Fibres Optiques avec les Équations de Maxwell
Contexte : La Fibre OptiqueUn guide d'onde diélectrique, généralement en verre ou en plastique, capable de transmettre de la lumière sur de longues distances avec très peu de pertes. et l'Électromagnétisme.
Les fibres optiques sont le pilier des télécommunications modernes, permettant de transmettre des quantités massives de données à la vitesse de la lumière. Pour comprendre comment la lumière est confinée et se propage dans ce minuscule guide de verre, il est indispensable de revenir aux fondements de l'électromagnétisme, décrits par les célèbres équations de MaxwellUn ensemble de quatre équations fondamentales qui décrivent comment les champs électriques et magnétiques sont générés et interagissent.. Cet exercice a pour but d'appliquer ces équations fondamentales à la géométrie cylindrique d'une fibre optique pour en déduire les conditions de propagation de la lumière.
Remarque Pédagogique : Cet exercice établit un pont essentiel entre la théorie abstraite des équations de Maxwell et une application d'ingénierie concrète et omniprésente. Vous apprendrez à modéliser un problème physique, à choisir le système de coordonnées adéquat et à interpréter mathématiquement les conditions de propagation.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la structure d'une fibre optique à saut d'indiceL'indice de réfraction d'un milieu, noté 'n', est une mesure de la vitesse à laquelle la lumière se propage à travers ce milieu..
- Appliquer les équations de Maxwell en coordonnées cylindriques à un guide d'onde diélectrique.
- Dériver l'équation d'onde et comprendre la notion de modes de propagationSolutions spécifiques des équations de Maxwell qui peuvent se propager le long de la fibre. Chaque mode a une distribution de champ et une vitesse de propagation uniques..
- Calculer la fréquence de coupure et le nombre V, des paramètres clés pour la conception des fibres.
Données de l'étude
Coupe transversale de la Fibre Optique
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Rayon du cœur | \(a\) | 4.5 µm |
| Indice de réfraction du cœur | \(n_1\) | 1.480 |
| Indice de réfraction de la gaine | \(n_2\) | 1.465 |
Questions à traiter
- Écrire les équations de Maxwell pour une onde se propageant dans un milieu diélectrique linéaire, homogène, isotrope, sans charge ni courant (\(\rho=0, \vec{J}=\vec{0}\)).
- En supposant une propagation selon l'axe z de la forme \(e^{j(\omega t - \beta z)}\), montrer que les composantes transverses des champs (\(\vec{E}_t, \vec{H}_t\)) peuvent être exprimées en fonction des composantes longitudinales (\(E_z, H_z\)).
- À partir des équations de Maxwell, dériver l'équation d'onde (équation de Helmholtz) à laquelle obéissent les composantes \(E_z\) et \(H_z\) en coordonnées cylindriques.
- Définir le Nombre V (fréquence normalisée) de la fibre. Quel est son intérêt ?
- Calculer le Nombre V de cette fibre pour une onde de longueur d'onde \(\lambda_0 = 1.55\) µm dans le vide. La fibre est-elle monomode ou multimode à cette longueur d'onde ?
Bases sur l'Électromagnétisme Guidé
La propagation d'une onde électromagnétique (comme la lumière) dans un guide d'onde (comme une fibre optique) est entièrement régie par les équations de Maxwell. La structure de guidage impose des conditions aux limites qui n'autorisent que certaines "formes" d'ondes, appelées modes, à se propager durablement.
1. Équations de Maxwell dans un diélectrique
Dans un milieu sans charge ni courant, les équations de Maxwell relient les champs électrique \(\vec{E}\) et magnétique \(\vec{H}\) :
\[ \begin{aligned} \nabla \cdot \vec{E} &= 0 \\ \nabla \cdot \vec{H} &= 0 \\ \nabla \times \vec{E} &= -\mu \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} \\ \nabla \times \vec{H} &= \epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned} \]
Où \(\epsilon = \epsilon_0 n^2\) est la permittivité du milieu et \(\mu \approx \mu_0\) sa perméabilité.
2. L'équation d'onde de Helmholtz
En combinant les deux équations rotationnelles de Maxwell pour une onde harmonique (\(e^{j\omega t}\)), on obtient l'équation d'onde de Helmholtz :
\[ \nabla^2 \vec{E} + k^2 \vec{E} = 0 \]
Où \(k = \omega \sqrt{\epsilon \mu} = k_0 n\) est le nombre d'onde dans le milieu, avec \(k_0 = 2\pi/\lambda_0\). La résolution de cette équation en coordonnées cylindriques, avec les conditions aux limites, donne les modes de la fibre.
