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Exercices Électricité

Propagation d’une onde électromagnétique plane

Propagation d’une Onde Électromagnétique Plane

Propagation d’une Onde Électromagnétique Plane

Comprendre les Ondes Électromagnétiques Planes

Une onde électromagnétique plane est une idéalisation d'une onde dont les fronts d'onde (surfaces d'égale phase) sont des plans infinis perpendiculaires à la direction de propagation. Dans une telle onde, les vecteurs champ électrique (\(\vec{E}\)) et champ magnétique (\(\vec{B}\)) sont transversaux (perpendiculaires à la direction de propagation) et perpendiculaires entre eux. Le triplet (\(\vec{E}\), \(\vec{B}\), \(\vec{k}\)) (où \(\vec{k}\) est le vecteur d'onde indiquant la direction de propagation) forme un trièdre direct.

La propagation de ces ondes dans un milieu est caractérisée par la permittivité (\(\epsilon\)) et la perméabilité (\(\mu\)) du milieu. Ces propriétés déterminent la vitesse de propagation de l'onde (\(v_p = 1/\sqrt{\epsilon\mu}\)), son impédance caractéristique (\(\eta = \sqrt{\mu/\epsilon}\)), sa longueur d'onde (\(\lambda\)) et son nombre d'onde (\(k\)). L'énergie transportée par l'onde est décrite par le vecteur de Poynting (\(\vec{S} = \frac{1}{\mu} \vec{E} \times \vec{B}\)), dont la valeur moyenne représente l'intensité de l'onde.

Cet exercice se concentre sur l'analyse des caractéristiques d'une onde électromagnétique plane se propageant dans un milieu diélectrique linéaire, homogène, isotrope, non magnétique et sans pertes.

Données de l'étude

Une onde électromagnétique plane, harmonique et polarisée rectilignement se propage dans un milieu diélectrique non magnétique.

Caractéristiques de l'onde et du milieu :

  • Fréquence de l'onde (\(f\)) : \(1.0 \, \text{GHz}\)
  • Amplitude maximale du champ électrique (\(E_0\)) : \(10 \, \text{V/m}\)
  • Permittivité relative du milieu (\(\epsilon_r\)) : \(4.0\)
  • Perméabilité relative du milieu (\(\mu_r\)) : \(1.0\) (milieu non magnétique)
  • Permittivité du vide (\(\epsilon_0\)) : \(8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
  • Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) : \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\)
  • Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}\)

L'onde se propage dans la direction \(+z\), et le champ électrique est polarisé selon l'axe \(x\).

Schéma d'une Onde Électromagnétique Plane
z (k) x (E) y (B) Origine Fronts d'onde E B k

Onde électromagnétique plane se propageant selon \(z\), avec \(\vec{E}\) selon \(x\) et \(\vec{B}\) selon \(y\).

Questions à traiter

  1. Calculer la pulsation \(\omega\) de l'onde.
  2. Calculer la permittivité absolue \(\epsilon\) et la perméabilité absolue \(\mu\) du milieu.
  3. Calculer la vitesse de propagation (vitesse de phase) \(v_p\) de l'onde dans ce milieu.
  4. Calculer la longueur d'onde \(\lambda\) de l'onde dans ce milieu.
  5. Calculer le nombre d'onde \(k\) dans ce milieu.
  6. Calculer l'impédance caractéristique \(\eta\) du milieu.
  7. Calculer l'amplitude maximale du champ magnétique \(B_0\).
  8. Écrire les expressions vectorielles instantanées du champ électrique \(\vec{E}(z,t)\) et du champ magnétique \(\vec{B}(z,t)\).
  9. Calculer la magnitude du vecteur de Poynting moyen \(S_{\text{moy}}\), qui représente l'intensité de l'onde.

Correction : Propagation d’une Onde Électromagnétique Plane

Question 1 : Pulsation \(\omega\) de l'onde

Principe :

La pulsation \(\omega\) (en radians par seconde) est liée à la fréquence \(f\) (en Hertz) par la relation \(\omega = 2\pi f\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\omega = 2\pi f\]
Données spécifiques :
  • Fréquence (\(f\)) : \(1.0 \, \text{GHz} = 1.0 \times 10^9 \, \text{Hz}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \omega &= 2\pi \cdot (1.0 \times 10^9 \, \text{Hz}) \\ &= 2\pi \times 10^9 \, \text{rad/s} \\ &\approx 6.283 \times 10^9 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La pulsation de l'onde est \(\omega \approx 6.283 \times 10^9 \, \text{rad/s}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la fréquence d'une onde est de 50 Hz, sa pulsation est :

