Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Force Magnétique sur une Particule Chargée

Force Magnétique sur une Particule Chargée

Force Magnétique sur une Particule Chargée

Comprendre la Force Magnétique de Lorentz

Lorsqu'une particule chargée électriquement se déplace dans une région où existe un champ magnétique, elle subit une force appelée force magnétique de Lorentz. Cette force est distincte de la force électrostatique (loi de Coulomb) et ne s'exerce que si la particule est en mouvement par rapport au champ magnétique. La force magnétique est toujours perpendiculaire à la fois à la vitesse de la particule et au champ magnétique.

L'expression vectorielle de la force magnétique \(\vec{F}_m\) sur une charge \(q\) se déplaçant à une vitesse \(\vec{v}\) dans un champ magnétique \(\vec{B}\) est donnée par : \(\vec{F}_m = q (\vec{v} \times \vec{B})\). La magnitude de cette force est \(F_m = |q| v B \sin\theta\), où \(\theta\) est l'angle entre les vecteurs \(\vec{v}\) et \(\vec{B}\). La direction de la force est donnée par la règle de la main droite (ou du produit vectoriel).

Cette force est responsable de nombreux phénomènes, tels que la déviation des particules chargées dans les accélérateurs, le fonctionnement des moteurs électriques, et l'effet Hall. Contrairement à la force électrique, la force magnétique ne travaille pas, car elle est toujours perpendiculaire au déplacement de la particule ; elle ne peut donc pas modifier l'énergie cinétique de la particule, seulement sa direction.

Cet exercice se concentre sur le calcul de la force magnétique sur un proton se déplaçant dans un champ magnétique uniforme et sur l'analyse de la nature de son mouvement.

Données de l'étude

Un proton pénètre dans une région où règne un champ magnétique uniforme.

Caractéristiques de la particule et du champ :

  • Particule : Proton
  • Charge du proton (\(q_p\)) : \(+1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
  • Masse du proton (\(m_p\)) : \(1.672 \times 10^{-27} \, \text{kg}\)
  • Vecteur vitesse initial du proton (\(\vec{v}\)) : \((2.0 \times 10^5 \, \text{m/s}) \vec{u}_x\)
  • Vecteur champ magnétique uniforme (\(\vec{B}\)) : \((0.50 \, \text{T}) \vec{u}_y\)
  • Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) : \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\) (non directement utilisée pour la force, mais contextuelle)
Schéma d'une Particule Chargée dans un Champ Magnétique
x y z (sortant) p+ v B Champ B uniforme Fm (sortant)

Un proton (p+) avec une vitesse \(\vec{v}\) dans la direction x, entrant dans un champ magnétique \(\vec{B}\) dirigé selon y. La force magnétique \(\vec{F}_m\) résultante est dirigée selon z (sortant de la page).

Questions à traiter

  1. Calculer le produit vectoriel \(\vec{v} \times \vec{B}\).
  2. Déterminer le vecteur force magnétique \(\vec{F}_m\) s'exerçant sur le proton.
  3. Calculer la magnitude (norme) de cette force magnétique \(F_m\).
  4. Si cette force magnétique est la seule force agissant sur le proton, déterminer le vecteur accélération \(\vec{a}\) du proton.
  5. Calculer la magnitude de cette accélération \(a\).
  6. Décrire la nature de la trajectoire initiale du proton sous l'effet de cette force. Si la trajectoire est circulaire, calculer son rayon \(R\).
  7. Que deviendrait la force magnétique si la vitesse du proton était parallèle au champ magnétique ?

Correction : Force Magnétique sur une Particule Chargée

Question 1 : Calcul du produit vectoriel \(\vec{v} \times \vec{B}\)

Principe :

Le produit vectoriel de deux vecteurs \(\vec{A} = (A_x, A_y, A_z)\) et \(\vec{B} = (B_x, B_y, B_z)\) est \(\vec{A} \times \vec{B} = (A_y B_z - A_z B_y)\vec{u}_x + (A_z B_x - A_x B_z)\vec{u}_y + (A_x B_y - A_y B_x)\vec{u}_z\).

