Exercices Électricité

Courant dans les Circuits en Dérivation

Courant dans les Circuits en Dérivation

Courant dans les Circuits en Dérivation

Comprendre le Courant dans les Circuits en Dérivation

Les circuits en dérivation, également appelés circuits parallèles, sont des configurations où plusieurs chemins sont offerts au courant électrique. Une caractéristique clé des montages en parallèle est que la tension est la même aux bornes de chaque branche. Cependant, le courant total fourni par la source se divise entre ces différentes branches. La manière dont ce courant se répartit dépend de la résistance de chaque branche : les branches de plus faible résistance "attireront" plus de courant. La loi des nœuds de Kirchhoff, qui énonce que la somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants qui en sortent, est fondamentale pour analyser ces circuits. Le principe du diviseur de courant est une application directe de ces concepts pour calculer facilement les courants de branche.

Données de l'étude

Un circuit est alimenté par une source de tension continue \(V_{\text{s}}\). Ce circuit est composé d'une résistance \(R_1\) en série avec un groupement de trois résistances (\(R_2\), \(R_3\), et \(R_4\)) montées en parallèle entre les nœuds A et B.

Valeurs des composants :

  • Tension de la source : \(V_{\text{s}} = 36 \, \text{V}\)
  • Résistance \(R_1\) : \(2 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_2\) : \(10 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_3\) : \(20 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_4\) : \(30 \, \Omega\)
Schéma : Circuit avec Branches en Dérivation
Vs 36V + − R1 2Ω A R2 10Ω R3 20Ω R4 30Ω B → Itotal → I2 → I3 → I4

Circuit DC avec plusieurs branches en dérivation.

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance équivalente (\(R_{\text{eqP}}\)) du groupement parallèle formé par \(R_2\), \(R_3\) et \(R_4\).
  2. Calculer la résistance totale équivalente (\(R_{\text{total}}\)) du circuit.
  3. Calculer le courant total (\(I_{\text{total}}\)) fourni par la source.
  4. Calculer la tension (\(V_1\)) aux bornes de la résistance \(R_1\).
  5. Calculer la tension (\(V_{\text{AB}}\)) aux bornes du groupement parallèle (entre les nœuds A et B).
  6. Calculer le courant (\(I_2\)) traversant la résistance \(R_2\).
  7. Calculer le courant (\(I_3\)) traversant la résistance \(R_3\).
  8. Calculer le courant (\(I_4\)) traversant la résistance \(R_4\).
  9. Vérifier la loi des nœuds de Kirchhoff au nœud A.

Correction : Courant dans les Circuits en Dérivation

Question 1 : Résistance équivalente (\(R_{\text{eqP}}\)) du groupement parallèle

Principe :

Pour des résistances (\(R_2, R_3, R_4\)) en parallèle, l'inverse de la résistance équivalente est la somme des inverses de chaque résistance : \(\frac{1}{R_{\text{eqP}}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{1}{R_{\text{eqP}}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4}\]
Données spécifiques :
  • \(R_2 = 10 \, \Omega\)
  • \(R_3 = 20 \, \Omega\)
  • \(R_4 = 30 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{1}{R_{\text{eqP}}} &= \frac{1}{10 \, \Omega} + \frac{1}{20 \, \Omega} + \frac{1}{30 \, \Omega} \\ &= \frac{6}{60 \, \Omega} + \frac{3}{60 \, \Omega} + \frac{2}{60 \, \Omega} \\ &= \frac{6+3+2}{60 \, \Omega} = \frac{11}{60 \, \Omega} \\ R_{\text{eqP}} &= \frac{60}{11} \, \Omega \\ &\approx 5.4545... \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La résistance équivalente du groupement parallèle est \(R_{\text{eqP}} \approx 5.45 \, \Omega\).

