Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure
Comprendre la Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure
Dans un guide d’ondes rectangulaire parfaitement conducteur, une onde électromagnétique se propage dans la direction \(z\). Le guide d’ondes est rempli d’un diélectrique dont la permittivité relative est \(\epsilon_r\) et la perméabilité relative est \(\mu_r\). L’onde se propage sous le mode TE10, qui est le mode dominant dans ce type de guide d’ondes.
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Données:
- Dimensions du guide d’ondes : largeur \(a = 2.2\) cm et hauteur \(b = 1.0\) cm.
- Fréquence de l’onde : \(f = 10\) GHz.
- Permittivité du vide : \(\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\) F/m.
- Permittivité relative du diélectrique : \(\epsilon_r = 2.5\).
- Permittivité absolue du diélectrique : \(\epsilon = \epsilon_r \epsilon_0\).
- Perméabilité du vide : \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\) H/m.
- Perméabilité relative du diélectrique : \(\mu_r = 1.0\).
- Perméabilité absolue du diélectrique : \(\mu = \mu_r \mu_0\).
Questions:
1. Calcul de la fréquence de coupure \(f_c\) pour le mode TE10.
Utilisez la formule pour la fréquence de coupure d’un guide d’ondes rectangulaire pour le mode TE10:
\[ f_c = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2} \]
où \(m = 1\), \(n = 0\), et \(c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu}}\) est la vitesse de la lumière dans le diélectrique.
2. Calcul de la longueur d’onde dans le guide \(\lambda_g\).
3. Calcul de la vitesse de phase \(v_p\):
Calculez la vitesse de phase de l’onde dans le guide d’ondes.
4. Discussion sur les effets de la permittivité et de la perméabilité sur la vitesse de phase:
Comment la permittivité relative \(\epsilon_r\) et la perméabilité relative \(\mu_r\) affectent-elles la vitesse de phase dans le guide d’ondes? Expliquez l’impact physique de ces paramètres.
Correction : Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure
1. Calcul de la fréquence de coupure \( fc \) pour le mode TE₁0
Dans un guide d’ondes, les ondes électromagnétiques ne peuvent se propager qu’au-dessus d’une certaine fréquence minimale, appelée fréquence de coupure. Pour le mode TE₁0, cette fréquence dépend de la largeur a du guide. En dessous de \( fc\), l’onde ne peut pas « tenir » dans le guide et son amplitude diminue très rapidement le long de l’axe z. C’est un peu comme si vous essayiez de faire passer une onde via un tuyau trop étroit : si l’onde est trop longue (faible fréquence), elle ne passe pas correctement.
Formules
On utilise :
- \[f_c = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2}, \quad m=1,\;n=0 \]
- \[c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon\,\mu}} = \frac{c_0}{\sqrt{\varepsilon_r\,\mu_r}}, \quad c_0 = 3.00\times10^8\ \mathrm{m/s}\]
Données
- \(a = 2.2\ \mathrm{cm} = 0.022\ \mathrm{m}\)
- \(b = 1.0\ \mathrm{cm} = 0.010\ \mathrm{m}\)
- \(\varepsilon_r = 2.5\)
- \(\mu_r = 1.0\)
- \(\varepsilon_0 = 8.854\times10^{-12}\ \mathrm{F/m}\)
- \(\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}\)
Calculs
- Calcul de \(\varepsilon\)
\[\varepsilon = \varepsilon_r \cdot \varepsilon_0 \] \[\varepsilon = 2.5 \times 8.854\times10^{-12} \] \[\varepsilon = 2.2135\times10^{-11}\ \mathrm{F/m}\]
- Calcul de \(\mu\) \[\mu = \mu_r \cdot \mu_0 \] \[\mu = 1.0 \times 4\pi\times10^{-7}\] \[\mu = 1.2566\times10^{-6}\ \mathrm{H/m}\]
- Calcul de \(c\)
\[c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon \, \mu}} \] \[c = \frac{1}{\sqrt{2.2135\times10^{-11} \times 1.2566\times10^{-6}}} \] \[c \approx 1.897\times10^8\ \mathrm{m/s}\] - Calcul de \(f_c\)
\[f_c = \frac{1.897\times10^8}{2 \times 0.022} \] \[f_c = \frac{1.897\times10^8}{0.044} \] \[f_c \approx 4.31\times10^9\ \mathrm{Hz} = 4.31\ \mathrm{GHz}\]
2. Calcul de la longueur d’onde dans le guide \( \lambdag \)
La longueur d’onde guidée \( \lambdag\) est la distance entre deux fronts de phase successifs à l’intérieur du guide. Elle est plus grande que la longueur d’onde libre \lambda0 car le guide « étire » l’onde du fait de sa forme et du matériau.
