Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Optimisation d’un Réseau Électrique Linéaire

Optimisation d’un Réseau Électrique Linéaire

Optimisation d’un Réseau Électrique Linéaire

Comprendre l'Optimisation des Réseaux Électriques

L'optimisation des réseaux de distribution électrique vise à améliorer leur performance en termes d'efficacité énergétique, de qualité de la tension fournie aux consommateurs et de fiabilité. Cela implique souvent de minimiser les pertes de puissance dans les lignes et de maintenir les chutes de tension dans des limites acceptables. Les décisions d'optimisation peuvent inclure le redimensionnement des conducteurs, la reconfiguration du réseau, l'installation de dispositifs de compensation de puissance réactive, ou l'ajustement des points de consigne des transformateurs. Cet exercice se concentre sur l'analyse de l'impact du changement de la section d'un conducteur sur les pertes et la chute de tension dans une ligne de distribution radiale simple.

Données de l'étude

Une source de tension continue \(V_S\) alimente deux charges, C1 et C2, via une ligne de distribution composée de deux segments, SA et AB. La charge C1 est connectée au point A et la charge C2 est connectée au point B.

Caractéristiques initiales du système :

  • Tension de la source (\(V_S\)) : \(250 \, \text{V}\)
  • Courant consommé par la charge C1 (\(I_{C1}\)) : \(50 \, \text{A}\)
  • Courant consommé par la charge C2 (\(I_{C2}\)) : \(30 \, \text{A}\)
  • Résistance initiale du segment de ligne SA (\(R_{SA,initial}\)) : \(0.20 \, \Omega\)
  • Résistance initiale du segment de ligne AB (\(R_{AB,initial}\)) : \(0.30 \, \Omega\)

Proposition d'optimisation :

  • Le segment de ligne SA est remplacé par un nouveau conducteur dont la résistance est \(R_{SA,nouveau} = 0.10 \, \Omega\). La résistance du segment AB reste inchangée.
Schéma du Réseau de Distribution Linéaire
Vs S RSA A IC1 RAB B IC2 I_SA I_AB Réseau de Distribution Linéaire

Une source \(V_S\) alimente deux charges \(I_{C1}\) et \(I_{C2}\) à travers des segments de ligne résistifs.

Questions à traiter

État Initial :

  1. Calculer le courant \(I_{AB,initial}\) dans le segment AB et le courant \(I_{SA,initial}\) dans le segment SA.
  2. Calculer la tension aux points A (\(V_{A,initial}\)) et B (\(V_{B,initial}\)).
  3. Calculer la puissance perdue dans le segment SA (\(P_{SA,initial}\)), dans le segment AB (\(P_{AB,initial}\)), et la puissance totale perdue dans les lignes (\(P_{pertes,initial}\)).

Après Optimisation (avec \(R_{SA,nouveau} = 0.10 \, \Omega\)) :

  1. Les courants de charge \(I_{C1}\) et \(I_{C2}\) sont supposés rester les mêmes. Calculer les nouveaux courants \(I_{AB,nouveau}\) et \(I_{SA,nouveau}\) (ils devraient être identiques aux courants initiaux si les charges sont des puits de courant constant).
  2. Calculer la nouvelle tension au point A (\(V_{A,nouveau}\)) et au point B (\(V_{B,nouveau}\)).
  3. Calculer la nouvelle puissance perdue dans le segment SA (\(P_{SA,nouveau}\)), la puissance perdue dans AB (qui reste \(P_{AB,initial}\)), et la nouvelle puissance totale perdue dans les lignes (\(P_{pertes,nouveau}\)).
  4. Calculer la réduction absolue des pertes totales en ligne.
  5. Calculer l'amélioration en pourcentage de la tension au point B.

Correction : Optimisation d’un Réseau Électrique Linéaire

État Initial

Question 1 : Courants initiaux \(I_{AB,initial}\) et \(I_{SA,initial}\)

Principe :

Le courant dans un segment de ligne est la somme des courants des charges alimentées en aval de ce segment.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{AB,initial} = I_{C2}\] \[I_{SA,initial} = I_{C1} + I_{AB,initial} = I_{C1} + I_{C2}\]
Données spécifiques :
  • \(I_{C1} = 50 \, \text{A}\)
  • \(I_{C2} = 30 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{AB,initial} &= 30 \, \text{A} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} I_{SA,initial} &= 50 \, \text{A} + 30 \, \text{A} \\ &= 80 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • \(I_{AB,initial} = 30 \, \text{A}\)
  • \(I_{SA,initial} = 80 \, \text{A}\)

Question 2 : Tensions initiales \(V_{A,initial}\) et \(V_{B,initial}\)

Principe :

