Calcul d’Amplitude en Courant Alternatif
Maîtriser le calcul et l'interprétation des différentes amplitudes (crête, crête-à-crête, efficace, moyenne) d'un signal de courant alternatif.
En courant alternatif (CA), la valeur instantanée du courant ou de la tension varie constamment au cours du temps. Pour caractériser ces signaux, plusieurs types d'"amplitudes" sont utilisés, chacun ayant une signification et une utilité spécifiques. Comprendre ces différentes mesures est crucial pour analyser les circuits CA, calculer les puissances et dimensionner correctement les composants.
Les principales mesures d'amplitude pour un signal sinusoïdal \(x(t) = X_{crête} \sin(\omega t + \phi)\) sont :
- Amplitude Crête (ou Maximale) \(X_{crête}\) ou \(X_m\) : La valeur maximale atteinte par le signal par rapport à zéro.
- Amplitude Crête-à-Crête \(X_{càc}\) : La différence totale entre la valeur maximale positive et la valeur minimale négative. Pour un signal sinusoïdal pur, \(X_{càc} = 2 \times X_{crête}\).
- Valeur Efficace (RMS) \(X_{eff}\) ou \(X_{RMS}\) : La valeur du signal continu qui produirait le même effet thermique (puissance dissipée) dans une résistance. Pour un signal sinusoïdal, \(X_{eff} = X_{crête} / \sqrt{2}\).
- Valeur Moyenne (Redressée ou Absolue) \(X_{moy}\) : La moyenne de la valeur absolue du signal sur une période. Pour un signal sinusoïdal redressé double alternance, \(X_{moy} = (2/\pi) \times X_{crête}\). La valeur moyenne d'un signal sinusoïdal non redressé sur une période complète est nulle.
Données du Problème
Un oscilloscope mesure une tension alternative sinusoïdale aux bornes d'une charge. L'affichage de l'oscilloscope indique les informations suivantes pour cette tension \(v(t)\) :
- Tension Crête-à-Crête (\(V_{càc}\)) : \(80 \text{ V}\)
- Fréquence (\(f\)) : \(50 \text{ Hz}\)
On considère que le signal est parfaitement sinusoïdal et centré sur zéro.
Questions
- Calculer l'amplitude crête (\(V_{crête}\)) de la tension.
- Calculer la valeur efficace (\(V_{eff}\)) de la tension.
- Calculer la période (\(T\)) du signal.
- Exprimer la tension instantanée \(v(t)\) sous la forme \(V_{crête} \sin(\omega t)\), en calculant la pulsation \(\omega\). (On supposera une phase à l'origine nulle, \(\phi = 0\)).
- Si cette tension est appliquée aux bornes d'une résistance de \(R = 10 \text{ Ω}\), quel sera le courant efficace (\(I_{eff}\)) traversant la résistance ?
- Quelle sera l'amplitude crête du courant (\(I_{crête}\)) dans cette résistance ?
Correction : Calcul d’Amplitude en Courant Alternatif
1. Calcul de l'Amplitude Crête (\(V_{crête}\))
Pour un signal sinusoïdal centré sur zéro, l'amplitude crête-à-crête est le double de l'amplitude crête.
Données :
\(V_{càc} = 80 \text{ V}\)
L'amplitude crête de la tension est \(V_{crête} = 40 \text{ V}\).
2. Calcul de la Valeur Efficace (\(V_{eff}\))
Pour un signal sinusoïdal, la valeur efficace est l'amplitude crête divisée par \(\sqrt{2}\).
Données :
\(V_{crête} = 40 \text{ V}\) (calculé précédemment)
La valeur efficace de la tension est \(V_{eff} \approx 28.28 \text{ V}\).
Quiz Intermédiaire : Amplitudes
3. Calcul de la Période (\(T\))
La période est l'inverse de la fréquence : \(T = 1/f\).
Données :
\(f = 50 \text{ Hz}\)
La période du signal est \(T = 0.02 \text{ s}\) (ou \(20 \text{ ms}\)).
