Calcul du Flux Électrique à Travers une Surface

Comprendre le Flux Électrique à Travers une Surface

Le flux électrique (\(\Phi_E\)) est une mesure du "nombre de lignes de champ électrique" qui traversent une surface donnée. Plus formellement, il est défini par l'intégrale de surface du produit scalaire du champ électrique \(\vec{E}\) et du vecteur élément de surface \(d\vec{A}\). Le vecteur \(d\vec{A}\) a une magnitude égale à l'aire de l'élément de surface et une direction perpendiculaire (normale) à la surface. Le flux électrique est une grandeur scalaire et son unité SI est le Newton mètre carré par Coulomb (\(\text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}\)) ou le Volt mètre (\(\text{V} \cdot \text{m}\)). Le théorème de Gauss relie le flux électrique à travers une surface fermée à la charge totale enfermée par cette surface.

Données de l'étude

On considère un champ électrique uniforme \(\vec{E} = (500 \, \hat{i} + 300 \, \hat{j}) \, \text{N/C}\).

On s'intéresse au flux de ce champ à travers une surface rectangulaire plane d'aire \(A = 0,50 \, \text{m}^2\).

Cas à étudier :

Cas 1 : La surface est située dans le plan yz (sa normale est donc parallèle à \(\hat{i}\)).
Cas 2 : La surface est située dans le plan xz (sa normale est donc parallèle à \(\hat{j}\)).
Cas 3 : La normale à la surface fait un angle \(\theta = 60^{\circ}\) avec l'axe des x positifs et est contenue dans le plan xy.

Constante :

Permittivité du vide (non directement utilisée ici, mais contextuelle) : \(\varepsilon_0 \approx 8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)

Schéma : Champ Électrique et Surface

Illustration du champ électrique et d'une surface.

Questions à traiter

Cas 1 : La surface est dans le plan yz. Déterminer le vecteur normal \(\vec{A}\) à la surface et calculer le flux électrique \(\Phi_{E1}\) à travers cette surface.
Cas 2 : La surface est dans le plan xz. Déterminer le vecteur normal \(\vec{A}\) à la surface et calculer le flux électrique \(\Phi_{E2}\) à travers cette surface.
Cas 3 : La normale à la surface fait un angle \(\theta = 60^{\circ}\) avec l'axe des x positifs et est contenue dans le plan xy. Déterminer les composantes du vecteur normal unitaire \(\hat{n}\), puis le vecteur \(\vec{A}\), et enfin calculer le flux électrique \(\Phi_{E3}\) à travers cette surface.
Considérons maintenant une charge ponctuelle \(Q = +2,0 \, \text{nC}\) placée à l'origine. Calculer le flux électrique total \(\Phi_{E4}\) sortant d'une sphère de rayon \(R = 10 \, \text{cm}\) centrée sur la charge. Vérifier le résultat avec le théorème de Gauss.

Correction : Calcul du Flux Électrique à Travers une Surface

Question 1 : Cas 1 - Surface dans le plan yz

Principe :

Si la surface est dans le plan yz, son vecteur normal unitaire \(\hat{n}\) est dirigé selon l'axe des x (soit \(\hat{i}\) ou \(-\hat{i}\)). On choisit conventionnellement la normale sortante ou une direction spécifiée. Ici, on prendra \(\hat{n} = \hat{i}\). Le vecteur surface est \(\vec{A} = A \hat{n}\). Le flux est \(\Phi_E = \vec{E} \cdot \vec{A}\) pour un champ uniforme et une surface plane.

