Analyse de l’Auto-Induction dans un Circuit

Analyse de l’Auto-Induction dans un Circuit

Comprendre l’Analyse de l’Auto-Induction dans un Circuit

Dans un circuit électrique, le phénomène d’auto-induction est primordial pour comprendre comment les variations de courant affectent le circuit lui-même.

Lorsque le courant dans une bobine varie, une tension est induite qui s’oppose à ce changement de courant.

Cette propriété est caractérisée par le coefficient d’auto-induction, noté \(L\), qui dépend de la géométrie de la bobine et du matériau du noyau.

Pour comprendre le Calcul d’Amplitude en Courant Alternatif, cliquez sur le lien.

Données:

  • Une bobine sans noyau métallique a une inductance \(L = 0.5 \, \text{H}\) (Henry).
  • La bobine est parcourue par un courant alternatif \(i(t) = I_0 \sin(\omega t)\), où:

– \(I_0 = 5 \, \text{A}\) (ampères) est l’amplitude du courant.
– \(\omega = 100\pi \, \text{rad/s}\) est la pulsation du courant.

Questions:

1. Calculer l’expression de la force électromotrice (f.e.m.) induite \(v(t)\) dans la bobine en fonction du temps, utilisant la loi de Faraday-Lenz qui stipule que \(v(t) = -L \frac{di}{dt}\).

2. Déterminer la valeur maximale de la f.e.m. induite durant un cycle.

3. Représenter graphiquement \(i(t)\) et \(v(t)\) sur un même graphique pour une période \(T = \frac{2\pi}{\omega}\).

4. Expliquer comment les variations de \(\omega\) et de \(L\) affecteraient la f.e.m. induite. Que se passerait-il si \(\omega\) était doublé? Si \(L\) était doublé?

Correction : Analyse de l’Auto-Induction dans un Circuit

1. Expression de la f.e.m. induite dans la bobine

Loi de Faraday-Lenz:

\[ v(t) = -L \frac{di}{dt} \]

Expression du courant:

\[ i(t) = 5 \sin(100\pi t) \, \text{A} \]

Calcul de la dérivée du courant par rapport au temps:

\[ \frac{di}{dt} = \frac{d}{dt} \left[5 \sin(100\pi t)\right] \] \[ = 5 \times 100\pi \cos(100\pi t) \] \[ = 500\pi \cos(100\pi t) \, \text{A/s} \]

Calcul de la f.e.m. induite:

\[ v(t) = -0.5 \times 500\pi \cos(100\pi t) \] \[ v(t) = -250\pi \cos(100\pi t) \, \text{V} \]

L’expression de la f.e.m. induite est donc: \(v(t) = -250\pi \cos(100\pi t) \, \text{V}\)

2. Calcul de la valeur maximale de la f.e.m. induite

La f.e.m. induite atteint son maximum lorsque \(\cos(100\pi t) = 1\). Ainsi, le maximum absolu de \(v(t)\) est:

\[ \max |v(t)| = 250\pi \]

En substituant \(\pi \approx 3.14159\):

\[ \max |v(t)| = 250 \times 3.14159 \] \[ \max |v(t)| = 785.3975 \, \text{V} \]

La valeur maximale de la f.e.m. induite est donc d’environ 785 volts.

3. Analyse graphique

Pour visualiser les fonctions \(i(t)\) (le courant) et \(v(t)\) (la f.e.m. induite),  traçant un graphique pour montrer ces deux fonctions sur une période définie par \(T = \frac{2\pi}{\omega}\), où \(\omega = 100\pi\).

Analyse de l’Auto-Induction dans un Circuit

4. Discussion sur l’effet de la pulsation \(\omega\) et de l’inductance \(L\)

  • Augmentation de \(\omega\):

Si \(\omega\) double, \(\omega = 200\pi\). La dérivée du courant serait \(1000\pi \cos(200\pi t)\), donc la f.e.m. induite serait \(-500\pi \cos(200\pi t)\). L’amplitude double, et la fréquence des oscillations aussi, donc \(v(t)\) oscillerait plus rapidement et atteindrait 1570 volts.

  • Augmentation de \(L\):

Si \(L\) double, \(L = 1.0 \, \text{H}\). La f.e.m. induite serait \(-500\pi \cos(100\pi t)\). L’amplitude de \(v(t)\) doublerait également, atteignant 1570 volts, sans affecter la fréquence des oscillations.

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