Interaction entre Sphères Conductrices

Principe :

Le potentiel à la surface (et à l'intérieur) d'une sphère conductrice isolée de rayon $R$ portant une charge $Q$ est $V=k_{e}Q/R$, avec le potentiel nul à l'infini.

Données spécifiques (converties en mètres) :

• Sphère 1 : $R_1=6,0\text{cm}=0,06\text{m}$, $Q_1=+12,0\text{nC}=+12,0\times {10}^{-9}\text{C}$
• Sphère 2 : $R_2=3,0\text{cm}=0,03\text{m}$, $Q_{2,i}=0\text{C}$
• $k_e=9,0\times {10}^9\text{N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{C}}^2$

Calcul :

Potentiel initial de la sphère 1 :

Potentiel initial de la sphère 2 (neutre) :

Principe :

Lorsque deux conducteurs sont connectés par un fil conducteur, ils forment un seul conducteur. À l'équilibre électrostatique, tous les points d'un même conducteur sont au même potentiel. Par conséquent, les deux sphères atteindront un potentiel final commun $V_f$.

Principe :

Le système des deux sphères et du fil est isolé électriquement. La charge totale du système se conserve donc lors de la connexion.

Formule(s) utilisée(s) :

Principe :

Après connexion, $V_1^{\prime }=V_2^{\prime }=V_f$. On a $V_1^{\prime }=k_e{Q}_1^{\prime }/R_1$ et $V_2^{\prime }=k_e{Q}_2^{\prime }/R_2$. Donc, $k_e{Q}_1^{\prime }/R_1=k_e{Q}_2^{\prime }/R_2\Rightarrow Q_1^{\prime }/R_1=Q_2^{\prime }/R_2$. On utilise cette relation avec l'équation de conservation de la charge $Q_1=Q_1^{\prime }+Q_2^{\prime }$.

Calcul :

De $Q_1^{\prime }/R_1=Q_2^{\prime }/R_2$, on tire $Q_2^{\prime }=Q_1^{\prime }\frac{R_2}{R_1}$.

En substituant dans l'équation de conservation :

Et pour $Q_2^{\prime }$ :

Données spécifiques :

• $Q_1=12,0\times {10}^{-9}\text{C}$
• $R_1=0,06\text{m}$
• $R_2=0,03\text{m}$

Calcul :

Vérification : $Q_1^{\prime }+Q_2^{\prime }=8,0\text{nC}+4,0\text{nC}=12,0\text{nC}=Q_1$. La charge est conservée.

Principe :

On peut calculer $V_f$ en utilisant la charge et le rayon de l'une ou l'autre sphère après connexion : $V_f=k_e{Q}_1^{\prime }/R_1$ ou $V_f=k_e{Q}_2^{\prime }/R_2$.

Calcul (avec la sphère 1) :

Calcul (avec la sphère 2, pour vérification) :

Principe :

L'énergie électrostatique d'une sphère conductrice chargée est $U=\frac{1}{2}QV=\frac{1}{2}{k}_e\frac{Q^2}{R}$. L'énergie totale d'un système de sphères éloignées est la somme de leurs énergies individuelles.

Calcul de $U_i$ (avant connexion) :

$U_{1,i}=\frac{1}{2}{Q}_1{V}_{1,i}$ et $U_{2,i}=\frac{1}{2}{Q}_{2,i}{V}_{2,i}=0$.

Calcul de $U_f$ (après connexion) :

$U_1^{\prime }=\frac{1}{2}{Q}_1^{\prime }{V}_f$ et $U_2^{\prime }=\frac{1}{2}{Q}_2^{\prime }{V}_f$. $U_f=U_1^{\prime }+U_2^{\prime }=\frac{1}{2}(Q_1^{\prime }+Q_2^{\prime })V_f=\frac{1}{2}{Q}_1{V}_f$.

Calcul de la variation d'énergie $\mathrm{\Delta }U$ :

La diminution de l'énergie électrostatique ($\mathrm{\Delta }U<0$) est due à la dissipation d'énergie (par exemple sous forme de chaleur ou de rayonnement électromagnétique) lors du mouvement des charges dans le fil conducteur pour atteindre le nouvel équilibre. Ce phénomène est général lors de la connexion de conducteurs à des potentiels différents.