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Propagation des Ondes Sphériques

Propagation des Ondes Sphériques

Propagation des Ondes Sphériques

Comprendre la Propagation des Ondes Sphériques

Les ondes électromagnétiques, telles que la lumière ou les ondes radio, peuvent se propager de différentes manières. Lorsqu'une onde est émise par une source ponctuelle isotrope (qui émet de manière égale dans toutes les directions), elle se propage sous forme d'onde sphérique. Les fronts d'onde, qui sont les surfaces où la phase de l'onde est constante, sont des sphères concentriques centrées sur la source.

Une caractéristique importante des ondes sphériques est que leur amplitude diminue à mesure qu'elles s'éloignent de la source. Pour une onde électromagnétique se propageant dans un milieu non absorbant, l'amplitude du champ électrique (ou magnétique) est inversement proportionnelle à la distance \(r\) de la source (\(E \propto 1/r\)). Par conséquent, l'intensité de l'onde, qui est proportionnelle au carré de l'amplitude du champ électrique (\(I \propto E^2\)), diminue comme l'inverse du carré de la distance (\(I \propto 1/r^2\)). Cela est dû à la conservation de l'énergie : la puissance totale émise par la source se répartit sur des surfaces sphériques de plus en plus grandes (\(A = 4\pi r^2\)).

Cet exercice explore les caractéristiques d'une onde électromagnétique sphérique, notamment le calcul de son amplitude, de son intensité à différentes distances, et de la puissance totale rayonnée par la source.

Données de l'étude

Une source ponctuelle isotrope émet une onde électromagnétique sphérique harmonique dans le vide.

Caractéristiques de l'onde et de la source :

  • Puissance totale moyenne rayonnée par la source (\(P_{\text{source}}\)) : \(100 \, \text{W}\)
  • Fréquence de l'onde (\(f\)) : \(300 \, \text{MHz}\)
  • Permittivité du vide (\(\epsilon_0\)) : \(8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
  • Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) : \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\)
  • Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}\) (On peut aussi la calculer par \(c = 1/\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}\))
  • Impédance caractéristique du vide (\(Z_0\)) : \(\sqrt{\mu_0/\epsilon_0} \approx 377 \, \text{Ω}\)
Schéma d'une Onde Sphérique Émise par une Source Ponctuelle
Source S r

Source ponctuelle S émettant une onde sphérique. Les cercles représentent les fronts d'onde se propageant radialement.

Questions à traiter

  1. Calculer la longueur d'onde (\(\lambda\)) de l'onde électromagnétique.
  2. Calculer la pulsation (\(\omega\)) et le nombre d'onde (\(k\)) de l'onde.
  3. Exprimer l'intensité moyenne (\(I(r)\)) de l'onde sphérique en fonction de la puissance de la source (\(P_{\text{source}}\)) et de la distance \(r\) à la source.
  4. Calculer l'intensité moyenne de l'onde à une distance \(r_1 = 10 \, \text{m}\) de la source.
  5. L'intensité moyenne d'une onde électromagnétique est aussi reliée à l'amplitude maximale du champ électrique \(E_0(r)\) par \(I(r) = \frac{1}{2} \frac{E_0(r)^2}{Z_0}\). En déduire l'amplitude maximale du champ électrique \(E_0(r_1)\) à la distance \(r_1 = 10 \, \text{m}\).
  6. Comment varie l'amplitude du champ électrique \(E_0(r)\) en fonction de la distance \(r\) pour une onde sphérique ? Calculer \(E_0(r_2)\) à une distance \(r_2 = 50 \, \text{m}\).
  7. Écrire l'expression générale du champ électrique \(\vec{E}(r, t)\) de l'onde sphérique en un point M situé à la distance \(r\) de la source, en supposant une polarisation rectiligne (par exemple, selon \(\vec{u}_\theta\)).

Correction : Propagation des Ondes Sphériques

Question 1 : Longueur d'onde (\(\lambda\))

Principe :

La longueur d'onde \(\lambda\) est reliée à la vitesse de la lumière \(c\) et à la fréquence \(f\) par la relation \(\lambda = c/f\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\lambda = \frac{c}{f}\]
Données spécifiques :
  • Vitesse de la lumière (\(c\)) : \(3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Fréquence (\(f\)) : \(300 \, \text{MHz} = 300 \times 10^6 \, \text{Hz}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda &= \frac{3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}}{300 \times 10^6 \, \text{Hz}} \\ &= \frac{3.00 \times 10^8}{3.00 \times 10^8} \, \text{m} \\ &= 1.00 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La longueur d'onde de l'onde électromagnétique est \(\lambda = 1.00 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la fréquence d'une onde électromagnétique double, sa longueur d'onde (dans le vide) :

Question 2 : Pulsation (\(\omega\)) et nombre d'onde (\(k\))

Principe :

La pulsation \(\omega = 2\pi f\) et le nombre d'onde \(k = 2\pi / \lambda\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\omega = 2\pi f\] \[k = \frac{2\pi}{\lambda}\]
Données spécifiques :
  • Fréquence (\(f\)) : \(300 \times 10^6 \, \text{Hz}\)
  • Longueur d'onde (\(\lambda\)) : \(1.00 \, \text{m}\) (de Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \omega &= 2\pi \cdot (300 \times 10^6 \, \text{Hz}) \\ &= 600\pi \times 10^6 \, \text{rad/s} \\ &\approx 1.885 \times 10^9 \, \text{rad/s} \\ \\ k &= \frac{2\pi}{1.00 \, \text{m}} \\ &= 2\pi \, \text{rad/m} \\ &\approx 6.283 \, \text{rad/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 :
  • Pulsation : \(\omega = 600\pi \times 10^6 \, \text{rad/s} \approx 1.885 \times 10^9 \, \text{rad/s}\)
  • Nombre d'onde : \(k = 2\pi \, \text{rad/m} \approx 6.283 \, \text{rad/m}\)

Quiz Intermédiaire 2 : Le nombre d'onde \(k\) est aussi relié à la pulsation \(\omega\) et à la vitesse de phase \(v_p\) par :

Question 3 : Expression de l'intensité moyenne (\(I(r)\))

Principe :

Pour une source isotrope rayonnant une puissance moyenne \(P_{\text{source}}\), cette puissance se répartit uniformément sur la surface d'une sphère de rayon \(r\). L'aire de cette sphère est \(A_{\text{sphère}} = 4\pi r^2\). L'intensité moyenne \(I(r)\) est la puissance par unité de surface.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I(r) = \frac{P_{\text{source}}}{A_{\text{sphère}}} = \frac{P_{\text{source}}}{4\pi r^2}\]
Résultat Question 3 : L'intensité moyenne de l'onde sphérique est \(I(r) = \frac{P_{\text{source}}}{4\pi r^2}\).

Quiz Intermédiaire 3 : L'intensité d'une onde sphérique idéale diminue avec la distance \(r\) comme :

Question 4 : Calcul de l'intensité moyenne à \(r_1 = 10 \, \text{m}\)

Principe :

Appliquer la formule trouvée en Q3 avec les valeurs numériques.

Données spécifiques :
  • Puissance de la source (\(P_{\text{source}}\)) : \(100 \, \text{W}\)
  • Distance (\(r_1\)) : \(10 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I(r_1) &= \frac{100 \, \text{W}}{4\pi (10 \, \text{m})^2} \\ &= \frac{100}{4\pi \cdot 100} \, \text{W/m}^2 \\ &= \frac{1}{4\pi} \, \text{W/m}^2 \\ &\approx \frac{1}{12.566} \, \text{W/m}^2 \\ &\approx 0.079577 \, \text{W/m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'intensité moyenne à \(r_1 = 10 \, \text{m}\) est \(I(r_1) \approx 0.0796 \, \text{W/m}^2\).

Quiz Intermédiaire 4 : L'unité de l'intensité électromagnétique est :

Question 5 : Amplitude maximale du champ électrique \(E_0(r_1)\) à \(10 \, \text{m}\)

Principe :

L'intensité moyenne \(I(r)\) est reliée à l'amplitude maximale du champ électrique \(E_0(r)\) et à l'impédance du vide \(Z_0\) par \(I(r) = \frac{E_0(r)^2}{2Z_0}\). On peut donc isoler \(E_0(r)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_0(r) = \sqrt{2 Z_0 I(r)}\]
Données spécifiques :
  • Intensité à \(r_1\) (\(I(r_1)\)) : \(\approx 0.079577 \, \text{W/m}^2\) (de Q4)
  • Impédance du vide (\(Z_0\)) : \(\approx 377 \, \text{Ω}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_0(r_1) &= \sqrt{2 \cdot 377 \, \text{Ω} \cdot 0.079577 \, \text{W/m}^2} \\ &= \sqrt{754 \cdot 0.079577} \, \text{V/m} \\ &= \sqrt{60.000} \, \text{V/m} \\ &\approx 7.746 \, \text{V/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'amplitude maximale du champ électrique à \(r_1 = 10 \, \text{m}\) est \(E_0(r_1) \approx 7.75 \, \text{V/m}\).

Quiz Intermédiaire 5 : L'impédance caractéristique du vide \(Z_0\) est égale à :

Question 6 : Amplitude du champ électrique \(E_0(r_2)\) à \(r_2 = 50 \, \text{m}\)

Principe :

Pour une onde sphérique, l'amplitude du champ électrique \(E_0(r)\) est inversement proportionnelle à la distance \(r\), donc \(E_0(r) \propto 1/r\). Ainsi, \(E_0(r_2) / E_0(r_1) = r_1 / r_2\).

Alternativement, on peut recalculer l'intensité \(I(r_2)\) puis \(E_0(r_2)\).

Calcul (Méthode 1 : proportionnalité) :
\[ \begin{aligned} E_0(r_2) &= E_0(r_1) \cdot \frac{r_1}{r_2} \\ &= 7.746 \, \text{V/m} \cdot \frac{10 \, \text{m}}{50 \, \text{m}} \\ &= 7.746 \cdot \frac{1}{5} \, \text{V/m} \\ &= 1.5492 \, \text{V/m} \end{aligned} \]

Calcul (Méthode 2 : via l'intensité)

\[ \begin{aligned} I(r_2) &= \frac{P_{\text{source}}}{4\pi r_2^2} \\ &= \frac{100 \, \text{W}}{4\pi (50 \, \text{m})^2} \\ &= \frac{100}{4\pi \cdot 2500} \, \text{W/m}^2 \\ &= \frac{1}{100\pi} \, \text{W/m}^2 \\ &\approx 0.003183 \, \text{W/m}^2 \\ E_0(r_2) &= \sqrt{2 Z_0 I(r_2)} \\ &= \sqrt{2 \cdot 377 \, \text{Ω} \cdot 0.003183 \, \text{W/m}^2} \\ &= \sqrt{754 \cdot 0.003183} \, \text{V/m} \\ &= \sqrt{2.400} \, \text{V/m} \\ &\approx 1.549 \, \text{V/m} \end{aligned} \]

Les résultats concordent (les petites différences sont dues aux arrondis).

Résultat Question 6 : L'amplitude maximale du champ électrique à \(r_2 = 50 \, \text{m}\) est \(E_0(r_2) \approx 1.55 \, \text{V/m}\).

