Optimisation de la Bande Passante

Vous travaillez comme ingénieur dans une entreprise qui conçoit des systèmes de communication. Vous avez été chargé de concevoir un filtre passe-bande pour un nouveau dispositif de communication qui doit recevoir des signaux centrés autour de 2 MHz, avec une tolérance de fréquence assez stricte pour minimiser l’interférence avec d’autres dispositifs opérant à proximité.

Objectif de l’Exercice

Votre tâche est de déterminer la bande passante nécessaire pour ce filtre passe-bande afin qu’il puisse efficacement transmettre des signaux dans la plage désirée tout en rejetant les signaux indésirables hors de cette gamme. Vous devez également calculer la fréquence de coupure supérieure et inférieure en tenant compte des contraintes techniques spécifiées.

Données Fournies

Fréquence centrale du filtre : \(f_c = 2 \, \text{MHz}\)
Tolérance de fréquence requise (demi-bande passante) : \(\Delta f = \pm 50 \, \text{kHz}\)
Fréquence du dispositif voisin (interférent potentiel) : \(f_{voisin} = 2.15 \, \text{MHz}\)

Questions

Calculer les Fréquences de Coupure : Déterminez les fréquences de coupure inférieure (\(f_L\)) et supérieure (\(f_H\)) du filtre, en tenant compte de la plage de fréquences que le filtre doit permettre.
Définir la Bande Passante : Calculez la bande passante (\(BW\)) du filtre, définie comme la différence entre la fréquence de coupure supérieure et la fréquence de coupure inférieure.
Analyse Supplémentaire : Évaluez si le filtre conçu évitera efficacement les interférences avec le dispositif opérant à 2.15 MHz. Considérez une marge de sécurité dans votre conception.

Correction : Optimisation de la Bande Passante

1. Calcul des Fréquences de Coupure (\(f_L\) et \(f_H\))

Les fréquences de coupure définissent les limites de la bande de fréquences que le filtre laisse passer. Pour un filtre passe-bande centré sur \(f_c\) avec une tolérance de \(\pm \Delta f\), la fréquence de coupure inférieure (\(f_L\)) est \(f_c - \Delta f\) et la fréquence de coupure supérieure (\(f_H\)) est \(f_c + \Delta f\). Il est important de convertir toutes les fréquences dans la même unité (MHz ou kHz).

Données pour cette étape

Fréquence centrale : \(f_c = 2 \, \text{MHz} = 2000 \, \text{kHz}\)
Tolérance de fréquence : \(\Delta f = 50 \, \text{kHz}\)

Calculs

Fréquence de coupure inférieure :

\begin{aligned} f_L &= f_c - \Delta f \\ f_L &= 2000 \, \text{kHz} - 50 \, \text{kHz} \\ f_L &= 1950 \, \text{kHz} \quad (= 1.95 \, \text{MHz}) \end{aligned}

Fréquence de coupure supérieure :

\begin{aligned} f_H &= f_c + \Delta f \\ f_H &= 2000 \, \text{kHz} + 50 \, \text{kHz} \\ f_H &= 2050 \, \text{kHz} \quad (= 2.05 \, \text{MHz}) \end{aligned}

Résultat

Les fréquences de coupure du filtre sont :

Fréquence de coupure inférieure : \(f_L = 1.95 \, \text{MHz}\)
Fréquence de coupure supérieure : \(f_H = 2.05 \, \text{MHz}\)

2. Calcul de la Bande Passante (\(BW\))

La bande passante (\(BW\)) d'un filtre est la largeur de la plage de fréquences qu'il laisse passer. Elle est calculée comme la différence entre la fréquence de coupure supérieure (\(f_H\)) et la fréquence de coupure inférieure (\(f_L\)). \[ BW = f_H - f_L \] Elle peut aussi être calculée comme \(2 \times \Delta f\).

