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Exercices Électricité

Tension aux Bornes des Condensateurs

Tension aux Bornes des Condensateurs en Série

Tension aux Bornes des Condensateurs en Série

Comprendre la Tension aux Bornes des Condensateurs en série

Les condensateurs sont des composants qui stockent de l'énergie sous forme de champ électrique. Lorsqu'ils sont connectés à une source de tension continue, ils se chargent jusqu'à ce que la tension à leurs bornes atteigne une valeur stable. Dans un circuit série contenant plusieurs condensateurs, la tension de la source se répartit entre eux une fois qu'ils sont complètement chargés. Cette répartition ne dépend pas de la résistance du circuit (qui n'influence que le temps de charge), mais des capacités respectives des condensateurs. En régime permanent (après un temps de charge suffisamment long), aucun courant continu ne circule à travers les condensateurs, qui se comportent comme des circuits ouverts.

Données de l'étude

On considère un circuit série alimenté par une source de tension continue \(V_{\text{source}}\). Ce circuit comprend une résistance \(R\) (qui influence le temps de charge mais pas la distribution finale des tensions en régime permanent) et deux condensateurs \(C_1\) et \(C_2\) montés en série.

Valeurs des composants :

  • Tension de la source : \(V_{\text{source}} = 30 \, \text{V}\)
  • Capacité \(C_1\) : \(10 \, \mu\text{F}\)
  • Capacité \(C_2\) : \(20 \, \mu\text{F}\)
  • Résistance \(R\) : \(1 \, \text{k}\Omega\) (présente pour le réalisme de la charge, mais non utilisée pour le calcul des tensions finales)

Nous nous intéressons aux tensions aux bornes de \(C_1\) et \(C_2\) après que les condensateurs soient complètement chargés (régime permanent atteint).

Schéma : Condensateurs en Série avec Source DC
Vs 30V + − R 1kΩ C1 10µF C2 20µF

Circuit avec condensateurs en série et source DC.

Questions à traiter

  1. Quel est le comportement des condensateurs \(C_1\) et \(C_2\) en régime permanent (après un long temps de charge) dans un circuit DC ? Quel est le courant qui les traverse ?
  2. Calculer la capacité équivalente (\(C_{\text{eq}}\)) des condensateurs \(C_1\) et \(C_2\) montés en série.
  3. Calculer la charge totale (\(Q_{\text{total}}\)) accumulée par la capacité équivalente (cette charge est la même pour chaque condensateur en série).
  4. Calculer la tension (\(V_{\text{C1}}\)) aux bornes du condensateur \(C_1\).
  5. Calculer la tension (\(V_{\text{C2}}\)) aux bornes du condensateur \(C_2\).
  6. Vérifier que la somme des tensions \(V_{\text{C1}}\) et \(V_{\text{C2}}\) est égale à la tension de la source \(V_{\text{source}}\).

Correction : Tension aux Bornes des Condensateurs en Série

Question 1 : Comportement des condensateurs en régime permanent DC

Principe :

En régime permanent (après un temps de charge suffisamment long) dans un circuit alimenté en courant continu (DC), un condensateur se comporte comme un circuit ouvert. Cela signifie qu'aucun courant continu ne peut traverser le condensateur une fois qu'il est complètement chargé. La tension à ses bornes atteint alors une valeur constante.

Réponse :

Après un long temps de charge, les condensateurs \(C_1\) et \(C_2\) sont complètement chargés et se comportent comme des circuits ouverts. Par conséquent, le courant continu traversant la branche série contenant \(C_1\) et \(C_2\) est nul (\(I = 0 \, \text{A}\)). La résistance \(R\) ne joue un rôle que pendant la phase de charge transitoire pour limiter le courant de charge, mais n'affecte pas la distribution finale des tensions aux bornes des condensateurs en régime permanent (tant qu'elle n'est pas en parallèle avec un des condensateurs, ce qui n'est pas le cas ici pour la distribution des tensions entre C1 et C2).

Question 2 : Capacité équivalente (\(C_{\text{eq}}\))

Principe :

Pour des condensateurs montés en série, l'inverse de la capacité équivalente est la somme des inverses des capacités individuelles.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\]

Ou, pour deux condensateurs :

\[C_{\text{eq}} = \frac{C_1 \times C_2}{C_1 + C_2}\]
Données spécifiques :
  • \(C_1 = 10 \, \mu\text{F}\)
  • \(C_2 = 20 \, \mu\text{F}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} C_{\text{eq}} &= \frac{(10 \, \mu\text{F}) \times (20 \, \mu\text{F})}{10 \, \mu\text{F} + 20 \, \mu\text{F}} \\ &= \frac{200 \, (\mu\text{F})^2}{30 \, \mu\text{F}} \\ &= \frac{20}{3} \, \mu\text{F} \\ &\approx 6.666... \, \mu\text{F} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La capacité équivalente du circuit est \(C_{\text{eq}} \approx 6.67 \, \mu\text{F}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si trois condensateurs de \(30 \, \mu\text{F}\) chacun sont en série, leur capacité équivalente est :

Question 3 : Charge totale (\(Q_{\text{total}}\))

Principe :