Question 2 : Résistance totale équivalente (\(R_{\text{total}}\))

Principe :

La résistance \(R_1\) est en série avec le groupement parallèle \(R_{\text{eqP}}\). Donc, \(R_{\text{total}} = R_1 + R_{\text{eqP}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{total}} = R_1 + R_{\text{eqP}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 2 \, \Omega\)
  • \(R_{\text{eqP}} = \frac{60}{11} \, \Omega \approx 5.4545 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{total}} &= 2 \, \Omega + \frac{60}{11} \, \Omega \\ &= \frac{22}{11} \, \Omega + \frac{60}{11} \, \Omega \\ &= \frac{82}{11} \, \Omega \\ &\approx 7.4545... \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La résistance totale équivalente du circuit est \(R_{\text{total}} \approx 7.45 \, \Omega\).

Question 3 : Courant total (\(I_{\text{total}}\))

Principe :

Le courant total fourni par la source est calculé par la loi d'Ohm : \(I_{\text{total}} = \frac{V_{\text{s}}}{R_{\text{total}}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{total}} = \frac{V_{\text{s}}}{R_{\text{total}}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{s}} = 36 \, \text{V}\)
  • \(R_{\text{total}} = \frac{82}{11} \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{\text{total}} &= \frac{36 \, \text{V}}{\frac{82}{11} \, \Omega} \\ &= \frac{36 \times 11}{82} \, \text{A} \\ &= \frac{396}{82} \, \text{A} = \frac{198}{41} \, \text{A} \\ &\approx 4.8292... \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le courant total fourni par la source est \(I_{\text{total}} \approx 4.83 \, \text{A}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si \(R_1\) était nulle, le courant total serait-il plus grand ou plus petit (avec les mêmes \(R_2, R_3, R_4, V_s\)) ?

Question 4 : Tension (\(V_1\)) aux bornes de \(R_1\)

Principe :

La chute de tension aux bornes de \(R_1\) est donnée par la loi d'Ohm : \(V_1 = R_1 \times I_{\text{total}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_1 = R_1 I_{\text{total}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 2 \, \Omega\)
  • \(I_{\text{total}} = \frac{198}{41} \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_1 &= 2 \, \Omega \times \frac{198}{41} \, \text{A} \\ &= \frac{396}{41} \, \text{V} \\ &\approx 9.6585... \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La tension aux bornes de \(R_1\) est \(V_1 \approx 9.66 \, \text{V}\).

Question 5 : Tension (\(V_{\text{AB}}\)) aux bornes du groupement parallèle

Principe :

La tension \(V_{\text{AB}}\) aux bornes du groupement parallèle est la même pour chaque branche (\(R_2, R_3, R_4\)). Elle peut être calculée par \(V_{\text{AB}} = V_{\text{s}} - V_1\) (loi des mailles) ou \(V_{\text{AB}} = R_{\text{eqP}} \times I_{\text{total}}\) (loi d'Ohm sur le groupement parallèle).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{AB}} = V_{\text{s}} - V_1\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{s}} = 36 \, \text{V}\)
  • \(V_1 = \frac{396}{41} \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{AB}} &= 36 \, \text{V} - \frac{396}{41} \, \text{V} \\ &= \frac{36 \times 41 - 396}{41} \, \text{V} \\ &= \frac{1476 - 396}{41} \, \text{V} = \frac{1080}{41} \, \text{V} \\ &\approx 26.3414... \, \text{V} \end{aligned} \]

Vérification avec l'autre méthode : \(V_{\text{AB}} = R_{\text{eqP}} \times I_{\text{total}} = \frac{60}{11} \, \Omega \times \frac{198}{41} \, \text{A} = \frac{60 \times 18}{41} \, \text{V} = \frac{1080}{41} \, \text{V}\). Les résultats concordent.

Résultat Question 5 : La tension aux bornes du groupement parallèle est \(V_{\text{AB}} \approx 26.34 \, \text{V}\).

Question 6 : Courant (\(I_2\)) traversant \(R_2\)

Principe :

Le courant dans une branche parallèle est donné par la tension aux bornes de cette branche divisée par la résistance de la branche : \(I_2 = V_{\text{AB}} / R_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_2 = \frac{V_{\text{AB}}}{R_2}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{AB}} = \frac{1080}{41} \, \text{V}\)
  • \(R_2 = 10 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_2 &= \frac{\frac{1080}{41} \, \text{V}}{10 \, \Omega} \\ &= \frac{1080}{410} \, \text{A} = \frac{108}{41} \, \text{A} \\ &\approx 2.6341... \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le courant traversant \(R_2\) est \(I_2 \approx 2.63 \, \text{A}\).

