Analyse de l'Auto-Induction dans un Circuit RL Série
Contexte : Comportement inductif en régime sinusoïdal forcé.
Dans ce module, nous étudions un circuit composé d'une résistance et d'une bobine réelle (inductance + résistance interne) soumis à une tension alternative sinusoïdale. Nous analyserons le phénomène d'Auto-inductionPhénomène par lequel une variation de courant dans une bobine crée une tension induite qui s'oppose à cette variation. et son impact sur l'ImpédanceMesure de l'opposition d'un circuit au passage d'un courant alternatif (Z en Ohms). totale du circuit.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental pour comprendre le déphasage courant/tension et le filtrage passif, notions clés en électronique analogique et en électrotechnique.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la réactance inductive en fonction de la fréquence.
- Déterminer l'impédance totale d'un dipôle RL série.
- Calculer le courant efficace et les tensions partielles.
- Comprendre et calculer le déphasage introduit par la bobine.
Données de l'étude
Un circuit série est constitué d'un résistor de résistance \(R\) et d'une bobine idéale d'inductance \(L\). L'ensemble est alimenté par un générateur de tension sinusoïdale délivrant une tension efficace \(U\) à une fréquence \(f\).
Paramètres du Circuit
| Composant | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance | \(R\) | 10 | \(\Omega\) |
| Inductance | \(L\) | 0.1 | \(\text{H}\) |
| Tension Efficace | \(U\) | 230 | \(\text{V}\) |
| Fréquence | \(f\) | 50 | \(\text{Hz}\) |
Schéma Électrique RL Série
Questions à traiter
- Calculer la pulsation \(\omega\) et la réactance inductive \(X_{\text{L}}\).
- Déterminer l'impédance totale \(Z\) du circuit.
- Calculer l'intensité efficace \(I\) circulant dans le circuit.
- Calculer la tension efficace \(U_{\text{L}}\) aux bornes de la bobine.
- Déterminer le déphasage \(\varphi\) entre la tension et le courant.
Les bases théoriques
En régime alternatif sinusoïdal, les composants réactifs (bobines, condensateurs) s'opposent au courant d'une manière qui dépend de la fréquence. On introduit la notion d'impédance complexe.
Pulsation et Réactance
La pulsation \(\omega\) (\(\text{rad/s}\)) est liée à la fréquence \(f\). La réactance inductive \(X_{\text{L}}\) représente la "résistance" de la bobine au courant alternatif.
Loi d'Ohm Généralisée (Impédance)
L'impédance \(Z\) combine la résistance \(R\) et la réactance \(X_{\text{L}}\) (somme vectorielle, théorème de Pythagore dans le plan complexe).
Déphasage
La bobine retarde le courant par rapport à la tension. L'angle de déphasage \(\varphi\) est donné par :
Correction : Analyse de l'Auto-Induction dans un Circuit RL Série
Question 1 : Pulsation et Réactance
Principe
Nous devons d'abord convertir la fréquence temporelle (en tours par seconde ou Hz) en pulsation angulaire (vitesse de rotation en radians par seconde), puis utiliser cette valeur pour évaluer l'opposition de la bobine au passage du courant à cette fréquence spécifique.
Mini-Cours
La pulsation \(\omega\) est fondamentale car elle relie le temps à l'angle de phase. \(X_{\text{L}}\) est la "résistance apparente" de la bobine, proportionnelle à la vitesse de variation du courant.
Remarque Pédagogique
L'unité \(\text{rad/s}\) est indispensable pour les calculs trigonométriques. Ne mélangez jamais degrés et radians dans les formules physiques brutes.
Normes
Conforme aux notations de la norme ISO 80000-6 pour les grandeurs électromagnétiques.
Formule(s)
Formules utilisées
Hypothèses
Nous considérons le régime sinusoïdal établi (permanent) et une bobine idéale (résistance interne nulle pour cette partie).
