Analyse de l’Auto-Induction dans un Circuit

La pulsation \(\omega\) est liée à la fréquence \(f\) par la relation \(\omega = 2\pi f\).

Données :
\(f = 50 \text{ Hz}\)

La réactance inductive \(X_L = L\omega\). Il faut convertir l'inductance en Henrys (H) : \(L = 63.66 \text{ mH} = 63.66 \times 10^{-3} \text{ H}\).

Données :
\(L = 63.66 \times 10^{-3} \text{ H}\)
\(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\)

L'impédance \(Z\) d'une bobine réelle est \(Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}\).

Données :
\(R = 15 \text{ Ω}\)
\(X_L \approx 20.0 \text{ Ω}\)

On utilise la loi d'Ohm en valeurs efficaces : \(U_{eff} = Z I_{eff}\).

Données :
\(U_{eff} = 24 \text{ V}\)
\(Z = 25 \text{ Ω}\)

Le déphasage \(\phi\) est donné par \(\tan(\phi) = X_L / R\).

Données :
\(X_L \approx 20.0 \text{ Ω}\)
\(R = 15 \text{ Ω}\)

En radians : \(\phi \approx 53.13^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \approx 0.927 \text{ rad}\).

Comme \(X_L > 0\) (bobine), le courant est en retard sur la tension.

Tension : \(u(t) = U_m \sin(\omega t + \phi_u)\). On prend \(\phi_u = 0\). \(U_m = U_{eff} \sqrt{2} = 24\sqrt{2} \text{ V} \approx 33.94 \text{ V}\).

Courant : \(i(t) = I_m \sin(\omega t + \phi_i)\). \(I_m = I_{eff} \sqrt{2} = 0.96\sqrt{2} \text{ A} \approx 1.358 \text{ A}\). Le courant est en retard de \(\phi \approx 0.927 \text{ rad}\) sur la tension, donc \(\phi_i = \phi_u - \phi = 0 - 0.927 = -0.927 \text{ rad}\).

\(P = U_{eff} I_{eff} \cos(\phi)\) ou \(P = R I_{eff}^2\).

Données :
\(R = 15 \text{ Ω}\)
\(I_{eff} = 0.96 \text{ A}\)
\(U_{eff} = 24 \text{ V}\)
\(\phi \approx 53.13^\circ \rightarrow \cos(\phi) \approx \cos(53.13^\circ) \approx 0.600\)

Alternativement : \(P = U_{eff} I_{eff} \cos(\phi) \approx 24 \text{ V} \times 0.96 \text{ A} \times 0.600 \approx 13.824 \text{ W}\).

\(Q_L = U_{eff} I_{eff} \sin(\phi)\) ou \(Q_L = X_L I_{eff}^2\).

Données :
\(X_L \approx 20.0 \text{ Ω}\)
\(I_{eff} = 0.96 \text{ A}\)
\(\phi \approx 53.13^\circ \rightarrow \sin(\phi) \approx \sin(53.13^\circ) \approx 0.800\)

Alternativement : \(Q_L = U_{eff} I_{eff} \sin(\phi) \approx 24 \text{ V} \times 0.96 \text{ A} \times 0.800 \approx 18.432 \text{ VAR}\).

\(S = U_{eff} I_{eff}\) ou \(S = \sqrt{P^2 + Q_L^2}\).

Données :
\(U_{eff} = 24 \text{ V}\)
\(I_{eff} = 0.96 \text{ A}\)

Vérification : \(S = \sqrt{P^2 + Q_L^2} \approx \sqrt{(13.824)^2 + (18.432)^2} = \sqrt{191.099 + 339.738} = \sqrt{530.837} \approx 23.04 \text{ VA}\).

Le facteur de puissance est \(\cos(\phi) = P/S\) ou \(\cos(\phi) = R/Z\).

Données :
\(R = 15 \text{ Ω}\)
\(Z = 25 \text{ Ω}\)
\(P \approx 13.824 \text{ W}\)
\(S \approx 23.04 \text{ VA}\)

Vérification : \(\cos(\phi) = P/S \approx 13.824 / 23.04 \approx 0.6\). (Correspond à \(\cos(53.13^\circ)\)).

Auto-Induction :

Phénomène par lequel une variation de courant dans un circuit induit une force électromotrice (tension) dans ce même circuit, s'opposant à cette variation.

Inductance (L) :

Propriété d'un circuit électrique de s'opposer aux variations du courant qui le traverse. Unité : Henry (H).

Réactance Inductive (\(X_L\)) :

Opposition offerte par une inductance au passage d'un courant alternatif. \(X_L = L\omega\). Unité : Ohm (\(\Omega\)).

Impédance (\(Z\)) :

Opposition totale (résistive et réactive) d'un circuit au passage d'un courant alternatif. Unité : Ohm (\(\Omega\)).

Déphasage (\(\phi\)) :

Différence de phase angulaire entre la tension et le courant dans un circuit AC.

Puissance Active (P) :

Puissance réellement dissipée ou transformée en travail utile. Unité : Watt (W).

Puissance Réactive (\(Q_L\)) :

Puissance échangée entre la source et le champ magnétique de l'inductance. Unité : Voltampère Réactif (VAR).

Puissance Apparente (S) :

Produit des valeurs efficaces de la tension et du courant. \(S = U_{eff}I_{eff}\). Unité : Voltampère (VA).

Facteur de Puissance (\(\cos\phi\)) :

Rapport entre la puissance active et la puissance apparente (\(P/S\)). Indique l'efficacité de l'utilisation de la puissance.