Correction : Fibres Optiques avec les Équations de Maxwell
Question 1 : Écrire les équations de Maxwell
Principe (le concept physique)
Cette étape consiste à poser le cadre théorique fondamental de tout l'électromagnétisme. Les quatre équations de Maxwell décrivent comment les champs électriques et magnétiques interagissent et se propagent. Nous les écrivons ici pour un milieu diélectrique (isolant, comme le verre) sans source (ni charge, ni courant), ce qui correspond parfaitement au cas d'une onde lumineuse se propageant dans une fibre optique.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Les équations de Maxwell décrivent quatre phénomènes :
1. Équation de Maxwell-Gauss (\(\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0\)) : En l'absence de charges électriques, les lignes de champ électrique ne peuvent pas commencer ou finir en un point ; elles se referment sur elles-mêmes.
2. Équation de Maxwell-flux (\(\vec{\nabla} \cdot \vec{H} = 0\)) : Il n'existe pas de "charges magnétiques" (monopôles magnétiques). Les lignes de champ magnétiques se bouclent toujours.
3. Équation de Maxwell-Faraday (\(\vec{\nabla} \times \vec{E} = ...\)) : Un champ magnétique variable dans le temps induit un champ électrique rotationnel. C'est le principe de l'induction.
4. Équation de Maxwell-Ampère (\(\vec{\nabla} \times \vec{H} = ...\)) : Un champ électrique variable dans le temps (courant de déplacement) crée un champ magnétique rotationnel. C'est ce terme qui prédit l'existence des ondes électromagnétiques.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Face à un problème d'ondes, ayez toujours le réflexe de partir de ces quatre équations. Elles contiennent toute l'information nécessaire. L'adaptation au problème spécifique (géométrie, milieu) se fait ensuite par des manipulations mathématiques.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Équations de Maxwell en régime harmonique
En régime harmonique (onde sinusoïdale de pulsation \(\omega\)), la dépendance temporelle est en \(e^{j\omega t}\). Ainsi, la dérivation par rapport au temps \(\partial/\partial t\) devient une simple multiplication par \(j\omega\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
- Le milieu (cœur ou gaine) est linéaire, homogène et isotrope (ses propriétés ne dépendent pas de la direction ou de l'intensité du champ).
- Il n'y a pas de charges électriques libres (\(\rho = 0\)).
- Il n'y a pas de courants de conduction (\(\vec{J} = \vec{0}\)).
Astuces(Pour aller plus vite)
Retenez la signification physique des opérateurs : la divergence (\(\nabla \cdot\)) est liée aux "sources" du champ, tandis que le rotationnel (\(\nabla \times\)) est lié à sa capacité à "tourner" et à l'interdépendance entre les champs E et H.
Schéma (Avant les calculs)
Représentation d'une Onde Électromagnétique Plane
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Ces équations couplées montrent qu'un champ électrique ne peut exister sans un champ magnétique (et vice versa) dans une onde qui se propage. C'est la variation de l'un qui engendre l'autre, permettant à l'onde de voyager dans l'espace, même dans le vide.
Schéma (Après les calculs)
Interdépendance des Champs (Loi de Faraday & Ampère)
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à ne pas oublier le signe "moins" dans la loi de Faraday et à bien utiliser les propriétés du milieu (\(\epsilon\), \(\mu\)) et non celles du vide, car l'onde se propage dans le verre de la fibre.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
L'essentiel est de mémoriser cet ensemble de quatre équations en régime harmonique. Elles sont le point de départ de toute étude de propagation guidée (fibres, guides d'ondes métalliques) ou non guidée (antennes).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
James Clerk Maxwell a unifié les lois de l'électricité et du magnétisme dans les années 1860. En le faisant, il a réalisé que la vitesse de propagation des ondes prédites par ses équations était égale à la vitesse de la lumière, étant ainsi le premier à comprendre que la lumière est une onde électromagnétique.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Question 2 : Composantes transverses et longitudinales
Principe (le concept physique)
Puisque l'onde se propage le long d'un axe privilégié (l'axe z de la fibre), il est très efficace de décomposer le problème. On sépare les champs en une partie qui se propage (longitudinale) et une partie qui décrit la forme de l'onde dans le plan transverse. Cette étape montre que toute la physique du problème transverse peut se résumer à la connaissance des seuls champs longitudinaux \(E_z\) et \(H_z\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Tout vecteur \(\vec{A}\) peut s'écrire comme la somme de sa composante transverse \(\vec{A}_t\) (dans le plan (x,y)) et de sa composante longitudinale \(A_z \vec{u}_z\). L'opérateur Nabla \(\vec{\nabla}\) se décompose de la même manière : \(\vec{\nabla} = \vec{\nabla}_t + \frac{\partial}{\partial z}\vec{u}_z\). Pour une onde se propageant en \(e^{-j\beta z}\), la dérivée \(\frac{\partial}{\partial z}\) devient une simple multiplication par \(-j\beta\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Cette technique de décomposition est un classique de la physique des guides d'ondes. Que ce soit pour une fibre optique, un coaxial ou un guide métallique, la méthode reste la même. Maîtrisez-la, et vous pourrez aborder une vaste classe de problèmes.
