Calcul du gain et des résistances pour un AOP
Contexte : L'Amplificateur OpérationnelUn circuit intégré qui fonctionne comme un amplificateur de tension à gain très élevé. C'est une brique de base de l'électronique analogique. (AOP) est un composant essentiel en électronique analogique.
Cet exercice se concentre sur l'une de ses configurations les plus courantes : le montage amplificateur inverseur. Ce circuit permet d'amplifier un signal d'entrée tout en inversant sa polarité. Nous allons apprendre à déterminer le gain de ce montage et à choisir les résistances appropriées pour obtenir une amplification désirée, en nous basant sur le modèle de l'AOP idéal.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les lois fondamentales de l'électricité (loi d'Ohm, loi des nœuds) dans le contexte des AOP idéaux pour analyser et concevoir des circuits simples.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le fonctionnement et le rôle du montage AOP inverseur.
- Savoir appliquer les règles de l'AOP idéal (impédance d'entrée infinie, concept de masse virtuelle).
- Être capable de calculer le gain en tension en boucle fermée.
- Dimensionner les résistances d'un montage pour atteindre un gain spécifique.
Données de l'étude
Schéma du Montage
Montage Amplificateur Inverseur
| Paramètre | Description ou Formule | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \(A_{\text{v}}\) | Gain en tension désiré | -10 | V/V |
| \(R_{1}\) | Résistance d'entrée | 10 | kΩ |
Questions à traiter
- En appliquant les règles de l'AOP idéal, que peut-on dire de la tension \(V^{-}\) à l'entrée inverseuse ?
- Écrire l'équation des courants au nœud de l'entrée inverseuse (loi de Kirchhoff).
- À partir des questions précédentes, dériver l'expression littérale du gain en tension \(A_{\text{v}} = V_{\text{out}} / V_{\text{in}}\).
- Calculer la valeur nécessaire pour la résistance de contre-réaction \(R_{\text{f}}\) pour obtenir le gain désiré.
- Si une tension \(V_{\text{in}} = 0.5 \text{ V}\) est appliquée à l'entrée, quelle sera la tension de sortie \(V_{\text{out}}\) ?
Les bases sur l'AOP Idéal
Pour analyser ce circuit, nous utilisons le modèle de l'amplificateur opérationnel idéal, qui repose sur quelques hypothèses simplificatrices mais très efficaces en pratique.
1. Gain en boucle ouverte infini (\(A_0 \to \infty\))
Cela implique que pour avoir une tension de sortie finie, la différence de potentiel entre les deux entrées doit être nulle : \(V^{+} - V^{-} = 0 \Rightarrow V^{+} = V^{-}\). C'est la base du concept de masse virtuelle lorsque l'entrée non-inverseuse est à la masse.
2. Impédances d'entrée infinies (\(Z_{\text{in}} \to \infty\))
Aucun courant ne peut entrer dans l'AOP par ses bornes d'entrée. Ainsi, les courants \(i^{+}\) et \(i^{-}\) sont considérés comme nuls (\(i^{+} = i^{-} = 0\)).
Correction : Calcul du gain et des résistances pour un AOP
Question 1 : En appliquant les règles de l'AOP idéal, que peut-on dire de la tension \(V^{-}\) à l'entrée inverseuse ?
Principe
Le fonctionnement de l'AOP en régime linéaire (avec contre-réaction négative) force les potentiels de ses deux entrées à être quasiment identiques. On s'intéresse donc au potentiel de l'entrée dont la tension est connue (\(V^{+}\)) pour en déduire celui de l'autre (\(V^{-}\)).
Mini-Cours
Pour un AOP idéal fonctionnant en régime linéaire, son gain en boucle ouverte est considéré comme infini. Pour que la tension de sortie \(V_{\text{out}} = A_0 \cdot (V^{+} - V^{-})\) soit finie, il faut impérativement que la différence de tension \((V^{+} - V^{-})\) soit nulle. Dans notre montage, l'entrée non-inverseuse (\(V^{+}\)) est directement connectée à la masse, son potentiel est donc de 0 V.
Remarque Pédagogique
L'analyse d'un montage à AOP commence presque toujours par le même réflexe : regarder le potentiel sur l'entrée non-inverseuse (\(V^{+}\)) et en déduire que l'entrée inverseuse (\(V^{-}\)) est au même potentiel. C'est le point de départ de la plupart des calculs.
