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Optimisation de la Transmission de Signaux

Optimisation de la Transmission de Signaux

Optimisation de la Transmission de Signaux

Comprendre l'Optimisation de la Transmission de Signaux

Dans les systèmes de télécommunications, l'objectif principal est de transmettre l'information de manière fiable et efficace d'une source à une destination. La qualité d'une transmission est souvent limitée par deux facteurs principaux : la bande passante disponible du canal de communication et le niveau de bruit présent dans le canal. Le rapport signal sur bruit (SNR ou S/B) est une mesure clé qui compare la puissance du signal désiré à la puissance du bruit de fond. Un SNR élevé indique un signal de meilleure qualité par rapport au bruit.

Le théorème de Shannon-Hartley établit une limite théorique supérieure à la quantité maximale d'information, ou capacité du canal (\(C\)), qui peut être transmise sans erreur sur un canal de communication avec une bande passante donnée (\(B\)) et un certain rapport signal sur bruit (\(SNR\)). La formule est : \(C = B \log_2(1 + SNR)\). La capacité est exprimée en bits par seconde (bps). Ce théorème montre qu'il existe un compromis entre la bande passante et le SNR pour atteindre un certain débit de données.

Cet exercice se concentre sur le calcul du SNR et de la capacité d'un canal, et explore comment ces paramètres influencent la transmission des signaux.

Données de l'étude

On considère un canal de communication utilisé pour la transmission de données numériques.

Caractéristiques du canal et du signal :

  • Bande passante du canal (\(B\)) : \(3 \, \text{MHz}\)
  • Puissance du signal reçu (\(P_S\)) : \(20 \, \mu\text{W}\) (microwatts)
  • Puissance du bruit dans le canal (\(P_N\)) : \(2 \, \mu\text{W}\)
Schéma d'un Canal de Communication avec Bruit
Source Signal PS Canal (B) ~~~ Bruit PN ~~~ Récepteur Signal + Bruit Modèle simplifié d'un canal de communication.

Un signal est transmis via un canal, où du bruit est ajouté. Le récepteur reçoit le signal et le bruit.

Questions à traiter

  1. Calculer le rapport signal sur bruit (SNR) en échelle linéaire.
  2. Convertir le SNR calculé en décibels (dB). Formule : \(SNR_{dB} = 10 \log_{10}(SNR_{\text{linéaire}})\).
  3. Calculer la capacité théorique maximale du canal (\(C\)) en bits par seconde (bps) en utilisant le théorème de Shannon-Hartley.
  4. Si la puissance du signal (\(P_S\)) est doublée, tandis que la puissance du bruit (\(P_N\)) et la bande passante (\(B\)) restent inchangées, quelle est la nouvelle capacité du canal \(C'\) ?
  5. Si la bande passante (\(B\)) du canal est doublée, tandis que \(P_S\) et \(P_N\) restent inchangées (utilisant les valeurs initiales), quelle est la nouvelle capacité du canal \(C''\) ?
  6. Comparer l'impact relatif d'un doublement de la puissance du signal par rapport à un doublement de la bande passante sur la capacité du canal pour ce cas spécifique.

Correction : Optimisation de la Transmission de Signaux

Question 1 : Rapport signal sur bruit (SNR) en échelle linéaire

Principe :

Le rapport signal sur bruit (SNR) est le rapport de la puissance du signal (\(P_S\)) à la puissance du bruit (\(P_N\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[SNR = \frac{P_S}{P_N}\]
Données spécifiques :
  • \(P_S = 20 \, \mu\text{W} = 20 \times 10^{-6} \, \text{W}\)
  • \(P_N = 2 \, \mu\text{W} = 2 \times 10^{-6} \, \text{W}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} SNR &= \frac{20 \times 10^{-6} \, \text{W}}{2 \times 10^{-6} \, \text{W}} \\ &= 10 \end{aligned} \]

Le SNR est un rapport sans unité.