Normes (la référence réglementaire)
Cette décomposition n'est pas une norme mais une méthode de calcul standard en électromagnétisme et en physique des ondes pour les problèmes de propagation guidée. Elle est universellement employée dans les ouvrages de référence.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Les équations finales expriment les quatre composantes transverses (\(E_x, E_y, H_x, H_y\)) uniquement en fonction des deux composantes longitudinales (\(E_z, H_z\)). Le nombre d'inconnues est ainsi réduit de six à deux.
Expression du champ électrique transverse
Expression du champ magnétique transverse
Hypothèses (le cadre du calcul)
- L'onde se propage selon l'axe z avec une constante de propagation \(\beta\).
- La dépendance en z est de la forme \(e^{-j\beta z}\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Cette étape est une dérivation analytique qui ne dépend pas des valeurs numériques de la fibre. Elle est générale pour tout guide d'onde cylindrique.
Astuces(Pour aller plus vite)
Lors des manipulations de produits vectoriels, gardez toujours en tête le trièdre direct (\(\vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z\)) pour ne pas faire d'erreur de signe. Par exemple, \(\vec{u}_z \times \vec{u}_x = \vec{u}_y\) mais \(\vec{u}_z \times \vec{u}_y = -\vec{u}_x\).
Schéma (Avant les calculs)
Décomposition d'un Champ Vectoriel
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Décomposer les équations de Maxwell
On part de \(\vec{\nabla} \times \vec{E} = -j\omega\mu \vec{H}\). En séparant les opérateurs et les champs en leurs parties transverse (\(t\)) et longitudinale (\(z\)), on obtient :
On développe le produit vectoriel, ce qui donne deux équations (une transverse, une longitudinale). En faisant de même pour l'équation de Maxwell-Ampère, on obtient un système.
Étape 2 : Isoler les composantes transverses
La partie transverse de l'équation de Maxwell-Faraday développée est :
Et pour Maxwell-Ampère :
Étape 3 : Résoudre le système
On a un système de deux équations à deux inconnues (\(\vec{E}_t\) et \(\vec{H}_t\)). En substituant \(\vec{H}_t\) de la première équation dans la seconde, on peut isoler \(\vec{E}_t\). Après simplification, on arrive à l'expression finale donnée dans la section "Formule(s)".
Schéma (Après les calculs)
Génération du Champ Transverse
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Ces équations sont le cœur de la méthode de résolution. Elles montrent que pour trouver tous les champs, il suffit de trouver \(E_z\) et \(H_z\). Le problème 3D est ramené à un problème 2D (trouver \(E_z(r, \phi)\) et \(H_z(r, \phi)\)) plus une propagation. Le terme \(k_c^2 = k^2 - \beta^2\) est crucial : il relie la propagation (\(\beta\)) à la nature de l'onde dans le plan transverse (\(k_c\)).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est de se tromper dans les calculs de produits vectoriels et les signes. Il faut être très méthodique. Attention à ne pas confondre le nombre d'onde total \(k\) et le nombre d'onde transverse \(k_c\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Le point clé est de comprendre que la connaissance des champs longitudinaux détermine entièrement le champ total. Le problème est donc de trouver les équations qui régissent \(E_z\) et \(H_z\), ce qui est l'objet de la question suivante.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Cette méthode est si générale qu'elle s'applique aussi aux guides d'ondes acoustiques. En acoustique, on décompose le champ de vitesse des particules en composantes transverses et longitudinales pour étudier la propagation du son dans un tuyau, par exemple.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Que se passe-t-il si \(k_c^2 = 0\) ? Pourquoi cette condition est-elle importante ? (Indice : regardez le dénominateur des formules).
