Exercices Électricité

Force Magnétique sur une Particule Chargée

Calcul de la Force Magnétique sur une Particule Chargée

Force Magnétique sur une Particule Chargée

Contexte de la Force de Lorentz

Lorsqu'une particule chargée se déplace dans une région de l'espace où règne un champ magnétiqueRégion de l'espace où une force magnétique peut être détectée. Créé par des aimants ou des courants électriques, il est décrit par des lignes de champ allant du pôle nord au pôle sud., elle subit une force. Cette force, appelée force magnétique (une des composantes de la force de Lorentz), est particulière : elle est toujours perpendiculaire à la fois à la vitesse de la particule et au champ magnétique. Sa direction est donnée par la règle de la main droite et son intensité dépend de la charge, de la vitesse, du champ, et de l'angle entre la vitesse et le champ. Cet exercice explore le calcul de cette force et ses conséquences sur la trajectoire de la particule.

Remarque Pédagogique : Contrairement à la force électrique qui peut accélérer ou freiner une particule (modifier le module de sa vitesse), la force magnétique, étant toujours perpendiculaire à la vitesse, ne peut que changer la direction de la particule. Elle ne fournit aucun travail et ne modifie donc pas l'énergie cinétique de la particule.

Données de l'étude

Un proton pénètre dans une région où règne un champ magnétique uniforme. On négligera le poids du proton devant la force magnétique.

Caractéristiques du système et constantes :

  • Particule : proton
  • Charge du proton (\(q\)) : \(+1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
  • Masse du proton (\(m\)) : \(1.672 \times 10^{-27} \, \text{kg}\)
  • Vecteur vitesse initial (\(\vec{v}\)) : \( (2 \times 10^6, 0, 0) \, \text{m/s} \), soit \(2 \times 10^6 \vec{i} \, \text{m/s}\)
  • Vecteur champ magnétique (\(\vec{B}\)) : \( (0, 0.5, 0) \, \text{T} \), soit \(0.5 \vec{j} \, \text{T}\)
Schéma de la situation initiale
x y z p⁺ (q>0) v B (entrant)

Questions à traiter

  1. Calculer le module de la force magnétique (\(F_{\text{m}}\)) s'exerçant sur le proton.
  2. Déterminer la direction et le sens du vecteur force \(\vec{F}_{\text{m}}\) par le calcul vectoriel.
  3. Sachant que la force magnétique est centripète, calculer le rayon (\(R\)) de la trajectoire circulaire du proton.

Correction : Force Magnétique sur une Particule Chargée

Question 1 : Module de la Force Magnétique (\(F_{\text{m}}\))

Principe :
v B θ q Fm

Le module de la force magnétique est donné par la loi de Lorentz. Il est proportionnel à la charge de la particule, à sa vitesse, à l'intensité du champ magnétique, et au sinus de l'angle \(\theta\) entre le vecteur vitesse et le vecteur champ magnétique.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le terme \(\sin(\theta)\) est crucial. Si une particule se déplace parallèlement au champ magnétique (\(\theta=0^\circ\) ou \(\theta=180^\circ\)), le sinus est nul et la force magnétique est nulle ! La force est maximale lorsque la particule entre perpendiculairement au champ (\(\theta=90^\circ\), \(\sin(90^\circ)=1\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ F_{\text{m}} = |q| \cdot v \cdot B \cdot \sin(\theta) \]
Données(s) :
  • Charge \(|q|\) : \(1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
  • Vitesse \(v\) : \(2 \times 10^6 \, \text{m/s}\)
  • Champ magnétique \(B\) : \(0.5 \, \text{T}\)
  • Angle \(\theta\) : L'angle entre \(\vec{v}\) (axe x) et \(\vec{B}\) (axe y) est de \(90^\circ\). Donc \(\sin(90^\circ) = 1\).
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} F_{\text{m}} &= (1.602 \times 10^{-19}) \times (2 \times 10^6) \times (0.5) \times \sin(90^\circ) \\ &= (1.602 \times 10^{-19}) \times (1 \times 10^6) \times 1 \\ &= 1.602 \times 10^{-13} \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le module de la force magnétique est \(F_{\text{m}} \approx 1.60 \times 10^{-13} \, \text{N}\).