Formules
- \[\lambda_g = \frac{\lambda_0}{\sqrt{1 - \left(\frac{f_c}{f}\right)^2}}\]
- \[\lambda_0 = \frac{c}{f}\]
Données
- \(f = 10\ \mathrm{GHz}\)
- \(f_c = 4.31\ \mathrm{GHz}\)
- \(c = 1.897\times10^8\ \mathrm{m/s}\)
Calculs
- Calcul de \(\lambda_0\)
\[\lambda_0 = \frac{1.897\times10^8}{10 \times 10^9} \] \[\lambda_0 = 0.01897\ \mathrm{m}\] - Calcul de \(\lambda_g\)
\[\lambda_g = \frac{0.01897}{\sqrt{1 - (4.31/10)^2}} \] \[\lambda_g = \frac{0.01897}{\sqrt{0.8140}} \] \[\lambda_g \approx 0.02102\ \mathrm{m} \] \[\lambda_g = 2.102\ \mathrm{cm}\]
3. Calcul de la vitesse de phase \( vp \)
La vitesse de phase \( vp\) indique à quelle vitesse les crêtes de l’onde se déplacent le long du guide. Elle peut dépasser \(c\), car elle ne transporte pas d’information plus vite que la lumière.
Formules
- \[v_p = f \; \lambda_g\]
- \[v_p = \frac{c}{\sqrt{1 - \left(\frac{f_c}{f}\right)^2}}\]
Données
- \(f = 10 \times 10^9\ \mathrm{Hz}\)
- \(\lambda_g = 0.02102\ \mathrm{m}\)
- \(c = 1.897\times10^8\ \mathrm{m/s}\)
Calculs
- Via \(f \; \lambda_g\)
\[v_p = 10 \times 10^9 \times 0.02102 \] \[v_p = 2.102\times10^8\ \mathrm{m/s}\] - Vérification
\[v_p = \frac{1.897\times10^8}{\sqrt{1 - (4.31/10)^2}} \] \[v_p \approx 2.102\times10^8\ \mathrm{m/s}\]
4. Discussion sur l’impact de \(\varepsilon_r\) et \(\mu_r\) sur la vitesse de phase
- Effet de la permittivité relative \(\varepsilon_r\)
\(\varepsilon_r\) mesure la capacité du matériau à polariser sous le champ électrique. Plus \(\varepsilon_r\) est grand, plus le champ électrique « ralentit » dans le matériau.
Cela se traduit par une diminution de la vitesse \(c\) dans le guide et donc de la fréquence de coupure \(f_c\).
Par conséquent, \(\lambda_g\) augmente (l’onde « s’étire ») et \(v_p\) diminue. - Effet de la perméabilité relative \(\mu_r\)
\(\mu_r\) caractérise la réponse du matériau au champ magnétique. Si \(\mu_r\) > 1, le champ magnétique est plus « accueilli » par le matériau, ralentissant aussi l’onde.
Dans notre cas, \(\mu_r\) = 1, donc l’effet est neutre. - Impact global
Un guide rempli d’un matériau à fort \(\varepsilon_r\) (et/ou \(\mu_r\)) aura une bande passante plus étroite et une vitesse de phase plus faible.
En ingénierie, on choisit \(\varepsilon_r\) pour optimiser le compromis entre taille du guide, fréquence de coupure et pertes.
Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure
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