Calcul de l'Autonomie d’un système alimenté par batterie
Contexte : L'alimentation d'un refuge de montagne.
Nous devons concevoir le système d'éclairage autonome pour un refuge de montagne non raccordé au réseau électrique. Le système sera alimenté par une batterie rechargée par des panneaux solaires. L'objectif est de garantir une certaine durée d'éclairage, appelée autonomieDurée pendant laquelle un système peut fonctionner sur sa batterie sans être rechargé., pour assurer le confort et la sécurité des randonneurs. Cet exercice vous guidera à travers les calculs fondamentaux pour dimensionner un tel système.
Remarque Pédagogique : Cet exercice pratique permet d'appliquer des lois fondamentales de l'électricité (Loi d'Ohm, calculs de puissance) à un cas d'usage réel et de comprendre les facteurs clés qui influencent la durée de vie d'un système sur batterie.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et calculer la puissance totale d'un circuit.
- Déterminer l'énergie utilisable d'une batterie en fonction de sa profondeur de décharge (DoD)Pourcentage de la capacité totale d'une batterie qui peut être déchargé sans endommager la batterie..
- Appliquer la relation entre capacité, courant et temps pour calculer l'autonomie.
- Analyser l'impact d'une variation de la consommation sur l'autonomie du système.
Données de l'étude
Fiche Technique de la Batterie
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Technologie | Plomb-Acide (AGM) |
| Tension nominale (U) | 12 V |
| Capacité nominale (C) | 150 Ah |
| Profondeur de décharge (DoD) max. | 50 % |
Schéma de principe du système d'éclairage
| Équipement | Puissance Unitaire (P) | Quantité |
|---|---|---|
| Ampoule LED (Zone commune) | 9 W | 6 |
| Ampoule LED (Dortoirs) | 5 W | 8 |
Questions à traiter
- Calculer la puissance totale consommée (P_totale) lorsque toutes les lumières sont allumées.
- Calculer le courant total (I_total) débité par la batterie.
- Déterminer la capacité utile (C_utile) de la batterie en Ampères-heures.
- En déduire l'autonomie du système (en heures) si toutes les lumières restent allumées en continu.
- Le gardien souhaite ajouter 2 ampoules de 9 W dans la cuisine. Quelle serait la nouvelle autonomie ?
Les bases de l'autonomie électrique
Pour résoudre cet exercice, nous aurons besoin de quelques formules fondamentales en électricité.
1. La Loi d'Ohm pour la Puissance
La puissance électrique \(P\), en Watts (W), est le produit de la tension \(U\), en Volts (V), et du courant \(I\), en Ampères (A).
\[ P = U \times I \]
2. Capacité d'une batterie et Autonomie
La capacité \(C\) d'une batterie, en Ampères-heures (Ah), représente la quantité de courant qu'elle peut fournir pendant une heure. L'autonomie \(T\), en heures (h), est le rapport entre la capacité utile et le courant consommé.
\[ T = \frac{C_{\text{utile}}}{I_{\text{total}}} \]
Correction : Calcul de l'Autonomie d’un système alimenté par batterie
Question 1 : Calculer la puissance totale consommée (\(P_{\text{totale}}\)).
Principe
Le concept physique ici est la conservation de l'énergie. La puissance totale fournie par la batterie doit être égale à la somme de toutes les puissances consommées par chaque appareil (ici, les ampoules) fonctionnant en même temps.
Mini-Cours
Dans un circuit électrique, les puissances des différents récepteurs (lampes, moteurs, etc.) s'additionnent pour donner la puissance totale que la source doit fournir. C'est vrai que les composants soient branchés en série ou en parallèle. On fait simplement la somme arithmétique de toutes les puissances consommées.
Remarque Pédagogique
La première étape de tout dimensionnement est de faire un "bilan de puissance" exhaustif. Pensez à lister absolument toutes les charges, même les plus petites, pour obtenir une estimation la plus juste possible de la consommation maximale.
Normes
Bien qu'il n'y ait pas de norme pour une simple addition, les calculs de charge pour les installations électriques sont encadrés par des normes comme la NFC 15-100 en France, qui définit comment évaluer les besoins en puissance d'une installation pour dimensionner correctement les protections et les câbles.
