... + \vec{E}_n = \sum_i \vec{E}_i \]
Correction : Calcul du Champ Électrique par Superposition
Question 1 : Module du champ \(\vec{E}_{\text{A}}\) au point \(P\)
Principe
Pour trouver le module (l'intensité) du champ \(E_{\text{A}}\), nous devons d'abord calculer la distance \(r_{\text{AP}}\) entre la charge \(A\) et le point \(P\). Ensuite, nous appliquons la formule du module de la loi de Coulomb : \(E = k \frac{|q|}{r^2}\).
Mini-Cours
Le module d'un champ électrique, \(E\), est une grandeur scalaire (un nombre) et est toujours positif. Il représente "l'intensité" du champ à cet endroit. La formule \(E = k|q|/r^2\) montre que le champ diminue très rapidement avec la distance (proportionnellement à l'inverse du carré de la distance).
Remarque Pédagogique
La première étape cruciale est de convertir toutes les unités dans le Système International (SI) avant de commencer le moindre calcul. Les distances doivent être en mètres (m) et les charges en Coulombs (C).
Normes
Nous utilisons les unités du Système International (SI) : Mètre (m) pour la distance, Coulomb (C) pour la charge, Newton (N) pour la force. La constante \(k\) est donnée en unités SI (\(\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2\)).
Formule(s)
Nous utilisons la distance euclidienne (théorème de Pythagore) et la loi de Coulomb pour le module.
Distance (Pythagore)
Module du champ électrique
Hypothèses
On suppose que les charges sont ponctuelles et que l'on se trouve dans le vide (ou l'air, dont la permittivité est très proche de celle du vide).
- Charges ponctuelles.
- Milieu : vide (\(k \approx 9 \times 10^9 \, \text{SI}\)).
Donnée(s)
Conversion des données de l'énoncé en unités SI.
| Paramètre | Symbole | Valeur (Énoncé) | Valeur (SI) |
|---|---|---|---|
| Charge en A | \(q_{\text{A}}\) | +2 nC | \(+2 \times 10^{-9} \, \text{C}\) |
| Position de A | \(A\) | (-10, 0) cm | \((-0.1, 0) \, \text{m}\) |
| Position de P | \(P\) | (0, 15) cm | \((0, 0.15) \, \text{m}\) |
| Constante de Coulomb | \(k\) | - | \(9 \times 10^9 \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2\) |
Astuces
N'oubliez pas que \(1 \, \text{nC} = 10^{-9} \, \text{C}\) et \(1 \, \text{cm} = 10^{-2} \, \text{m}\). L'erreur la plus fréquente est d'oublier de mettre la distance au carré (\(r^2\)) dans la formule du champ.
Schéma (Avant les calculs)
On se concentre sur le triangle rectangle formé par les points A, O (l'origine) et P. Les côtés de l'angle droit sont \(|x_{\text{A}}| = 0.1 \, \text{m}\) et \(|y_{\text{P}}| = 0.15 \, \text{m}\). La distance \(r_{\text{AP}}\) est l'hypoténuse.
Triangle AOP
Calcul(s)
Nous procédons en deux étapes : calcul de la distance, puis calcul du module.
Étape 1 : Calcul de la distance \(r_{\text{AP}}^2\). On remplace les coordonnées SI : \(x_{\text{P}}=0\), \(x_{\text{A}}=-0.1\), \(y_{\text{P}}=0.15\), \(y_{\text{A}}=0\).
Nous avons donc la distance au carré. Il n'est pas nécessaire de calculer la racine carrée pour l'instant, car la formule du champ utilise \(r^2\).
(On garde \(r_{\text{AP}}^2\) pour la prochaine étape. Si on a besoin de \(r_{\text{AP}}\), c'est \(r_{\text{AP}} = \sqrt{0.0325} \approx 0.1803 \, \text{m}\))
Étape 2 : Calcul du module \(E_{\text{A}}\). On remplace les valeurs connues : \(k = 9 \times 10^9\), \(|q_{\text{A}}| = 2 \times 10^{-9}\), et \(r_{\text{AP}}^2 = 0.0325\).