Données
Données issues de l'énoncé technique :
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| \(f\) | 50 \(\text{Hz}\) |
| \(L\) | 0.1 \(\text{H}\) |
Astuces
Pour \(f=50\,\text{Hz}\), \(\omega \approx 314\). C'est une valeur "magique" à connaître par cœur en électrotechnique européenne.
Schéma (Avant les calculs)
Inductance Pure
Calculs
Application numérique détaillée
On commence par calculer la pulsation \(\omega\) :
La pulsation est donc d'environ 314 radians par seconde.
Ensuite, on déduit la réactance inductive \(X_{\text{L}}\) :
L'opposition de la bobine au courant vaut environ 31.42 Ohms.
Schéma (Après les calculs)
La bobine se comporte à cette fréquence comme une "résistance virtuelle".
Réflexions
Cette réactance est significative comparée à la résistance de 10 Ohms (plus de 3 fois supérieure), ce qui suggère que le comportement inductif dominera le circuit.
Points de vigilance
Ne confondez pas la fréquence \(f\) (en \(\text{Hz}\)) et la pulsation \(\omega\) (en \(\text{rad/s}\)). C'est l'erreur la plus fréquente qui fausse tous les calculs d'impédance.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- La formule de base : \(\omega = 2\pi f\)
- \(X_{\text{L}}\) augmente proportionnellement avec \(L\) et avec \(f\).
Le saviez-vous ?
En aviation, on utilise du 400 \(\text{Hz}\) au lieu du 50 \(\text{Hz}\). Comme \(f\) est 8 fois plus grand, pour avoir la même réactance \(X_{\text{L}}\), on peut utiliser des bobines \(L\) 8 fois plus petites et donc plus légères !
FAQ
Pourquoi la réactance est-elle exprimée en Ohms ?
Car dimensionnellement, c'est le rapport d'une tension (Volts) sur un courant (Ampères), ce qui correspond à la définition de la résistance selon la loi d'Ohm.
A vous de jouer
Si la fréquence double (\(f = 100\,\text{Hz}\)), que devient \(X_{\text{L}}\) ?
📝 Mémo
Plus la fréquence est haute, plus la bobine "bloque" le courant. C'est le principe du filtre passe-bas.
Question 2 : Impédance Totale \(Z\)
Principe
L'impédance totale n'est pas la somme arithmétique des valeurs en Ohms. Il faut additionner les vecteurs de résistance (axe réel horizontal) et de réactance (axe imaginaire vertical). Cela forme un triangle rectangle dont l'hypoténuse est l'impédance \(Z\).
Mini-Cours
Dans le plan complexe, l'impédance s'écrit \(\underline{Z} = R + jX_{\text{L}}\). Le module de ce nombre complexe correspond à la valeur physique \(Z\) que nous cherchons.
Remarque Pédagogique
Imaginez un triangle rectangle : \(R\) est la base, \(X_{\text{L}}\) est la hauteur, et \(Z\) est l'hypoténuse. \(Z\) sera donc toujours plus grande que \(R\) ou \(X_{\text{L}}\) pris séparément.
Normes
Définition de l'impédance selon la CEI 60050-131, grandeur scalaire toujours positive.
Formule(s)
Théorème de Pythagore appliqué à l'impédance
Hypothèses
Composants linéaires parfaits connectés en série, sans couplage mutuel externe.
Données
Données issues de l'énoncé (R) et de la Question 1 (XL) :
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| \(R\) | 10 \(\Omega\) |
| \(X_{\text{L}}\) | 31.42 \(\Omega\) |
Astuces
Si \(X_{\text{L}}\) est beaucoup plus grand que \(R\) (ici \(31.4 > 10\)), l'impédance \(Z\) sera très proche de \(X_{\text{L}}\). C'est un excellent moyen de vérifier l'ordre de grandeur de votre résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle d'Impédance Théorique
Calculs
Calcul Vectoriel détaillé
On applique le théorème de Pythagore (\(Z^2 = R^2 + X_{\text{L}}^2\)) :
L'impédance globale du circuit est de 32.97 Ohms.
Schéma (Après les calculs)
Triangle d'impédance résolu.
