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Calcul de la Distorsion Harmonique Totale

Calcul de la Distorsion Harmonique Totale (DHT)

Calcul de la Distorsion Harmonique Totale (DHT)

Comprendre la Distorsion Harmonique Totale

Dans un système électronique idéal, un signal sinusoïdal en entrée devrait produire un signal sinusoïdal de même fréquence en sortie, éventuellement amplifié ou atténué. Cependant, en raison des non-linéarités des composants réels (transistors, amplificateurs, etc.), le signal de sortie peut contenir des fréquences qui n'étaient pas présentes dans le signal d'entrée. Ces fréquences additionnelles sont des multiples entiers de la fréquence du signal d'entrée (fréquence fondamentale) et sont appelées harmoniques.

La Distorsion Harmonique Totale (DHT, ou THD en anglais pour Total Harmonic Distortion) est une mesure quantitative de la distorsion introduite par ces harmoniques. Elle est définie comme le rapport de la somme des puissances de toutes les composantes harmoniques à la puissance de la fréquence fondamentale. Plus couramment, elle est exprimée en termes de valeurs efficaces (RMS) des tensions (ou courants) : \[ \text{DHT} = \frac{\sqrt{V_{2,\text{rms}}^2 + V_{3,\text{rms}}^2 + V_{4,\text{rms}}^2 + \dots}}{V_{1,\text{rms}}} \] où \(V_{1,\text{rms}}\) est la valeur efficace de la composante fondamentale, et \(V_{n,\text{rms}}\) est la valeur efficace de l'harmonique de rang \(n\). La DHT est généralement exprimée en pourcentage (%). Une faible valeur de DHT indique que le signal de sortie est une reproduction fidèle du signal d'entrée, tandis qu'une valeur élevée indique une distorsion importante.

Cet exercice se concentre sur le calcul de la DHT d'un signal de sortie d'un amplificateur dont les amplitudes des premières harmoniques sont connues.

Données de l'étude

Un amplificateur audio est testé avec un signal d'entrée sinusoïdal pur à \(1 \, \text{kHz}\). L'analyse spectrale du signal de sortie révèle la présence de la fondamentale et de plusieurs harmoniques.

Amplitudes (valeurs de crête) des composantes du signal de sortie :

  • Fondamentale (\(V_{1,\text{peak}}\)) à \(f_1 = 1 \, \text{kHz}\) : \(2.0 \, \text{V}\)
  • Harmonique 2 (\(V_{2,\text{peak}}\)) à \(f_2 = 2 \, \text{kHz}\) : \(0.3 \, \text{V}\)
  • Harmonique 3 (\(V_{3,\text{peak}}\)) à \(f_3 = 3 \, \text{kHz}\) : \(0.2 \, \text{V}\)
  • Harmonique 4 (\(V_{4,\text{peak}}\)) à \(f_4 = 4 \, \text{kHz}\) : \(0.1 \, \text{V}\)
  • Les harmoniques d'ordre supérieur sont considérées comme négligeables.
Spectre de Fréquence Typique d'un Signal Distordu
f (kHz) Amplitude (V) 0 f1 V1 2f1 V2 3f1 V3 4f1 V4

Représentation schématique d'un spectre de fréquence montrant la fondamentale et ses harmoniques.

Questions à traiter

  1. Calculer la valeur efficace (RMS) de la composante fondamentale (\(V_{1,\text{rms}}\)).
  2. Calculer les valeurs efficaces (RMS) des harmoniques 2, 3 et 4 (\(V_{2,\text{rms}}\), \(V_{3,\text{rms}}\), \(V_{4,\text{rms}}\)).
  3. Calculer la valeur efficace totale des harmoniques (\(V_{H,\text{rms}}\)), où \(V_{H,\text{rms}} = \sqrt{V_{2,\text{rms}}^2 + V_{3,\text{rms}}^2 + V_{4,\text{rms}}^2}\).
  4. Calculer la Distorsion Harmonique Totale (DHT) en pourcentage.
  5. Calculer la valeur efficace totale du signal de sortie (\(V_{\text{total,rms}}\)), où \(V_{\text{total,rms}} = \sqrt{V_{1,\text{rms}}^2 + V_{H,\text{rms}}^2}\).
  6. Si l'harmonique 2 avait une amplitude de \(0.05 \, \text{V}\) au lieu de \(0.3 \, \text{V}\) (les autres harmoniques restant inchangées), quelle serait la nouvelle DHT ? Commenter l'impact de la réduction de l'amplitude d'une harmonique sur la DHT.

