Combinaisons de Résistances : Analyse de Circuits Série et Parallèle
Série ou Parallèle : L'art d'assembler les résistances !
La plupart des circuits électriques réels ne sont pas simplement une unique boucle ou une unique dérivation. Ils sont souvent constitués de combinaisons de composants connectés à la fois en série et en parallèle. Comprendre comment analyser ces circuits mixtes est une compétence essentielle. Cela implique de décomposer le circuit en sections plus simples, de calculer les résistances équivalentes de ces sections, puis de remonter pour trouver les courants et tensions à travers chaque composant individuel. Cet exercice vous guidera à travers l'analyse d'un tel circuit.
Le Laboratoire de Léo : Un Défi de Résistances
- Source de tension continue (\(V_e\)) : \(36 \, \text{Volts (}\text{V}\text{)}\).
- Résistance \(R_1\) : \(3 \, \text{Ω}\).
- Résistance \(R_2\) : \(12 \, \text{Ω}\).
- Résistance \(R_3\) : \(6 \, \text{Ω}\).
- Résistance \(R_4\) : \(5 \, \text{Ω}\).
Schéma du circuit de Léo
Le courant total \(I_{tot}\) part de la source, traverse \(R_1\), se divise entre \(R_2\) et \(R_3\), se rejoint, puis traverse \(R_4\).
Questions à traiter
- Calculez la résistance équivalente (\(R_{23}\)) du groupement parallèle de \(R_2\) et \(R_3\).
- Calculez la résistance totale équivalente (\(R_{eq}\)) de l'ensemble du circuit vue par la source.
- Déterminez le courant total (\(I_{tot}\)) fourni par la source \(V_e\).
- Calculez la tension (\(U_1\)) aux bornes de \(R_1\) et la tension (\(U_4\)) aux bornes de \(R_4\).
- Quelle est la tension (\(U_{23}\)) aux bornes du groupement parallèle (\(R_2 // R_3\)) ?
- Calculez les courants \(I_2\) (traversant \(R_2\)) et \(I_3\) (traversant \(R_3\)).
- Calculez la puissance dissipée par chaque résistance (\(P_1, P_2, P_3, P_4\)).
- Calculez la puissance totale (\(P_{tot}\)) fournie par la source et vérifiez qu'elle est égale à la somme des puissances dissipées par les résistances.
Correction : Analyse du Circuit de Léo
Question 1 : Résistance équivalente (\(R_{23}\)) du groupement parallèle
Réponse :
Pour deux résistances \(R_2\) et \(R_3\) en parallèle, la résistance équivalente \(R_{23}\) est donnée par :
\[ \frac{1}{R_{23}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \quad \text{ou} \quad R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} \]
\[ \begin{aligned}
R_{23} &= \frac{12 \, \text{Ω} \cdot 6 \, \text{Ω}}{12 \, \text{Ω} + 6 \, \text{Ω}} \\
&= \frac{72 \, \text{Ω}^2}{18 \, \text{Ω}} \\
&= 4 \, \text{Ω}
\end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La résistance équivalente du groupement parallèle \(R_{23}\) est de \(4 \, \text{Ω}\).
Question 2 : Résistance totale équivalente (\(R_{eq}\))
Réponse :
Le circuit total est constitué de \(R_1\), \(R_{23}\), et \(R_4\) en série.
\[ \begin{aligned}
R_{eq} &= R_1 + R_{23} + R_4 \\
&= 3 \, \text{Ω} + 4 \, \text{Ω} + 5 \, \text{Ω} \\
&= 12 \, \text{Ω}
\end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La résistance totale équivalente \(R_{eq}\) du circuit est de \(12 \, \text{Ω}\).
Question 3 : Courant total (\(I_{tot}\))
Données :
- \(V_e = 36 \, \text{V}\)
- \(R_{eq} = 12 \, \text{Ω}\)
Calcul (Loi d'Ohm) :
\[ \begin{aligned}
I_{tot} &= \frac{V_e}{R_{eq}} \\
&= \frac{36 \, \text{V}}{12 \, \text{Ω}} \\
&= 3 \, \text{A}
\end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le courant total \(I_{tot}\) fourni par la source est de \(3 \, \text{A}\).
Question 4 : Tensions \(U_1\) et \(U_4\)
Données :
- \(I_{tot} = 3 \, \text{A}\)
- \(R_1 = 3 \, \text{Ω}\)
- \(R_4 = 5 \, \text{Ω}\)
Calcul de \(U_1\) :
\[ \begin{aligned}
U_1 &= I_{tot} \cdot R_1 \\
&= 3 \, \text{A} \cdot 3 \, \text{Ω} \\
&= 9 \, \text{V}
\end{aligned} \]
Calcul de \(U_4\) :
\[ \begin{aligned}
U_4 &= I_{tot} \cdot R_4 \\
&= 3 \, \text{A} \cdot 5 \, \text{Ω} \\
&= 15 \, \text{V}
\end{aligned} \]
Résultats Question 4 :
- \(U_1 = 9 \, \text{V}\)
- \(U_4 = 15 \, \text{V}\)
Question 5 : Tension (\(U_{23}\)) aux bornes du groupement parallèle
Réponse :
Le courant total \(I_{tot}\) traverse la résistance équivalente \(R_{23}\).
\[ \begin{aligned}
U_{23} &= I_{tot} \cdot R_{23} \\
&= 3 \, \text{A} \cdot 4 \, \text{Ω} \\
&= 12 \, \text{V}
\end{aligned} \]
Alternativement, par la loi des mailles : \(V_e = U_1 + U_{23} + U_4 \Rightarrow U_{23} = V_e - U_1 - U_4 = 36\text{V} - 9\text{V} - 15\text{V} = 12\text{V}\).