Données spécifiques :

\(\vec{E} = (500 \, \hat{i} + 300 \, \hat{j}) \, \text{N/C}\)
\(A = 0,50 \, \text{m}^2\)
Normale \(\hat{n} = \hat{i}\)

Calcul :

\vec{A}_1 = A \hat{n} = 0,50 \, \text{m}^2 \, \hat{i}

\begin{aligned} \Phi_{E1} &= \vec{E} \cdot \vec{A}_1 \\ &= (500 \, \hat{i} + 300 \, \hat{j}) \cdot (0,50 \, \hat{i}) \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C} \\ &= (500 \times 0,50) (\hat{i} \cdot \hat{i}) + (300 \times 0) (\hat{j} \cdot \hat{i}) \\ &= 250 \times 1 + 0 \\ &= 250 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C} \quad (\text{ou } 250 \, \text{V} \cdot \text{m}) \end{aligned}

Résultat Question 1 : Le flux électrique \(\Phi_{E1} = 250 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}\).

Question 2 : Cas 2 - Surface dans le plan xz

Principe :

Si la surface est dans le plan xz, son vecteur normal unitaire \(\hat{n}\) est dirigé selon l'axe des y (soit \(\hat{j}\) ou \(-\hat{j}\)). On choisit \(\hat{n} = \hat{j}\).

Données spécifiques :

\(\vec{E} = (500 \, \hat{i} + 300 \, \hat{j}) \, \text{N/C}\)
\(A = 0,50 \, \text{m}^2\)
Normale \(\hat{n} = \hat{j}\)

Calcul :

\vec{A}_2 = A \hat{n} = 0,50 \, \text{m}^2 \, \hat{j}

\begin{aligned} \Phi_{E2} &= \vec{E} \cdot \vec{A}_2 \\ &= (500 \, \hat{i} + 300 \, \hat{j}) \cdot (0,50 \, \hat{j}) \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C} \\ &= (500 \times 0) (\hat{i} \cdot \hat{j}) + (300 \times 0,50) (\hat{j} \cdot \hat{j}) \\ &= 0 + 150 \times 1 \\ &= 150 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C} \quad (\text{ou } 150 \, \text{V} \cdot \text{m}) \end{aligned}

Résultat Question 2 : Le flux électrique \(\Phi_{E2} = 150 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}\).

Question 3 : Cas 3 - Surface inclinée

Principe :

La normale \(\hat{n}\) à la surface fait un angle \(\theta = 60^{\circ}\) avec l'axe des x positifs et est dans le plan xy. Ses composantes sont \(\hat{n} = \cos\theta \, \hat{i} + \sin\theta \, \hat{j}\). Le flux est \(\Phi_E = \vec{E} \cdot \vec{A} = EA \cos\alpha\), où \(\alpha\) est l'angle entre \(\vec{E}\) et \(\vec{A}\) (ou \(\hat{n}\)).

Données spécifiques :

\(\vec{E} = (500 \, \hat{i} + 300 \, \hat{j}) \, \text{N/C}\)
\(A = 0,50 \, \text{m}^2\)
Angle de la normale \(\hat{n}\) avec l'axe x : \(\theta = 60^{\circ}\) (dans le plan xy)

Calcul :

\begin{aligned} \hat{n} &= \cos(60^{\circ})\hat{i} + \sin(60^{\circ})\hat{j} \\ &= 0,5\hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{j} \\ &\approx 0,5\hat{i} + 0,866\hat{j} \end{aligned}

\begin{aligned} \vec{A}_3 &= A \hat{n} \\ &= 0,50 \, \text{m}^2 \times (0,5\hat{i} + 0,866\hat{j}) \\ &= (0,25\hat{i} + 0,433\hat{j}) \, \text{m}^2 \end{aligned}

\begin{aligned} \Phi_{E3} &= \vec{E} \cdot \vec{A}_3 \\ &= (500 \, \hat{i} + 300 \, \hat{j}) \cdot (0,25\hat{i} + 0,433\hat{j}) \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C} \\ &= (500 \times 0,25) + (300 \times 0,433) \\ &= 125 + 129,9 \\ &= 254,9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C} \end{aligned}

Résultat Question 3 : Le flux électrique \(\Phi_{E3} \approx 254,9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}\).

