Force Magnétique sur une Particule Chargée

1. Calcul de la force magnétique \(\vec F\)

Lorsqu’une particule chargée se déplace, elle porte avec elle une sorte de « destinée » magnétique. Imaginez un cerf-volant dans un champ de vent. Le vent fait dévier le cerf-volant de sa trajectoire. Ici :

• \(q = 1,6\times10^{-19}\,C\) : la « taille » de la charge, similaire au poids pour le vent.
• \(\vec v = 3\times10^5\,\mathrm{m/s}\,\hat x\) : la vitesse de la particule, comme la force avec laquelle tu lances le cerf-volant vers la droite.
• \(\vec B = 2\times10^{-3}\,\mathrm{T}\,\hat z\) : le champ magnétique, simulant un vent régulier venant du bas vers le haut.

La loi de Lorentz s’écrit :

\[ \vec F = q\,(\vec v \times \vec B) \]

Formule

Si \(\vec v\) est perpendiculaire à \(\vec B\) (angle de \(90^\circ\)), le produit vectoriel devient un simple produit :

\[ |\vec F| = q\times v \times B \]

Calcul

1. Multiplier la charge par la vitesse pour avoir un « effet initial » :
   \[ 1,6\times10^{-19} \times 3\times10^5 = 4,8\times10^{-14}. \]
2. Multiplie ce résultat par l’intensité du champ pour obtenir la force :
   \[ |\vec F| = 4,8\times10^{-14} \times 2\times10^{-3} \]

Résultat

La particule subit une force
\[ |\vec F| = 9,6\times10^{-17}\,\mathrm{N}. \]

2. Direction de la force magnétique

La force magnétique est toujours perpendiculaire à la fois au mouvement de la particule et au champ magnétique. Pour visualiser cela, on utilise la règle de la main droite :

1. Étirez la main droite et positionnez vos doigts dans le sens de la vitesse \(\vec v\) (vers +x).
2. Tournez le poignet pour que vos doigts se replient vers la direction du champ \(\vec B\) (vers +z).
3. Votre pouce, resté perpendiculaire, pointe alors vers la direction de \(\vec F\).

Cette construction garantit que \(\vec F\) est perpendiculaire aux deux vecteurs et respecte l’ordre défini par le produit vectoriel.

Mathématiquement :

\[ \vec v(+x) \times \vec B(+z) = -\hat y. \]

Résultat

La force est donc orientée vers l’arrière sur l’axe y, soit
\[ \vec F = -\hat y. \]

3. Calcul du rayon de la trajectoire circulaire \(r\)

Dans un mouvement circulaire, une force centripète est nécessaire pour maintenir l’objet sur le cercle, comme la tension d’une corde pour une pierre :

Formule

Ici, c’est la force magnétique qui joue ce rôle :

\[ F_{mag} = q\,v\,B. \]

En égalant les deux :

\[ \frac{m\,v^2}{r} = q\,v\,B \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{m\,v}{q\,B}. \]

Données

• \(m = 1,67\times10^{-27}\,\mathrm{kg}\) : masse du proton.
• \(v = 3\times10^5\,\mathrm{m/s}\)
• \(q = 1,6\times10^{-19}\,C\)
• \(B = 2\times10^{-3}\,T\)

Calcul

1. Calculez \(m\,v\) :
   \[ 1,67\times10^{-27} \times 3\times10^5 = 5,01\times10^{-22}. \]
2. Calculez \(q\,B\) :
   \[ 1,6\times10^{-19} \times 2\times10^{-3} = 3,2\times10^{-22}. \]
3. Divisez pour obtenir le rayon :
   \[ r = \frac{5,01\times10^{-22}}{3,2\times10^{-22}} \] \[ r \approx 1,57. \]

Résultat

Le rayon de la trajectoire est d’environ
\[ r \approx 1,57\,\mathrm{m}. \]

4. Cas où \(\vec v\) est dans la direction -y

Quand la vitesse change de sens, la même règle de la main droite s’applique, mais vos doigts pointent désormais vers \(-y\). Imaginez que vous inversez la direction du lancer du cerf-volant :

1. Orientez vos doigts vers l’arrière (\(-y\)).
2. Pliez-les vers le haut (\(+z\)).
3. Le pouce indiquera la nouvelle direction de la force.

Ce geste assure que la force reste perpendiculaire aux deux directions données.

Calcul

\[ (-\hat y) \times (+\hat z) = -\,(\hat y \times \hat z) = -\hat x. \]

Résultat

La force pointe vers la gauche sur l’axe x, soit
\[ \vec F = -\hat x. \]