Données pour cette étape

Fréquence de coupure supérieure : \(f_H = 2.05 \, \text{MHz} = 2050 \, \text{kHz}\)
Fréquence de coupure inférieure : \(f_L = 1.95 \, \text{MHz} = 1950 \, \text{kHz}\)
Tolérance de fréquence : \(\Delta f = 50 \, \text{kHz}\)

Calcul

\begin{aligned} BW &= f_H - f_L \\ BW &= 2050 \, \text{kHz} - 1950 \, \text{kHz} \\ BW &= 100 \, \text{kHz} \end{aligned} \] Ou alternativement : \[ \begin{aligned} BW &= 2 \times \Delta f \\ BW &= 2 \times 50 \, \text{kHz} \\ BW &= 100 \, \text{kHz} \end{aligned}

Résultat

La bande passante requise pour le filtre est \(BW = 100 \, \text{kHz}\).

3. Analyse Supplémentaire (Interférences)

Nous devons vérifier si la fréquence de coupure supérieure (\(f_H\)) du filtre est suffisamment éloignée de la fréquence du dispositif voisin (\(f_{voisin} = 2.15 \, \text{MHz}\)) pour éviter les interférences. Idéalement, le filtre devrait fortement atténuer les signaux à \(f_{voisin}\).

Données pour cette étape

Fréquence de coupure supérieure : \(f_H = 2.05 \, \text{MHz}\)
Fréquence du dispositif voisin : \(f_{voisin} = 2.15 \, \text{MHz}\)

Analyse

Calculons l'écart entre la fréquence du voisin et la limite supérieure de notre bande passante :

\text{Écart} = f_{voisin} - f_H \] \[ \text{Écart} = 2.15 \, \text{MHz} - 2.05 \, \text{MHz}\] \[ \text{Écart} = 0.10 \, \text{MHz} \] \[ \text{Écart} = 100 \, \text{kHz}

L'écart est de 100 kHz. Un filtre passe-bande idéal couperait abruptement à \(f_H = 2.05 \, \text{MHz}\), rejetant complètement le signal à 2.15 MHz. Cependant, les filtres réels ont une pente d'atténuation progressive (roll-off) en dehors de la bande passante.

Atténuation : L'atténuation du filtre à 2.15 MHz dépend de l'ordre du filtre et de sa conception (Butterworth, Chebyshev, etc.). Un écart de 100 kHz (qui est égal à la bande passante) pourrait ne pas être suffisant pour une forte atténuation avec un filtre simple (ordre faible).
Marge de sécurité : Les composants réels ont des tolérances. Si la fréquence de coupure \(f_H\) dérive vers le haut à cause de ces tolérances, l'écart avec le signal interférant diminuera, réduisant l'atténuation. De même, si la fréquence du signal interférant dérive vers le bas.
Conclusion : Bien que la fréquence du voisin soit en dehors de la bande passante définie par \(f_L\) et \(f_H\), l'écart de 100 kHz peut être insuffisant pour garantir une réjection efficace des interférences, surtout si un filtre d'ordre élevé n'est pas utilisé ou si les tolérances des composants sont importantes. Une marge de sécurité plus grande ou un filtre plus sélectif (ordre plus élevé, facteur de qualité Q plus grand) pourrait être nécessaire. La conception devrait viser à maximiser l'atténuation à 2.15 MHz.

Résultat (Analyse)

La fréquence du dispositif voisin (\(f_{voisin} = 2.15 \, \text{MHz}\)) est en dehors de la bande passante calculée (\(1.95 \, \text{MHz} - 2.05 \, \text{MHz}\)). Cependant, l'écart de 100 kHz par rapport à la fréquence de coupure supérieure (\(f_H = 2.05 \, \text{MHz}\)) pourrait ne pas fournir une atténuation suffisante pour éliminer complètement les interférences, en fonction de la pente (ordre) du filtre et des tolérances des composants. Une analyse plus poussée ou une conception de filtre plus sélective est recommandée.

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