Quiz Intermédiaire : Le flux électrique à travers une surface plane est maximal lorsque :

La surface est parallèle au champ électrique.
La normale à la surface fait un angle de 45° avec le champ.
Le champ électrique est nul.
La surface est perpendiculaire au champ électrique (normale parallèle au champ).

Question 4 : Flux à travers une sphère enfermant une charge ponctuelle

Principe :

Le champ électrique créé par une charge ponctuelle \(Q\) à une distance \(r\) est \(\vec{E} = k_e \frac{Q}{r^2} \hat{u}_r\). Pour une surface sphérique de rayon \(R\) centrée sur la charge, le vecteur normal \(d\vec{A}\) est aussi radial (\(d\vec{A} = dA \, \hat{u}_r\)). Le flux est \(\Phi_E = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A}\). Le théorème de Gauss stipule que \(\Phi_E = Q_{\text{int}}/\varepsilon_0\).

Formule(s) utilisée(s) :

\Phi_E = \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} \] \[ \text{Théorème de Gauss : } \Phi_E = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}

Données spécifiques :

\(Q = +2,0 \, \text{nC} = +2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
\(R = 10 \, \text{cm} = 0,10 \, \text{m}\)
\(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
\(\varepsilon_0 \approx 8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)

Calcul direct du flux :

Sur la surface de la sphère (\(r=R\)), le champ est \(E(R) = k_e \frac{Q}{R^2}\).

\(\vec{E}\) et \(d\vec{A}\) sont parallèles (\(\vec{E} \cdot d\vec{A} = E dA\)).

\begin{aligned} \Phi_{E4} &= \oint_S E(R) dA \\ &= E(R) \oint_S dA \quad (\text{car E(R) est constant sur la sphère}) \\ &= \left(k_e \frac{Q}{R^2}\right) (4\pi R^2) \\ &= 4\pi k_e Q \end{aligned}

\begin{aligned} \Phi_{E4} &= 4\pi (9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) (2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}) \\ &= 4\pi \times 18 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C} \\ &= 72\pi \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C} \\ &\approx 226,19 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C} \end{aligned}

Vérification avec le Théorème de Gauss :

La charge enfermée est \(Q_{\text{int}} = Q\).

\begin{aligned} \Phi_{E4} &= \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} \\ &= \frac{2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}} \\ &\approx 225,999... \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C} \\ &\approx 226,0 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C} \end{aligned}

Les résultats sont cohérents (la petite différence vient de l'arrondi de \(k_e\), car \(4\pi k_e = 1/\varepsilon_0\)).

Résultat Question 4 : Le flux électrique total à travers la sphère est \(\Phi_{E4} \approx 226 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}\).

Glossaire

Flux Électrique (\(\Phi_E\)): Mesure du nombre de lignes de champ électrique traversant une surface. Mathématiquement, \(\Phi_E = \int_S \vec{E} \cdot d\vec{A}\). Unité : \(\text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}\) ou \(\text{V} \cdot \text{m}\).
Champ Électrique (\(\vec{E}\)): Champ vectoriel créé par des charges électriques, décrivant la force électrique par unité de charge. Unité : N/C ou V/m.
Vecteur Surface (\(d\vec{A}\) ou \(\vec{A}\)): Vecteur dont la magnitude est égale à l'aire (ou l'élément d'aire \(dA\)) et dont la direction est perpendiculaire (normale) à la surface.
Théorème de Gauss: Loi fondamentale de l'électrostatique qui stipule que le flux électrique net à travers n'importe quelle surface fermée hypothétique (surface de Gauss) est égal à \(1/\varepsilon_0\) fois la charge électrique nette \(Q_{\text{int}}\) à l'intérieur de cette surface fermée : \(\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = Q_{\text{int}}/\varepsilon_0\).
Permittivité du Vide (\(\varepsilon_0\)): Constante physique fondamentale qui représente la capacité du vide à permettre la formation d'un champ électrique. \(\varepsilon_0 \approx 8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\).

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