Réflexions
Le circuit est majoritairement inductif car \(X_{\text{L}} > R\), l'impédance totale est donc principalement dominée par l'effet de la bobine.
Points de vigilance
Ne jamais faire l'addition simple \(Z = R + X_{\text{L}}\) ! C'est l'erreur conceptuelle la plus grave en électricité alternative.
Points à Retenir
\(Z\) représente l'opposition totale au courant (résistive + réactive) et se mesure toujours en Ohms (\(\Omega\)).
Le saviez-vous ?
L'impédance nominale des haut-parleurs (ex: 4\(\Omega\), 8\(\Omega\)) varie en réalité fortement avec la fréquence du son à cause de l'inductance de la bobine mobile.
FAQ
Est-ce que Z change si la fréquence change ?
Oui, absolument. Puisque \(X_{\text{L}}\) dépend de la fréquence, \(Z\) change aussi. Plus la fréquence augmente, plus \(Z\) augmente dans ce circuit.
A vous de jouer
Si \(R=30\,\Omega\) et \(X_{\text{L}}=40\,\Omega\), combien vaut \(Z\) ? (Pensez au triangle 3-4-5)
📝 Mémo
Pythagore est votre meilleur outil pour mélanger des résistances (réel) et des réactances (imaginaire).
Question 3 : Intensité Efficace \(I\)
Principe
Une fois l'impédance totale connue, le circuit se comporte comme un simple dipôle unique. Nous pouvons donc appliquer la loi d'Ohm généralisée aux bornes de l'ensemble pour trouver le courant total.
Mini-Cours
La loi d'Ohm en alternatif s'écrit \(U = Z \cdot I\) avec les valeurs efficaces. C'est l'équivalent exact de \(U=RI\) en courant continu, mais en remplaçant la résistance par l'impédance.
Remarque Pédagogique
On travaille ici avec les valeurs efficaces (RMS), qui correspondent à la valeur de tension continue qui produirait le même échauffement. Ce sont les valeurs affichées par un multimètre standard.
Normes
Respect des conventions générateur/récepteur standards en régime sinusoïdal.
Formule(s)
Loi d'Ohm généralisée
Hypothèses
Source de tension idéale capable de fournir le courant demandé sans chute de tension interne.
Donnée(s)
Données issues de l'énoncé (U) et de la Question 2 (Z) :
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| \(U\) | 230 \(\text{V}\) |
| \(Z\) | 32.97 \(\Omega\) |
Astuces
Estimez de tête : \(230 / 30 \approx 7.6\). Votre résultat précis doit être un peu inférieur à 7.6 car on divise par un peu plus de 30.
Schéma (Avant les calculs)
Le courant \(I\) traverse l'impédance globale \(Z\) sous la tension \(U\).
Calculs
Division détaillée
Application numérique de la loi d'Ohm (\(I = U/Z\)) :
Le courant efficace circulant dans la boucle est de 6.98 Ampères.
Schéma (Après les calculs)
Un courant de près de 7A circule dans tout le circuit série.
Réflexions
C'est une intensité élevée pour des petits composants électroniques. La puissance dissipée par la résistance serait \(P = R I^2 \approx 10 \times 7^2 = 490\,\text{W}\), ce qui nécessiterait une résistance de très forte puissance (type radiateur) !
Points de vigilance
Attention : Ne pas utiliser \(R\) ou \(X_{\text{L}}\) seuls pour calculer le courant total (\(I \neq U/R\) et \(I \neq U/X_{\text{L}}\)) ! Il faut impérativement utiliser l'impédance totale \(Z\).
Points à Retenir
Le courant est limité par l'impédance totale du circuit et non par un seul de ses composants.
Le saviez-vous ?
Une telle intensité ferait fondre un fil électrique domestique standard trop fin. Pour 10A, on utilise typiquement une section de fil de 1.5mm².
FAQ
Est-ce le courant maximal qui circule ?