Résultat Question 5 : La tension \(U_{23}\) aux bornes du groupement parallèle est de \(12 \, \text{V}\).
Question 6 : Courants \(I_2\) et \(I_3\)
Données :
- \(U_{23} = 12 \, \text{V}\)
- \(R_2 = 12 \, \text{Ω}\)
- \(R_3 = 6 \, \text{Ω}\)
Calcul de \(I_2\) :
\[ \begin{aligned}
I_2 &= \frac{U_{23}}{R_2} \\
&= \frac{12 \, \text{V}}{12 \, \text{Ω}} \\
&= 1 \, \text{A}
\end{aligned} \]
Calcul de \(I_3\) :
\[ \begin{aligned}
I_3 &= \frac{U_{23}}{R_3} \\
&= \frac{12 \, \text{V}}{6 \, \text{Ω}} \\
&= 2 \, \text{A}
\end{aligned} \]
Résultats Question 6 :
- \(I_2 = 1 \, \text{A}\)
- \(I_3 = 2 \, \text{A}\)
Question 7 : Puissances dissipées par chaque résistance
Calcul de \(P_1\) :
\[ \begin{aligned}
P_1 &= U_1 \cdot I_{tot} = I_{tot}^2 \cdot R_1 \\
&= (3 \, \text{A})^2 \cdot 3 \, \text{Ω} \\
&= 9 \cdot 3 \, \text{W} \\
&= 27 \, \text{W}
\end{aligned} \]
Calcul de \(P_2\) :
\[ \begin{aligned}
P_2 &= U_{23} \cdot I_2 = I_2^2 \cdot R_2 \\
&= (1 \, \text{A})^2 \cdot 12 \, \text{Ω} \\
&= 12 \, \text{W}
\end{aligned} \]
Calcul de \(P_3\) :
\[ \begin{aligned}
P_3 &= U_{23} \cdot I_3 = I_3^2 \cdot R_3 \\
&= (2 \, \text{A})^2 \cdot 6 \, \text{Ω} \\
&= 4 \cdot 6 \, \text{W} \\
&= 24 \, \text{W}
\end{aligned} \]
Calcul de \(P_4\) :
\[ \begin{aligned}
P_4 &= U_4 \cdot I_{tot} = I_{tot}^2 \cdot R_4 \\
&= (3 \, \text{A})^2 \cdot 5 \, \text{Ω} \\
&= 9 \cdot 5 \, \text{W} \\
&= 45 \, \text{W}
\end{aligned} \]
Résultats Question 7 :
- \(P_1 = 27 \, \text{W}\)
- \(P_2 = 12 \, \text{W}\)
- \(P_3 = 24 \, \text{W}\)
- \(P_4 = 45 \, \text{W}\)
Question 8 : Puissance totale fournie et vérification
Puissance totale fournie par la source :
\[ \begin{aligned}
P_{source} &= V_e \cdot I_{tot} \\
&= 36 \, \text{V} \cdot 3 \, \text{A} \\
&= 108 \, \text{W}
\end{aligned} \]
Somme des puissances dissipées par les résistances :
\[ \begin{aligned}
P_{dissipée} &= P_1 + P_2 + P_3 + P_4 \\
&= 27 \, \text{W} + 12 \, \text{W} + 24 \, \text{W} + 45 \, \text{W} \\
&= 108 \, \text{W}
\end{aligned} \]
On constate que \(P_{source} = P_{dissipée}\). La conservation de l'énergie est vérifiée.
Résultat Question 8 : La puissance totale fournie par la source est de \(108 \, \text{W}\), ce qui est égal à la somme des puissances dissipées.
Quiz Intermédiaire : Si trois résistances identiques de \(30 \, \text{Ω}\) sont en parallèle, leur résistance équivalente est :
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. Dans un circuit série, la résistance équivalente est toujours :
2. Dans un circuit parallèle, si on ajoute une branche supplémentaire avec une résistance :
3. La puissance totale dissipée dans un circuit de résistances est égale à :
Glossaire
- Circuit en Série
- Configuration où les composants sont connectés les uns à la suite des autres, formant un seul chemin pour le courant. Le courant est le même à travers tous les composants.
- Circuit en Parallèle
- Configuration où les composants sont connectés de manière à ce que la même tension soit appliquée à chacun d'eux. Le courant total se divise entre les différentes branches.
- Résistance Équivalente (\(R_{eq}\))
- Résistance unique qui aurait le même effet sur le circuit que la combinaison de plusieurs résistances. En série : \(R_{eq} = R_1 + R_2 + \dots\). En parallèle : \(1/R_{eq} = 1/R_1 + 1/R_2 + \dots\). Unité : \(\text{Ω}\).
- Loi d'Ohm
- Relation fondamentale en électricité : \(V = I \cdot R\), où \(V\) est la tension, \(I\) le courant, et \(R\) la résistance.
- Loi des Nœuds de Kirchhoff (Première loi de Kirchhoff)
- La somme algébrique des courants entrant dans un nœud (ou un point de jonction) d'un circuit est égale à la somme algébrique des courants sortant de ce nœud. Cela découle de la conservation de la charge.
- Loi des Mailles de Kirchhoff (Deuxième loi de Kirchhoff)
- La somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de toute boucle fermée (maille) d'un circuit électrique est égale à zéro. Cela découle de la conservation de l'énergie.
- Puissance Électrique (\(P\))
- Énergie dissipée ou fournie par unité de temps. Pour une résistance, \(P = V \cdot I = I^2 \cdot R = V^2/R\). Unité : \(\text{Watt (W)}\).
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