Propagation d’une onde électromagnétique plane
Comprendre la Propagation d’une onde électromagnétique plane
Une onde électromagnétique plane se propage dans le vide dans la direction positive de l’axe z. Le champ électrique de l’onde est donné par l’expression suivante :
\[ \vec{E}(z, t) = E_0 \cos(kz – \omega t) \hat{x} \]
où :
- \(E_0 = 3\, \text{V/m}\) est l’amplitude du champ électrique,
- k est le nombre d’onde,
- \(\omega\) est la fréquence angulaire,
- t est le temps,
- z est la position le long de l’axe \(z\),
- \(\hat{x}\) indique que le champ électrique est polarisé dans la direction de l’axe x.
Pour comprendre le Calcul de la vitesse de groupe d’une onde, cliquez sur le lien.
Questions:
1. Calculer la longueur d’onde \((\lambda)\) de l’onde électromagnétique sachant que sa fréquence (f) est de \(1.5 \times 10^9\, \text{Hz}\).
2. Déterminer l’expression du champ magnétique \((\vec{B})\) associé qui se propage simultanément avec le champ électrique, sachant que dans le vide, l’amplitude des champs électrique et magnétique est reliée par la vitesse de la lumière \(c = 3 \times 10^8\, \text{m/s}\).
3. Calculer l’énergie moyenne stockée par unité de volume dans l’onde électromagnétique, en utilisant les expressions des champs électrique et magnétique.
Correction : Propagation d’une onde électromagnétique plane
1. Calcul de la longueur d’onde \(\lambda\)
Une onde électromagnétique se déplace en transportant de l’énergie. La longueur d’onde (\(\lambda\)) correspond à la distance entre deux crêtes consécutives de l’onde, c’est-à-dire entre deux points où le champ électrique atteint sa valeur maximale.
Pour la mesurer, on utilise la relation fondamentale :
\[ \lambda = \frac{c}{f} \]
Données :
- \(c = 3{,}00 \times 10^{8} \ \mathrm{m/s}\)
- \(f = 1{,}50 \times 10^{9} \ \mathrm{Hz}\)
Calcul :
- On remplace \(c\) et \(f\) par leurs valeurs : \[ \lambda = \frac{3{,}00 \times 10^{8} \ \mathrm{m/s}}{1{,}50 \times 10^{9} \ \mathrm{Hz}} \]
- On effectue la division : \[ \frac{3{,}00}{1{,}50} = 2{,}00 \]Les puissances de dix : \[ \frac{10^{8}}{10^{9}} = 10^{-1} \].
- On obtient : \[ \lambda = 2{,}00 \times 10^{-1} \ \mathrm{m} = 0{,}20 \ \mathrm{m} \]
Résultat :
\[ \lambda = 0{,}20 \ \mathrm{m} \]
2. Détermination du champ magnétique \(\mathbf{B}(z,t)\)
Une onde électromagnétique dans le vide comporte deux champs perpendiculaires : le champ électrique \(\mathbf{E}\) et le champ magnétique \(\mathbf{B}\). Ces champs oscillent en phase et transportent ensemble l’énergie de l’onde.
Leur relation d’amplitude découle de la vitesse de propagation :
\[ E_{0} = c\,B_{0} \quad\Longrightarrow\quad B_{0} = \frac{E_{0}}{c} \]
Le vecteur \(\mathbf{B}(z,t)\) est orienté perpendiculairement à \(\mathbf{E}(z,t)\) et à la direction de propagation (axe z) selon la règle de la main droite.
Données :
- \(E_{0} = 3{,}00 \ \mathrm{V/m}\)
- \(c = 3{,}00 \times 10^{8} \ \mathrm{m/s}\)
Calcul :
- Calcul de \(B_{0}\) : \[ B_{0} = \frac{3{,}00}{3{,}00 \times 10^{8}} \ \mathrm{T} \] \[ B_{0} = 1{,}00 \times 10^{-8} \ \mathrm{T} \]
- Expression complète : \[ \mathbf{B}(z,t) = B_{0}\cos(kz - \omega t)\,\hat{y} \]
Résultat :
\[ \mathbf{B}(z,t) = 1{,}00 \times 10^{-8} \cos(kz - \omega t)\,\hat{y} \ \mathrm{T} \]
3. Calcul de l’énergie moyenne stockée par unité de volume
Chaque onde électromagnétique transporte de l’énergie sous deux formes :
- énergie électrique : \[ u_{e}(t) = \frac{1}{2}\,\varepsilon_{0}\,E^{2}(z,t) \]
- énergie magnétique : \[ u_{m}(t) = \frac{1}{2}\,\frac{B^{2}(z,t)}{\mu_{0}} \]
Grâce à \( B_{0} = \frac{E_{0}}{c} \) et \( \mu_{0}c^{2}=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \), on montre que ces deux contributions sont identiques. L’énergie volumique instantanée :
\[ u(t) = \varepsilon_{0}\,E_{0}^{2}\cos^{2}(kz - \omega t) \]
La valeur moyenne temporelle de \(\cos^{2}\) est \(\frac{1}{2}\), d’où :
\[ \langle u \rangle = \frac{1}{2}\,\varepsilon_{0}\,E_{0}^{2} \]
Données :
- \(\varepsilon_{0} = 8{,}854 \times 10^{-12} \ \mathrm{F/m}\)
- \(E_{0} = 3{,}00 \ \mathrm{V/m}\)
Calcul :
- En substituant les valeurs : \[ \langle u \rangle = \frac{1}{2} \times 8{,}854 \times 10^{-12} \times (3{,}00)^{2} \]
- Calcul intermédiaire : \((3{,}00)^{2} = 9{,}00\) et \(8,854 \times 10^{-12} \times 9{,}00 = 7,9686 \times 10^{-11}\).
- Multiplication par \(\frac{1}{2}\) : \[ \frac{7,9686 \times 10^{-11}}{2} = 3,9843 \times 10^{-11} \]
Résultat :
\[ \langle u \rangle = 3,98 \times 10^{-11} \ \mathrm{J/m^{3}} \]
Propagation d’une onde électromagnétique plane
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