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Capacité d’un condensateur plan avec diélectrique

Capacité d’un Condensateur Plan avec Diélectrique

Capacité d’un Condensateur Plan avec Diélectrique

Comprendre la Capacité d'un Condensateur

Un condensateur est un composant électronique capable de stocker de l'énergie sous forme de champ électrique. Sa capacité (\(C\)) mesure son aptitude à stocker des charges électriques pour une tension donnée. Pour un condensateur plan, la capacité dépend de la géométrie des armatures (surface \(A\) et distance \(d\) entre elles) et de la nature du matériau isolant (diélectrique) placé entre les armatures. L'introduction d'un diélectrique de permittivité relative \(\epsilon_r\) augmente la capacité par rapport à celle du vide (\(C_0\)) d'un facteur \(\epsilon_r\). Cet exercice explore le calcul de la capacité d'un condensateur plan, notamment lorsqu'il est rempli de plusieurs couches de diélectriques.

Données de l'étude

On considère un condensateur plan dont les armatures ont une surface \(A\) et sont séparées par une distance totale \(d\). L'espace entre les armatures est rempli par deux couches de matériaux diélectriques différents, chacune d'épaisseur \(d/2\), placées en série.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Surface des armatures (\(A\)) : \(100 \, \text{cm}^2\)
  • Distance totale entre les armatures (\(d\)) : \(2 \, \text{mm}\)
  • Diélectrique 1 : épaisseur \(d_1 = d/2\), permittivité relative \(\epsilon_{r1} = 4\)
  • Diélectrique 2 : épaisseur \(d_2 = d/2\), permittivité relative \(\epsilon_{r2} = 6\)
  • Permittivité du vide (\(\epsilon_0\)) : \(8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)

Une tension \(V = 50 \, \text{V}\) est appliquée aux bornes du condensateur.

Schéma : Condensateur Plan avec Deux Diélectriques en Série
+Q -Q εr1 εr2 d₁=d/2 d₂=d/2 d V Condensateur Plan à Diélectriques Multiples

Condensateur plan avec deux couches de diélectriques d'épaisseurs \(d_1\) et \(d_2\).

Questions à traiter

  1. Calculer la capacité \(C_0\) du condensateur si l'espace entre les plaques était rempli d'air (ou de vide, \(\epsilon_r \approx 1\)).
  2. Calculer la capacité \(C_1\) du condensateur si l'espace était entièrement rempli par le diélectrique 1 (\(\epsilon_{r1} = 4\)).
  3. Calculer la capacité \(C_2\) du condensateur si l'espace était entièrement rempli par le diélectrique 2 (\(\epsilon_{r2} = 6\)).
  4. Calculer la capacité équivalente \(C_{eq}\) du condensateur avec les deux couches de diélectriques (\(\epsilon_{r1}\) et \(\epsilon_{r2}\)) d'épaisseurs \(d_1=d/2\) et \(d_2=d/2\) placées en série.
  5. Calculer la charge totale \(Q\) accumulée sur les armatures du condensateur (avec les deux diélectriques) lorsqu'une tension \(V = 50 \, \text{V}\) est appliquée.
  6. Calculer l'énergie totale \(W\) emmagasinée dans le condensateur dans les conditions de la question 5.

Correction : Calcul de la Capacité d’un Condensateur Plan

Question 1 : Capacité avec air/vide (\(C_0\))

Principe :

La capacité d'un condensateur plan avec le vide (ou l'air, dont la permittivité relative est très proche de 1) entre ses armatures est donnée par la formule \(C_0 = \epsilon_0 \frac{A}{d}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[C_0 = \epsilon_0 \frac{A}{d}\]
Données spécifiques (converties en unités SI) :
  • Permittivité du vide (\(\epsilon_0\)) : \(8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
  • Surface des armatures (\(A\)) : \(100 \, \text{cm}^2 = 100 \times (10^{-2} \, \text{m})^2 = 100 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 = 10^{-2} \, \text{m}^2\)
  • Distance entre les armatures (\(d\)) : \(2 \, \text{mm} = 2 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} C_0 &= 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m} \times \frac{10^{-2} \, \text{m}^2}{2 \times 10^{-3} \, \text{m}} \\ &= 8.854 \times 10^{-12} \times \frac{10^{-2}}{2 \times 10^{-3}} \, \text{F} \\ &= 8.854 \times 10^{-12} \times 0.5 \times 10^{1} \, \text{F} \\ &= 8.854 \times 10^{-12} \times 5 \, \text{F} \\ &= 44.27 \times 10^{-12} \, \text{F} \\ &= 44.27 \, \text{pF} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La capacité du condensateur avec de l'air est \(C_0 \approx 44.27 \, \text{pF}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la surface des armatures d'un condensateur plan double et que la distance entre elles est divisée par deux (avec le vide entre les plaques), sa capacité :

Question 2 : Capacité avec diélectrique 1 uniquement (\(C_1\))