Question 3 : Équation d'onde de Helmholtz
Principe (le concept physique)
L'équation de Helmholtz est une reformulation des équations de Maxwell en une seule équation d'onde pour les champs. Elle décrit comment la courbure spatiale d'un champ est liée à sa propagation. La résoudre en coordonnées cylindriques nous donnera la forme des modes guidés dans la fibre.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
On obtient l'équation de Helmholtz en prenant le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday : \(\nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = -j\omega\mu (\nabla \times \vec{H})\). On utilise ensuite l'identité vectorielle \(\nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E}\) et l'équation de Maxwell-Ampère. Comme \(\nabla \cdot \vec{E} = 0\), on arrive directement à \(\nabla^2 \vec{E} + \omega^2\mu\epsilon \vec{E} = 0\). On fait de même pour \(\vec{H}\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Chercher les modes d'un guide revient presque toujours à résoudre l'équation de Helmholtz pour la géométrie concernée. Pour un guide rectangulaire, on utiliserait des coordonnées cartésiennes et les solutions seraient des sinus et cosinus. Pour une fibre, la symétrie cylindrique impose les coordonnées cylindriques et les fonctions de Bessel.
Normes (la référence réglementaire)
L'expression de l'opérateur Laplacien (\(\nabla^2\)) en coordonnées cylindriques est une convention mathématique universelle. Il n'y a pas de norme d'ingénierie associée à cette étape de la dérivation.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Équation d'onde de Helmholtz en coordonnées cylindriques
En appliquant l'opérateur Laplacien \(\nabla^2\) à la composante \(A_z = E_z\) ou \(H_z\) en coordonnées cylindriques (\(r, \phi, z\)) et en injectant la dépendance en \(z\) (\(e^{-j\beta z}\)), on obtient l'équation régissant la forme radiale et angulaire du mode :
Hypothèses (le cadre du calcul)
- Les champs sont suffisamment réguliers pour être deux fois dérivables.
- La propagation se fait uniquement selon z, avec une constante de propagation \(\beta\) unique pour un mode donné.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Cette étape est une dérivation analytique qui ne dépend pas des valeurs numériques de la fibre. Elle est générale pour tout guide d'onde cylindrique.
Astuces(Pour aller plus vite)
Quand vous voyez une propagation le long d'un axe, ayez le réflexe de remplacer \(\partial^2/\partial z^2\) par \(( -j\beta)^2 = -\beta^2\) dans l'équation de Helmholtz. Cela simplifie immédiatement l'équation en séparant la partie transverse.
Schéma (Avant les calculs)
Système de Coordonnées Cylindriques
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Obtenir l'équation d'onde générale
On part de \(\vec{\nabla} \times \vec{E} = -j\omega\mu \vec{H}\). On applique un second rotationnel :
On sait que \(\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0\) et \(\vec{\nabla} \times \vec{H} = j\omega\epsilon \vec{E}\). On substitue :
Étape 2 : Appliquer aux composantes longitudinales en cylindrique
L'équation s'applique à chaque composante, donc \(\nabla^2 E_z + k^2 E_z = 0\). On exprime l'opérateur Laplacien \(\nabla^2\) en coordonnées cylindriques et on remplace \(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\) par \(-\beta^2\), ce qui mène directement à l'équation différentielle recherchée.
Schéma (Après les calculs)
Solutions : Fonctions de Bessel
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette équation différentielle est fondamentale. Elle admet comme solutions les fonctions de Bessel. La constante \(k_c^2 = k^2 - \beta^2\) détermine le comportement de la solution : si \(k_c^2 > 0\) (dans le cœur), la solution est oscillante (onde guidée, fonctions de Bessel \(J_n\)). Si \(k_c^2 < 0\) (dans la gaine), la solution est évanescente (onde qui décroît exponentiellement, fonctions de Bessel modifiées \(K_n\)), ce qui assure le confinement de l'énergie dans le cœur.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas oublier le terme \(1/r\) et \(1/r^2\) dans l'expression du laplacien cylindrique est crucial. C'est une erreur fréquente qui change complètement la nature de l'équation différentielle.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Retenez que la géométrie cylindrique de la fibre impose naturellement l'utilisation des coordonnées cylindriques et mène à l'équation de Bessel, dont les solutions décrivent la répartition transverse du champ électromagnétique des modes guidés.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les fonctions de Bessel, introduites par le mathématicien Friedrich Bessel, apparaissent dans de très nombreux problèmes de physique à symétrie cylindrique, comme la vibration d'une peau de tambour, la conduction de chaleur dans un cylindre, ou encore... la forme des modes dans une fibre optique.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Comment cette équation se simplifierait-elle si le champ ne dépendait pas de l'angle \(\phi\) (mode à symétrie de révolution) ?