Le module du champ est donc d'environ 554 N/C. C'est une intensité, un scalaire positif. La direction sera analysée à la prochaine question.
Schéma (Après les calculs)
Le calcul nous a donné l'intensité (le module) du champ \(E_{\text{A}}\). Le schéma suivant représente ce vecteur, en s'assurant qu'il pointe en s'éloignant de A (répulsif) et le long de la ligne AP.
Vecteur \(\vec{E}_{\text{A}}\)
Réflexions
Ce résultat est le module, l'intensité. Il ne nous dit rien sur la direction. Comme la charge \(q_{\text{A}}\) est positive, on sait que le champ est "répulsif", c'est-à-dire qu'il pointe "en s'éloignant" de A, le long de la ligne AP. Le schéma de l'énoncé le montre bien.
Points de vigilance
Pourquoi avons-nous calculé \(r_{\text{AP}}^2\) et non \(r_{\text{AP}}\) ? Parce que la formule du champ utilise \(r_{\text{AP}}^2\). Calculer la racine carrée (\(0.1803\)) puis la remettre au carré (\(0.1803^2 \approx 0.032508\)) peut introduire des erreurs d'arrondi. Il vaut mieux garder la valeur exacte \(0.0325\) pour le calcul.
Points à retenir
Pour trouver le module d'un champ électrique :
- Convertir toutes les unités en SI (m, C).
- Calculer la distance au carré \(r^2\) entre la charge et le point.
- Appliquer la formule \(E = k|q|/r^2\).
Le saviez-vous ?
La loi en \(1/r^2\) est une caractéristique fondamentale des champs de force (gravitation, électrostatique) qui se propagent dans un espace à 3 dimensions. L'intensité se répartit sur la surface d'une sphère, dont l'aire augmente en \(4\pi r^2\).
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
La meilleure façon d'apprendre, c'est de pratiquer ! Que vaudrait le module \(E_{\text{A}}\) si la distance \(r_{\text{AP}}\) était doublée (soit \(r_{\text{AP}} \approx 0.3606 \, \text{m}\)) ? (Indice : le champ est en \(1/r^2\))
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : Module du champ \(E = k|q|/r^2\).
- Méthode : 1. Convertir en SI. 2. Calculer \(r^2\) (Pythagore). 3. Appliquer la formule.
- Point de Vigilance Majeur : Ne pas oublier le carré de la distance.
Question 2 : Composantes (\(E_{\text{Ax}}\) et \(E_{\text{Ay}}\)) de \(\vec{E}_{\text{A}}\)
Principe
Maintenant que nous avons le module (l'intensité) \(E_{\text{A}}\), nous devons trouver sa direction. Un vecteur est défini par ses composantes. Pour projeter \(\vec{E}_{\text{A}}\) sur les axes x et y, nous pouvons utiliser la trigonométrie (angles) ou, plus directement, la colinéarité vectorielle.
Mini-Cours
La méthode la plus robuste pour trouver les composantes d'un vecteur \(\vec{V}\) qui est colinéaire à un vecteur directeur \(\vec{D}\) (de \(A\) vers \(P\)) est d'utiliser le vecteur unitaire \(\vec{u}\).
\(\vec{E}_{\text{A}}\) est colinéaire au vecteur \(\vec{r}_{\text{AP}} = P - A\).
Le vecteur unitaire \(\vec{u}_{\text{AP}}\) est \(\vec{u}_{\text{AP}} = \frac{\vec{r}_{\text{AP}}}{r_{\text{AP}}}\).
Comme \(q_{\text{A}} > 0\), le champ \(\vec{E}_{\text{A}}\) est dans le même sens que \(\vec{r}_{\text{AP}}\) (répulsif).
Donc : \(\vec{E}_{\text{A}} = E_{\text{A}} \cdot \vec{u}_{\text{AP}} = E_{\text{A}} \cdot \frac{\vec{r}_{\text{AP}}}{r_{\text{AP}}}\).
Remarque Pédagogique
La conversion d'un module et d'une direction en composantes (x, y) est une étape fondamentale. La méthode vectorielle \(\vec{E} = E \cdot \vec{u}\) est plus sûre que d'essayer de trouver l'angle \(\theta\) puis de faire \(E \cos \theta\), car elle gère automatiquement les signes.