Normes
Il n'y a pas de "norme" réglementaire pour ce calcul, mais on applique le modèle de l'AOP idéal, qui est une convention universelle en électronique pour l'analyse de premier ordre des circuits.
Formule(s)
Égalité des potentiels d'entrée
Hypothèses
Nous posons deux hypothèses majeures pour ce raisonnement :
- L'AOP est idéal (gain en boucle ouverte infini).
- Le montage fonctionne en régime linéaire (la sortie n'est pas en saturation).
Donnée(s)
| Paramètre | Description | Valeur |
|---|---|---|
| \(V^{+}\) | Potentiel de l'entrée non-inverseuse | Connectée à la masse (0 V) |
Astuces
Pour mémoriser facilement, retenez : "En présence d'une contre-réaction, l'AOP fait tout son possible pour que \(V^{-}\) soit égal à \(V^{+}\)".
Schéma (Avant les calculs)
Zoom sur les entrées de l'AOP
Calcul(s)
Potentiel de l'entrée non-inverseuse
Déduction du potentiel de l'entrée inverseuse
Schéma (Après les calculs)
Potentiels des entrées
Réflexions
Le potentiel sur la broche inverseuse est nul, bien qu'elle ne soit pas directement connectée à la masse. C'est pour cela qu'on appelle ce point une masse virtuelle. C'est un concept fondamental pour l'analyse des AOP.
Points de vigilance
Cette règle \(V^{+} = V^{-}\) n'est valable qu'en régime linéaire. Si la tension de sortie de l'AOP atteint l'une de ses tensions d'alimentation (saturation), cette égalité n'est plus vraie.
Points à retenir
- En régime linéaire, avec une contre-réaction sur l'entrée inverseuse, l'AOP ajuste sa sortie pour que \(V^{-} = V^{+}\).
- Si \(V^{+}\) est à la masse, \(V^{-}\) devient une masse virtuelle.
Le saviez-vous ?
Le premier AOP monolithique (intégré sur une seule puce de silicium), le μA709, a été conçu par Bob Widlar chez Fairchild Semiconductor en 1965. Il a révolutionné la conception des circuits analogiques.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'entrée \(V^{+}\) était connectée à une source de tension de +1 V au lieu de la masse, que vaudrait \(V^{-}\) ?
Question 2 : Écrire l'équation des courants au nœud de l'entrée inverseuse (loi de Kirchhoff).
Principe
La loi des nœuds de Kirchhoff stipule que la somme algébrique des courants en un nœud est nulle. Autrement dit, "tout ce qui rentre doit sortir". Nous appliquons cette loi au nœud \(V^{-}\).
Mini-Cours
La première loi de Kirchhoff (loi des nœuds) est une conséquence de la conservation de la charge électrique. Pour n'importe quel nœud d'un circuit, la somme des courants qui y entrent est égale à la somme des courants qui en sortent. On définit arbitrairement un sens for each courant et on écrit l'équation.
Remarque Pédagogique
Identifier les nœuds et y appliquer la loi de Kirchhoff est une méthode systématique et puissante pour analyser n'importe quel circuit électrique. Le nœud \(V^{-}\) est le point stratégique de ce montage car il relie l'entrée, la sortie et l'AOP.
Normes
La loi des nœuds de Kirchhoff est une loi fondamentale de l'électrocinétique, ce n'est pas une norme industrielle mais un principe de base de la physique.
Formule(s)
Loi des noeuds
Hypothèses
On utilise la deuxième règle de l'AOP idéal : son impédance d'entrée est infinie. Par conséquent, aucun courant ne peut entrer dans ses bornes.
- \(i^{-} = 0\) (courant entrant dans la borne inverseuse).
Donnée(s)
| Hypothèse (AOP Idéal) | Description | Valeur |
|---|---|---|
| \(i^{-}\) | Courant entrant dans la borne inverseuse | 0 A |
Astuces
Puisque \(i^{-}\) est nul, le courant qui traverse \(R_1\) n'a pas d'autre choix que de continuer son chemin à travers \(R_{\text{f}}\). On peut voir \(R_1\) et \(R_{\text{f}}\) comme étant "en série" du point de vue du courant, même si elles ne le sont pas du point de vue des tensions.