Question 2 : Vecteur Force (\(\vec{F}_{\text{m}}\))

Principe :
v (index) B (majeur) F (pouce) + q > 0

La direction de la force est donnée par le produit vectorielOpération mathématique sur deux vecteurs dans un espace tridimensionnel, qui produit un troisième vecteur perpendiculaire aux deux premiers. \(\vec{F}_{\text{m}} = q(\vec{v} \times \vec{B})\). On peut utiliser la "règle de la main droite" : l'index pointe dans la direction de \(\vec{v}\), le majeur dans la direction de \(\vec{B}\), et le pouce donne alors la direction de la force \(\vec{F}_{\text{m}}\) si la charge \(q\) est positive. Si \(q\) est négative, la force est dans le sens opposé.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le calcul du produit vectoriel est une opération mathématique rigoureuse. Pour \(\vec{v} = v_x \vec{i}\) et \(\vec{B} = B_y \vec{j}\), le produit vectoriel est \(\vec{v} \times \vec{B} = (v_x B_y) (\vec{i} \times \vec{j})\). En se rappelant que \(\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}\), le résultat est immédiat.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \vec{F}_{\text{m}} = q \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ v_x & v_y & v_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} = q(\vec{v} \times \vec{B}) \]
Données(s) :
  • Charge \(q\) : \(+1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
  • Vecteur vitesse \(\vec{v}\) : \((2 \times 10^6, 0, 0) \, \text{m/s}\)
  • Vecteur champ \(\vec{B}\) : \((0, 0.5, 0) \, \text{T}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \vec{v} \times \vec{B} &= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 \times 10^6 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \end{vmatrix} \\ &= \vec{k} ((2 \times 10^6)(0.5) - (0)(0)) \\ &= (1 \times 10^6) \vec{k} \\ \vec{F}_{\text{m}} &= (1.602 \times 10^{-19}) \times (1 \times 10^6 \vec{k}) \\ &= (1.602 \times 10^{-13}) \vec{k} \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le vecteur force est \(\vec{F}_{\text{m}} \approx 1.60 \times 10^{-13} \vec{k} \, \text{N}\). La force est dirigée selon l'axe z positif.

Question 3 : Rayon de la Trajectoire (\(R\))

Principe :
v Fm

La force magnétique est toujours perpendiculaire à la vitesse. Une force qui agit constamment perpendiculairement au mouvement ne change pas la vitesse, mais courbe la trajectoire. C'est la définition d'une force centripèteForce qui maintient un objet en mouvement sur une trajectoire circulaire, toujours dirigée vers le centre du cercle.. La force magnétique joue donc le rôle de la force centripète (\(F_c = mv^2/R\)), ce qui engendre un mouvement circulaire uniforme.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette propriété est à la base du fonctionnement des spectromètres de masse et des accélérateurs de particules comme le cyclotron. En mesurant le rayon de la courbure d'une particule dans un champ magnétique connu, on peut en déduire son rapport masse/charge, et ainsi identifier la particule.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ F_{\text{m}} = F_{\text{centripète}} \Rightarrow |q|vB = \frac{mv^2}{R} \]
Calcul(s) :

1. Isoler le rayon R

\[ |q|B = \frac{mv}{R} \Rightarrow R = \frac{mv}{|q|B} \]

2. Application numérique

\[ \begin{aligned} R &= \frac{(1.672 \times 10^{-27} \, \text{kg}) \times (2 \times 10^6 \, \text{m/s})}{(1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}) \times (0.5 \, \text{T})} \\ &= \frac{3.344 \times 10^{-21}}{8.01 \times 10^{-20}} \\ &\approx 0.0417 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le rayon de la trajectoire circulaire est \(R \approx 4.17 \, \text{cm}\).

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Paramètre Valeur Calculée
Module de la Force Magnétique (\(F_{\text{m}}\)) Cliquez pour révéler
Vecteur Force (\(\vec{F}_{\text{m}}\)) Cliquez pour révéler
Rayon de la Trajectoire (\(R\)) Cliquez pour révéler

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : On remplace le proton par un électron (\(q \approx -1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\), \(m \approx 9.11 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)) avec la même vitesse initiale. Quel doit être le module du champ magnétique \(B'\) pour que le rayon de sa trajectoire soit identique à celui du proton (\(R' = 4.17 \, \text{cm}\)) ?

Pièges à Éviter

Signe de la charge : Attention au signe de la charge \(q\) pour déterminer le sens final de la force. La règle de la main droite donne le sens pour \(q > 0\). Si \(q < 0\), le sens est inversé.

Unités : Toujours convertir les vitesses, distances, etc., en unités du Système International (m/s, m, T, C) avant le calcul.