Normes
Les projections vectorielles suivent les règles de l'algèbre linéaire et de la géométrie euclidienne. L'utilisation des vecteurs unitaires \(\vec{i}\) (pour l'axe x) et \(\vec{j}\) (pour l'axe y) est la norme pour décomposer un vecteur dans un plan cartésien.
Formule(s)
Vecteur directeur
Calcul des composantes
Hypothèses
On suppose un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\). Le champ \(\vec{E}_{\text{A}}\) est colinéaire au vecteur \(\vec{r}_{\text{AP}}\) car la charge est positive (répulsion). Si la charge était négative, il serait colinéaire à \(\vec{r}_{\text{PA}} = -\vec{r}_{\text{AP}}\).
Donnée(s)
Nous réutilisons les résultats de la Q1.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Module de \(E_A\) | \(E_A\) | \(\approx 553.85\) | N/C |
| Distance AP | \(r_{AP}\) | \(\approx 0.1803\) | m |
| Composante de distance \(\Delta x\) | \((x_P - x_A)\) | \(0.1\) | m |
| Composante de distance \(\Delta y\) | \((y_P - y_A)\) | \(0.15\) | m |
Astuces
Un bon moyen de vérifier : \(\sqrt{E_{\text{Ax}}^2 + E_{\text{Ay}}^2}\) doit être égal au module \(E_{\text{A}}\) calculé à la Q1.
\(\sqrt{307.1^2 + 460.7^2} \approx \sqrt{94310 + 212245} \approx \sqrt{306555} \approx 553.67 \, \text{N/C}\). Cela correspond bien à \(E_{\text{A}} \approx 553.85 \, \text{N/C}\) (la différence est due aux arrondis).
Schéma (Avant les calculs)
Visualisons la projection du vecteur \(\vec{E}_{\text{A}}\).
Projection de \(\vec{E}_{\text{A}}\)
Calcul(s)
Pour trouver les composantes, on utilise le module \(E_{\text{A}}\) et les rapports de distance (similaire à \(\cos \alpha\) et \(\sin \alpha\)).
Étape 1 : Calcul de \(E_{\text{Ax}}\). On utilise la formule \(E_{\text{Ax}} = E_{\text{A}} \cdot (\Delta x / r_{\text{AP}})\). On remplace par les valeurs : \(E_{\text{A}} \approx 553.85\), \(\Delta x = 0.1\), et \(r_{\text{AP}} \approx 0.1803\).
La composante horizontale est positive, ce qui est logique car le champ \(\vec{E}_{\text{A}}\) (répulsif) s'éloigne de A (situé à x=-0.1) et pointe donc vers la droite (vers les x positifs) pour atteindre P (situé à x=0).
Étape 2 : Calcul de \(E_{\text{Ay}}\). On utilise la formule \(E_{\text{Ay}} = E_{\text{A}} \cdot (\Delta y / r_{\text{AP}})\). On remplace par les valeurs : \(E_{\text{A}} \approx 553.85\), \(\Delta y = 0.15\), et \(r_{\text{AP}} \approx 0.1803\).
La composante verticale est également positive. C'est cohérent : le champ s'éloigne de A (situé à y=0) et pointe "vers le haut" pour atteindre P (situé à y=0.15).
Schéma (Après les calculs)
Le schéma "Avant les calculs" montre bien la décomposition que nous venons de calculer : un vecteur \(\vec{E}_{\text{A}}\) qui a une composante horizontale \(E_{\text{Ax}}\) positive et une composante verticale \(E_{\text{Ay}}\) positive.
Composantes de \(\vec{E}_{\text{A}}\)
Réflexions
Les deux composantes sont positives. C'est logique : le point A est en \((-0.1, 0)\) et le point P en \((0, 0.15)\). Le vecteur \(\vec{r}_{\text{AP}}\) (et donc \(\vec{E}_{\text{A}}\)) "monte" (composante y > 0) et va "vers la droite" (composante x > 0).