La charge totale accumulée par la capacité équivalente est donnée par \(Q = CV\), où \(C\) est la capacité équivalente et \(V\) est la tension totale appliquée (ici, \(V_{\text{source}}\)). Dans un montage série, tous les condensateurs accumulent la même charge \(Q_{\text{total}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q_{\text{total}} = C_{\text{eq}} \times V_{\text{source}}\]
Données spécifiques :
  • \(C_{\text{eq}} = \frac{20}{3} \, \mu\text{F} = \frac{20}{3} \times 10^{-6} \, \text{F}\)
  • \(V_{\text{source}} = 30 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_{\text{total}} &= \left(\frac{20}{3} \times 10^{-6} \, \text{F}\right) \times 30 \, \text{V} \\ &= 20 \times 10 \times 10^{-6} \, \text{C} \\ &= 200 \times 10^{-6} \, \text{C} \\ &= 200 \, \mu\text{C} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La charge totale accumulée (et la charge sur chaque condensateur) est \(Q_{\text{total}} = 200 \, \mu\text{C}\).

Question 4 : Tension (\(V_{\text{C1}}\)) aux bornes de \(C_1\)

Principe :

La tension aux bornes d'un condensateur est donnée par \(V = Q/C\). Puisque la charge \(Q_{\text{total}}\) est la même pour \(C_1\), on a \(V_{\text{C1}} = \frac{Q_{\text{total}}}{C_1}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{C1}} = \frac{Q_{\text{total}}}{C_1}\]
Données spécifiques :
  • \(Q_{\text{total}} = 200 \, \mu\text{C} = 200 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(C_1 = 10 \, \mu\text{F} = 10 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{C1}} &= \frac{200 \times 10^{-6} \, \text{C}}{10 \times 10^{-6} \, \text{F}} \\ &= \frac{200}{10} \, \text{V} \\ &= 20 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La tension aux bornes de \(C_1\) est \(V_{\text{C1}} = 20 \, \text{V}\).

Question 5 : Tension (\(V_{\text{C2}}\)) aux bornes de \(C_2\)

Principe :

De même, la tension \(V_{\text{C2}}\) aux bornes de \(C_2\) est \(V_{\text{C2}} = \frac{Q_{\text{total}}}{C_2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{C2}} = \frac{Q_{\text{total}}}{C_2}\]
Données spécifiques :
  • \(Q_{\text{total}} = 200 \, \mu\text{C} = 200 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(C_2 = 20 \, \mu\text{F} = 20 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{C2}} &= \frac{200 \times 10^{-6} \, \text{C}}{20 \times 10^{-6} \, \text{F}} \\ &= \frac{200}{20} \, \text{V} \\ &= 10 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La tension aux bornes de \(C_2\) est \(V_{\text{C2}} = 10 \, \text{V}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Dans un circuit série de deux condensateurs C1 et C2 (C1 < C2) chargés par une source DC, la tension la plus élevée apparaîtra aux bornes de :

Question 6 : Vérification de la loi des mailles de Kirchhoff

Principe :

Pour un circuit série, la somme des chutes de tension aux bornes des composants doit être égale à la tension de la source. Ici, \(V_{\text{source}} = V_{\text{C1}} + V_{\text{C2}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{source}} = V_{\text{C1}} + V_{\text{C2}}\]
Données calculées :
  • \(V_{\text{source}} = 30 \, \text{V}\)
  • \(V_{\text{C1}} = 20 \, \text{V}\)
  • \(V_{\text{C2}} = 10 \, \text{V}\)
Vérification :
\[ \begin{aligned} V_{\text{C1}} + V_{\text{C2}} &= 20 \, \text{V} + 10 \, \text{V} \\ &= 30 \, \text{V} \end{aligned} \]

Comparaison avec \(V_{\text{source}}\) :

\[30 \, \text{V} = 30 \, \text{V} \quad (\text{Vérifié})\]
Résultat Question 6 : La loi des mailles est vérifiée. La somme des tensions aux bornes des condensateurs (\(30 \, \text{V}\)) est égale à la tension de la source (\(30 \, \text{V}\)).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. En régime permanent DC, un condensateur se comporte comme :

2. Pour des condensateurs en série, la charge sur chaque condensateur est :

3. La formule de la capacité équivalente pour deux condensateurs \(C_1\) et \(C_2\) en série est :

Glossaire

Condensateur
Composant électronique capable de stocker de l'énergie sous forme de champ électrique entre deux armatures conductrices séparées par un isolant (diélectrique).
Capacité (C)
Mesure de l'aptitude d'un condensateur à stocker une charge électrique pour une tension donnée. Unité : Farad (F). \(C = Q/V\).
Charge Électrique (Q)
Quantité d'électricité portée par les armatures d'un condensateur. Unité : Coulomb (C).
Tension aux Bornes (V)
Différence de potentiel électrique entre les armatures d'un condensateur. Unité : Volt (V).
Régime Permanent (DC)
État d'un circuit DC atteint après un temps suffisamment long, où les courants et les tensions ne varient plus. Les condensateurs complètement chargés se comportent comme des circuits ouverts (courant nul).
Condensateurs en Série
Montage où les condensateurs sont connectés les uns à la suite des autres. La charge est la même sur chaque condensateur. L'inverse de la capacité équivalente est la somme des inverses des capacités individuelles.
Capacité Équivalente en Série
\(\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ... + \frac{1}{C_n}\).
Tension aux Bornes des Condensateurs en Série

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