Données spécifiques :
  • \(\vec{v} = (2.0 \times 10^5 \, \text{m/s}) \vec{u}_x = (2.0 \times 10^5, 0, 0) \, \text{m/s}\)
  • \(\vec{B} = (0.50 \, \text{T}) \vec{u}_y = (0, 0.50, 0) \, \text{T}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{v} \times \vec{B} &= ((0)(0) - (0)(0.50))\vec{u}_x \\ &+ ((0)(0) - (2.0 \times 10^5)(0))\vec{u}_y \\ &+ ((2.0 \times 10^5)(0.50) - (0)(0))\vec{u}_z \\ &= (0)\vec{u}_x + (0)\vec{u}_y + (1.0 \times 10^5)\vec{u}_z \\ &= (1.0 \times 10^5 \, \text{T} \cdot \text{m/s}) \vec{u}_z \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le produit vectoriel est \(\vec{v} \times \vec{B} = (1.0 \times 10^5 \, \text{T} \cdot \text{m/s}) \vec{u}_z\).

Quiz Intermédiaire 1 : Le résultat d'un produit vectoriel de deux vecteurs est :

Question 2 : Vecteur force magnétique \(\vec{F}_m\)

Principe :

La force magnétique est donnée par \(\vec{F}_m = q_p (\vec{v} \times \vec{B})\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\vec{F}_m = q_p (\vec{v} \times \vec{B})\]
Données spécifiques :
  • Charge du proton (\(q_p\)) : \(+1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
  • \(\vec{v} \times \vec{B} = (1.0 \times 10^5 \, \text{T} \cdot \text{m/s}) \vec{u}_z\) (de Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{F}_m &= (1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}) \cdot (1.0 \times 10^5 \, \text{T} \cdot \text{m/s}) \vec{u}_z \\ &= 1.602 \times 10^{-14} \, \text{N} \, \vec{u}_z \end{aligned} \]

Donc, les composantes du vecteur force sont \(F_x = 0\), \(F_y = 0\), \(F_z = 1.602 \times 10^{-14} \, \text{N}\).

Résultat Question 2 : Le vecteur force magnétique sur le proton est \(\vec{F}_m \approx (1.60 \times 10^{-14} \, \text{N}) \vec{u}_z\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la charge \(q\) est négative, la direction de la force magnétique \(\vec{F}_m\) par rapport à \(\vec{v} \times \vec{B}\) est :

Question 3 : Magnitude de la force magnétique \(F_m\)

Principe :

La magnitude de la force est \(F_m = |q_p| v B \sin\theta\), où \(\theta\) est l'angle entre \(\vec{v}\) et \(\vec{B}\). Ici, \(\vec{v}\) est selon \(\vec{u}_x\) et \(\vec{B}\) est selon \(\vec{u}_y\), donc \(\theta = 90^\circ\) et \(\sin(90^\circ) = 1\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_m = |q_p| v B\]

Ou à partir des composantes de \(\vec{F}_m\): \(F_m = |F_z|\).

Données spécifiques :
  • \(|q_p| = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
  • \(v = 2.0 \times 10^5 \, \text{m/s}\)
  • \(B = 0.50 \, \text{T}\)
  • \(F_z \approx 1.602 \times 10^{-14} \, \text{N}\) (de Q2)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_m &= (1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}) \cdot (2.0 \times 10^5 \, \text{m/s}) \cdot (0.50 \, \text{T}) \\ &= 1.602 \times (2.0 \times 0.50) \times 10^{-19+5} \, \text{N} \\ &= 1.602 \times 1.0 \times 10^{-14} \, \text{N} \\ &= 1.602 \times 10^{-14} \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La magnitude de la force magnétique est \(F_m \approx 1.60 \times 10^{-14} \, \text{N}\).