Points de vigilance
Attention au sens du vecteur ! Si la charge \(q_{\text{A}}\) avait été négative, le champ \(\vec{E}_{\text{A}}\) aurait été attractif (dirigé de P vers A). Le vecteur directeur aurait été \(\vec{r}_{\text{PA}} = -\vec{r}_{\text{AP}}\). Les signes des deux composantes auraient été inversés (\(E_{\text{Ax}} \approx -307.1\) et \(E_{\text{Ay}} \approx -460.7\)).
Points à retenir
Pour trouver les composantes d'un vecteur champ \(\vec{E}\) :
- 1. Trouver le vecteur directeur \(\vec{D}\) (Source \(\rightarrow\) Point).
- 2. Trouver la distance \(r = ||\vec{D}||\).
- 3. Calculer le module \(E = k|q|/r^2\).
- 4. Calculer le vecteur champ \(\vec{E} = E \cdot (\pm \frac{\vec{D}}{r})\). Utiliser \(+\) si répulsif (\(q>0\)), \(-\) si attractif (\(q<0\)).
Le saviez-vous ?
Cette méthode de projection est utilisée partout en physique, de la mécanique (calcul des composantes d'une force) à l'électromagnétisme (calcul du champ magnétique) et même en infographie 3D pour calculer l'éclairage des surfaces.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Que vaudrait la composante \(E_{\text{Ax}}\) si la charge \(q_{\text{A}}\) était négative (\(-2 \, \text{nC}\)) ? (Indice : le champ serait attractif, donc dirigé de \(P\) vers \(A\))
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : Composantes vectorielles.
- Formule : \(\vec{E} = E \cdot (\vec{r}_{\text{AP}} / r_{\text{AP}})\) (pour \(q>0\)).
- Point Clé : Le signe de la charge détermine le sens de \(\vec{E}\).
Question 3 : Composantes de \(\vec{E}_{\text{B}}\) par symétrie
Principe
Nous pourrions refaire exactement les mêmes calculs pour \(\vec{E}_{\text{B}}\). Cependant, le problème est parfaitement symétrique par rapport à l'axe Y : \(q_{\text{A}} = q_{\text{B}}\) et les positions sont symétriques (\(x_{\text{B}} = -x_{\text{A}}\)).
Mini-Cours
La distance \(r_{\text{BP}}\) sera identique à \(r_{\text{AP}}\). Le module \(E_{\text{B}}\) sera donc égal à \(E_{\text{A}}\).
Le champ \(\vec{E}_{\text{B}}\) est le "reflet" de \(\vec{E}_{\text{A}}\) par rapport à l'axe y. Sa composante verticale (\(y\)) sera donc identique. Sa composante horizontale (\(x\)) sera opposée.
Remarque Pédagogique
Repérer les symétries est l'une des compétences les plus importantes en physique. Cela peut transformer un calcul de 10 minutes en une déduction de 30 secondes et réduire considérablement le risque d'erreur.
Normes
La symétrie par rapport à un plan (ici le plan (y, z), vu de face c'est l'axe Y) est une transformation géométrique qui conserve les modules mais inverse les composantes orthogonales à ce plan (ici, la composante \(x\)).
Formule(s)
Relations de symétrie
Hypothèses
On suppose que le problème est parfaitement symétrique. Cela requiert deux conditions :
- Symétrie des sources : \(q_{\text{A}} = q_{\text{B}}\).
- Symétrie géométrique : Les positions de A et B sont symétriques par rapport à l'axe Y, et le point P est sur cet axe.
Si une seule de ces conditions n'est pas remplie, la symétrie est brisée.
Donnée(s)
On utilise les résultats de la Q2 :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Composante X de \(E_A\) | \(E_{Ax}\) | \(\approx 307.1\) | N/C |
| Composante Y de \(E_A\) | \(E_{Ay}\) | \(\approx 460.7\) | N/C |
Astuces
Toujours dessiner le problème avant de calculer. La symétrie (ou son absence) saute souvent aux yeux sur un bon schéma. Si le dessin n'a pas l'air symétrique, vos calculs ne devraient pas l'être non plus.
