Champ Électrique dans un Condensateur
Comprendre le Champ Électrique dans un Condensateur
Un condensateur plan est constitué de deux plaques parallèles de surface A = 1 m² chacune, séparées par une distance d = 2 mm. L’espace entre les plaques est entièrement rempli par un matériau diélectrique dont la constante diélectrique est \(\varepsilon_r = 4\).
Partie A : Calcul de la Capacité
1. Calculez la capacité du condensateur en présence du diélectrique.
2. Comparez cette capacité à celle du même condensateur mais dans le vide.
Partie B : Application d’une Tension et Calcul du Champ Électrique
Supposons maintenant qu’une tension V = 100 V est appliquée aux plaques du condensateur.
1. Calculez le champ électrique \(E\) dans le diélectrique.
2. Déterminez la densité de charge de surface \(\sigma\) sur les plaques du condensateur.
Donnée supplémentaire:
- Permittivité du vide, \(\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\text{F/m}\).
Correction : Champ Électrique dans un Condensateur
Partie A : Calcul de la Capacité
1. Capacité avec diélectrique
Imaginez le volume d’un réservoir d’eau : plus il est grand, plus on peut y stocker d’eau pour une même pression. Ici, la capacité (notée \(C\)) mesure la quantité de charge qu’on peut stocker par volt appliqué. Un matériau diélectrique augmente cette capacité car il facilite l’alignement des charges internes. C'est un booster de capacité.
Données :
- Surface : \(A = 1{,}00\ \mathrm{m}^2\)
- Distance : \( d = 2{,}00\times10^{-3}\ \mathrm{m}\)
- Permittivité du vide : \( \varepsilon_0 = 8{,}85\times10^{-12}\ \mathrm{F/m}\)
- Constante diélectrique : \(\varepsilon_r = 4\)
Formule :
\[C = \frac{\varepsilon\,A}{d},\quad \text{où } \varepsilon = \varepsilon_0\,\varepsilon_r\]Avec \(\varepsilon\) qui quantifie la capacité du matériau à s’opposer au champ électrique. Plus \(\varepsilon\) est grand, plus on peut stocker de charge.
Calculs :
1. Calcul de la permittivité effective :\[\varepsilon = 8{,}85\times10^{-12} \times 4 \] \[\varepsilon = 3{,}54\times10^{-11}\ \mathrm{F/m}\]2. Calcul de la capacité : \[C = \frac{3{,}54\times10^{-11} \times 1{,}00}{2{,}00\times10^{-3}} \] \[C = 1{,}77\times10^{-8}\ \mathrm{F}\]
Résultat :
\[ C = 1{,}77\times10^{-8}\ \mathrm{F}\ \bigl(17{,}7\ \mathrm{nF}\bigr) \]2. Capacité dans le vide et comparaison
Sans diélectrique, on utilise juste \(\varepsilon_0\) avec la même formule. C’est comme si on enlève le booster : le "réservoir" est plus petit.
Données :
- \( \varepsilon_0 = 8{,}85\times10^{-12}\ \mathrm{F/m}\)
- \(A = 1{,}00\ \mathrm{m}^2\)
- \(d = 2{,}00\times10^{-3}\ \mathrm{m}\)
Formule :
\[C_0 = \frac{\varepsilon_0\,A}{d}\]Calcul :
\[C_0 = \frac{8{,}85\times10^{-12} \times 1{,}00}{2{,}00\times10^{-3}} \] \[C_0 = 4,43\times10^{-9}\ \mathrm{F}\]Résultat :
\[ C_0 = 4,43\times10^{-9}\ \mathrm{F}\ \bigl(4,43\ \mathrm{nF}\bigr) \]Conclusion : \[\frac{C}{C_0} = 4\] Le diélectrique multiplie la capacité par 4.
Partie B : Application d’une tension et calcul du Champ Électrique
On applique une tension \(V = 100\ \mathrm{V}\) aux plaques comme une différence de pression entre deux réservoirs.
Données :
- \(V = 100\ \mathrm{V}\)
- \(d = 2{,}00\times10^{-3}\ \mathrm{m}\)
- Capacité calculée : \(C = 1{,}77\times10^{-8}\ \mathrm{F}\)
1. Calcul du champ électrique \(E\) :
Formule :
\[E = \frac{V}{d}\]\(E\) représente la force électrique par unité de charge. Plus la tension \(V\) est élevée et plus la distance \(d\) est petite, plus le champ est fort. C’est comme la vitesse de l’eau dans un tuyau : plus la pression est grande ou plus le tuyau est étroit, plus l’eau pousse fort.
Calcul :
\[E = \frac{100}{2{,}00\times10^{-3}} \] \[E = 5,0\times10^{4}\ \mathrm{V/m}\]Résultat :
\[ E = 5,0\times10^{4}\ \mathrm{V/m}\]2. Calcul de la densité de charge \(\sigma\) :
Formule :
\[\sigma = \frac{Q}{A} = \frac{C\,V}{A}\]
\(\sigma\) indique la charge électrique présente par mètre carré de plaque.
Calculs :
1. Charge stockée :\[Q = C\,V = 1{,}77\times10^{-8} \times 100 \] \[Q = 1{,}77\times10^{-6}\ \mathrm{C}\] 2. Densité de charge :
\[\sigma = \frac{1{,}77\times10^{-6}}{1{,}00} \]\[\sigma = 1{,}77\times10^{-6}\ \mathrm{C/m}^2\]
Résultat :
\[ \sigma = 1{,}77\times10^{-6}\ \mathrm{C/m}^2\]Champ Électrique dans un Condensateur
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