La tension à un point est la tension au point précédent moins la chute de tension dans le segment de ligne intermédiaire (\(\Delta V = RI\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_A = V_S - R_{SA} I_{SA}\] \[V_B = V_A - R_{AB} I_{AB}\]
Données spécifiques :
  • \(V_S = 250 \, \text{V}\)
  • \(R_{SA,initial} = 0.20 \, \Omega\), \(I_{SA,initial} = 80 \, \text{A}\)
  • \(R_{AB,initial} = 0.30 \, \Omega\), \(I_{AB,initial} = 30 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta V_{SA,initial} &= R_{SA,initial} \cdot I_{SA,initial} \\ &= 0.20 \, \Omega \times 80 \, \text{A} \\ &= 16 \, \text{V} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} V_{A,initial} &= V_S - \Delta V_{SA,initial} \\ &= 250 \, \text{V} - 16 \, \text{V} \\ &= 234 \, \text{V} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \Delta V_{AB,initial} &= R_{AB,initial} \cdot I_{AB,initial} \\ &= 0.30 \, \Omega \times 30 \, \text{A} \\ &= 9 \, \text{V} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} V_{B,initial} &= V_{A,initial} - \Delta V_{AB,initial} \\ &= 234 \, \text{V} - 9 \, \text{V} \\ &= 225 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 :
  • \(V_{A,initial} = 234 \, \text{V}\)
  • \(V_{B,initial} = 225 \, \text{V}\)

Question 3 : Puissances perdues initiales

Principe :

La puissance perdue dans un segment de ligne est \(P_{perte} = R I^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{SA,initial} = R_{SA,initial} I_{SA,initial}^2\] \[P_{AB,initial} = R_{AB,initial} I_{AB,initial}^2\] \[P_{pertes,initial} = P_{SA,initial} + P_{AB,initial}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{SA,initial} &= 0.20 \, \Omega \times (80 \, \text{A})^2 \\ &= 0.20 \times 6400 \\ &= 1280 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{AB,initial} &= 0.30 \, \Omega \times (30 \, \text{A})^2 \\ &= 0.30 \times 900 \\ &= 270 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{pertes,initial} &= 1280 \, \text{W} + 270 \, \text{W} \\ &= 1550 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 :
  • \(P_{SA,initial} = 1280 \, \text{W}\)
  • \(P_{AB,initial} = 270 \, \text{W}\)
  • \(P_{pertes,initial} = 1550 \, \text{W}\)

Quiz Intermédiaire 1 : La chute de tension dans une ligne est causée par :

Après Optimisation (\(R_{SA,nouveau} = 0.10 \, \Omega\))

Question 4 : Nouveaux courants \(I_{AB,nouveau}\) et \(I_{SA,nouveau}\)

Principe :

Il est stipulé que les courants de charge \(I_{C1}\) et \(I_{C2}\) restent les mêmes. Par conséquent, les courants dans les segments de ligne, qui dépendent uniquement de ces courants de charge, resteront également les mêmes.

Calcul :
\[ I_{AB,nouveau} = I_{C2} = 30 \, \text{A} \] \[ I_{SA,nouveau} = I_{C1} + I_{AB,nouveau} = 50 \, \text{A} + 30 \, \text{A} = 80 \, \text{A} \]
Résultat Question 4 :
  • \(I_{AB,nouveau} = 30 \, \text{A}\)
  • \(I_{SA,nouveau} = 80 \, \text{A}\)

Question 5 : Nouvelles tensions \(V_{A,nouveau}\) et \(V_{B,nouveau}\)

Principe :

On recalcule les chutes de tension et les tensions aux points avec la nouvelle résistance \(R_{SA,nouveau}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta V_{SA,nouveau} = R_{SA,nouveau} \cdot I_{SA,nouveau}\] \[V_{A,nouveau} = V_S - \Delta V_{SA,nouveau}\] \[\Delta V_{AB,nouveau} = R_{AB,initial} \cdot I_{AB,nouveau} \quad (\text{car } R_{AB} \text{ n'a pas changé})\] \[V_{B,nouveau} = V_{A,nouveau} - \Delta V_{AB,nouveau}\]
Données spécifiques :
  • \(V_S = 250 \, \text{V}\)
  • \(R_{SA,nouveau} = 0.10 \, \Omega\), \(I_{SA,nouveau} = 80 \, \text{A}\)
  • \(R_{AB,initial} = 0.30 \, \Omega\), \(I_{AB,nouveau} = 30 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta V_{SA,nouveau} &= 0.10 \, \Omega \times 80 \, \text{A} \\ &= 8 \, \text{V} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} V_{A,nouveau} &= 250 \, \text{V} - 8 \, \text{V} \\ &= 242 \, \text{V} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \Delta V_{AB,nouveau} &= 0.30 \, \Omega \times 30 \, \text{A} \\ &= 9 \, \text{V} \quad (\text{inchangé}) \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} V_{B,nouveau} &= 242 \, \text{V} - 9 \, \text{V} \\ &= 233 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 :
  • \(V_{A,nouveau} = 242 \, \text{V}\)
  • \(V_{B,nouveau} = 233 \, \text{V}\)