Produit Vectoriel : L'ordre du produit vectoriel compte ! \(\vec{v} \times \vec{B}\) n'est pas la même chose que \(\vec{B} \times \vec{v}\) (c'est son opposé).

Simulation Interactive

Variez les paramètres de la particule et du champ pour observer l'impact sur la force magnétique.

Paramètres de Simulation
Résultat de la Force
Module de la Force (Fₘ)

Pour Aller Plus Loin : Concepts Avancés

1. Force de Lorentz Complète

S'il y a un champ électrique \(\vec{E}\) en plus du champ magnétique, la force totale sur la particule est la somme vectorielle des deux forces : \(\vec{F} = q\vec{E} + q(\vec{v} \times \vec{B})\). Cette équation complète est la véritable Force de Lorentz.

2. Mouvement Hélicoïdal

Si la vitesse initiale de la particule n'est pas perpendiculaire au champ \(\vec{B}\), on peut décomposer la vitesse en une composante parallèle (\(v_\parallel\)) et une composante perpendiculaire (\(v_\perp\)) au champ. La composante parallèle n'est pas affectée, provoquant un déplacement le long des lignes de champ, tandis que la composante perpendiculaire engendre un mouvement circulaire. La combinaison des deux est une trajectoire en hélice.

3. Sélecteur de Vitesse

En choisissant judicieusement un champ électrique \(\vec{E}\) et un champ magnétique \(\vec{B}\) perpendiculaires, on peut créer un "sélecteur de vitesse". La force électrique \(q\vec{E}\) et la force magnétique \(q(\vec{v} \times \vec{B})\) s'opposent. Pour une vitesse très précise, \(v = E/B\), les deux forces s'annulent et la particule continue en ligne droite, tandis que les autres particules sont déviées. C'est un principe clé des spectromètres de masse.

Le Saviez-Vous ?

Les aurores boréales (et australes) sont un magnifique spectacle de la force de Lorentz à l'échelle planétaire. Des particules chargées (protons, électrons) émises par le Soleil (le vent solaire) sont déviées par le champ magnétique terrestre. Elles sont canalisées vers les pôles magnétiques où elles entrent en collision avec les atomes de la haute atmosphère (oxygène, azote), les excitant. En revenant à leur état initial, ces atomes émettent de la lumière, créant les draperies colorées que nous admirons.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si le champ électrique et le champ magnétique sont présents en même temps ?

La force totale sur la particule est la somme vectorielle de la force électrique et de la force magnétique. C'est la force de Lorentz complète : \(\vec{F} = q\vec{E} + q(\vec{v} \times \vec{B})\). Cette situation est utilisée dans les "sélecteurs de vitesse", des dispositifs qui ne laissent passer que les particules ayant une vitesse très précise (\(v = E/B\)).

La force magnétique peut-elle être utilisée pour propulser un vaisseau spatial ?

Indirectement, oui. Un "moteur ionique" utilise des champs électriques pour accélérer des ions (particules chargées) et les éjecter à grande vitesse, créant une poussée par action-réaction. Des champs magnétiques sont ensuite utilisés pour confiner le plasma et protéger les parois du moteur, mais la force de propulsion vient bien de l'accélération électrique.

Pourquoi la force magnétique ne travaille-t-elle pas ?

Le travail d'une force est défini par \(W = \int \vec{F} \cdot d\vec{l}\). Comme la force magnétique \(\vec{F}_{\text{m}}\) est toujours perpendiculaire au déplacement infinitésimal \(d\vec{l}\) (qui est colinéaire à la vitesse \(\vec{v}\)), leur produit scalaire \(\vec{F}_{\text{m}} \cdot d\vec{l}\) est toujours nul. La force ne peut donc ni fournir ni retirer de l'énergie à la particule.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un électron se déplace parallèlement à un champ magnétique uniforme. La force magnétique qu'il subit est :

2. La force magnétique modifie la _______ de la particule.

Glossaire

Force de Lorentz
Force fondamentale qui décrit l'interaction des champs électromagnétiques avec la matière chargée. Sa composante magnétique est \(\vec{F}_{\text{m}} = q(\vec{v} \times \vec{B})\).
Champ Magnétique (\(\vec{B}\))
Champ vectoriel qui décrit l'influence magnétique sur des charges électriques en mouvement. Son unité est le Tesla (T).
Produit Vectoriel
Opération mathématique sur deux vecteurs dans un espace tridimensionnel, qui produit un troisième vecteur perpendiculaire aux deux premiers.
Force Magnétique sur une Particule Chargée

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