Principe :

Lorsqu'un diélectrique de permittivité relative \(\epsilon_{r1}\) remplit complètement l'espace entre les armatures, la capacité \(C_1\) est augmentée d'un facteur \(\epsilon_{r1}\) par rapport à la capacité dans le vide \(C_0\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[C_1 = \epsilon_{r1} C_0 = \epsilon_{r1} \epsilon_0 \frac{A}{d}\]
Données spécifiques :
  • Permittivité relative du diélectrique 1 (\(\epsilon_{r1}\)) : \(4\)
  • Capacité avec air/vide (\(C_0\)) : \(44.27 \times 10^{-12} \, \text{F}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} C_1 &= 4 \times 44.27 \times 10^{-12} \, \text{F} \\ &= 177.08 \times 10^{-12} \, \text{F} \\ &= 177.08 \, \text{pF} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La capacité avec le diélectrique 1 uniquement est \(C_1 \approx 177.08 \, \text{pF}\).

Quiz Intermédiaire 2 : La permittivité relative d'un matériau diélectrique est :

Question 3 : Capacité avec diélectrique 2 uniquement (\(C_2\))

Principe :

De même que pour le diélectrique 1, si le diélectrique 2 de permittivité relative \(\epsilon_{r2}\) remplit complètement l'espace, la capacité \(C_2\) est \(\epsilon_{r2} C_0\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[C_2 = \epsilon_{r2} C_0 = \epsilon_{r2} \epsilon_0 \frac{A}{d}\]
Données spécifiques :
  • Permittivité relative du diélectrique 2 (\(\epsilon_{r2}\)) : \(6\)
  • Capacité avec air/vide (\(C_0\)) : \(44.27 \times 10^{-12} \, \text{F}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} C_2 &= 6 \times 44.27 \times 10^{-12} \, \text{F} \\ &= 265.62 \times 10^{-12} \, \text{F} \\ &= 265.62 \, \text{pF} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La capacité avec le diélectrique 2 uniquement est \(C_2 \approx 265.62 \, \text{pF}\).

Quiz Intermédiaire 3 : L'introduction d'un matériau diélectrique entre les plaques d'un condensateur (par rapport au vide) :

Question 4 : Capacité équivalente (\(C_{eq}\)) avec deux diélectriques en série

Principe :

Lorsque deux diélectriques d'épaisseurs \(d_1\) et \(d_2\) et de permittivités relatives \(\epsilon_{r1}\) et \(\epsilon_{r2}\) sont placés en série entre les armatures d'un condensateur plan, on peut considérer cela comme deux condensateurs en série. La capacité de chaque "sous-condensateur" est \(C_a = \epsilon_{r1} \epsilon_0 A / d_1\) et \(C_b = \epsilon_{r2} \epsilon_0 A / d_2\). L'inverse de la capacité équivalente est la somme des inverses des capacités individuelles.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_a} + \frac{1}{C_b}\] \[C_a = \frac{\epsilon_{r1} \epsilon_0 A}{d_1} \quad \text{et} \quad C_b = \frac{\epsilon_{r2} \epsilon_0 A}{d_2}\]

Avec \(d_1 = d/2\) et \(d_2 = d/2\).

Il est plus direct d'utiliser :

\[C_{eq} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{d_1}{\epsilon_{r1}} + \frac{d_2}{\epsilon_{r2}}}\]
Données spécifiques :
  • \(\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
  • \(A = 10^{-2} \, \text{m}^2\)
  • \(d_1 = d/2 = (2 \times 10^{-3} \, \text{m}) / 2 = 1 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
  • \(d_2 = d/2 = 1 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
  • \(\epsilon_{r1} = 4\)
  • \(\epsilon_{r2} = 6\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{d_1}{\epsilon_{r1}} &= \frac{1 \times 10^{-3} \, \text{m}}{4} \\ &= 0.25 \times 10^{-3} \, \text{m} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \frac{d_2}{\epsilon_{r2}} &= \frac{1 \times 10^{-3} \, \text{m}}{6} \\ &\approx 0.16667 \times 10^{-3} \, \text{m} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} C_{eq} &= \frac{8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m} \times 10^{-2} \, \text{m}^2}{0.25 \times 10^{-3} \, \text{m} + 0.16667 \times 10^{-3} \, \text{m}} \\ &= \frac{8.854 \times 10^{-14} \, \text{F} \cdot \text{m}}{0.41667 \times 10^{-3} \, \text{m}} \\ &= \frac{8.854}{0.41667} \times 10^{-11} \, \text{F} \\ &\approx 21.249 \times 10^{-11} \, \text{F} \\ &\approx 212.49 \times 10^{-12} \, \text{F} \\ &\approx 212.5 \, \text{pF} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La capacité équivalente du condensateur avec les deux diélectriques est \(C_{eq} \approx 212.5 \, \text{pF}\).