Schéma (Avant les calculs)
Courants au nœud V⁻
Calcul(s)
Application de la loi des noeuds
Simplification avec l'hypothèse de l'AOP idéal
Schéma (Après les calculs)
Égalité des courants au nœud V⁻
Réflexions
Cette simple égalité \(i_1 = i_{\text{f}}\) est l'étape cruciale. Elle signifie que tout le courant fourni par la source d'entrée à travers \(R_1\) est "aspiré" par la sortie à travers \(R_{\text{f}}\). C'est ce qui permet de relier la tension de sortie à la tension d'entrée.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'oublier que le courant \(i^{-}\) est nul et de l'inclure dans les calculs. L'hypothèse de l'AOP idéal est là pour simplifier les choses, il faut en profiter !
Points à retenir
- La loi des nœuds s'applique à n'importe quel point d'un circuit.
- Pour un AOP idéal, le courant entrant dans les bornes + et - est toujours nul.
- Au nœud \(V^{-}\), le courant venant de \(R_1\) est égal à celui allant dans \(R_{\text{f}}\).
Le saviez-vous ?
Gustav Kirchhoff a formulé ses lois sur les circuits en 1845, alors qu'il était encore étudiant. Ces lois, avec la loi d'Ohm, forment la base de toute l'analyse des circuits électriques.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si une troisième résistance \(R_3\) était connectée entre le nœud \(V^{-}\) et la masse, comment l'équation \(i_1 = i_{\text{f}}\) serait-elle modifiée ?
Question 3 : Dériver l'expression littérale du gain en tension \(A_{\text{v}} = V_{\text{out}} / V_{\text{in}}\).
Principe
Nous allons maintenant combiner les résultats des deux questions précédentes. En exprimant les courants \(i_1\) et \(i_{\text{f}}\) en fonction des tensions à leurs bornes (loi d'Ohm), l'égalité des courants nous donnera une relation directe entre \(V_{\text{out}}\) et \(V_{\text{in}}\).
Mini-Cours
La loi d'Ohm stipule que la différence de potentiel (tension) aux bornes d'une résistance est proportionnelle au courant qui la traverse (\(U = R \cdot I\)). On l'utilise ici sous la forme \(I = U/R = \Delta V / R\). Il est crucial de bien définir le \(\Delta V\) en faisant (potentiel de départ - potentiel d'arrivée) en suivant le sens du courant.
Remarque Pédagogique
C'est une étape purement mathématique, mais attention au sens des courants et aux signes. Une erreur d'inattention ici faussera tout le résultat. Le courant \(i_1\) va de \(V_{\text{in}}\) vers \(V^{-}\), et le courant \(i_{\text{f}}\) va de \(V^{-}\) vers \(V_{\text{out}}\).
Normes
La loi d'Ohm est une loi physique fondamentale, pas une norme.
Formule(s)
Loi d'Ohm
Hypothèses
Nous réutilisons les conclusions des questions précédentes basées sur le modèle de l'AOP idéal.
- \(V^{-} = 0\) V (masse virtuelle).
- \(i_1 = i_{\text{f}}\) (loi des nœuds).
Donnée(s)
| Grandeurs littérales | Description |
|---|---|
| \(V_{\text{in}}\) | Tension d'entrée |
| \(V_{\text{out}}\) | Tension de sortie |
| \(R_1\) | Résistance d'entrée |
| \(R_{\text{f}}\) | Résistance de contre-réaction |
Astuces
Le signe négatif final vient naturellement du fait que le courant \(i_{\text{f}}\) s'écoule du potentiel 0V (\(V^{-}\)) vers le potentiel \(V_{\text{out}}\). Pour que cela soit possible, \(V_{\text{out}}\) doit être à un potentiel inférieur à 0V (si \(V_{\text{in}}>0\)), d'où l'inversion de signe.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma du Montage Amplificateur Inverseur
Calcul(s)
Expression du courant d'entrée \(i_1\)
Expression du courant de contre-réaction \(i_f\)
Substitution de la masse virtuelle (\(V^{-} = 0\))
Égalité des courants (\(i_1 = i_f\))
Calcul du gain en tension
Schéma (Après les calculs)
Caractéristique de transfert Vout = f(Vin)
Réflexions
Le résultat est remarquable : le gain d'un circuit complexe ne dépend que du simple rapport de deux résistances externes. Cela rend ce montage extrêmement fiable, stable et facile à concevoir. Le signe négatif confirme le nom "inverseur" du montage.