Résultat Question 1 : Le rapport signal sur bruit en échelle linéaire est \(SNR = 10\).

Question 2 : Conversion du SNR en décibels (dB)

Principe :

Le SNR en décibels est calculé par \(SNR_{dB} = 10 \log_{10}(SNR_{\text{linéaire}})\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[SNR_{dB} = 10 \log_{10}(SNR)\]
Données spécifiques :
  • \(SNR = 10\) (de Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} SNR_{dB} &= 10 \log_{10}(10) \\ &= 10 \cdot 1 \, \text{dB} \\ &= 10 \, \text{dB} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le rapport signal sur bruit est de \(10 \, \text{dB}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Un SNR de 20 dB signifie que la puissance du signal est :

Question 3 : Capacité théorique maximale du canal (\(C\))

Principe :

Le théorème de Shannon-Hartley donne la capacité \(C = B \log_2(1 + SNR)\), où \(B\) est la bande passante en Hertz et SNR est le rapport linéaire.

Formule(s) utilisée(s) :
\[C = B \log_2(1 + SNR)\]

Note: \(\log_2(x) = \log_{10}(x) / \log_{10}(2)\), et \(\log_{10}(2) \approx 0.30103\).

Données spécifiques :
  • Bande passante (\(B\)) : \(3 \, \text{MHz} = 3 \times 10^6 \, \text{Hz}\)
  • \(SNR = 10\) (de Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} C &= (3 \times 10^6 \, \text{Hz}) \cdot \log_2(1 + 10) \\ &= (3 \times 10^6) \cdot \log_2(11) \\ &= (3 \times 10^6) \cdot \frac{\log_{10}(11)}{\log_{10}(2)} \\ &\approx (3 \times 10^6) \cdot \frac{1.04139}{0.30103} \\ &\approx (3 \times 10^6) \cdot 3.4594 \\ &\approx 10.3782 \times 10^6 \, \text{bps} \end{aligned} \]

Soit \(C \approx 10.38 \, \text{Mbps}\) (Mégabits par seconde).

Résultat Question 3 : La capacité théorique maximale du canal est \(C \approx 10.38 \, \text{Mbps}\).

Question 4 : Nouvelle capacité \(C'\) si \(P_S\) est doublée

Principe :

Si \(P_S\) double, le nouveau \(SNR' = 2 P_S / P_N = 2 \cdot SNR\). Puis on recalcule \(C'\).

Calculs :

Nouveau SNR :

\[SNR' = 2 \times 10 = 20\]

Nouvelle capacité \(C'\) :

\[ \begin{aligned} C' &= B \log_2(1 + SNR') \\ &= (3 \times 10^6 \, \text{Hz}) \cdot \log_2(1 + 20) \\ &= (3 \times 10^6) \cdot \log_2(21) \\ &= (3 \times 10^6) \cdot \frac{\log_{10}(21)}{\log_{10}(2)} \\ &\approx (3 \times 10^6) \cdot \frac{1.32222}{0.30103} \\ &\approx (3 \times 10^6) \cdot 4.3923 \\ &\approx 13.1769 \times 10^6 \, \text{bps} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Si \(P_S\) est doublée, la nouvelle capacité du canal est \(C' \approx 13.18 \, \text{Mbps}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Le théorème de Shannon-Hartley donne une limite :

Question 5 : Nouvelle capacité \(C''\) si \(B\) est doublée

Principe :

Si \(B\) double, la nouvelle bande passante \(B'' = 2B\). Le SNR initial est utilisé.

Calculs :

Nouvelle bande passante :

\[B'' = 2 \times (3 \times 10^6 \, \text{Hz}) = 6 \times 10^6 \, \text{Hz}\]

Nouvelle capacité \(C''\) (avec \(SNR = 10\)) :

\[ \begin{aligned} C'' &= B'' \log_2(1 + SNR) \\ &= (6 \times 10^6 \, \text{Hz}) \cdot \log_2(1 + 10) \\ &= (6 \times 10^6) \cdot \log_2(11) \\ &\approx (6 \times 10^6) \cdot 3.4594 \\ &\approx 20.7564 \times 10^6 \, \text{bps} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Si la bande passante est doublée, la nouvelle capacité du canal est \(C'' \approx 20.76 \, \text{Mbps}\).