Formule(s)
Puissance d'un groupe d'appareils
Puissance totale
Hypothèses
Pour ce calcul, on pose les hypothèses suivantes :
- Toutes les ampoules fonctionnent à leur puissance nominale.
- Il n'y a pas de pertes dans les câbles ou les connexions (circuit idéal).
- Le rendement des ampoules est considéré comme parfait.
Donnée(s)
On reprend les données de consommation du tableau de l'énoncé.
| Équipement | Puissance Unitaire | Quantité |
|---|---|---|
| Ampoule LED (Zone commune) | 9 W | 6 |
| Ampoule LED (Dortoirs) | 5 W | 8 |
Astuces
Pour une estimation rapide, on peut faire un calcul mental : 6 ampoules de presque 10W, ça fait environ 60W. 8 ampoules de 5W, ça fait 40W. Total : environ 100W. Cela permet de vérifier l'ordre de grandeur du résultat final.
Schéma (Avant les calculs)
Bilan de puissance
Calcul(s)
Puissance du groupe "Zone commune"
Puissance du groupe "Dortoirs"
Somme des puissances
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Le résultat de 94W montre que l'éclairage de la zone commune représente la majorité de la consommation (54W sur 94W, soit environ 57%). C'est donc sur ce poste que des économies d'énergie auraient le plus d'impact.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier un groupe d'appareils ou de se tromper dans les multiplications. Il est essentiel de bien lire l'énoncé et de vérifier son calcul.
Points à retenir
La puissance totale d'un système est la somme des puissances de tous ses composants. C'est le point de départ de tout calcul de dimensionnement (câbles, batterie, protections).
Le saviez-vous ?
L'avènement des ampoules LED a divisé par 5 à 10 la consommation électrique liée à l'éclairage par rapport aux ampoules à incandescence, rendant les systèmes autonomes comme celui du refuge beaucoup plus accessibles et performants.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes sur ce calcul.
Résultat Final
A vous de jouer
Le gardien remplace les 8 ampoules des dortoirs par des modèles de 7W. Quelle devient la nouvelle puissance totale ?
Question 2 : Calculer le courant total (\(I_{\text{total}}\)) débité par la batterie.
Principe
Le courant représente le "débit" d'électrons dans le circuit. Il est directement lié à la puissance consommée et à la tension du système. En utilisant la loi d'Ohm appliquée à la puissance (\(P = U \times I\)), on peut isoler et calculer le courant (\(I\)).
Mini-Cours
La relation \(P = U \times I\) est l'une des plus fondamentales en électricité. Elle montre que pour une même puissance, plus la tension est faible (ex: 12V), plus le courant doit être élevé, et inversement. C'est pourquoi les lignes à haute tension transportent l'électricité avec de très hautes tensions pour minimiser le courant et donc les pertes par effet Joule (chaleur) dans les câbles.
Remarque Pédagogique
Le calcul du courant est crucial. Ce n'est pas juste un résultat intermédiaire. C'est cette valeur qui va nous servir à dimensionner la section des câbles de l'installation et le calibre des fusibles ou disjoncteurs qui protègeront le système.
Normes
La norme NFC 15-100, dans ses abaques, donne la section de câble minimale à utiliser en fonction du courant maximal et de la longueur du câble, afin d'éviter la surchauffe et de limiter les chutes de tension.
Formule(s)
Formule du courant
Hypothèses
On suppose que la tension de la batterie reste parfaitement constante à 12V durant toute la décharge, ce qui est une simplification (en réalité, elle diminue légèrement).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance totale | \(P_{\text{totale}}\) | 94 | W |
| Tension du système | \(U\) | 12 | V |
Astuces
Une astuce pour les systèmes 12V : diviser la puissance par 10 (au lieu de 12) donne une approximation rapide et légèrement majorée du courant, ce qui est utile pour une première estimation sécuritaire.
Schéma (Avant les calculs)
Mesure du courant total
Calcul(s)
Application de la formule
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la mesure
Réflexions
Un courant de 7.83A est un courant non négligeable en basse tension. Il nécessitera des câbles d'une section d'au moins 2.5mm² pour limiter les pertes et l'échauffement, voire 4mm² si la distance entre la batterie et les lampes est importante.