Question 4 : Définition et intérêt du Nombre V
Principe (le concept physique)
Le Nombre V est un "super-paramètre" sans dimension. Il fusionne toutes les caractéristiques importantes du guide (sa taille via le rayon \(a\), sa capacité à confiner la lumière via les indices \(n_1\) et \(n_2\)) et de l'onde (sa longueur d'onde \(\lambda_0\)) en un seul nombre. Ce nombre permet de classifier et de prédire le comportement de la fibre de manière universelle.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le Nombre V peut être interprété comme une mesure de la "force" du guidage. Un V élevé signifie que le cœur est "grand" par rapport à la longueur d'onde et que la différence d'indice est importante, ce qui permet de confiner de nombreux modes différents. Un V faible signifie que le guidage est "faible", et que seuls un ou quelques modes peuvent "tenir" dans le cœur.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez au Nombre V comme au numéro de la "pointure" d'une fibre. Il vous dit tout de suite si elle est "petite" (monomode) ou "grande" (multimode) pour une lumière donnée. C'est le premier paramètre que l'on calcule pour caractériser une fibre.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Définition du Nombre V
Où \(\text{ON} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}\) est l'Ouverture Numérique de la fibre. L'ON représente la capacité de la fibre à collecter la lumière.
Hypothèses (le cadre du calcul)
- Cette formule est valable pour une fibre à saut d'indice (l'indice passe brutalement de \(n_1\) à \(n_2\)).
- On suppose que la différence d'indice est faible, ce qui est presque toujours le cas.
Astuces(Pour aller plus vite)
L'Ouverture Numérique (ON) est parfois approximée par \(n_1 \sqrt{2\Delta}\) où \(\Delta = (n_1-n_2)/n_1\) est la différence d'indice relative. C'est une approximation très précise pour les fibres télécoms.
Schéma (Avant les calculs)
Paramètres constitutifs du Nombre V
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'intérêt fondamental du Nombre V est qu'il détermine le nombre de modes qui peuvent se propager :
- Si \(V < 2.405\), seule une solution existe : le mode fondamental. La fibre est monomode.
- Si \(V > 2.405\), plusieurs solutions existent. La fibre est multimode. Le nombre de modes est approximativement \(N \approx V^2/2\).
Schéma (Après les calculs)
Classification des Fibres par le Nombre V
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas confondre le Nombre V (sans dimension) avec la fréquence de l'onde (en Hertz). Bien que V soit parfois appelé "fréquence normalisée", il dépend aussi de la géométrie et des indices.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Trois choses à retenir : la formule du Nombre V, sa signification physique (comparaison taille/longueur d'onde), et la valeur critique de 2.405 qui sépare le régime monomode du régime multimode.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le concept de Nombre V a été développé dans les années 1970 par les pionniers des communications par fibre optique, comme Elias Snitzer et Donald B. Keck, pour simplifier la conception et la classification des premières fibres optiques.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Question 5 : Calcul du Nombre V et du type de fibre
Principe (le concept physique)
Cette dernière étape est l'application numérique de tout ce qui précède. On va utiliser les caractéristiques concrètes de notre fibre et la longueur d'onde de la lumière pour calculer le Nombre V et ainsi déterminer si, en pratique, cette fibre transportera un ou plusieurs modes lumineux.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La condition de guidage monomode (\(V < 2.405\)) est la plus importante en conception de fibres pour les télécommunications. Une fibre multimode souffre de "dispersion modale" : si plusieurs modes se propagent, ils le font à des vitesses légèrement différentes. Un pulse de lumière envoyé dans la fibre s'élargit donc en se propageant, ce qui limite la distance et le débit de transmission. Les fibres monomodes n'ont pas ce problème et permettent des transmissions à très haut débit sur de très longues distances.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est ici que la théorie rencontre la pratique. Soyez très rigoureux avec les unités. Une erreur d'un facteur 1000 (passer des µm aux nm) est vite arrivée et changera complètement votre conclusion ! Posez toujours le calcul littéral avant de passer à l'application numérique.
Normes (la référence réglementaire)
La longueur d'onde de 1.55 µm (ou 1550 nm) n'est pas choisie au hasard. C'est le standard des télécommunications longue distance (bande C) car c'est à cette longueur d'onde que les fibres en silice présentent le minimum de pertes par absorption, permettant de transmettre des signaux sur des centaines de kilomètres avant de devoir les amplifier.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule du Nombre V
Hypothèses (le cadre du calcul)
- On suppose que les indices de réfraction \(n_1\) et \(n_2\) sont constants et ne dépendent pas de la longueur d'onde (en réalité, il y a une légère dispersion chromatique).