Non, c'est la valeur efficace. La valeur maximale (crête) atteinte par l'onde sinusoïdale est \(I_{\text{max}} = I \times \sqrt{2} \approx 9.87\,\text{A}\).
A vous de jouer
Si l'impédance \(Z\) double (passe à 66 \(\Omega\)), que devient le courant \(I\) ?
📝 Mémo
\(I\) est inversement proportionnel à \(Z\). Si l'opposition (\(Z\)) augmente, le flux (\(I\)) diminue.
Question 4 : Tension Bobine \(U_{\text{L}}\)
Principe
Dans un circuit série, le courant est le même partout, mais la tension se répartit aux bornes des composants. La tension aux bornes d'un composant spécifique est le produit de son impédance propre par le courant qui le traverse.
Mini-Cours
Pour la bobine idéale, "l'impédance propre" correspond uniquement à sa réactance inductive \(X_{\text{L}}\). Nous appliquons donc une "loi d'Ohm locale" aux bornes de \(L\).
Remarque Pédagogique
On calcule ici une tension partielle. Attention : en alternatif, la somme arithmétique des tensions partielles (\(U_R + U_{\text{L}}\)) n'est pas égale à la tension totale du générateur !
Normes
Notation \(U_{\text{L}}\) utilisée pour désigner la tension efficace aux bornes de l'inductance.
Formule(s)
Loi d'Ohm locale
Hypothèses
On suppose une bobine idéale (résistance interne nulle), donc toute la tension à ses bornes est due à l'effet inductif.
Données
Données issues des Questions 1 (XL) et 3 (I) :
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| \(I\) | 6.98 \(\text{A}\) |
| \(X_{\text{L}}\) | 31.42 \(\Omega\) |
Astuces
Comme \(X_{\text{L}}\) est grand, \(U_{\text{L}}\) sera grand. Dans les circuits réels, cette tension peut provoquer des arcs électriques (claquages).
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la chute de tension sur L.
Calculs
Produit détaillé
Loi d'Ohm locale aux bornes de la bobine :
La tension aux bornes de la bobine est de 219.3 Volts.
Schéma (Après les calculs)
Comparaison : UL est bien plus grand que UR.
Réflexions
La bobine "prend" la majeure partie de la tension source (230V) car son impédance est plus de 3 fois plus grande que celle de la résistance.
Points de vigilance
Remarquez que si on calcule \(U_R = 10 \times 6.98 = 69.8\,\text{V}\), la somme \(U_R + U_{\text{L}} = 69.8 + 219.3 = 289.1\,\text{V}\) ! C'est supérieur à l'alimentation (230V). C'est normal : la somme doit être vectorielle (\(\sqrt{69.8^2 + 219.3^2} \approx 230\)).
Points à Retenir
En courant alternatif, les tensions s'additionnent vectoriellement (géométriquement) et non pas algébriquement.
Le saviez-vous ?
Dans un circuit RLC à la résonance, la tension \(U_{\text{L}}\) peut dépasser largement la tension du générateur ! C'est le phénomène de surtension par résonance.
FAQ
Pourquoi la tension UL n'est-elle pas égale à 230V ?
Parce qu'une partie de la tension est "consommée" par la résistance R. Les deux composants se partagent la tension totale selon leur impédance respective.
A vous de jouer
Calculez \(U_R = R \cdot I\) avec \(R=10\) et \(I=6.98\).
📝 Mémo
La tension la plus grande est toujours aux bornes du composant ayant la plus grande impédance.
Question 5 : Déphasage \(\varphi\)
Principe
Le déphasage correspond à l'angle géométrique du triangle d'impédance. Il mesure physiquement le retard temporel de l'onde de courant par rapport à l'onde de tension.
Mini-Cours
Le déphasage \(\varphi\) (phi) se calcule par la trigonométrie dans le triangle rectangle formé par \(R\) et \(X_{\text{L}}\). La tangente de cet angle est le rapport entre la partie imaginaire (réactance) et la partie réelle (résistance).
Remarque Pédagogique
Un angle positif (comme ici) signifie une charge inductive : le courant est en retard. Si l'angle était négatif, ce serait une charge capacitive (courant en avance).