Points de vigilance
L'erreur classique est d'inverser la formule (U/P) ou d'utiliser la mauvaise tension. En basse tension (12/24V), les courants sont élevés, il est donc crucial de ne pas se sous-estimer ce calcul.
Points à retenir
Le courant est la conséquence directe de la puissance demandée par la charge à une tension donnée. La formule à retenir est : \(I = P / U\).
Le saviez-vous ?
André-Marie Ampère, qui a donné son nom à l'unité de courant, est un savant français du 19ème siècle. Il est l'un des principaux fondateurs de l'électrodynamique, l'étude des interactions entre l'électricité et le magnétisme.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes sur ce calcul.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la puissance totale était de 120 W, quel serait le courant débité par la batterie de 12V ?
Question 3 : Déterminer la capacité utile (\(C_{\text{utile}}\)) de la batterie.
Principe
La capacité utile est la "quantité d'énergie" que l'on s'autorise à puiser dans la batterie pour ne pas l'endommager. Ce concept est matérialisé par la Profondeur de Décharge (DoD), un pourcentage de la capacité totale que le fabricant recommande de ne pas dépasser.
Mini-Cours
La durée de vie d'une batterie, exprimée en cycles de charge/décharge, est inversement liée à la profondeur de décharge. Une batterie au plomb déchargée systématiquement à 80% (DoD 80%) aura une vie beaucoup plus courte qu'une batterie déchargée à 30%. Le DoD de 50% est un compromis courant pour les batteries AGM pour un bon rapport autonomie/durée de vie.
Remarque Pédagogique
Considérez la capacité utile comme le "réservoir utilisable" de votre voiture. Même si le réservoir fait 50 litres (capacité nominale), vous le remplissez avant qu'il ne soit complètement vide pour ne pas tomber en panne. C'est la même idée pour une batterie : on garde une réserve pour la préserver.
Normes
Les fiches techniques des batteries, basées sur des standards internationaux comme la norme IEC 60896 pour les batteries stationnaires, spécifient la capacité nominale pour un régime de décharge donné (souvent en 20 heures, noté C/20) et recommandent des profondeurs de décharge maximales.
Formule(s)
Formule de la capacité utile
Hypothèses
On fait l'hypothèse que la recommandation du fabricant de 50% de DoD est fiable et permet de garantir un nombre de cycles de vie satisfaisant pour l'application visée.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Capacité nominale | \(C_{\text{nominale}}\) | 150 | Ah |
| Profondeur de décharge | DoD | 50% (soit 0.5) | - |
Astuces
Un DoD de 50% revient simplement à diviser la capacité nominale par deux. Un DoD de 25% à la diviser par quatre, etc. Connaître ces fractions simples accélère le calcul mental.
Schéma (Avant les calculs)
Capacité de la batterie
Calcul(s)
Application de la formule
Schéma (Après les calculs)
Répartition de la Capacité
Réflexions
Cela signifie que sur les 150 Ah de capacité totale "marketing", nous ne pouvons en réalité en utiliser que 75 Ah au quotidien pour assurer la pérennité de l'installation. C'est un point fondamental souvent négligé dans les calculs simplistes.
Points de vigilance
Ne jamais confondre la capacité utile et la capacité nominale dans un calcul d'autonomie. Utiliser la capacité nominale mènerait à une surestimation dangereuse de l'autonomie et à une usure prématurée de la batterie.
Points à retenir
La capacité réellement disponible d'une batterie dépend de la technologie et de l'usage. On la calcule avec : \(C_{\text{utile}} = C_{\text{nominale}} \times \text{DoD}\).
Le saviez-vous ?
L'effet Peukert, découvert par le scientifique allemand Wilhelm Peukert en 1897, décrit le fait que la capacité disponible d'une batterie au plomb diminue lorsque le courant de décharge augmente. Une batterie de 100Ah ne fournira pas 100A pendant 1h, mais bien moins !