Quiz Intermédiaire 6 : Pour une onde sphérique, si la distance à la source est multipliée par 5, l'amplitude du champ électrique est :

Question 7 : Expression générale du champ électrique \(\vec{E}(r, t)\)

Principe :

Pour une onde sphérique se propageant dans la direction radiale \(\vec{u}_r\), l'amplitude du champ électrique varie en \(1/r\). Le champ oscille sinusoïdalement avec une phase \((kr - \omega t + \phi_0)\). Si la polarisation est rectiligne, par exemple selon \(\vec{u}_\theta\) (perpendiculaire à la direction de propagation), l'expression est :

Formule(s) utilisée(s) :
\[\vec{E}(r, t) = \frac{A_0}{r} \cos(kr - \omega t + \phi_0) \vec{u}_{\text{polarisation}}\]

Où \(A_0\) est une constante reliée à l'amplitude à une distance de référence (par exemple, \(E_0(r_1) = A_0/r_1 \Rightarrow A_0 = E_0(r_1) \cdot r_1\)). \(\phi_0\) est la phase à l'origine, que l'on peut prendre nulle pour simplifier si non spécifiée.

Calcul de \(A_0\) :
\[ \begin{aligned} A_0 &= E_0(r_1) \cdot r_1 \\ &\approx (7.746 \, \text{V/m}) \cdot (10 \, \text{m}) \\ &\approx 77.46 \, \text{V} \end{aligned} \]
Expression :

En supposant \(\phi_0 = 0\) et une polarisation selon \(\vec{u}_\theta\):

\[\vec{E}(r, t) \approx \frac{77.46}{r} \cos(2\pi r - 600\pi \times 10^6 t) \, \vec{u}_\theta \, (\text{V/m})\]

Où \(r\) est en mètres et \(t\) en secondes.

Résultat Question 7 : L'expression générale du champ électrique (avec \(\phi_0=0\) et polarisation \(\vec{u}_\theta\)) est \(\vec{E}(r, t) \approx \frac{77.46}{r} \cos(2\pi r - 1.885 \times 10^9 t) \, \vec{u}_\theta \, \text{V/m}\).

Quiz Intermédiaire 7 : Dans une onde électromagnétique sphérique se propageant dans le vide, les vecteurs \(\vec{E}\), \(\vec{B}\) et la direction de propagation \(\vec{u}_r\) sont :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'amplitude du champ électrique d'une onde sphérique idéale :

2. L'intensité moyenne d'une onde sphérique idéale :

3. La puissance totale moyenne rayonnée par une source isotrope à travers une sphère centrée sur la source :

Glossaire

Onde Sphérique
Onde qui se propage radialement à partir d'une source ponctuelle, dont les fronts d'onde sont des sphères concentriques.
Front d'Onde
Surface sur laquelle la phase d'une onde progressive est constante à un instant donné.
Source Isotrope
Source qui émet de l'énergie (par exemple, lumineuse ou sonore) de manière égale dans toutes les directions.
Amplitude du Champ Électrique (\(E_0\))
Valeur maximale du champ électrique oscillant dans une onde électromagnétique.
Intensité d'une Onde (\(I\))
Puissance transportée par l'onde par unité de surface perpendiculaire à la direction de propagation. Unité : Watt par mètre carré (\(\text{W/m}^2\)).
Longueur d'Onde (\(\lambda\))
Distance spatiale sur laquelle la forme d'onde se répète. \(\lambda = c/f\). Unité : Mètre (m).
Pulsation (\(\omega\))
Vitesse angulaire de l'oscillation de l'onde. \(\omega = 2\pi f\). Unité : Radian par seconde (rad/s).
Nombre d'Onde (\(k\))
Mesure spatiale de la répétition de l'onde. \(k = 2\pi/\lambda\). Unité : Radian par mètre (rad/m).
Impédance Caractéristique du Vide (\(Z_0\))
Rapport entre l'amplitude du champ électrique et l'amplitude du champ magnétique d'une onde électromagnétique se propageant dans le vide. \(Z_0 = \sqrt{\mu_0/\epsilon_0} \approx 377 \, \text{Ω}\).
Permittivité du Vide (\(\epsilon_0\))
Constante physique représentant la capacité du vide à permettre la formation d'un champ électrique.
Perméabilité du Vide (\(\mu_0\))
Constante physique représentant la capacité du vide à supporter la formation d'un champ magnétique.
Propagation des Ondes Sphériques

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