4. Expression de la Tension Instantanée \(v(t)\)
La tension instantanée s'écrit \(v(t) = V_{crête} \sin(\omega t)\). Il faut calculer la pulsation \(\omega = 2\pi f\).
Données :
\(V_{crête} = 40 \text{ V}\)
\(f = 50 \text{ Hz}\)
Donc, l'expression de la tension instantanée est :
La tension instantanée est \(v(t) = 40 \sin(100\pi t) \text{ V}\).
5. Calcul du Courant Efficace (\(I_{eff}\))
On utilise la loi d'Ohm avec les valeurs efficaces : \(I_{eff} = V_{eff} / R\).
Données :
\(V_{eff} \approx 28.28 \text{ V}\) (calculé précédemment)
\(R = 10 \text{ Ω}\)
Le courant efficace traversant la résistance est \(I_{eff} \approx 2.828 \text{ A}\).
6. Calcul de l'Amplitude Crête du Courant (\(I_{crête}\))
On peut utiliser la loi d'Ohm avec les amplitudes crêtes : \(I_{crête} = V_{crête} / R\), ou la relation entre courant efficace et courant de crête : \(I_{crête} = I_{eff} \times \sqrt{2}\).
Données :
\(V_{crête} = 40 \text{ V}\)
\(R = 10 \text{ Ω}\)
Ou \(I_{eff} \approx 2.828 \text{ A}\)
Méthode 1 (avec \(V_{crête}\)) :
Méthode 2 (avec \(I_{eff}\)) :
L'amplitude crête du courant est \(I_{crête} = 4 \text{ A}\).
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Glossaire des Termes Clés
Amplitude Crête (Maximale) :
Valeur maximale (positive ou négative) atteinte par un signal alternatif par rapport à sa valeur moyenne (souvent zéro).
Amplitude Crête-à-Crête :
Différence totale entre la valeur maximale positive et la valeur minimale négative d'un signal.
Valeur Efficace (RMS - Root Mean Square) :
Pour un courant (ou une tension) alternatif, c'est la valeur du courant (ou de la tension) continu qui dissiperait la même puissance dans une résistance. C'est la valeur la plus couramment utilisée pour spécifier les tensions et courants alternatifs (ex: 230V secteur).
Valeur Moyenne :
Moyenne arithmétique du signal sur une période. Pour un signal sinusoïdal pur, elle est nulle. Pour un signal redressé, elle est non nulle.
Fréquence (f) :
Nombre de cycles complets du signal par seconde. Unité : Hertz (Hz).
Période (T) :
Durée d'un cycle complet du signal. \(T = 1/f\). Unité : seconde (s).
Pulsation (\(\omega\)) :
Vitesse angulaire du signal, liée à la fréquence par \(\omega = 2\pi f\). Unité : radian par seconde (rad/s).
Oscilloscope :
Instrument de mesure électronique qui permet de visualiser des signaux électriques variables dans le temps, généralement sous forme de courbes de tension en fonction du temps.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Pourquoi la valeur efficace est-elle plus pertinente que l'amplitude crête pour les calculs de puissance en courant alternatif ?
2. Un multimètre en position "AC Volts" mesure-t-il généralement l'amplitude crête, crête-à-crête ou la valeur efficace d'une tension ? Pourquoi ?
3. Comment les différentes amplitudes (crête, efficace) seraient-elles affectées si le signal alternatif n'était pas purement sinusoïdal (par exemple, un signal carré ou triangulaire) ?
4. Dans quels domaines d'application l'amplitude crête d'un signal est-elle une information plus critique que sa valeur efficace ? (Pensez à l'isolation des composants, aux claquages, etc.)
5. Si un signal a une composante continue superposée à un signal alternatif (par exemple, \(v(t) = V_{DC} + V_{AC,crête} \sin(\omega t)\)), comment calculerait-on sa valeur efficace totale ?
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