FAQ
Voici quelques questions fréquentes sur ce calcul.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle est la capacité utile d'une batterie de 200 Ah avec un DoD recommandé de 40% ?
Question 4 : En déduire l'autonomie du système (en heures).
Principe
L'autonomie est simplement la durée pendant laquelle le "réservoir" de la batterie (sa capacité utile) peut alimenter la consommation (le courant total). C'est une application directe de la définition de l'Ampère-heure.
Mini-Cours
La capacité en Ampères-heures (Ah) peut être vue comme une "quantité de courant disponible dans le temps". Si une batterie a une capacité de 75 Ah, cela signifie qu'elle peut théoriquement fournir 75 A pendant 1 heure, ou 1 A pendant 75 heures, ou 7.83 A pendant... T heures. Le produit du courant et du temps reste constant : \(I \times T = C\).
Remarque Pédagogique
Ce calcul donne une autonomie théorique à un instant T. Il est crucial de se demander si cette durée est suffisante pour l'usage prévu. Pour un refuge, il faut s'assurer que l'autonomie couvre au minimum la durée d'une soirée et d'une matinée, même après une journée sans soleil.
Normes
Le dimensionnement de systèmes autonomes (sites isolés) fait l'objet de guides et de bonnes pratiques, mais il n'y a pas de norme imposant une autonomie precise. Celle-ci est définie par le cahier des charges du client en fonction de ses besoins en sécurité et en confort.
Formule(s)
Formule de l'autonomie
Hypothèses
On suppose que le courant de décharge reste constant tout au long de l'utilisation. On néglige aussi l'effet de la température, qui peut pourtant réduire significativement la capacité de la batterie en hiver.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Capacité utile | \(C_{\text{utile}}\) | 75 | Ah |
| Courant total | \(I_{\text{total}}\) | 7.83 | A |
Astuces
Pour vérifier la cohérence, on peut faire le calcul inverse : multiplier l'autonomie trouvée (en h) par le courant (en A) doit nous redonner la capacité utile (en Ah). C'est un bon moyen de s'assurer qu'on n'a pas inversé la division.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul de la durée de décharge
Calcul(s)
Application de la formule
Schéma (Après les calculs)
Durée de décharge calculée
Réflexions
Le résultat est d'environ 9.58 heures. Pour le convertir en heures et minutes : \(0.58 \text{ heures} \times 60 \text{ minutes/heure} \approx 35 \text{ minutes}\). L'autonomie est donc d'environ 9 heures et 35 minutes. Cela semble suffisant pour couvrir les besoins d'une soirée (de 18h à minuit) et du matin (de 6h à 8h).
Points de vigilance
Assurez-vous que les unités sont cohérentes : la capacité doit être en Ampères-heures (Ah) et le courant en Ampères (A) pour obtenir un résultat en heures (h). Une erreur d'unité est vite arrivée !
Points à retenir
L'autonomie est le rapport entre la capacité que l'on peut utiliser et le courant que l'on consomme. Elle augmente si la capacité augmente, et diminue si la consommation (le courant) augmente.
Le saviez-vous ?
La toute première batterie électrique, la "pile voltaïque", a été inventée par Alessandro Volta en 1800. Elle était composée d'un empilement de disques de cuivre et de zinc séparés par du carton imbibé d'eau salée. C'est elle qui a permis les premières études sur le courant électrique.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes sur ce calcul.
Résultat Final
A vous de jouer
Et si le DoD était de 80% (avec une batterie Lithium de même capacité nominale) ? Quelle serait la nouvelle autonomie (en heures) ? (Le courant reste 7.83A)
Question 5 : Quelle serait la nouvelle autonomie avec 2 ampoules de 9 W en plus ?
Principe
L'ajout de nouveaux consommateurs modifie le bilan de puissance total. Cela va augmenter le courant total tiré sur la batterie et, par conséquent, mécaniquement réduire l'autonomie globale, puisque le "réservoir" (la capacité utile) est vidé plus rapidement.
Mini-Cours
Le dimensionnement d'un système est un processus itératif. Toute modification, même mineure, du cahier des charges (ici, l'ajout de lampes) impose de refaire la chaîne de calculs : nouvelle puissance \(\Rightarrow\) nouveau courant \(\Rightarrow\) nouvelle autonomie. Cela permet de valider que le système reste cohérent avec les besoins et les contraintes initiales.