- Les dimensions géométriques sont parfaites.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Rayon du cœur | \(a\) | 4.5 | µm |
| Indice du cœur | \(n_1\) | 1.480 | - |
| Indice de la gaine | \(n_2\) | 1.465 | - |
| Longueur d'onde dans le vide | \(\lambda_0\) | 1.55 | µm |
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour éviter les erreurs de conversion, assurez-vous que le rayon \(a\) et la longueur d'onde \(\lambda_0\) sont exprimés dans la même unité (ici, les deux sont en micromètres, µm), ainsi le rapport \(a/\lambda_0\) est directement sans dimension.
Schéma (Avant les calculs)
Paramètres de l'étude
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Calcul de la différence des indices au carré
Étape 2 : Calcul de l'Ouverture Numérique (ON)
Étape 3 : Calcul du rapport géométrique
Étape 4 : Calcul final du Nombre V
Schéma (Après les calculs)
Point de fonctionnement sur la courbe V
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La valeur calculée, V ≈ 3.829, est significativement supérieure à la valeur seuil de 2.405. Cela signifie qu'à 1550 nm, cette fibre peut guider non seulement le mode fondamental, mais aussi plusieurs modes d'ordre supérieur. En pratique, cela causerait de la dispersion modale (les différents modes n'arrivant pas en même temps), ce qui brouillerait le signal et la rendrait impropre aux télécommunications à haut débit sur longue distance.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus classique est d'oublier de prendre la racine carrée de \(n_1^2 - n_2^2\) pour obtenir l'ON. Une autre erreur fréquente est de mal gérer les unités, par exemple en mélangeant des nanomètres et des micromètres.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Le calcul du Nombre V est une étape réflexe. La conclusion découle de la simple comparaison du résultat à la valeur de 2.405. Maîtrisez ce calcul et cette comparaison, et vous saurez caractériser n'importe quelle fibre à saut d'indice.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Pour obtenir une fibre monomode standard (type SMF-28), les fabricants réduisent le rayon du cœur à environ 4.1 µm et diminuent légèrement la différence d'indice entre le cœur et la gaine, afin d'assurer que le Nombre V soit bien inférieur à 2.405 dans toute la bande de transmission télécom.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait la longueur d'onde de coupure \(\lambda_c\) pour cette fibre ? C'est la longueur d'onde limite au-dessus de laquelle la fibre devient monomode (c'est-à-dire quand \(V=2.405\)).
Outil Interactif : Simulateur de Fibre Optique
Utilisez les curseurs pour faire varier le rayon du cœur et la longueur d'onde, et observez leur impact sur le Nombre V et le nombre de modes guidés.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Dans une fibre optique à saut d'indice, comment doit être l'indice du cœur (\(n_1\)) par rapport à celui de la gaine (\(n_2\)) pour guider la lumière ?
2. Quel phénomène physique fondamental, décrit par les équations de Maxwell, permet le guidage de la lumière dans une fibre ?
3. Une fibre est dite "monomode" si...
4. Si on augmente la longueur d'onde \(\lambda_0\) de la lumière utilisée, comment le nombre de modes guidés évolue-t-il ?
Glossaire
- Fibre Optique
- Un guide d'onde filiforme, fait de verre ou de plastique, qui utilise le principe de la réflexion totale interne pour transmettre la lumière sur de longues distances avec une atténuation très faible.
- Équations de Maxwell
- Ensemble de quatre équations différentielles qui forment la base de l'électromagnétisme classique. Elles décrivent comment les champs électriques et magnétiques sont créés et interagissent.
- Indice de Réfraction (n)
- Grandeur sans dimension qui décrit la vitesse de la lumière dans un matériau. Un indice plus élevé signifie une vitesse de lumière plus faible.
- Mode de Propagation
- Une configuration stable du champ électromagnétique qui peut se propager le long de la fibre. Chaque mode est une solution distincte des équations de Maxwell respectant les conditions aux limites.
- Nombre V (Fréquence Normalisée)
- Paramètre sans dimension qui combine les caractéristiques de la fibre (rayon du cœur, indices) et la longueur d'onde de la lumière pour déterminer le nombre de modes guidés.
D’autres exercices d’electromagnetique:
Calcul de la vitesse de groupe d’une onde
Calcul de la Vitesse de Groupe d'une Onde Électromagnétique Calcul de la Vitesse de Groupe d'une Onde Électromagnétique Contexte : La vitesse de groupeVitesse de propagation de l'enveloppe d'un paquet d'ondes, qui correspond à la vitesse de l'énergie ou de...
Force Électrostatique entre Deux Charges
Exercice : Force Électrostatique entre Deux Charges Calcul de la Force Électrostatique entre Deux Charges Contexte : L'Interaction Fondamentale de l'Électromagnétisme. Au cœur de l'électromagnétisme se trouve une loi fondamentale qui décrit comment les objets chargés...
Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure
Exercice : Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure dans un Guide d'Ondes Contexte : La propagation des ondes électromagnétiques en milieu guidé. Contrairement aux ondes se propageant dans l'espace libre (comme les ondes...
Force sur une Charge dans un Champ Électrique
Exercice : Force sur une Charge dans un Champ Électrique Force sur une Charge dans un Champ Électrique Contexte : L'interaction entre les charges et les champs. En électromagnétisme, un champ électriqueRégion de l'espace où une charge électrique subirait une force. Il...
Champ Électrique dans un Condensateur
Exercice : Champ Électrique dans un Condensateur Plan Champ Électrique dans un Condensateur Plan Contexte : Le condensateur planUn composant électronique formé de deux plaques conductrices (armatures) en regard, séparées par un isolant (diélectrique), capable de...
Calcul de l’amplitude de l’onde réfléchie
Exercice : Amplitude de l'Onde Réfléchie Calcul de l’Amplitude d’une Onde Électromagnétique Réfléchie Contexte : La réflexion d'une onde électromagnétiquePhénomène qui se produit lorsqu'une onde frappe l'interface entre deux milieux et rebondit dans son milieu...
Champ Magnétique en Milieu Industriel
Exercice : Champ Magnétique d'un Câble Coaxial Industriel Étude du Champ Magnétique en Milieu Industriel Contexte : Le câble coaxialUn type de câble composé d'un conducteur central (âme) entouré d'un isolant, d'un blindage conducteur (gaine) et d'une gaine extérieure....
Analyse de la Polarisation Lumineuse
Exercice : Analyse de la Polarisation Lumineuse Analyse de la Polarisation Lumineuse d'une Onde Électromagnétique Contexte : L'onde électromagnétique planeUne onde dont les fronts d'onde sont des plans infinis, perpendiculaires à la direction de propagation. C'est une...
Calcul de l’Énergie Stockée dans un Solénoïde
Exercice : Énergie dans un Solénoïde Calcul de l’Énergie Magnétique Stockée dans un Solénoïde Contexte : L'Inductance et le Stockage d'Énergie. Les solénoïdes sont des composants électromagnétiques fondamentaux, constitués d'un fil conducteur enroulé en hélice....
Propagation des Ondes Sphériques
Exercice : Propagation des Ondes Sphériques Propagation des Ondes Sphériques Électromagnétiques Contexte : L'étude des ondes électromagnétiquesUne onde électromagnétique est la propagation d'un champ électrique et d'un champ magnétique associés, qui oscillent à la...
Champ Magnétique Variable sur une Plaque
Exercice : Courants de Foucault dans une Plaque Champ Magnétique Variable sur une Plaque Contexte : L'induction électromagnétique. Cet exercice porte sur un phénomène fondamental en électromagnétisme : l'induction. Lorsqu'une plaque conductrice est soumise à un champ...
Calcul de l’Inductance et de l’Énergie Stockée
Exercice : Inductance et Énergie d'un Solénoïde Calcul de l’Inductance et de l’Énergie Stockée dans un Solénoïde Contexte : Le solénoïdeUn enroulement de fil conducteur en forme d'hélice, conçu pour créer un champ magnétique uniforme dans son intérieur lorsqu'il est...
Calcul de la constante k de Coulomb
Exercice : Calcul de la Constante de Coulomb (k) Calcul de la Constante de Coulomb (k) Contexte : L'étude de la Force ÉlectrostatiqueLa force d'attraction ou de répulsion qui s'exerce entre deux particules chargées électriquement.. La loi de Coulomb est un principe...
Loi d’Ohm dans un Milieu Conducteur Cylindrique
Exercice : Loi d’Ohm dans un Milieu Conducteur Cylindrique Loi d’Ohm dans un Milieu Conducteur Cylindrique Contexte : L'étude de la conduction électriquePhénomène de déplacement de porteurs de charge électrique (électrons, ions) au sein d'un matériau, sous l'effet...
Interactions Magnétiques avec le Césium-137
Calcul d'Interaction Magnétique : Le Césium-137 Interactions Magnétiques avec le Césium-137 Contexte : Le Moment Magnétique NucléairePropriété d'un noyau atomique qui le fait se comporter comme un petit aimant, due au spin des protons et des neutrons qui le...
Calcul de la Vitesse de Phase d’une Onde
Exercice : Vitesse de Phase d'une Onde Électromagnétique Calcul de la Vitesse de Phase d’une Onde Électromagnétique Contexte : Les Ondes ÉlectromagnétiquesUne onde électromagnétique est la propagation d'un champ électrique et d'un champ magnétique associés, qui...