Question 2 : Permittivité \(\epsilon\) et perméabilité \(\mu\) du milieu

Principe :

La permittivité absolue \(\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r\) et la perméabilité absolue \(\mu = \mu_0 \mu_r\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r\] \[\mu = \mu_0 \mu_r\]
Données spécifiques :
  • \(\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
  • \(\epsilon_r = 4.0\)
  • \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\)
  • \(\mu_r = 1.0\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \epsilon &= (8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}) \cdot 4.0 \\ &= 3.5416 \times 10^{-11} \, \text{F/m} \\ \\ \mu &= (4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}) \cdot 1.0 \\ &= 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A} \\ &\approx 1.2566 \times 10^{-6} \, \text{H/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 :
  • Permittivité absolue : \(\epsilon \approx 3.542 \times 10^{-11} \, \text{F/m}\)
  • Perméabilité absolue : \(\mu \approx 1.257 \times 10^{-6} \, \text{H/m}\)

Quiz Intermédiaire 2 : Pour le vide, la permittivité relative \(\epsilon_r\) et la perméabilité relative \(\mu_r\) sont :

Question 3 : Vitesse de propagation (\(v_p\))

Principe :

La vitesse de propagation (vitesse de phase) d'une onde électromagnétique dans un milieu est \(v_p = 1/\sqrt{\epsilon\mu}\). Elle peut aussi s'exprimer comme \(v_p = c/n\), où \(n = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}\) est l'indice de réfraction du milieu.

Formule(s) utilisée(s) :
\[v_p = \frac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}} = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r \mu_r}}\]
Données spécifiques :
  • \(\epsilon \approx 3.5416 \times 10^{-11} \, \text{F/m}\) (de Q2)
  • \(\mu \approx 1.2566 \times 10^{-6} \, \text{H/m}\) (de Q2)
  • Ou : \(c = 3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}\), \(\epsilon_r = 4.0\), \(\mu_r = 1.0\)
Calcul (utilisant \(c, \epsilon_r, \mu_r\)) :
\[ \begin{aligned} v_p &= \frac{3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}}{\sqrt{4.0 \cdot 1.0}} \\ &= \frac{3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}}{\sqrt{4.0}} \\ &= \frac{3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}}{2.0} \\ &= 1.50 \times 10^8 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La vitesse de propagation de l'onde dans le milieu est \(v_p = 1.50 \times 10^8 \, \text{m/s}\).

Quiz Intermédiaire 3 : L'indice de réfraction \(n\) d'un milieu est défini comme :

Question 4 : Longueur d'onde (\(\lambda\)) dans le milieu

Principe :

La longueur d'onde \(\lambda\) est reliée à la vitesse de propagation \(v_p\) et à la fréquence \(f\) par \(\lambda = v_p/f\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\lambda = \frac{v_p}{f}\]
Données spécifiques :
  • Vitesse de propagation (\(v_p\)) : \(1.50 \times 10^8 \, \text{m/s}\) (de Q3)
  • Fréquence (\(f\)) : \(1.0 \times 10^9 \, \text{Hz}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda &= \frac{1.50 \times 10^8 \, \text{m/s}}{1.0 \times 10^9 \, \text{Hz}} \\ &= 0.150 \, \text{m} \end{aligned} \]

Soit \(\lambda = 15.0 \, \text{cm}\).

Résultat Question 4 : La longueur d'onde dans le milieu est \(\lambda = 0.150 \, \text{m}\).

Question 5 : Nombre d'onde (\(k\)) dans le milieu

Principe :

Le nombre d'onde \(k\) est relié à la longueur d'onde \(\lambda\) par \(k = 2\pi/\lambda\). Il peut aussi être calculé par \(k = \omega/v_p\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[k = \frac{2\pi}{\lambda}\]
Données spécifiques :
  • Longueur d'onde (\(\lambda\)) : \(0.150 \, \text{m}\) (de Q4)
  • Pulsation (\(\omega\)) : \(\approx 6.283 \times 10^9 \, \text{rad/s}\) (de Q1)
  • Vitesse de propagation (\(v_p\)) : \(1.50 \times 10^8 \, \text{m/s}\) (de Q3)
Calcul (utilisant \(\lambda\)) :
\[ \begin{aligned} k &= \frac{2\pi}{0.150 \, \text{m}} \\ &\approx \frac{6.283185}{0.150} \, \text{rad/m} \\ &\approx 41.8879 \, \text{rad/m} \end{aligned} \]

Vérification avec \(k = \omega/v_p\): \(k = (6.283185 \times 10^9 \, \text{rad/s}) / (1.50 \times 10^8 \, \text{m/s}) \approx 41.8879 \, \text{rad/m}\).