Schéma (Avant les calculs)
On utilise le schéma global. La symétrie est évidente : \(q_{\text{A}} = q_{\text{B}}\) et les positions sont le miroir l'une de l'autre par rapport à l'axe Y. \(\vec{E}_{\text{A}}\) (répulsif) pointe en haut à droite. \(\vec{E}_{\text{B}}\) (répulsif) doit donc pointer en haut à gauche, avec le même angle.
Schéma de la situation (Rappel)
Calcul(s)
Nous allons d'abord vérifier par le calcul complet que la symétrie fonctionne.
Étape 1 : Calcul de \(r_{\text{BP}}^2\). On remplace les coordonnées SI : \(x_{\text{P}}=0\), \(x_{\text{B}}=0.1\), \(y_{\text{P}}=0.15\), \(y_{\text{B}}=0\).
Comme attendu par la symétrie, la distance au carré est identique à \(r_{\text{AP}}^2\).
Étape 2 : Calcul du module \(E_{\text{B}}\). Puisque \(|q_{\text{B}}| = |q_{\text{A}}| = 2 \, \text{nC}\) et \(r_{\text{BP}}^2 = r_{\text{AP}}^2\), le module est identique.
Le module de \(E_{\text{B}}\) est bien égal au module de \(E_{\text{A}}\), comme la symétrie le prévoyait.
Étape 3 : Calcul des composantes de \(\vec{E}_{\text{B}}\) (méthode complète). On utilise \(\vec{r}_{\text{BP}} = (x_{\text{P}}-x_{\text{B}})\vec{i} + (y_{\text{P}}-y_{\text{B}})\vec{j} = (-0.1)\vec{i} + (0.15)\vec{j}\).
Ce calcul complet confirme que la composante \(E_{\text{Bx}}\) est négative (le champ s'éloigne de B, à x=0.1, et pointe donc vers la gauche) et que \(E_{\text{By}}\) est identique à \(E_{\text{Ay}}\).
Étape 4 : Déduction par symétrie (méthode rapide). Comme le problème est symétrique par rapport à l'axe Y, on sait que :
C'est la méthode la plus rapide, qui donne le même résultat que le calcul complet.
Schéma (Après les calculs)
Le calcul confirme la déduction par symétrie. Le schéma suivant montre la décomposition de \(\vec{E}_{\text{B}}\).
Composantes de \(\vec{E}_{\text{B}}\)
Réflexions
La composante \(E_{\text{Bx}}\) est négative, ce qui est logique. La charge B est à droite (x > 0) et le point P est à gauche (x = 0) par rapport à B. Le champ répulsif \(\vec{E}_{\text{B}}\) doit donc pointer "vers la gauche", s'éloignant de B, d'où une composante x négative.
Points de vigilance
Ne pas confondre 'symétrique' et 'opposé'. Les composantes Y s'ajoutent (elles sont identiques et de même signe). Les composantes X s'annulent (elles sont opposées : de même magnitude mais de signes contraires).
Points à retenir
- Symétrie par rapport à l'axe Y : \(x \rightarrow -x\), \(y \rightarrow y\).
- Pour un champ vecteur créé par une source symétrique : \(E_{\text{x}} \rightarrow -E_{\text{x}}\), \(E_{\text{y}} \rightarrow E_{\text{y}}\).
Le saviez-vous ?
Le théorème de Noether, un pilier de la physique moderne, établit un lien profond entre les symétries et les lois de conservation. Par exemple, la conservation de la quantité de mouvement découle de la symétrie de l'espace par translation.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(q_{\text{A}} = +2 \, \text{nC}\) et \(q_{\text{B}} = +4 \, \text{nC}\) (symétrie brisée), quelles seraient les composantes de \(\vec{E}_{\text{B}}\)? (Indice: le module \(E_{\text{B}}\) serait le double de \(E_{\text{A}}\)).
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : Utilisation de la symétrie.
- Règle : Si \(q_{\text{A}}=q_{\text{B}}\) et positions symétriques par rapport à l'axe Y (et P sur l'axe), alors \(E_{\text{Bx}} = -E_{\text{Ax}}\) et \(E_{\text{By}} = E_{\text{Ay}}\).
