Analyse de l'Auto-Induction dans un Circuit

L'auto-induction est un phénomène qui se produit dans un circuit électrique parcouru par un courant variable. Une bobine (ou inductance) est un composant qui s'oppose aux variations du courant qui la traverse en créant une force électromotrice (f.é.m.) auto-induite. Cette propriété est caractérisée par son inductance \(L\), exprimée en Henrys (H).

En courant alternatif sinusoïdal, une bobine idéale présente une opposition au passage du courant appelée réactance inductive (\(X_L\)) :

X_L = L\omega = 2\pi f L

Où \(\omega\) est la pulsation et \(f\) la fréquence du courant.

Une bobine réelle possède également une résistance interne \(R\). L'opposition totale au passage du courant alternatif par une bobine réelle (modélisée comme une inductance \(L\) en série avec une résistance \(R\)) est appelée impédance (\(Z\)) :

Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{R^2 + (L\omega)^2}

La tension aux bornes de la bobine réelle est alors \(u(t)\) et le courant \(i(t)\). Le courant est déphasé par rapport à la tension d'un angle \(\phi\) tel que :

\tan(\phi) = \frac{X_L}{R} = \frac{L\omega}{R}

Pour une bobine, le courant est en retard sur la tension (\(\phi > 0\)).

Les puissances dans un tel circuit sont :

Puissance active (dissipée par la résistance) : \(P = R I_{eff}^2 = U_{eff} I_{eff} \cos(\phi)\) (en Watts, W)
Puissance réactive (associée à l'inductance) : \(Q_L = X_L I_{eff}^2 = U_{eff} I_{eff} \sin(\phi)\) (en Voltampères Réactifs, VAR)
Puissance apparente : \(S = U_{eff} I_{eff} = \sqrt{P^2 + Q_L^2}\) (en Voltampères, VA)

Données du Problème

Une bobine réelle, modélisée par une inductance \(L\) en série avec une résistance \(R\), est soumise à une tension alternative sinusoïdale \(u(t)\).

Valeur efficace de la tension d'alimentation (\(U_{eff}\)) : \(24 \text{ V}\)
Fréquence de la tension (\(f\)) : \(50 \text{ Hz}\)
Résistance de la bobine (\(R\)) : \(15 \text{ Ω}\)
Inductance de la bobine (\(L\)) : \(63.66 \text{ mH}\)

Questions

Calculer la pulsation \(\omega\) de la tension d'alimentation.
Calculer la réactance inductive \(X_L\) de la bobine.
Calculer l'impédance \(Z\) de la bobine.
Calculer la valeur efficace du courant \(I_{eff}\) traversant la bobine.
Calculer le déphasage \(\phi\) du courant par rapport à la tension. Préciser si le courant est en avance ou en retard sur la tension.
Donner l'expression de la tension instantanée \(u(t)\) en prenant la phase à l'origine de la tension nulle (\(\phi_u = 0\)). En déduire l'expression du courant instantané \(i(t)\).
Calculer la puissance active \(P\) consommée par la bobine.
Calculer la puissance réactive \(Q_L\) consommée par la bobine.
Calculer la puissance apparente \(S\) de la bobine.
Calculer le facteur de puissance \(\cos(\phi)\) de la bobine.

Correction : Analyse de l’Auto-Induction dans un Circuit

1. Calcul de la Pulsation (\(\omega\))

La pulsation \(\omega\) est liée à la fréquence \(f\) par la relation \(\omega = 2\pi f\).

Données :
\(f = 50 \text{ Hz}\)

\begin{aligned} \omega &= 2\pi f \\ &= 2\pi \times 50 \text{ Hz} \\ &= 100\pi \text{ rad/s} \\ &\approx 314.16 \text{ rad/s} \end{aligned}

La pulsation de la tension est \(\omega = 100\pi \text{ rad/s} \approx 314.16 \text{ rad/s}\).

2. Calcul de la Réactance Inductive (\(X_L\))

La réactance inductive \(X_L = L\omega\). Il faut convertir l'inductance en Henrys (H) : \(L = 63.66 \text{ mH} = 63.66 \times 10^{-3} \text{ H}\).

Données :
\(L = 63.66 \times 10^{-3} \text{ H}\)
\(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\)

\begin{aligned} X_L &= L\omega \\ &= (63.66 \times 10^{-3} \text{ H}) \times (100\pi \text{ rad/s}) \\ &= 6.366\pi \text{ Ω} \\ &\approx 6.366 \times 3.14159 \\ &\approx 19.999 \text{ Ω} \approx 20.0 \text{ Ω} \end{aligned}

La réactance inductive de la bobine est \(X_L \approx 20.0 \text{ Ω}\).

3. Calcul de l'Impédance (\(Z\)) de la Bobine

L'impédance \(Z\) d'une bobine réelle est \(Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}\).

Données :
\(R = 15 \text{ Ω}\)
\(X_L \approx 20.0 \text{ Ω}\)

\begin{aligned} Z &= \sqrt{R^2 + X_L^2} \\ &\approx \sqrt{(15 \text{ Ω})^2 + (20.0 \text{ Ω})^2} \\ &= \sqrt{225 + 400} \\ &= \sqrt{625} \text{ Ω} \\ &= 25 \text{ Ω} \end{aligned}

L'impédance de la bobine est \(Z = 25 \text{ Ω}\).

Quiz Intermédiaire : Impédance

4. Calcul de la Valeur Efficace du Courant (\(I_{eff}\))

On utilise la loi d'Ohm en valeurs efficaces : \(U_{eff} = Z I_{eff}\).

Données :
\(U_{eff} = 24 \text{ V}\)
\(Z = 25 \text{ Ω}\)

\begin{aligned} I_{eff} &= \frac{U_{eff}}{Z} \\ &= \frac{24 \text{ V}}{25 \text{ Ω}} \\ &= 0.96 \text{ A} \end{aligned}

La valeur efficace du courant est \(I_{eff} = 0.96 \text{ A}\).

5. Calcul du Déphasage (\(\phi\))

Le déphasage \(\phi\) est donné par \(\tan(\phi) = X_L / R\).

Données :
\(X_L \approx 20.0 \text{ Ω}\)
\(R = 15 \text{ Ω}\)

\begin{aligned} \tan(\phi) &= \frac{X_L}{R} \\ &\approx \frac{20.0}{15} \\ &\approx 1.3333 \\ \phi &= \arctan(1.3333) \\ &\approx 53.13^\circ \end{aligned}

En radians : \(\phi \approx 53.13^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \approx 0.927 \text{ rad}\).

Comme \(X_L > 0\) (bobine), le courant est en retard sur la tension.

Le déphasage est \(\phi \approx 53.13^\circ\) (ou \(\approx 0.927 \text{ rad}\)).

Le courant est en retard sur la tension.

6. Expressions de \(u(t)\) et \(i(t)\)

Tension : \(u(t) = U_m \sin(\omega t + \phi_u)\). On prend \(\phi_u = 0\). \(U_m = U_{eff} \sqrt{2} = 24\sqrt{2} \text{ V} \approx 33.94 \text{ V}\).

u(t) \approx 33.94 \sin(100\pi t) \text{ (V)}

Courant : \(i(t) = I_m \sin(\omega t + \phi_i)\). \(I_m = I_{eff} \sqrt{2} = 0.96\sqrt{2} \text{ A} \approx 1.358 \text{ A}\). Le courant est en retard de \(\phi \approx 0.927 \text{ rad}\) sur la tension, donc \(\phi_i = \phi_u - \phi = 0 - 0.927 = -0.927 \text{ rad}\).

i(t) \approx 1.358 \sin(100\pi t - 0.927) \text{ (A)}

\(u(t) \approx 33.94 \sin(100\pi t) \text{ V}\)

\(i(t) \approx 1.358 \sin(100\pi t - 0.927) \text{ A}\)

7. Calcul de la Puissance Active (\(P\))

\(P = U_{eff} I_{eff} \cos(\phi)\) ou \(P = R I_{eff}^2\).

Données :
\(R = 15 \text{ Ω}\)
\(I_{eff} = 0.96 \text{ A}\)
\(U_{eff} = 24 \text{ V}\)
\(\phi \approx 53.13^\circ \rightarrow \cos(\phi) \approx \cos(53.13^\circ) \approx 0.600\)

\begin{aligned} P &= R I_{eff}^2 \\ &= 15 \text{ Ω} \times (0.96 \text{ A})^2 \\ &= 15 \times 0.9216 \\ &= 13.824 \text{ W} \end{aligned}

Alternativement : \(P = U_{eff} I_{eff} \cos(\phi) \approx 24 \text{ V} \times 0.96 \text{ A} \times 0.600 \approx 13.824 \text{ W}\).

La puissance active consommée est \(P \approx 13.82 \text{ W}\).

Quiz Intermédiaire : Puissances

8. Calcul de la Puissance Réactive (\(Q_L\))

\(Q_L = U_{eff} I_{eff} \sin(\phi)\) ou \(Q_L = X_L I_{eff}^2\).