Question 6 : Nouvelles puissances perdues

Principe :

On recalcule les pertes avec la nouvelle résistance pour le segment SA.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{SA,nouveau} = R_{SA,nouveau} I_{SA,nouveau}^2\] \[P_{AB,nouveau} = P_{AB,initial}\] \[P_{pertes,nouveau} = P_{SA,nouveau} + P_{AB,nouveau}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{SA,nouveau} &= 0.10 \, \Omega \times (80 \, \text{A})^2 \\ &= 0.10 \times 6400 \\ &= 640 \, \text{W} \end{aligned} \]

\(P_{AB,nouveau}\) reste \(270 \, \text{W}\) car ni \(R_{AB}\) ni \(I_{AB}\) n'ont changé.

\[ \begin{aligned} P_{pertes,nouveau} &= 640 \, \text{W} + 270 \, \text{W} \\ &= 910 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 :
  • \(P_{SA,nouveau} = 640 \, \text{W}\)
  • \(P_{AB,nouveau} = 270 \, \text{W}\)
  • \(P_{pertes,nouveau} = 910 \, \text{W}\)

Quiz Intermédiaire 2 : Réduire la résistance d'une ligne de distribution a pour effet principal de :

Question 7 : Réduction absolue des pertes totales en ligne

Principe :

C'est la différence entre les pertes initiales et les nouvelles pertes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\text{Réduction Pertes} = P_{pertes,initial} - P_{pertes,nouveau}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{Réduction Pertes} &= 1550 \, \text{W} - 910 \, \text{W} \\ &= 640 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : La réduction absolue des pertes totales en ligne est de \(640 \, \text{W}\).

Question 8 : Amélioration en pourcentage de la tension au point B

Principe :

L'amélioration est la différence entre la nouvelle tension et la tension initiale, rapportée à la tension initiale, exprimée en pourcentage.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\text{Amélioration } V_B (\%) = \frac{V_{B,nouveau} - V_{B,initial}}{V_{B,initial}} \times 100\%\]
Données spécifiques :
  • \(V_{B,initial} = 225 \, \text{V}\)
  • \(V_{B,nouveau} = 233 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{Amélioration } V_B (\%) &= \frac{233 \, \text{V} - 225 \, \text{V}}{225 \, \text{V}} \times 100\% \\ &= \frac{8}{225} \times 100\% \\ &\approx 0.03555 \times 100\% \\ &\approx 3.56\% \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : L'amélioration en pourcentage de la tension au point B est d'environ \(3.56\%\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La principale cause des pertes de puissance active dans une ligne de distribution DC est :

2. Pour réduire la chute de tension dans une ligne existante transportant un courant donné, une solution efficace est de :

3. L'optimisation d'un réseau électrique vise souvent à :

Glossaire

Chute de Tension
Diminution de la tension électrique le long d'un conducteur ou d'un segment de circuit due à son impédance (ou résistance en DC) et au courant qui le traverse. \(V_{chute} = ZI\) ou \(RI\).
Ligne de Distribution Radiale
Système de distribution où la puissance s'écoule d'une source unique vers les charges le long de chemins qui ne forment pas de boucles (pas de maillage).
Feeder (Départ)
Conducteur ou ensemble de conducteurs qui distribue l'énergie électrique d'un point central (source, poste) vers des points de consommation ou des sous-réseaux.
Loi d'Ohm
Relation fondamentale \(V = RI\) liant la tension, le courant et la résistance dans un circuit électrique ou une portion de circuit.
Lois de Kirchhoff
Ensemble de deux lois (loi des nœuds et loi des mailles) qui permettent d'analyser les courants et les tensions dans les circuits électriques complexes.
Pertes en Ligne (Pertes Joule)
Puissance dissipée sous forme de chaleur dans la résistance des conducteurs d'une ligne de distribution, due au passage du courant (\(P = RI^2\)).
Optimisation de Réseau
Processus visant à améliorer l'efficacité, la fiabilité et la qualité de service d'un réseau électrique, souvent en minimisant les pertes et les chutes de tension.
Section du Conducteur
Aire de la section transversale d'un conducteur électrique. Une plus grande section implique généralement une plus faible résistance pour une longueur et un matériau donnés.
Optimisation d’un Réseau Électrique Linéaire

D’autres exercices de réseaux éléctriques:

Calcul et Choix de Disjoncteurs
Calcul et Choix de Disjoncteurs

Calcul et Choix de Disjoncteurs Calcul et Choix de Disjoncteurs Comprendre le Calcul et le Choix des Disjoncteurs Les disjoncteurs sont des dispositifs de protection essentiels dans toute installation électrique. Leur rôle principal est de protéger les circuits et les...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *