Exercices Électricité

Calcul de la Force Électrostatique

Calcul de la Force Électrostatique

Calcul de la Force Électrostatique (Loi de Coulomb)

Comprendre la Force Électrostatique

La force électrostatique, décrite par la loi de Coulomb, est la force d'attraction ou de répulsion qui s'exerce entre deux particules chargées. L'intensité de cette force est directement proportionnelle au produit des charges et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. Le sens de la force dépend du signe des charges : des charges de signes opposés s'attirent, tandis que des charges de même signe se repoussent.

Données de l'étude

On considère deux charges ponctuelles \(q_1\) et \(q_2\) placées dans le vide.

Caractéristiques des charges et constantes :

  • Charge \(q_1 = +2.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\) (soit \(+2.0 \, \mu\text{C}\))
  • Charge \(q_2 = -3.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\) (soit \(-3.0 \, \mu\text{C}\))
  • Distance entre les charges (\(r\)) : \(0.10 \, \text{m}\) (soit \(10 \, \text{cm}\))
  • Permittivité du vide (\(\epsilon_0\)) : \(8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
  • Constante de Coulomb (\(k\)) : \(k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 8.987 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
Schéma : Interaction entre deux charges ponctuelles
+ q₁ - q₂ r = 0.10 m F₁₂ F₂₁ Force Électrostatique (Attraction)

Deux charges de signes opposés s'attirent.

Questions à traiter

  1. Calculer la valeur de la constante de Coulomb \(k\) en utilisant la valeur de \(\epsilon_0\).
  2. Calculer la magnitude (ou module) de la force électrostatique \(F\) exercée entre les deux charges \(q_1\) et \(q_2\).
  3. La force est-elle attractive ou répulsive ? Justifier.
  4. Que deviendrait la magnitude de la force si la distance \(r\) était doublée (passant à \(0.20 \, \text{m}\)) ?
  5. Que deviendrait la magnitude de la force si la charge \(q_1\) était doublée (passant à \(+4.0 \, \mu\text{C}\)) et \(q_2\) restait inchangée, la distance initiale étant \(0.10 \, \text{m}\) ?

Correction : Calcul de la Force Électrostatique

Question 1 : Calcul de la constante de Coulomb (\(k\))

Principe :

La constante de Coulomb \(k\) (parfois appelée constante de la loi de Coulomb ou constante électrostatique) est une constante de proportionnalité dans l'équation de la loi de Coulomb. Elle est reliée à la permittivité du vide \(\epsilon_0\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\]
Données spécifiques :
  • Permittivité du vide (\(\epsilon_0\)) : \(8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\) (ou \(\text{C}^2/(\text{N} \cdot \text{m}^2)\))
  • \(\pi \approx 3.14159\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} k &= \frac{1}{4 \times \pi \times 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}} \\ &\approx \frac{1}{4 \times 3.14159 \times 8.854 \times 10^{-12}} \\ &\approx \frac{1}{12.56636 \times 8.854 \times 10^{-12}} \\ &\approx \frac{1}{111.265 \times 10^{-12}} \\ &\approx \frac{1}{1.11265 \times 10^{-10}} \\ &\approx 0.89875 \times 10^{10} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2 \\ &\approx 8.9875 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2 \end{aligned} \]

Pour simplifier les calculs manuels, on utilise souvent l'approximation \(k \approx 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\). Nous utiliserons la valeur plus précise de l'énoncé pour la suite.

Résultat Question 1 : La constante de Coulomb est \(k \approx 8.987 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).

Quiz Intermédiaire 1 : L'unité de la permittivité du vide (\(\epsilon_0\)) peut aussi s'exprimer en :

Question 2 : Magnitude de la force électrostatique (\(F\))

Principe :

La loi de Coulomb stipule que la magnitude de la force électrostatique \(F\) entre deux charges ponctuelles \(q_1\) et \(q_2\) séparées par une distance \(r\) est donnée par la formule suivante. La force est proportionnelle au produit des charges et inversement proportionnelle au carré de la distance.

Formule(s) utilisée(s) :
\[F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\]
Données spécifiques :
  • \(k \approx 8.987 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(q_1 = +2.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(q_2 = -3.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(r = 0.10 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F &= (8.987 \times 10^9) \frac{|(+2.0 \times 10^{-6}) \times (-3.0 \times 10^{-6})|}{(0.10)^2} \\ &= (8.987 \times 10^9) \frac{|-6.0 \times 10^{-12}|}{0.01} \\ &= (8.987 \times 10^9) \frac{6.0 \times 10^{-12}}{1.0 \times 10^{-2}} \\ &= (8.987 \times 10^9) \times (6.0 \times 10^{-10}) \\ &= 53.922 \times 10^{-1} \, \text{N} \\ &\approx 5.39 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La magnitude de la force électrostatique est \(F \approx 5.39 \, \text{N}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la valeur absolue d'une des charges double, la force électrostatique :

Question 3 : Nature de la force (attractive ou répulsive)

Principe :

La nature de la force électrostatique (attractive ou répulsive) dépend des signes des charges en interaction. Des charges de signes opposés s'attirent, tandis que des charges de même signe (toutes deux positives ou toutes deux négatives) se repoussent.

Analyse :
  • Charge \(q_1 = +2.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\) (positive)
  • Charge \(q_2 = -3.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\) (négative)

Puisque les charges \(q_1\) et \(q_2\) sont de signes opposés (l'une positive, l'autre négative), la force électrostatique entre elles est attractive.

Résultat Question 3 : La force est attractive car les charges sont de signes opposés.