Question 4 : Superposition \(\vec{E}_{\text{P}} = \vec{E}_{\text{A}} + \vec{E}_{\text{B}}\)
Principe
Le principe de superposition stipule que le champ total est la somme vectorielle des champs. Pour additionner des vecteurs, on additionne leurs composantes respectives.
Mini-Cours
L'addition vectorielle est la clé de la superposition. On ne peut JAMAIS additionner les modules (\(E_{\text{P}} \neq E_{\text{A}} + E_{\text{B}}\)), sauf s'ils sont colinéaires et de même sens. On doit toujours additionner les composantes homologues (les \(x\) ensemble, les \(y\) ensemble).
Remarque Pédagogique
Cette étape est purement mathématique. La physique (calcul des champs individuels) a été faite. Il s'agit maintenant d'appliquer l'outil mathématique "somme de vecteurs" aux résultats des questions 2 et 3.
Normes
L'addition vectorielle est commutative (\(\vec{A}+\vec{B} = \vec{B}+\vec{A}\)) et associative (\((\vec{A}+\vec{B})+\vec{C} = \vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})\)). Les composantes se somment indépendamment les unes des autres car les vecteurs unitaires \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\) sont orthogonaux.
Formule(s)
Somme vectorielle
Hypothèses
On suppose que le principe de superposition s'applique, ce qui est le cas pour l'électromagnétisme dans le vide (car les équations de Maxwell sont linéaires).
Donnée(s)
Nous utilisons les vecteurs calculés précédemment :
| Paramètre | Symbole | Valeur (Vecteur) | Unité |
|---|---|---|---|
| Champ 1 | \(\vec{E}_A\) | \((307.1 \vec{i} + 460.7 \vec{j})\) | N/C |
| Champ 2 | \(\vec{E}_B\) | \((-307.1 \vec{i} + 460.7 \vec{j})\) | N/C |
Astuces
Alignez verticalement les composantes pour les additionner, comme une addition de nombres à l'école primaire, mais colonne par colonne (\(\vec{i}\) et \(\vec{j}\)).
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma de l'énoncé montre la "règle du parallélogramme" pour l'addition \(\vec{E}_{\text{A}} + \vec{E}_{\text{B}}\). On voit visuellement que la résultante \(\vec{E}_{\text{P}}\) est verticale, car la composante "droite" de \(\vec{E}_{\text{A}}\) est annulée par la composante "gauche" de \(\vec{E}_{\text{B}}\).
Somme vectorielle (Parallélogramme)
Calcul(s)
On applique la formule \(\vec{E}_{\text{P}} = \vec{E}_{\text{A}} + \vec{E}_{\text{B}}\) en additionnant les composantes terme à terme.
Étape 1 : Somme des composantes X. On additionne les composantes \(\vec{i}\) (horizontales).
L'annulation de la composante horizontale est le résultat direct de la symétrie du problème.
Étape 2 : Somme des composantes Y. On additionne les composantes \(\vec{j}\) (verticales).
Les deux composantes verticales s'ajoutent car elles pointent toutes les deux vers le haut, créant un champ total de 921.4 N/C.
Schéma (Après les calculs)
Le calcul confirme que les composantes horizontales se sont annulées et que les composantes verticales se sont additionnées. Le vecteur résultant \(\vec{E}_{\text{P}}\) est purement vertical.
Vecteur Résultant \(\vec{E}_{\text{P}}\)
Réflexions
Le résultat \(E_{\text{Px}} = 0\) est fondamental et était prévisible grâce à la symétrie. Les composantes horizontales des deux champs s'annulent parfaitement. Le champ résultant est donc purement vertical, dirigé vers le haut (car les deux charges sont positives et "poussent" le point P vers le haut).
Points de vigilance
Attention aux signes ! \(307.1 + (-307.1) = 0\). Une erreur de signe ici (oubli du '-' pour \(E_{\text{Bx}}\)) aurait conduit à un résultat faux (\(E_{\text{Px}} = 614.2\)), brisant la symétrie évidente du problème.