Normes
Le déphasage est exprimé en degrés (°) pour l'ingénierie ou en radians (\(\text{rad}\)) pour les mathématiques.
Formule(s)
Trigonométrie
Hypothèses
Circuit inductif pur R-L série.
Données
Données issues de l'énoncé (R) et de la Question 1 (XL) :
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| \(X_{\text{L}}\) (Côté Opposé) | 31.42 \(\Omega\) |
| \(R\) (Côté Adjacent) | 10 \(\Omega\) |
Astuces
Si \(X_{\text{L}} = R\), la tangente vaudrait 1 et l'angle serait exactement de 45°. Ici \(X_{\text{L}} > R\), donc l'angle sera supérieur à 45°.
Schéma (Avant les calculs)
On cherche l'angle \(\varphi\) à la base du triangle d'impédance.
Calculs
Trigonométrie détaillée
1. Calcul de la tangente (Côté Opposé / Côté Adjacent) :
2. Calcul de l'angle (Fonction Arctan ou \(\tan^{-1}\)) :
Le déphasage est d'environ 72.3 degrés.
Schéma (Après les calculs)
Décalage temporel visualisé entre les ondes U et I.
Réflexions
Le courant est fortement déphasé. Le facteur de puissance (\(\cos \varphi \approx 0.3\)) est faible, ce qui signifie que le système consomme beaucoup de puissance réactive pour peu de puissance active.
Points de vigilance
Attention au mode de votre calculatrice (Degrés vs Radians) lors du calcul de l'arctangente. Le résultat \(1.26\) serait correct en radians, mais \(72.3\) est attendu en degrés.
Points à Retenir
Le courant est toujours "en retard" dans une bobine par rapport à la tension.
Le saviez-vous ?
EDF facture des pénalités aux gros industriels si ce déphasage est trop grand (mauvais cos phi), car cela surcharge inutilement les lignes de transport d'électricité.
FAQ
Le déphasage peut-il dépasser 90° ?
Non, pas pour un composant passif simple (R, L, C). L'angle reste toujours compris entre -90° (condensateur pur) et +90° (bobine pure).
A vous de jouer
Si \(R = X_{\text{L}}\), quel est l'angle en degrés ?
📝 Mémo
Plus l'inductance \(L\) est grande, plus le retard est grand (l'angle tend vers 90°).
Diagramme de Fresnel (Bilan)
Représentation vectorielle des tensions à l'échelle approximative.
📝 Grand Mémo : Circuit RL
-
⚡
Effet Inductif : La bobine s'oppose aux variations rapides du courant (\(X_{\text{L}}\) augmente avec la fréquence).
-
📐
Impédance : Toujours utiliser Pythagore pour additionner \(R\) et \(X_{\text{L}}\). Jamais de somme simple !
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⏱️
Déphasage : Dans un circuit inductif, le courant est toujours en retard sur la tension.
🎛️ Simulateur : Impact de L et f
Modifiez l'inductance et la fréquence pour voir l'effet sur le courant et le déphasage (courbe bleue = Tension, courbe rouge = Courant).
Paramètres (U = 10V, R = 10Ω)
📝 Quiz final : Testez vos connaissances
1. Si on augmente la fréquence dans un circuit RL série, que fait le courant ?
2. Quel est le déphasage limite si l'inductance L devient très très grande ?
📚 Glossaire
- Inductance (L)
- Propriété d'un conducteur électrique à s'opposer aux variations du courant qui le traverse. Unité : Henry (\(\text{H}\)).
- Impédance (Z)
- Extension de la notion de résistance aux courants alternatifs, incluant les effets de stockage d'énergie (condensateurs, bobines).
- Réactance (X)
- Partie imaginaire de l'impédance, correspond à la partie qui ne dissipe pas d'énergie mais crée un déphasage.
- Déphasage
- Décalage temporel entre deux ondes sinusoïdales (ici tension et courant), exprimé en angle.
Le Saviez-vous ?
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