Résultat Question 5 : Le nombre d'onde dans le milieu est \(k \approx 41.89 \, \text{rad/m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : L'unité du nombre d'onde \(k\) est :

Question 6 : Impédance caractéristique (\(\eta\)) du milieu

Principe :

L'impédance caractéristique \(\eta\) d'un milieu diélectrique est donnée par \(\eta = \sqrt{\mu/\epsilon}\). Elle peut aussi s'écrire \(\eta = Z_0 / \sqrt{\epsilon_r/\mu_r}\) où \(Z_0 \approx 377 \, \Omega\) est l'impédance du vide.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\eta = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} = \sqrt{\frac{\mu_0 \mu_r}{\epsilon_0 \epsilon_r}} = Z_0 \sqrt{\frac{\mu_r}{\epsilon_r}}\]
Données spécifiques :
  • \(\mu \approx 1.2566 \times 10^{-6} \, \text{H/m}\) (de Q2)
  • \(\epsilon \approx 3.5416 \times 10^{-11} \, \text{F/m}\) (de Q2)
  • Ou : \(Z_0 \approx 377 \, \text{Ω}\), \(\mu_r = 1.0\), \(\epsilon_r = 4.0\)
Calcul (utilisant \(Z_0, \epsilon_r, \mu_r\)) :
\[ \begin{aligned} \eta &= 377 \, \text{Ω} \cdot \sqrt{\frac{1.0}{4.0}} \\ &= 377 \cdot \sqrt{0.25} \\ &= 377 \cdot 0.5 \, \text{Ω} \\ &= 188.5 \, \text{Ω} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : L'impédance caractéristique du milieu est \(\eta = 188.5 \, \text{Ω}\).

Question 7 : Amplitude maximale du champ magnétique (\(B_0\))

Principe :

Pour une onde électromagnétique plane, les amplitudes des champs électrique et magnétique sont liées par l'impédance caractéristique du milieu : \(E_0 / B_0 = \eta\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[B_0 = \frac{E_0}{\eta}\]
Données spécifiques :
  • Amplitude du champ électrique (\(E_0\)) : \(10 \, \text{V/m}\)
  • Impédance du milieu (\(\eta\)) : \(188.5 \, \text{Ω}\) (de Q6)
Calcul :
\[ \begin{aligned} B_0 &= \frac{10 \, \text{V/m}}{188.5 \, \text{Ω}} \\ &\approx 0.05305 \, \text{T} \end{aligned} \]

Soit \(B_0 \approx 53.05 \, \mu\text{T}\).

Résultat Question 7 : L'amplitude maximale du champ magnétique est \(B_0 \approx 5.305 \times 10^{-2} \, \text{T}\) (ou \(53.05 \, \mu\text{T}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Dans une onde électromagnétique plane, les vecteurs \(\vec{E}\), \(\vec{B}\) et \(\vec{k}\) (direction de propagation) forment :

Question 8 : Expressions de \(\vec{E}(z,t)\) et \(\vec{B}(z,t)\)

Principe :

Pour une onde plane se propageant selon \(+z\), avec \(\vec{E}\) polarisé selon \(x\), \(\vec{B}\) sera polarisé selon \(y\) pour que \((\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})\) forme un trièdre direct. \(\vec{E}(z,t) = E_0 \cos(kz - \omega t + \phi_E) \vec{u}_x\) \(\vec{B}(z,t) = B_0 \cos(kz - \omega t + \phi_B) \vec{u}_y\) Pour une onde plane dans un milieu simple, \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\) sont en phase, donc \(\phi_E = \phi_B\). On peut prendre \(\phi_E = \phi_B = 0\) par simplicité.