Points à retenir
- On somme les \(\vec{i}\) avec les \(\vec{i}\), les \(\vec{j}\) avec les \(\vec{j}\). Ne jamais mélanger les composantes.
- L'analyse de symétrie permet de prédire (et de vérifier) l'annulation de certaines composantes.
Le saviez-vous ?
Le principe de superposition n'est pas universel. Il fonctionne pour les champs électromagnétiques (car les équations de Maxwell sont linéaires) mais ne fonctionne pas, par exemple, en dynamique des fluides (équations de Navier-Stokes non linéaires) où les interactions sont plus complexes.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(q_{\text{A}} = +2 \, \text{nC}\) et \(q_{\text{B}} = -2 \, \text{nC}\) (cas dipôle, voir FAQ Q3), quelles seraient les composantes de \(\vec{E}_{\text{P}}\) ? (Utilisez \(\vec{E}_{\text{A}} = (307.1, 460.7)\) et \(\vec{E}_{\text{B}} = (307.1, -460.7)\)).
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : Somme vectorielle.
- Formule : \(\vec{E}_{\text{P}} = (E_{\text{Ax}}+E_{\text{Bx}})\vec{i} + (E_{\text{Ay}}+E_{\text{By}})\vec{j}\).
- Point Clé : La symétrie a simplifié le calcul : \(E_{\text{Px}} = 0\).
Question 5 : Module et direction de \(\vec{E}_{\text{P}}\)
Principe
Maintenant que nous avons les composantes du vecteur total \(\vec{E}_{\text{P}}\), nous pouvons calculer son module (sa longueur) et sa direction (son angle).
Mini-Cours
Le module d'un vecteur \(\vec{V} = V_x\vec{i} + V_y\vec{j}\) est sa "longueur", trouvée par le théorème de Pythagore :
\(||\vec{V}|| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2}\).
Sa direction est l'angle \(\alpha\) qu'il forme avec l'axe Ox, souvent trouvé par \(\tan(\alpha) = V_y / V_x\).
Remarque Pédagogique
C'est l'étape inverse de la Question 2.
En Q2, nous avions : (Module, Direction) \(\rightarrow\) (Composantes).
Ici, nous faisons : (Composantes) \(\rightarrow\) (Module, Direction).
C'est une compétence mathématique essentielle.
Normes
En physique, un vecteur est complètement défini par son module (une grandeur positive) et sa direction (souvent un angle par rapport à un axe de référence). Donner les composantes est équivalent.
Formule(s)
Module d'un vecteur
Angle (Direction)
Hypothèses
On travaille dans un repère cartésien standard. L'angle est mesuré dans le sens anti-horaire depuis l'axe Ox positif.
Donnée(s)
Composantes du vecteur total calculées en Q4 :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Composante X totale | \(E_{Px}\) | \(0\) | N/C |
| Composante Y totale | \(E_{Py}\) | \(\approx 921.4\) | N/C |
Astuces
Quand une des composantes est nulle, pas besoin de calculs complexes. Si \(V_x = 0\), le vecteur est vertical et son module est \(|V_y|\). Si \(V_y = 0\), il est horizontal et son module est \(|V_x|\).
Schéma (Avant les calculs)
Le point de départ de cette question est le résultat de la question 4. Nous avons un vecteur \(\vec{E}_{\text{P}}\) qui n'a qu'une composante verticale. Notre objectif est de trouver la longueur (module) de ce vecteur et son angle (direction).
Vecteur \(\vec{E}_{\text{P}}\) (Entrée de Q5)
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du module \(E_{\text{P}}\). On utilise la formule du module (Pythagore) avec les composantes totales \(E_{\text{Px}}=0\) et \(E_{\text{Py}}=921.4\).
Puisque le vecteur n'a qu'une seule composante non nulle, son module est simplement la valeur absolue de cette composante.
Étape 2 : Détermination de la direction. On analyse les composantes \(E_{\text{Px}}=0\) et \(E_{\text{Py}}>0\).