Question 7 : Courant (\(I_3\)) traversant \(R_3\)

Principe :

De même, \(I_3 = V_{\text{AB}} / R_3\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_3 = \frac{V_{\text{AB}}}{R_3}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{AB}} = \frac{1080}{41} \, \text{V}\)
  • \(R_3 = 20 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_3 &= \frac{\frac{1080}{41} \, \text{V}}{20 \, \Omega} \\ &= \frac{1080}{820} \, \text{A} = \frac{54}{41} \, \text{A} \\ &\approx 1.3170... \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : Le courant traversant \(R_3\) est \(I_3 \approx 1.32 \, \text{A}\).

Question 8 : Courant (\(I_4\)) traversant \(R_4\)

Principe :

De même, \(I_4 = V_{\text{AB}} / R_4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_4 = \frac{V_{\text{AB}}}{R_4}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{AB}} = \frac{1080}{41} \, \text{V}\)
  • \(R_4 = 30 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_4 &= \frac{\frac{1080}{41} \, \text{V}}{30 \, \Omega} \\ &= \frac{1080}{1230} \, \text{A} = \frac{36}{41} \, \text{A} \\ &\approx 0.8780... \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : Le courant traversant \(R_4\) est \(I_4 \approx 0.88 \, \text{A}\).

Quiz Intermédiaire 2 : La somme des courants \(I_2, I_3, I_4\) doit être égale à :

Question 9 : Vérification de la Loi des Nœuds de Kirchhoff au Nœud A

Principe :

Au nœud A, le courant entrant \(I_{\text{total}}\) doit être égal à la somme des courants sortants \(I_2 + I_3 + I_4\).

Données calculées :
  • \(I_{\text{total}} = \frac{198}{41} \, \text{A}\)
  • \(I_2 = \frac{108}{41} \, \text{A}\)
  • \(I_3 = \frac{54}{41} \, \text{A}\)
  • \(I_4 = \frac{36}{41} \, \text{A}\)
Vérification :
\[ \begin{aligned} I_2 + I_3 + I_4 &= \frac{108}{41} \, \text{A} + \frac{54}{41} \, \text{A} + \frac{36}{41} \, \text{A} \\ &= \frac{108+54+36}{41} \, \text{A} \\ &= \frac{198}{41} \, \text{A} \end{aligned} \]

Comparaison avec \(I_{\text{total}} = \frac{198}{41} \, \text{A}\) :

\[\frac{198}{41} \, \text{A} = \frac{198}{41} \, \text{A} \quad (\text{Vérifié})\]
Résultat Question 9 : La loi des nœuds est vérifiée au nœud A.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans un montage de résistances en parallèle, quelle grandeur est la même pour toutes les résistances ?

2. La loi des nœuds de Kirchhoff stipule que :

3. Si une branche d'un circuit parallèle a une résistance plus élevée que les autres, le courant dans cette branche sera :

Glossaire

Circuit en Dérivation (Parallèle)
Configuration de circuit où les composants sont connectés de manière à ce que la tension soit la même à leurs bornes. Le courant total se divise entre les différentes branches.
Intensité du Courant (I)
Flux de charges électriques, mesuré en Ampères (A).
Loi d'Ohm
Relation \(V = IR\), liant tension (V), courant (I) et résistance (R).
Loi des Nœuds de Kirchhoff
La somme algébrique des courants qui entrent dans un nœud est égale à la somme algébrique des courants qui en sortent. C'est une expression de la conservation de la charge électrique.
Nœud
Point de connexion dans un circuit où au moins trois chemins de courant se rencontrent.
Branche
Partie d'un circuit contenant un ou plusieurs composants, connectée entre deux nœuds.
Diviseur de Courant
Formule ou principe qui décrit comment le courant total se répartit entre plusieurs branches parallèles en fonction de leurs résistances respectives. Le courant est plus important dans les branches de plus faible résistance.
Courant dans les Circuits en Dérivation

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