Correction : Calcul de la Distorsion Harmonique Totale (DHT)

Question 1 : Valeur efficace de la fondamentale (\(V_{1,\text{rms}}\))

Principe :

Pour un signal sinusoïdal, la valeur efficace (RMS) est égale à la valeur de crête (amplitude) divisée par \(\sqrt{2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{peak}}}{\sqrt{2}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{1,\text{peak}} = 2.0 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{1,\text{rms}} &= \frac{2.0 \, \text{V}}{\sqrt{2}} \\ &\approx \frac{2.0}{1.41421356} \, \text{V} \\ &\approx 1.4142 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La valeur efficace de la fondamentale est \(V_{1,\text{rms}} \approx 1.414 \, \text{V}\).

Question 2 : Valeurs efficaces des harmoniques (\(V_{2,\text{rms}}\), \(V_{3,\text{rms}}\), \(V_{4,\text{rms}}\))

Principe :

Même principe que pour la fondamentale : \(V_{n,\text{rms}} = V_{n,\text{peak}} / \sqrt{2}\).

Données spécifiques :
  • \(V_{2,\text{peak}} = 0.3 \, \text{V}\)
  • \(V_{3,\text{peak}} = 0.2 \, \text{V}\)
  • \(V_{4,\text{peak}} = 0.1 \, \text{V}\)
Calculs :
\[ \begin{aligned} V_{2,\text{rms}} &= \frac{V_{2,\text{peak}}}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{0.3 \, \text{V}}{\sqrt{2}} \\ &\approx 0.2121 \, \text{V} \\ \\ V_{3,\text{rms}} &= \frac{V_{3,\text{peak}}}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{0.2 \, \text{V}}{\sqrt{2}} \\ &\approx 0.1414 \, \text{V} \\ \\ V_{4,\text{rms}} &= \frac{V_{4,\text{peak}}}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{0.1 \, \text{V}}{\sqrt{2}} \\ &\approx 0.0707 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 :
  • \(V_{2,\text{rms}} \approx 0.212 \, \text{V}\)
  • \(V_{3,\text{rms}} \approx 0.141 \, \text{V}\)
  • \(V_{4,\text{rms}} \approx 0.071 \, \text{V}\)

Quiz Intermédiaire 1 : La valeur RMS d'un signal est utile pour calculer :

Question 3 : Valeur efficace totale des harmoniques (\(V_{H,\text{rms}}\))

Principe :

La valeur efficace totale des harmoniques est la racine carrée de la somme des carrés des valeurs efficaces de chaque harmonique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{H,\text{rms}} = \sqrt{V_{2,\text{rms}}^2 + V_{3,\text{rms}}^2 + V_{4,\text{rms}}^2}\]
Données spécifiques (valeurs RMS de Q2) :
  • \(V_{2,\text{rms}} \approx 0.2121 \, \text{V}\)
  • \(V_{3,\text{rms}} \approx 0.1414 \, \text{V}\)
  • \(V_{4,\text{rms}} \approx 0.0707 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{H,\text{rms}}^2 &= (0.2121)^2 + (0.1414)^2 + (0.0707)^2 \\ &\approx 0.04498641 + 0.01999396 + 0.00499849 \\ &\approx 0.06997886 \, \text{V}^2 \\ V_{H,\text{rms}} &= \sqrt{0.06997886} \, \text{V} \\ &\approx 0.264535 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La valeur efficace totale des harmoniques est \(V_{H,\text{rms}} \approx 0.265 \, \text{V}\).

Question 4 : Calcul de la Distorsion Harmonique Totale (DHT)

Principe :

La DHT est le rapport de la valeur efficace totale des harmoniques à la valeur efficace de la fondamentale, exprimé en pourcentage.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\text{DHT} = \frac{V_{H,\text{rms}}}{V_{1,\text{rms}}} \times 100\%\]
Données spécifiques :
  • \(V_{H,\text{rms}} \approx 0.264535 \, \text{V}\) (de Q3)
  • \(V_{1,\text{rms}} \approx 1.4142 \, \text{V}\) (de Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{DHT} &= \frac{0.264535 \, \text{V}}{1.4142 \, \text{V}} \times 100\% \\ &\approx 0.18705 \times 100\% \\ &\approx 18.705\% \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La Distorsion Harmonique Totale est \(\text{DHT} \approx 18.71\%\).