Le vecteur est entièrement contenu sur l'axe des ordonnées (y) et pointe vers le haut. L'angle \(alpha\) avec l'axe des abscisses (Ox) est de 90°. Un vecteur de la forme \((0, y)\) avec \(y>0\) est par définition aligné avec l'axe Y positif, ce qui correspond à un angle de 90 degrés par rapport à l'axe X positif.
Schéma (Après les calculs)
Le résultat final est un unique vecteur pointant verticalement vers le haut. Le schéma "Avant les calculs" représente déjà parfaitement ce résultat final.
Réflexions
Le résultat (vertical, vers le haut) est physiquement cohérent. Les deux charges positives 'poussent' le point P. La poussée de A vers la droite est annulée par la poussée de B vers la gauche. Les deux poussées vers le haut s'additionnent.
Points de vigilance
Attention au calcul de l'angle avec \(\arctan(V_y/V_x)\). Si \(V_x=0\), la division est impossible. Il faut regarder les signes :
\(E_{\text{Px}}=0, E_{\text{Py}}>0 \rightarrow 90^\circ\).
Si \(E_{\text{Px}}=0, E_{\text{Py}}<0 \rightarrow -90^\circ \text{ ou } 270^\circ\).
Si \(E_{\text{Py}}=0, E_{\text{Px}}<0 \rightarrow 180^\circ\).
Points à retenir
- Un vecteur est défini soit par ses composantes \((V_x, V_y)\), soit par son module \(||\vec{V}||\) et sa direction \(\alpha\). On doit savoir passer de l'un à l'autre.
- Un vecteur \((0, V_y)\) est vertical.
Le saviez-vous ?
Si le point P était à l'origine (0, 0), au milieu des deux charges, les deux champs \(\vec{E}_{\text{A}}\) et \(\vec{E}_{\text{B}}\) seraient égaux en module mais de directions opposées (\(\vec{E}_{\text{A}}\) irait vers la droite, \(\vec{E}_{\text{B}}\) vers la gauche). Le champ total au centre serait donc nul ! C'est ce qu'on appelle un point de champ nul.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait le module et la direction du champ si \(\vec{E}_{\text{P}} = (600 \vec{i} + 0 \vec{j}) \, \text{N/C}\) ?
La direction serait 0° (horizontale, vers la droite).
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 5 :
- Concept Clé : Module et Direction depuis les composantes.
- Formule : \(E_{\text{P}} = \sqrt{E_{\text{Px}}^2 + E_{\text{Py}}^2}\).
- Cas spécial : \(E_{\text{Px}}=0, E_{\text{Py}}>0 \rightarrow \alpha=90^\circ\).
Outil Interactif : Simulateur (Chart.js)
Ce simulateur recalcule le champ total \(E_{\text{P}}\) (module) si on fait varier la charge \(q_{\text{A}} = q_{\text{B}}\) et la hauteur \(y\) du point \(P\) (position \(x\) gardée à 0, et \(a = 10 \, \text{cm}\) fixe).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Selon le principe de superposition, le champ électrique total est...
2. Si on double la distance \(r\) à une charge ponctuelle, le module du champ \(E\) est...
3. Dans cet exercice, pourquoi la composante horizontale totale \(E_{\text{Px}}\) est-elle nulle ?
4. Si \(q_{\text{A}} = +2 \, \text{nC}\) et \(q_{\text{B}} = -2 \, \text{nC}\) (un dipôle), le champ total \(\vec{E}_{\text{P}}\) au point P (0, 15) serait...
5. L'unité standard du champ électrique est le Newton par Coulomb (N/C) ou, de manière équivalente...
Glossaire
- Champ Électrique (\(\vec{E}\))
- Propriété de l'espace créée par une charge électrique, décrivant la force qu'une autre charge subirait en ce point. Unité : N/C ou V/m.
- Principe de Superposition
- Principe fondamental stipulant que l'effet total de plusieurs sources (champs, forces) est la somme vectorielle des effets individuels.
- Charge Ponctuelle
- Idéalisation d'un objet chargé dont les dimensions sont considérées comme nulles par rapport aux distances d'observation.
- Loi de Coulomb
- Loi physique décrivant la force (ou le champ) créée par une ou plusieurs charges électriques.
D’autres exercices d’électricité statique:
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