Quiz Intermédiaire 4 : Pour deux condensateurs \(C_a\) et \(C_b\) en série, la capacité équivalente \(C_{eq}\) est donnée par :

Question 5 : Charge totale \(Q\) accumulée

Principe :

La charge \(Q\) accumulée sur les armatures d'un condensateur est le produit de sa capacité \(C_{eq}\) et de la tension \(V\) appliquée à ses bornes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q = C_{eq} \cdot V\]
Données spécifiques :
  • Capacité équivalente (\(C_{eq}\)) : \(212.5 \times 10^{-12} \, \text{F}\)
  • Tension appliquée (\(V\)) : \(50 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q &= 212.5 \times 10^{-12} \, \text{F} \times 50 \, \text{V} \\ &= 10625 \times 10^{-12} \, \text{C} \\ &= 10.625 \times 10^{-9} \, \text{C} \\ &= 10.625 \, \text{nC} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La charge totale accumulée est \(Q \approx 10.63 \, \text{nC}\).

Quiz Intermédiaire 5 : Si la tension appliquée à un condensateur double, la charge stockée :

Question 6 : Énergie totale \(W\) emmagasinée

Principe :

L'énergie \(W\) emmagasinée dans un condensateur est donnée par plusieurs formules équivalentes, dont \(W = \frac{1}{2} C_{eq} V^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W = \frac{1}{2} C_{eq} V^2 = \frac{1}{2} Q V = \frac{Q^2}{2 C_{eq}}\]
Données spécifiques :
  • Capacité équivalente (\(C_{eq}\)) : \(212.5 \times 10^{-12} \, \text{F}\)
  • Tension appliquée (\(V\)) : \(50 \, \text{V}\)
  • Charge accumulée (\(Q\)) : \(10.625 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
Calcul (en utilisant \(W = \frac{1}{2} C_{eq} V^2\)) :
\[ \begin{aligned} W &= \frac{1}{2} \times (212.5 \times 10^{-12} \, \text{F}) \times (50 \, \text{V})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 212.5 \times 10^{-12} \times 2500 \, \text{J} \\ &= 106.25 \times 10^{-12} \times 2500 \, \text{J} \\ &= 265625 \times 10^{-12} \, \text{J} \\ &= 265.625 \times 10^{-9} \, \text{J} \\ &= 265.625 \, \text{nJ} \end{aligned} \]

Calcul (en utilisant \(W = \frac{1}{2} Q V\)) :

\[ \begin{aligned} W &= \frac{1}{2} \times (10.625 \times 10^{-9} \, \text{C}) \times (50 \, \text{V}) \\ &= \frac{1}{2} \times 531.25 \times 10^{-9} \, \text{J} \\ &= 265.625 \times 10^{-9} \, \text{J} \\ &= 265.625 \, \text{nJ} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : L'énergie totale emmagasinée est \(W \approx 265.63 \, \text{nJ}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La capacité d'un condensateur plan est inversement proportionnelle à :

2. Si un diélectrique de permittivité relative \(\epsilon_r > 1\) est inséré dans un condensateur à air, sa capacité :

3. L'énergie stockée dans un condensateur est proportionnelle :

Glossaire

Condensateur
Composant électronique passif capable d'emmagasiner de l'énergie sous forme de champ électrique entre deux conducteurs (armatures) séparés par un isolant (diélectrique).
Capacité (\(C\))
Mesure de l'aptitude d'un condensateur à stocker une charge électrique pour une différence de potentiel donnée. Unité SI : Farad (F).
Condensateur Plan
Condensateur constitué de deux plaques conductrices planes et parallèles, séparées par un diélectrique.
Diélectrique
Matériau isolant placé entre les armatures d'un condensateur. Il augmente la capacité et la tension de claquage.
Permittivité du Vide (\(\epsilon_0\))
Constante physique fondamentale représentant la capacité du vide à permettre la propagation d'un champ électrique. \(\epsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\).
Permittivité Relative (\(\epsilon_r\))
Rapport de la permittivité d'un matériau diélectrique à la permittivité du vide. C'est un nombre sans dimension, supérieur ou égal à 1.
Permittivité Absolue (\(\epsilon\))
Produit de la permittivité du vide et de la permittivité relative d'un matériau : \(\epsilon = \epsilon_r \epsilon_0\).
Charge Électrique (\(Q\))
Quantité d'électricité portée par un corps. Unité SI : Coulomb (C).
Tension Électrique (\(V\))
Différence de potentiel électrique entre deux points. Unité SI : Volt (V).
Énergie Emmagasinée (\(W\))
Énergie potentielle stockée dans le champ électrique d'un condensateur. Unité SI : Joule (J).
Condensateurs en Série
Association de condensateurs où l'armature négative de l'un est connectée à l'armature positive du suivant. L'inverse de la capacité équivalente est la somme des inverses des capacités individuelles.
Capacité d’un Condensateur Plan avec Diélectrique

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