Expressions :
  • \(E_0 = 10 \, \text{V/m}\)
  • \(B_0 \approx 5.305 \times 10^{-2} \, \text{T}\)
  • \(k \approx 41.89 \, \text{rad/m}\)
  • \(\omega \approx 6.283 \times 10^9 \, \text{rad/s}\)
\[ \vec{E}(z,t) = (10 \, \text{V/m}) \cos(41.89 z - 6.283 \times 10^9 t) \, \vec{u}_x \]
\[ \vec{B}(z,t) = (5.305 \times 10^{-2} \, \text{T}) \cos(41.89 z - 6.283 \times 10^9 t) \, \vec{u}_y \]
Résultat Question 8 : Les expressions des champs sont :
  • \(\vec{E}(z,t) \approx (10 \, \text{V/m}) \cos(41.89 z - 6.283 \times 10^9 t) \, \vec{u}_x\)
  • \(\vec{B}(z,t) \approx (5.305 \times 10^{-2} \, \text{T}) \cos(41.89 z - 6.283 \times 10^9 t) \, \vec{u}_y\)

Question 9 : Magnitude du vecteur de Poynting moyen (\(S_{\text{moy}}\))

Principe :

L'intensité de l'onde, ou la magnitude du vecteur de Poynting moyen, est donnée par \(S_{\text{moy}} = \frac{1}{2} \frac{E_0^2}{\eta}\) ou \(S_{\text{moy}} = \frac{1}{2} E_0 B_0 / \mu\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[S_{\text{moy}} = \frac{1}{2} \frac{E_0^2}{\eta}\]
Données spécifiques :
  • \(E_0 = 10 \, \text{V/m}\)
  • \(\eta = 188.5 \, \text{Ω}\) (de Q6)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_{\text{moy}} &= \frac{1}{2} \frac{(10 \, \text{V/m})^2}{188.5 \, \text{Ω}} \\ &= \frac{1}{2} \frac{100}{188.5} \, \text{W/m}^2 \\ &= \frac{50}{188.5} \, \text{W/m}^2 \\ &\approx 0.26525 \, \text{W/m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 9 : La magnitude du vecteur de Poynting moyen (intensité) est \(S_{\text{moy}} \approx 0.265 \, \text{W/m}^2\).

Quiz Intermédiaire 2 : Le vecteur de Poynting \(\vec{S}\) représente :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans une onde électromagnétique plane se propageant dans le vide, les champs \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\) sont :

2. La vitesse de propagation d'une onde électromagnétique dans un milieu diélectrique non magnétique de permittivité relative \(\epsilon_r\) est :

3. L'impédance caractéristique \(\eta\) d'un milieu est reliée aux amplitudes des champs \(E_0\) et \(B_0\) par :

Glossaire

Onde Électromagnétique Plane
Onde dont les fronts d'onde (surfaces d'égale phase) sont des plans infinis perpendiculaires à la direction de propagation.
Champ Électrique (\(\vec{E}\))
Champ vectoriel décrivant la force exercée sur une charge électrique statique. Unité : Volt par mètre (V/m).
Champ Magnétique (\(\vec{B}\))
Champ vectoriel décrivant la force exercée sur une charge électrique en mouvement. Unité : Tesla (T).
Pulsation (\(\omega\))
Vitesse angulaire de l'oscillation de l'onde, \(\omega = 2\pi f\). Unité : Radian par seconde (rad/s).
Nombre d'Onde (\(k\))
Mesure spatiale de la répétition de l'onde, \(k = 2\pi/\lambda = \omega/v_p\). Unité : Radian par mètre (rad/m).
Longueur d'Onde (\(\lambda\))
Distance spatiale sur laquelle la forme d'onde se répète. \(\lambda = v_p/f\). Unité : Mètre (m).
Vitesse de Phase (\(v_p\))
Vitesse à laquelle les fronts d'onde se propagent dans un milieu. \(v_p = 1/\sqrt{\epsilon\mu}\).
Permittivité (\(\epsilon\))
Mesure de la capacité d'un matériau à se polariser en réponse à un champ électrique. \(\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r\). Unité : Farad par mètre (F/m).
Perméabilité (\(\mu\))
Mesure de la capacité d'un matériau à supporter la formation d'un champ magnétique. \(\mu = \mu_0 \mu_r\). Unité : Henry par mètre (H/m).
Impédance Caractéristique du Milieu (\(\eta\))
Rapport entre l'amplitude du champ électrique et l'amplitude du champ magnétique d'une onde plane se propageant dans ce milieu. \(\eta = \sqrt{\mu/\epsilon}\). Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Vecteur de Poynting (\(\vec{S}\))
Vecteur représentant la direction et la densité de flux d'énergie (puissance par unité de surface) d'un champ électromagnétique. \(\vec{S} = \frac{1}{\mu} (\vec{E} \times \vec{B})\). Unité : Watt par mètre carré (\(\text{W/m}^2\)).
Intensité d'une Onde
Puissance moyenne transportée par l'onde par unité de surface perpendiculaire à la direction de propagation. C'est la magnitude du vecteur de Poynting moyen.
Propagation d’une Onde Électromagnétique Plane

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