Données :
\(X_L \approx 20.0 \text{ Ω}\)
\(I_{eff} = 0.96 \text{ A}\)
\(\phi \approx 53.13^\circ \rightarrow \sin(\phi) \approx \sin(53.13^\circ) \approx 0.800\)

\begin{aligned} Q_L &= X_L I_{eff}^2 \\ &\approx 20.0 \text{ Ω} \times (0.96 \text{ A})^2 \\ &\approx 20.0 \times 0.9216 \\ &\approx 18.432 \text{ VAR} \end{aligned}

Alternativement : \(Q_L = U_{eff} I_{eff} \sin(\phi) \approx 24 \text{ V} \times 0.96 \text{ A} \times 0.800 \approx 18.432 \text{ VAR}\).

La puissance réactive consommée est \(Q_L \approx 18.43 \text{ VAR}\).

9. Calcul de la Puissance Apparente (\(S\))

\(S = U_{eff} I_{eff}\) ou \(S = \sqrt{P^2 + Q_L^2}\).

Données :
\(U_{eff} = 24 \text{ V}\)
\(I_{eff} = 0.96 \text{ A}\)

\begin{aligned} S &= U_{eff} I_{eff} \\ &= 24 \text{ V} \times 0.96 \text{ A} \\ &= 23.04 \text{ VA} \end{aligned}

Vérification : \(S = \sqrt{P^2 + Q_L^2} \approx \sqrt{(13.824)^2 + (18.432)^2} = \sqrt{191.099 + 339.738} = \sqrt{530.837} \approx 23.04 \text{ VA}\).

La puissance apparente est \(S \approx 23.04 \text{ VA}\).

10. Calcul du Facteur de Puissance (\(\cos(\phi)\))

Le facteur de puissance est \(\cos(\phi) = P/S\) ou \(\cos(\phi) = R/Z\).

Données :
\(R = 15 \text{ Ω}\)
\(Z = 25 \text{ Ω}\)
\(P \approx 13.824 \text{ W}\)
\(S \approx 23.04 \text{ VA}\)

\begin{aligned} \cos(\phi) &= \frac{R}{Z} \\ &= \frac{15 \text{ Ω}}{25 \text{ Ω}} \\ &= 0.6 \end{aligned}

Vérification : \(\cos(\phi) = P/S \approx 13.824 / 23.04 \approx 0.6\). (Correspond à \(\cos(53.13^\circ)\)).

Le facteur de puissance de la bobine est \(\cos(\phi) = 0.6\).

Glossaire des Termes Clés

Auto-Induction :

Phénomène par lequel une variation de courant dans un circuit induit une force électromotrice (tension) dans ce même circuit, s'opposant à cette variation.

Inductance (L) :

Propriété d'un circuit électrique de s'opposer aux variations du courant qui le traverse. Unité : Henry (H).

Réactance Inductive (\(X_L\)) :

Opposition offerte par une inductance au passage d'un courant alternatif. \(X_L = L\omega\). Unité : Ohm (\(\Omega\)).

Impédance (\(Z\)) :

Opposition totale (résistive et réactive) d'un circuit au passage d'un courant alternatif. Unité : Ohm (\(\Omega\)).

Déphasage (\(\phi\)) :

Différence de phase angulaire entre la tension et le courant dans un circuit AC.

Puissance Active (P) :

Puissance réellement dissipée ou transformée en travail utile. Unité : Watt (W).

Puissance Réactive (\(Q_L\)) :

Puissance échangée entre la source et le champ magnétique de l'inductance. Unité : Voltampère Réactif (VAR).

Puissance Apparente (S) :

Produit des valeurs efficaces de la tension et du courant. \(S = U_{eff}I_{eff}\). Unité : Voltampère (VA).

Facteur de Puissance (\(\cos\phi\)) :

Rapport entre la puissance active et la puissance apparente (\(P/S\)). Indique l'efficacité de l'utilisation de la puissance.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment varie l'impédance d'une bobine réelle si la fréquence du courant tend vers zéro (courant continu) ? Et si elle tend vers l'infini ?

2. Quel est l'intérêt d'avoir un facteur de puissance proche de 1 dans les installations électriques industrielles ? Comment peut-on l'améliorer si une installation est fortement inductive ?

3. Expliquez le rôle des bobines dans les circuits de filtrage (par exemple, pour lisser un courant redressé ou bloquer certaines fréquences).

4. Si on plaçait un condensateur en série avec la bobine (circuit RLC série), comment cela affecterait-il l'impédance totale et le déphasage ? Qu'est-ce que le phénomène de résonance ?

5. Comment l'énergie est-elle stockée dans une bobine parcourue par un courant ? Sous quelle forme cette énergie est-elle restituée lorsque le courant diminue ?

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