Quiz Intermédiaire 3 : La force magnétique est maximale lorsque l'angle \(\theta\) entre \(\vec{v}\) et \(\vec{B}\) est de :

Question 4 : Vecteur accélération \(\vec{a}\) du proton

Principe :

Selon la deuxième loi de Newton, \(\vec{F} = m\vec{a}\), donc \(\vec{a} = \vec{F}_m/m_p\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\vec{a} = \frac{\vec{F}_m}{m_p}\]
Données spécifiques :
  • Vecteur force \(\vec{F}_m \approx (1.602 \times 10^{-14} \, \text{N}) \vec{u}_z\) (de Q2)
  • Masse du proton (\(m_p\)) : \(1.672 \times 10^{-27} \, \text{kg}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{a} &= \frac{(1.602 \times 10^{-14} \, \text{N}) \vec{u}_z}{1.672 \times 10^{-27} \, \text{kg}} \\ &\approx \frac{1.602}{1.672} \times 10^{-14 - (-27)} \, \text{m/s}^2 \, \vec{u}_z \\ &\approx 0.95813 \times 10^{13} \, \text{m/s}^2 \, \vec{u}_z \\ &\approx 9.58 \times 10^{12} \, \text{m/s}^2 \, \vec{u}_z \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le vecteur accélération du proton est \(\vec{a} \approx (9.58 \times 10^{12} \, \text{m/s}^2) \vec{u}_z\).

Quiz Intermédiaire 4 : L'accélération d'une particule due à la force magnétique est toujours :

Question 5 : Magnitude de l'accélération \(a\)

Principe :

La magnitude de l'accélération est la norme du vecteur accélération. \(a = |\vec{a}|\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[a = \frac{F_m}{m_p}\]

Ou à partir des composantes : \(a = |a_z|\).

Données spécifiques :
  • Magnitude de la force (\(F_m\)) : \(\approx 1.602 \times 10^{-14} \, \text{N}\) (de Q3)
  • Masse du proton (\(m_p\)) : \(1.672 \times 10^{-27} \, \text{kg}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} a &= \frac{1.602 \times 10^{-14} \, \text{N}}{1.672 \times 10^{-27} \, \text{kg}} \\ &\approx 0.95813 \times 10^{13} \, \text{m/s}^2 \\ &\approx 9.58 \times 10^{12} \, \text{m/s}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La magnitude de l'accélération du proton est \(a \approx 9.58 \times 10^{12} \, \text{m/s}^2\).

Quiz Intermédiaire 5 : La force magnétique modifie-t-elle la vitesse (scalaire) d'une particule chargée ?

Question 6 : Nature de la trajectoire et rayon (si circulaire)

Principe :

Puisque la force magnétique \(\vec{F}_m\) est toujours perpendiculaire à la vitesse \(\vec{v}\), elle ne change pas la magnitude de la vitesse (donc l'énergie cinétique) mais seulement sa direction. Si \(\vec{v}\) est initialement perpendiculaire à un champ \(\vec{B}\) uniforme, la force \(\vec{F}_m\) (qui est constante en magnitude) agit comme une force centripète, provoquant un mouvement circulaire uniforme.

Dans notre cas, \(\vec{v} = v_x \vec{u}_x\) et \(\vec{B} = B_y \vec{u}_y\), donc \(\vec{v} \perp \vec{B}\). La force \(\vec{F}_m\) est selon \(\vec{u}_z\), donc \(\vec{F}_m \perp \vec{v}\). La trajectoire sera circulaire dans le plan \(xz\) (si le champ B est confiné à une région et que la particule y reste).