Remarque Pédagogique
C'est un cas d'école très fréquent. Un client valide un dimensionnement initial, puis demande un ajout ("juste une petite prise en plus..."). Il est du devoir du technicien ou de l'ingénieur de chiffrer l'impact de cette modification sur les performances globales pour prendre une décision éclairée.
Normes
Il n'y a pas de norme spécifique ici, mais cela relève des bonnes pratiques de l'ingénierie : toute modification d'un système doit faire l'objet d'une nouvelle validation par le calcul pour s'assurer qu'elle ne compromet pas la sécurité ou la performance.
Formule(s)
Nouvelle puissance totale
Nouveau courant total
Nouvelle autonomie
Hypothèses
On conserve les mêmes hypothèses que précédemment : tension constante à 12V, capacité utile inchangée, fonctionnement à puissance nominale.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance ajoutée | \(P_{\text{ajout}}\) | 18 | W |
| Puissance totale initiale | \(P_{\text{totale}}\) | 94 | W |
| Capacité utile | \(C_{\text{utile}}\) | 75 | Ah |
| Tension du système | \(U\) | 12 | V |
Astuces
Avant même le calcul, on peut anticiper le résultat. On ajoute 18W à 94W, soit environ 20% de puissance en plus. L'autonomie devrait donc diminuer d'un pourcentage similaire. Cela permet de détecter une erreur grossière si le résultat final est très éloigné.
Schéma (Avant les calculs)
Ajout d'une charge
Calcul(s)
Nouvelle puissance totale
Nouveau courant total
Nouvelle autonomie
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
L'autonomie passe de 9.58h à 8.04h, soit une perte de 1.54 heures (environ 1h32). Cette réduction de 16% de l'autonomie pour un ajout de 18W de consommation est significative et pourrait être problématique pendant les longues nuits d'hiver.
Points de vigilance
Ne pas prendre de raccourci en appliquant un simple pourcentage. Il faut toujours refaire la séquence complète de calcul (Puissance \(\Rightarrow\) Courant \(\Rightarrow\) Autonomie) pour éviter les erreurs d'approximation.
Points à retenir
Dans un système aux ressources limitées (comme une batterie), toute augmentation de la consommation a un impact direct et inversement proportionnel sur l'autonomie.
Le saviez-vous ?
Les systèmes de gestion de batterie modernes (BMS - Battery Management System), notamment pour les batteries au Lithium, sont des circuits électroniques intelligents qui surveillent en permanence la tension, le courant et la température pour protéger la batterie et optimiser sa performance et sa durée de vie.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes sur ce calcul.
Résultat Final
A vous de jouer
Finalement, le gardien retire 4 ampoules de 5W des dortoirs (depuis la configuration initiale de 94W). Quelle est la nouvelle autonomie ?
Outil Interactif : Simulateur d'Autonomie
Utilisez les curseurs pour voir comment la capacité de la batterie et la puissance consommée influencent l'autonomie d'un système 12V avec un DoD de 50%.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si la puissance consommée par un système double, que devient son autonomie (en supposant que les autres paramètres ne changent pas) ?
2. La "capacité utile" d'une batterie est toujours...
3. Quelle est l'unité de la capacité d'une batterie ?
4. Un DoD (Profondeur de décharge) de 100% est recommandé pour...
5. Un système 12V consomme 120W. Quel courant débite la batterie ?
- Autonomie
- Durée pendant laquelle un système peut fonctionner sur sa source d'énergie (batterie) sans être rechargé.
- Capacité Nominale (Ah)
- Quantité totale de charge électrique qu'une batterie peut théoriquement stocker et restituer. S'exprime en Ampères-heures.
- Profondeur de Décharge (DoD)
- Pourcentage de la capacité nominale qui est déchargé de la batterie. Un DoD de 100% signifie une décharge complète. Pour préserver la batterie, on se limite à un DoD plus faible.
- Courant (A)
- Débit de la charge électrique, mesuré en Ampères.
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