Quiz Intermédiaire 3 : Deux charges négatives :

Question 4 : Force si la distance \(r\) est doublée

Principe :

La loi de Coulomb indique que la force électrostatique est inversement proportionnelle au carré de la distance (\(F \propto 1/r^2\)). Si la distance \(r\) est modifiée, la force changera en conséquence. Si la nouvelle distance est \(r' = 2r\), la nouvelle force \(F'\) sera affectée par le facteur \((1/2)^2 = 1/4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \begin{aligned} F' &= k \frac{|q_1 q_2|}{(r')^2} \\ &= k \frac{|q_1 q_2|}{(2r)^2} \\ &= k \frac{|q_1 q_2|}{4r^2} \\ &= \frac{1}{4} F \end{aligned} \]
Données spécifiques :
  • Force initiale \(F \approx 5.39 \, \text{N}\)
  • Nouvelle distance \(r' = 2 \times 0.10 \, \text{m} = 0.20 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F' &= \frac{1}{4} \times F \\ &\approx \frac{1}{4} \times 5.39 \, \text{N} \\ &\approx 1.3475 \, \text{N} \end{aligned} \]

Alternativement, en recalculant avec la nouvelle distance :

\[ \begin{aligned} F' &= (8.987 \times 10^9) \frac{|(+2.0 \times 10^{-6}) \times (-3.0 \times 10^{-6})|}{(0.20)^2} \\ &= (8.987 \times 10^9) \frac{6.0 \times 10^{-12}}{0.04} \\ &= (8.987 \times 10^9) \times (1.5 \times 10^{-10}) \\ &= 13.4805 \times 10^{-1} \, \text{N} \\ &\approx 1.35 \, \text{N} \end{aligned} \]

Les légères différences sont dues aux arrondis.

Résultat Question 4 : Si la distance est doublée, la magnitude de la force devient approximativement \(F' \approx 1.35 \, \text{N}\).

Quiz Intermédiaire 4 : Si la distance entre deux charges est divisée par 3, la force électrostatique est :

Question 5 : Force si \(q_1\) est doublée

Principe :

La loi de Coulomb indique que la force électrostatique est directement proportionnelle au produit des charges (\(F \propto |q_1 q_2|\)). Si l'une des charges est modifiée, la force changera proportionnellement. Si la nouvelle charge \(q_1' = 2q_1\), la nouvelle force \(F''\) sera doublée par rapport à la force initiale calculée à la question 2 (avec \(r=0.10 \, \text{m}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \begin{aligned} F'' &= k \frac{|q_1' q_2|}{r^2} \\ &= k \frac{|(2q_1) q_2|}{r^2} \\ &= 2 \left( k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \right) \\ &= 2F \end{aligned} \]
Données spécifiques :
  • Force initiale (avec \(r=0.10 \, \text{m}\)) \(F \approx 5.39 \, \text{N}\)
  • Nouvelle charge \(q_1' = 2 \times (+2.0 \times 10^{-6} \, \text{C}) = +4.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • Charge \(q_2 = -3.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • Distance \(r = 0.10 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F'' &= 2 \times F \\ &\approx 2 \times 5.39 \, \text{N} \\ &\approx 10.78 \, \text{N} \end{aligned} \]

Alternativement, en recalculant avec la nouvelle charge \(q_1'\) :

\[ \begin{aligned} F'' &= (8.987 \times 10^9) \frac{|(+4.0 \times 10^{-6}) \times (-3.0 \times 10^{-6})|}{(0.10)^2} \\ &= (8.987 \times 10^9) \frac{|-12.0 \times 10^{-12}|}{0.01} \\ &= (8.987 \times 10^9) \frac{12.0 \times 10^{-12}}{1.0 \times 10^{-2}} \\ &= (8.987 \times 10^9) \times (12.0 \times 10^{-10}) \\ &= 107.844 \times 10^{-1} \, \text{N} \\ &\approx 10.78 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Si la charge \(q_1\) est doublée, la magnitude de la force devient approximativement \(F'' \approx 10.78 \, \text{N}\).

Quiz Intermédiaire 5 : Si les deux charges \(q_1\) et \(q_2\) sont doublées, et la distance \(r\) est aussi doublée, la nouvelle force F''' sera :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi de Coulomb décrit :

2. Si deux charges électriques de même signe sont rapprochées, la force électrostatique entre elles :

3. L'unité de la charge électrique dans le Système International (SI) est :

Glossaire

Charge Électrique (q)
Propriété fondamentale de la matière responsable des interactions électrostatiques. Elle peut être positive ou négative. Son unité SI est le Coulomb (C).
Loi de Coulomb
Loi physique décrivant la force d'interaction électrostatique entre deux charges électriques ponctuelles.
Force Électrostatique (F)
Force d'attraction ou de répulsion entre des objets chargés électriquement. Son unité SI est le Newton (N).
Constante de Coulomb (k)
Constante de proportionnalité dans la loi de Coulomb, égale à \(1/(4\pi\epsilon_0)\). Sa valeur est approximativement \(8.987 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).
Permittivité du Vide (\(\epsilon_0\))
Constante physique représentant la capacité du vide à permettre la formation d'un champ électrique. Sa valeur est approximativement \(8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\).
Charge Ponctuelle
Idéalisation d'un objet chargé dont les dimensions sont négligeables par rapport aux distances considérées.
Attractive (Force)
Se dit d'une force qui tend à rapprocher les objets. En électrostatique, elle se produit entre charges de signes opposés.
Répulsive (Force)
Se dit d'une force qui tend à éloigner les objets. En électrostatique, elle se produit entre charges de même signe.
Magnitude (d'une force)
Valeur numérique (toujours positive) de l'intensité d'une force, sans tenir compte de sa direction.
Calcul de la Force Électrostatique

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