Le rayon \(R\) de la trajectoire circulaire est donné par l'égalité entre la force magnétique (force centripète) et \(m_p v^2 / R\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_m = \frac{m_p v^2}{R} \quad \Rightarrow \quad R = \frac{m_p v}{|q_p| B}\]
Données spécifiques :
  • Masse du proton (\(m_p\)) : \(1.672 \times 10^{-27} \, \text{kg}\)
  • Vitesse (\(v\)) : \(2.0 \times 10^5 \, \text{m/s}\)
  • Charge (\(|q_p|\)) : \(1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
  • Champ magnétique (\(B\)) : \(0.50 \, \text{T}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R &= \frac{(1.672 \times 10^{-27} \, \text{kg}) \cdot (2.0 \times 10^5 \, \text{m/s})}{(1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}) \cdot (0.50 \, \text{T})} \\ &= \frac{3.344 \times 10^{-22}}{0.801 \times 10^{-19}} \, \text{m} \\ &\approx 4.1748 \times 10^{-3} \, \text{m} \end{aligned} \]

Soit \(R \approx 4.17 \, \text{mm}\).

Résultat Question 6 : La trajectoire initiale du proton est circulaire dans un plan perpendiculaire à \(\vec{B}\) (le plan xz). Le rayon de cette trajectoire circulaire est \(R \approx 4.17 \times 10^{-3} \, \text{m}\) (ou \(4.17 \, \text{mm}\)).

Quiz Intermédiaire 6 : Si la vitesse d'une particule chargée est doublée (q, m, B constants et \(\vec{v} \perp \vec{B}\)), le rayon de sa trajectoire circulaire :

Question 7 : Force magnétique si \(\vec{v} \parallel \vec{B}\)

Principe :

La force magnétique est donnée par \(\vec{F}_m = q (\vec{v} \times \vec{B})\). Si les vecteurs \(\vec{v}\) et \(\vec{B}\) sont parallèles (ou antiparallèles), l'angle \(\theta\) entre eux est de \(0^\circ\) ou \(180^\circ\). Dans les deux cas, \(\sin\theta = 0\).

Calcul / Conclusion :
\[F_m = |q| v B \sin\theta\]

Si \(\vec{v} \parallel \vec{B}\), alors \(\theta = 0^\circ\) ou \(\theta = 180^\circ\).

\[\sin(0^\circ) = 0 \quad \text{et} \quad \sin(180^\circ) = 0\]

Donc, \(F_m = 0\).

Résultat Question 7 : Si la vitesse du proton était parallèle au champ magnétique, la force magnétique sur le proton serait nulle. La particule continuerait son mouvement rectiligne uniforme (si aucune autre force n'agit).

Quiz Intermédiaire 7 : Une particule chargée se déplaçant parallèlement aux lignes d'un champ magnétique uniforme subit une force magnétique :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La force magnétique sur une particule chargée est toujours :

2. La force magnétique ne travaille pas car :

3. Une particule chargée entrant perpendiculairement dans un champ magnétique uniforme décrit une trajectoire :

Glossaire

Force de Lorentz
Force combinée exercée sur une particule chargée par des champs électriques et magnétiques. La composante magnétique est \(\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})\).
Champ Magnétique (\(\vec{B}\))
Champ vectoriel qui décrit l'influence magnétique des courants électriques et des matériaux magnétiques. Unité : Tesla (T).
Charge Électrique (\(q\))
Propriété fondamentale de la matière qui lui fait subir une force lorsqu'elle est placée dans un champ électromagnétique. Unité : Coulomb (C).
Vitesse (\(\vec{v}\))
Vecteur décrivant le taux de changement de position d'un objet. Unité : Mètre par seconde (m/s).
Produit Vectoriel (\(\times\))
Opération binaire sur deux vecteurs dans un espace tridimensionnel, résultant en un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs originaux.
Force Centripète
Force qui maintient un objet en mouvement sur une trajectoire circulaire, dirigée vers le centre du cercle.
Tesla (T)
Unité de mesure de l'intensité du champ magnétique (ou densité de flux magnétique) dans le Système International.
Règle de la Main Droite
Moyen mnémotechnique pour déterminer la direction du produit vectoriel (et donc de la force de Lorentz).
Force Magnétique sur une Particule Chargée

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