Question 6 : Comparaison des impacts

Analyse :

Capacité initiale \(C \approx 10.38 \, \text{Mbps}\).

En doublant \(P_S\) (donc SNR de 10 à 20) : \(C' \approx 13.18 \, \text{Mbps}\). Augmentation : \(13.18 - 10.38 = 2.80 \, \text{Mbps}\). Augmentation relative : \((2.80 / 10.38) \times 100\% \approx 26.97\%\).

En doublant \(B\) (de 3MHz à 6MHz) : \(C'' \approx 20.76 \, \text{Mbps}\). Augmentation : \(20.76 - 10.38 = 10.38 \, \text{Mbps}\). Augmentation relative : \((10.38 / 10.38) \times 100\% = 100\%\) (la capacité a doublé).

Dans ce cas spécifique, doubler la bande passante a un impact plus significatif sur l'augmentation de la capacité du canal que de doubler la puissance du signal (ce qui a doublé le SNR linéaire).

La relation \(C = B \log_2(1 + SNR)\) montre que \(C\) est directement proportionnelle à \(B\), mais augmente de manière logarithmique avec \((1+SNR)\). Ainsi, une augmentation de \(B\) a un effet linéaire direct sur \(C\), tandis qu'une augmentation de SNR a un effet plus modéré dû au logarithme.

Résultat Question 6 : Doubler la bande passante (de 3 à 6 MHz) a augmenté la capacité d'environ \(10.38 \, \text{Mbps}\) (soit +100%), tandis que doubler la puissance du signal (et donc le SNR) a augmenté la capacité d'environ \(2.80 \, \text{Mbps}\) (soit +27%). L'augmentation de la bande passante a eu un impact plus important.

Quiz Intermédiaire 3 : Selon le théorème de Shannon-Hartley, pour augmenter la capacité d'un canal, on peut :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le rapport signal sur bruit (SNR) est une mesure de :

2. La capacité d'un canal selon Shannon-Hartley est exprimée en :

3. Pour un canal avec un SNR très élevé (\(SNR \gg 1\)), la capacité du canal est approximativement :

Glossaire

Canal de Communication
Milieu physique ou logique à travers lequel un signal est transmis d'un émetteur à un récepteur.
Bande Passante (\(B\))
Plage de fréquences qu'un canal de communication peut transmettre efficacement. Unité : Hertz (Hz).
Puissance du Signal (\(P_S\))
Puissance moyenne du signal utile reçu.
Puissance du Bruit (\(P_N\))
Puissance moyenne des perturbations indésirables (bruit) présentes dans le canal.
Rapport Signal sur Bruit (SNR ou S/B)
Rapport de la puissance du signal à la puissance du bruit. Un SNR élevé indique une meilleure qualité de signal.
Décibel (dB)
Unité logarithmique utilisée pour exprimer des rapports de puissance ou d'amplitude. \(SNR_{dB} = 10 \log_{10}(P_S/P_N)\).
Théorème de Shannon-Hartley
Théorème qui établit la capacité théorique maximale (\(C\)) d'un canal de communication bruité avec une bande passante \(B\) et un rapport signal sur bruit \(SNR\) : \(C = B \log_2(1 + SNR)\).
Capacité du Canal (\(C\))
Débit binaire maximal théorique auquel l'information peut être transmise sur un canal avec une probabilité d'erreur arbitrairement faible. Unité : bits par seconde (bps).
Milieu Dispersif
Milieu dans lequel la vitesse de propagation d'une onde dépend de sa fréquence.
Optimisation de la Transmission de Signaux

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