Quiz Intermédiaire 2 : Une DHT de 0% signifie que le signal :

Question 5 : Valeur efficace totale du signal de sortie (\(V_{\text{total,rms}}\))

Principe :

La valeur efficace totale d'un signal composé d'une fondamentale et de ses harmoniques est la racine carrée de la somme des carrés des valeurs efficaces de chaque composante.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{total,rms}} = \sqrt{V_{1,\text{rms}}^2 + V_{H,\text{rms}}^2} = \sqrt{V_{1,\text{rms}}^2 + V_{2,\text{rms}}^2 + V_{3,\text{rms}}^2 + V_{4,\text{rms}}^2}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{1,\text{rms}}^2 \approx (1.4142)^2 \approx 1.99996 \, \text{V}^2\)
  • \(V_{H,\text{rms}}^2 \approx 0.06997886 \, \text{V}^2\) (de Q3)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{total,rms}} &= \sqrt{1.99996 + 0.06997886} \, \text{V} \\ &= \sqrt{2.06993886} \, \text{V} \\ &\approx 1.4387 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La valeur efficace totale du signal de sortie est \(V_{\text{total,rms}} \approx 1.439 \, \text{V}\).

Question 6 : Nouvelle DHT si \(V_{2,\text{peak}} = 0.05 \, \text{V}\)

Principe :

Recalculer \(V_{2,\text{rms}}\), puis \(V_{H,\text{rms}}\), et enfin la nouvelle DHT.

Calculs :

Nouvelle \(V_{2,\text{rms}}\) :

\[ \begin{aligned} V'_{2,\text{rms}} &= \frac{V'_{2,\text{peak}}}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{0.05 \, \text{V}}{\sqrt{2}} \\ &\approx 0.035355 \, \text{V} \end{aligned} \]

Nouveau \(V_{H,\text{rms}}\) (les autres harmoniques restent inchangées) :

\[ \begin{aligned} V'_{H,\text{rms}} &= \sqrt{(V'_{2,\text{rms}})^2 + V_{3,\text{rms}}^2 + V_{4,\text{rms}}^2} \\ &\approx \sqrt{(0.035355)^2 + (0.1414)^2 + (0.0707)^2} \\ &\approx \sqrt{0.001250 + 0.01999396 + 0.00499849} \\ &\approx \sqrt{0.02624245} \, \text{V} \\ &\approx 0.1620 \, \text{V} \end{aligned} \]

Nouvelle DHT :

\[ \begin{aligned} \text{DHT}' &= \frac{V'_{H,\text{rms}}}{V_{1,\text{rms}}} \times 100\% \\ &\approx \frac{0.1620 \, \text{V}}{1.4142 \, \text{V}} \times 100\% \\ &\approx 0.11455 \times 100\% \\ &\approx 11.46\% \end{aligned} \]

Commentaire : La DHT a significativement diminué (passant d'environ 18.71% à 11.46%) en réduisant l'amplitude de l'harmonique 2, qui était la plus importante des harmoniques. Cela montre que les harmoniques de plus forte amplitude contribuent le plus à la DHT.

Résultat Question 6 : La nouvelle DHT avec \(V_{2,\text{peak}} = 0.05 \, \text{V}\) est d'environ \(11.46\%\). La réduction de l'amplitude d'une harmonique dominante réduit significativement la DHT.

Quiz Intermédiaire 3 : Si la fondamentale d'un signal a une valeur RMS de 1V et que la seule harmonique présente a une valeur RMS de 0.1V, la DHT est de :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La Distorsion Harmonique Totale (DHT) mesure :

2. Une harmonique de rang 3 d'un signal de fréquence \(f_1\) a une fréquence de :

3. Pour calculer la DHT, on utilise généralement les valeurs _______ des composantes du signal.

Glossaire

Distorsion Harmonique Totale (DHT ou THD)
Mesure de la distorsion d'une forme d'onde par rapport à une sinusoïde pure. Elle quantifie la présence d'harmoniques indésirables.
Fréquence Fondamentale (\(f_1\))
La plus basse fréquence et la composante principale d'un signal périodique complexe.
Harmonique
Composante fréquentielle d'un signal périodique dont la fréquence est un multiple entier de la fréquence fondamentale. L'harmonique de rang \(n\) a une fréquence \(n \cdot f_1\).
Valeur Efficace (RMS - Root Mean Square)
Pour un signal variable, c'est la valeur d'un signal continu qui produirait le même effet thermique (puissance dissipée) dans une résistance. Pour une sinusoïde d'amplitude \(V_{\text{peak}}\), \(V_{\text{rms}} = V_{\text{peak}}/\sqrt{2}\).
Spectre de Fréquence
Représentation des différentes composantes fréquentielles (amplitude et phase) qui constituent un signal.
Non-linéarité
Caractéristique d'un système ou d'un composant dont la sortie n'est pas directement proportionnelle à l'entrée, ce qui peut générer des harmoniques.
Calcul de la Distorsion Harmonique Totale

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