Points de vigilance
L'erreur classique est de se tromper dans le \(\Delta V\) pour la loi d'Ohm, ce qui conduit à une erreur de signe. Bien poser \(i_{\text{f}} = (V^{-} - V_{\text{out}})/R_{\text{f}}\) est essentiel.
Points à retenir
- La formule du gain en tension d'un amplificateur inverseur est \(A_{\text{v}} = -R_{\text{f}} / R_1\).
Le saviez-vous ?
En connectant plusieurs entrées via plusieurs résistances au nœud \(V^{-}\), ce montage devient un "sommateur inverseur", capable d'additionner (et de pondérer) plusieurs signaux. C'est la base des tables de mixage audio analogiques.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si on inversait les rôles des résistances (\(R_{\text{f}}\) à l'entrée et \(R_1\) en contre-réaction), quelle serait la nouvelle formule du gain ?
Question 4 : Calculer la valeur de \(R_{\text{f}}\) pour obtenir le gain désiré.
Principe
Il s'agit d'une application directe de la formule du gain. On connaît le gain désiré (\(A_{\text{v}}\)) et la résistance d'entrée (\(R_1\)), il suffit d'isoler et de calculer la résistance de contre-réaction (\(R_{\text{f}}\)).
Mini-Cours
Le dimensionnement est une étape cruciale en conception électronique. Cela consiste à choisir les valeurs des composants pour que le circuit réalise la fonction souhaitée. Ici, la fonction est d'amplifier par -10, et le composant à dimensionner est \(R_{\text{f}}\).
Remarque Pédagogique
En pratique, on fixe souvent une des deux résistances (par exemple \(R_1\) à une valeur raisonnable comme 10 kΩ pour avoir une impédance d'entrée correcte) et on calcule l'autre. C'est exactement ce qui est demandé ici.
Normes
Les résistances n'existent pas dans toutes les valeurs possibles. Elles sont standardisées dans des séries (E6, E12, E24...). Pour un calcul précis, il faudrait choisir la valeur normalisée la plus proche du résultat théorique. Ici, nous nous contenterons du calcul théorique.
Formule(s)
Formule du gain isolée pour \(R_f\)
Hypothèses
On suppose qu'une résistance avec la valeur calculée exacte est disponible.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Gain en tension désiré | \(A_{\text{v}}\) | -10 | V/V |
| Résistance d'entrée | \(R_1\) | 10 | kΩ |
Astuces
Pour choisir les valeurs de résistances, on évite généralement les valeurs trop faibles (< 1 kΩ) qui peuvent surcharger la source du signal, et les valeurs trop élevées (> 1 MΩ) qui peuvent être sensibles au bruit. La gamme 1 kΩ - 100 kΩ est souvent un bon point de départ.
Schéma (Avant les calculs)
Dimensionnement de la résistance \(R_f\)
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Circuit dimensionné
Réflexions
Le résultat est simple : pour un gain de 10 en magnitude, il faut que la résistance de contre-réaction soit 10 fois plus grande que la résistance d'entrée. C'est une relation de proportionnalité directe.
Points de vigilance
Le signe négatif du gain est crucial. \(R_{\text{f}} = -A_{\text{v}} \cdot R_1\). Un oubli du signe dans la formule mènerait à un résultat \(R_{\text{f}} = -100 \text{ k}\Omega\), ce qui est physiquement impossible pour une résistance.
Points à retenir
- Pour dimensionner la résistance de contre-réaction, on utilise la formule \(R_{\text{f}} = |A_{\text{v}}| \cdot R_1\).
Le saviez-vous ?
Les valeurs des résistances standard suivent des séries normalisées (E6, E12, E24...) qui sont des progressions géométriques. Par exemple, la série E12 (avec une tolérance de 10%) contient 12 valeurs par décade (1.0, 1.2, 1.5, 1.8, 2.2, etc.). Notre valeur de 100 kΩ est une valeur standard.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle valeur de \(R_{\text{f}}\) faudrait-il pour obtenir un gain de -2.5 (en gardant \(R_1 = 10 \text{ k}\Omega\)) ?
Question 5 : Si \(V_{\text{in}} = 0.5 \text{ V}\), quelle sera la tension de sortie \(V_{\text{out}}\) ?
Principe
C'est l'application finale du circuit : utiliser la fonction de transfert (le gain) que nous avons calculée pour déterminer la tension de sortie pour une tension d'entrée donnée.