Puissance Transportée par un Câble Coaxial
Exercice : Puissance Transportée par un Câble Coaxial Puissance Transportée par un Câble Coaxial Contexte : Le Câble CoaxialUn type de câble électrique utilisé pour transmettre des signaux à haute fréquence. Il se compose d'un conducteur central, d'un isolant, d'un...
Calcul de la Densité Surfacique de Courant
Calcul de la Densité Surfacique de Courant Calcul de la Densité Surfacique de Courant Contexte : Le concept de nappe de courantIdéalisation d'un courant électrique circulant dans une surface infiniment mince. C'est un modèle clé pour analyser les champs magnétiques à...
Calcul du vecteur de Poynting
Exercice : Vecteur de Poynting Calcul du Vecteur de Poynting Contexte : Le vecteur de PoyntingLe vecteur de Poynting représente la densité de flux d'énergie (la puissance par unité de surface) d'un champ électromagnétique.. Quand on pense à l'énergie électrique, on...
Calcul de la densité moyenne d’énergie
Exercice : Densité d'Énergie Électromagnétique Calcul de la Densité Moyenne d'Énergie Contexte : L'onde électromagnétiqueUne onde composée de champs électriques et magnétiques oscillants qui se propagent dans l'espace et transportent de l'énergie. La lumière est un...
Densité Énergétique en Électromagnétisme
Exercice : Densité Énergétique en Électromagnétisme Densité Énergétique dans un Condensateur Plan Contexte : L'énergie stockée par les champs électromagnétiquesLes champs électrique et magnétique sont des régions de l'espace où des forces s'exercent sur les charges...
Temps de Décharge d’un Condensateur
Exercice : Temps de Décharge d’un Condensateur Temps de Décharge d'un Condensateur dans un Circuit RC Contexte : Le Circuit RCUn circuit électrique composé d'une résistance (R) et d'un condensateur (C). Il est fondamental pour créer des filtres, des minuteries ou des...
Potentiel Vecteur d’un Courant Continu
Exercice : Potentiel Vecteur d’un Courant Continu Calcul du Potentiel Vecteur d’un Courant Continu Contexte : Le Potentiel VecteurEn magnétostatique, le potentiel vecteur \(\vec{A}\) est un champ de vecteurs dont le rotationnel donne le champ magnétique \(\vec{B}\).....
Effets de la Polarisation Linéaire sur une Onde
Exercice : Polarisation Linéaire d'une Onde Effets de la Polarisation Linéaire sur une Onde Contexte : L'étude de la polarisation linéaireÉtat de polarisation d'une onde électromagnétique où le vecteur champ électrique oscille selon une direction fixe.. Une onde...
Calcul de la fréquence de l’onde
Calcul de la Fréquence d'une Onde Électromagnétique Calcul de la Fréquence d'une Onde Électromagnétique Contexte : L'onde électromagnétiqueUne onde composée de champs électriques et magnétiques oscillants qui se propagent dans l'espace. La lumière, les ondes radio et...
Théorème de Gauss pour une Sphère Chargée
Exercice : Théorème de Gauss pour une Sphère Chargée Théorème de Gauss pour une Sphère Chargée Contexte : Électromagnétisme et le Théorème de GaussUn principe fondamental en électrostatique qui relie le flux électrique à travers une surface fermée à la charge...
Analyse de la Fréquence de Larmor dans l’IRM
Analyse de la Fréquence de Larmor dans l’IRM Analyse de la Fréquence de Larmor dans l’IRM Contexte : L'Imagerie par Résonance Magnétique (IRM) est une technique d'imagerie médicale de pointe qui permet d'obtenir des vues en 2D ou 3D de l'intérieur du corps. Le...
Champ électrique et potentiel électrique
Exercice : Champ et Potentiel Électriques Champ Électrique et Potentiel Électrique Contexte : L'étude du mouvement d'une particule chargée, comme un électronParticule subatomique de charge négative qui gravite autour du noyau d'un atome., dans un champ électrique...
Calcul de la Densité de Charge
Exercice : Calcul de Densité de Charge Calcul de la Densité de Charge Électrique Contexte : La Densité de ChargeLa densité de charge décrit comment une charge électrique est répartie dans l'espace. Elle peut être linéique (par unité de longueur), surfacique (par unité...
Calcul du Champ et du Potentiel Électriques
Exercice : Champ et Potentiel Électriques Calcul du Champ et du Potentiel Électriques Contexte : L'électrostatique est la branche de la physique qui étudie les interactions entre les charges électriques immobiles. Deux concepts fondamentaux en découlent : le champ...
0 commentaires