Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure
Comprendre la Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure
Dans un guide d’ondes rectangulaire parfaitement conducteur, une onde électromagnétique se propage dans la direction \(z\).
Le guide d’ondes est rempli d’un diélectrique dont la permittivité relative est \(\epsilon_r\) et la perméabilité relative est \(\mu_r\).
L’onde se propage sous le mode TE10, qui est le mode dominant dans ce type de guide d’ondes.
Pour comprendre le Champ Magnétique en Milieu Industriel, cliquez sur le lien.
Données:
- Dimensions du guide d’ondes : largeur \(a = 2.2\) cm et hauteur \(b = 1.0\) cm.
- Fréquence de l’onde : \(f = 10\) GHz.
- Permittivité du vide : \(\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\) F/m.
- Permittivité relative du diélectrique : \(\epsilon_r = 2.5\).
- Permittivité absolue du diélectrique : \(\epsilon = \epsilon_r \epsilon_0\).
- Perméabilité du vide : \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\) H/m.
- Perméabilité relative du diélectrique : \(\mu_r = 1.0\).
- Perméabilité absolue du diélectrique : \(\mu = \mu_r \mu_0\).
Questions:
1. Calcul de la fréquence de coupure \(f_c\) pour le mode TE10.
Utilisez la formule pour la fréquence de coupure d’un guide d’ondes rectangulaire pour le mode TE10:
\[ f_c = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2} \]
où \(m = 1\), \(n = 0\), et \(c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu}}\) est la vitesse de la lumière dans le diélectrique.
2. Calcul de la longueur d’onde dans le guide \(\lambda_g\).
3. Calcul de la vitesse de phase \(v_p\):
Calculez la vitesse de phase de l’onde dans le guide d’ondes.
4. Discussion sur les effets de la permittivité et de la perméabilité sur la vitesse de phase:
Comment la permittivité relative \(\epsilon_r\) et la perméabilité relative \(\mu_r\) affectent-elles la vitesse de phase dans le guide d’ondes? Expliquez l’impact physique de ces paramètres.
Correction : Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure
1. Calcul de la fréquence de coupure pour le mode TE10
Formule de la fréquence de coupure :
\[ f_c = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2} \]
Substitution des valeurs :
- \( m = 1 \)
- \( n = 0 \)
- \( a = 0.022 \) m (2.2 cm)
- \( \epsilon = \epsilon_r \epsilon_0 = 2.5 \times 8.854 \times 10^{-12} \) F/m = \( 2.2135 \times 10^{-11} \) F/m
- \( \mu = \mu_r \mu_0 = 1.0 \times 4\pi \times 10^{-7} \) H/m = \( 1.25664 \times 10^{-6} \) H/m
Calcul de \( c \) :
\[ c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu}} \] \[ c \approx \frac{1}{\sqrt{2.2135 \times 10^{-11} \times 1.25664 \times 10^{-6}}} \] \[ c \approx 1.897 \times 10^8 \text{ m/s} \]
Calcul de \( f_c \) :
\[ f_c = \frac{1.897 \times 10^8}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{0.022}\right)^2} \] \[ f_c \approx \frac{1.897 \times 10^8}{2} \times \frac{1}{0.022} \] \[ f_c \approx 4.309 \times 10^9 \text{ Hz} \] \[ f_c \approx 4.31 \text{ GHz} \]
2. Calcul de la longueur d’onde dans le guide \(\lambda_g\)
Formule de la longueur d’onde dans le guide :
\[ \lambda_g = \frac{c}{\sqrt{f^2 – f_c^2}} \]
Substitution des valeurs :
- \(f = 10 \times 10^9 \, \text{Hz}\)
- \(f_c = 4.309 \times 10^9 \, \text{Hz}\)
- \(c = 1.897 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
Calcul de \(\lambda_g\) :
\[ \lambda_g = \frac{1.897 \times 10^8}{\sqrt{(10 \times 10^9)^2 – (4.309 \times 10^9)^2}} \] \[ \lambda_g \approx \frac{1.897 \times 10^8}{\sqrt{1.0 \times 10^{20} – 1.857 \times 10^{19}}} \] \[ \lambda_g \approx \frac{1.897 \times 10^8}{\sqrt{8.143 \times 10^{19}}} \] \[ \lambda_g \approx 0.0667 \, \text{m} \]
3. Calcul de la vitesse de phase \(v_p\)
Formule de la vitesse de phase :
\[ v_p = f \lambda_g \]
Calcul de \(v_p\) :
\[ v_p = 10 \times 10^9 \times 0.0667 \] \[ v_p \approx 6.67 \times 10^8 \, \text{m/s} \]
4. Discussion sur les effets de la permittivité et de la perméabilité
La permittivité relative \(\epsilon_r\) et la perméabilité relative \(\mu_r\) influencent directement la vitesse de propagation \(c\) dans le diélectrique, laquelle affecte la fréquence de coupure \(f_c\), la longueur d’onde dans le guide \(\lambda_g\), et finalement la vitesse de phase \(v_p\).
Une augmentation de \(\epsilon_r\) ou \(\mu_r\) réduira \(c\), augmentant \(f_c\) et réduisant \(\lambda_g\), ce qui diminue \(v_p\).
Ainsi, ces propriétés matérielles sont cruciales pour concevoir des guides d’ondes efficaces pour des fréquences spécifiques et des modes de propagation.
Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure
D’autres exercices d’electromagnétique:
0 commentaires