Mini-Cours
Un circuit linéaire comme celui-ci est caractérisé par sa fonction de transfert, ici le gain \(A_{\text{v}}\). Cette fonction décrit entièrement la relation entre l'entrée et la sortie. Pour n'importe quelle entrée (tant qu'on ne sature pas le composant), la sortie sera simplement l'entrée multipliée par cette fonction.
Remarque Pédagogique
C'est ici que l'on vérifie concrètement que le circuit fait bien ce pour quoi il a été conçu : amplifier par un facteur -10.
Normes
Dans un contexte réel, les fiches techniques (datasheets) des AOP spécifient les tensions de sortie maximales et minimales en fonction des tensions d'alimentation. Il faudrait vérifier que notre résultat est bien dans cette plage autorisée.
Formule(s)
Relation sortie-entrée
Hypothèses
On suppose que la tension de sortie calculée (-5 V) est bien dans les limites de saturation de l'AOP. Par exemple, si l'AOP est alimenté en ±12V, ce qui est courant, une sortie de -5V est tout à fait acceptable.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Gain en tension | \(A_{\text{v}}\) | -10 | V/V |
| Tension d'entrée | \(V_{\text{in}}\) | 0.5 | V |
Astuces
Pas d'astuce particulière ici, c'est une application directe.
Schéma (Avant les calculs)
Application d'une tension d'entrée
Calcul(s)
Calcul de la tension de sortie
Schéma (Après les calculs)
Exemple de signaux d'entrée/sortie
Réflexions
Le résultat est bien négatif, confirmant le caractère "inverseur" du montage. L'amplitude du signal a été multipliée par 10 (passant de 0.5 V à 5 V) et sa polarité a été inversée. Le circuit fonctionne comme prévu.
Points de vigilance
Toujours avoir à l'esprit les tensions d'alimentation de l'AOP. Si on avait appliqué \(V_{\text{in}} = 2 \text{ V}\), le calcul donnerait \(V_{\text{out}} = -20 \text{ V}\). Si l'AOP est alimenté en ±12V, la sortie se bloquerait en réalité vers -12V (saturation négative).
Points à retenir
- La tension de sortie est le produit direct du gain et de la tension d'entrée : \(V_{\text{out}} = A_{\text{v}} \cdot V_{\text{in}}\).
- Le signe de la sortie est toujours opposé à celui de l'entrée.
Le saviez-vous ?
Les AOP réels ont une limitation sur la vitesse de variation de leur tension de sortie, appelée "Slew Rate" (V/µs). Pour des signaux d'entrée très rapides et de grande amplitude, la sortie peut ne pas pouvoir suivre, ce qui déforme le signal en une pente triangulaire au lieu d'une variation brusque.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Que vaudrait la tension de sortie si \(V_{\text{in}} = -0.2 \text{ V}\) ?
Outil Interactif : Simulateur d'AOP Inverseur
Utilisez les curseurs pour modifier les valeurs des résistances et observez l'impact sur le gain. Le graphique montre la relation entre la tension d'entrée et la tension de sortie.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Dans un montage AOP inverseur idéal, si l'entrée non-inverseuse (+) est à la masse, quelle est la tension sur l'entrée inverseuse (-) ?
2. Comment le gain d'un amplificateur inverseur est-il déterminé ?
3. Si \(R_{\text{f}} = 20 \text{ k}\Omega\) et \(R_1 = 5 \text{ k}\Omega\), quel est le gain \(A_{\text{v}}\) du montage ?
4. Que signifie "impédance d'entrée infinie" pour un AOP idéal ?
5. Si on augmente la valeur de \(R_{\text{f}}\) tout en gardant \(R_1\) constante, que se passe-t-il pour le gain (en valeur absolue) ?
- Amplificateur Opérationnel (AOP)
- Un circuit intégré qui fonctionne comme un amplificateur de tension à très haut gain, utilisé comme brique de base dans de nombreux circuits analogiques.
- Gain en Boucle Fermée
- Le gain d'un amplificateur lorsque sa sortie est connectée à son entrée via un réseau de composants (contre-réaction). Il est généralement contrôlé par ces composants externes.
- Masse Virtuelle
- Un nœud d'un circuit qui est maintenu à un potentiel de référence stable (souvent 0 V), sans être directement connecté à cette référence. Dans l'AOP inverseur, l'entrée (-) est une masse virtuelle.
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