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Exercices Électricité

Calcul de la constante k de Coulomb

Calcul de la Constante k de Coulomb

Calcul de la Constante k de Coulomb

Comprendre la Loi de Coulomb et sa Constante

La loi de Coulomb, formulée par Charles-Augustin de Coulomb à la fin du XVIIIe siècle, décrit la force électrostatique d'interaction entre deux particules chargées électriquement. Cette force est directement proportionnelle au produit des charges électriques et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. La direction de la force est le long de la ligne joignant les deux charges. Elle est attractive si les charges sont de signes opposés et répulsive si elles sont de même signe.

La loi s'exprime mathématiquement par \(F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\), où \(F\) est la magnitude de la force, \(q_1\) et \(q_2\) sont les valeurs des charges, \(r\) est la distance entre les charges, et \(k\) est la constante de Coulomb. Cette constante, également appelée constante de force électrostatique, dépend du milieu dans lequel se trouvent les charges. Dans le vide (et approximativement dans l'air), \(k\) est reliée à la permittivité du vide \(\epsilon_0\) par la relation \(k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\).

Données de l'étude

Lors d'une expérience, deux petites sphères chargées, considérées comme des charges ponctuelles, sont placées à une certaine distance l'une de l'autre. La force électrostatique entre elles est mesurée.

Données expérimentales :

  • Charge de la première sphère (\(q_1\)) : \(+2.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\) (soit \(+2.0 \, \mu\text{C}\))
  • Charge de la deuxième sphère (\(q_2\)) : \(-3.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\) (soit \(-3.0 \, \mu\text{C}\))
  • Distance entre les centres des sphères (\(r\)) : \(0.10 \, \text{m}\) (soit \(10 \, \text{cm}\))
  • Magnitude de la force électrostatique mesurée entre les sphères (\(F\)) : \(5.4 \, \text{N}\)

Hypothèse : L'expérience est réalisée dans un milieu assimilable au vide ou à l'air.

Schéma des Charges Ponctuelles et de la Force
q1 +2µC q2 -3µC r = 0.10 m F F Force = 5.4 N

Deux charges ponctuelles \(q_1\) et \(q_2\) séparées par une distance \(r\), exerçant une force électrostatique \(F\) l'une sur l'autre.

Questions à traiter

  1. Énoncer la loi de Coulomb qui décrit la magnitude de la force électrostatique \(F\) entre deux charges ponctuelles \(q_1\) et \(q_2\) séparées par une distance \(r\), en fonction de la constante de Coulomb \(k\).
  2. Réarranger l'équation de la loi de Coulomb pour exprimer la constante \(k\) en fonction de \(F\), \(|q_1|\), \(|q_2|\), et \(r\).
  3. Calculer le produit des valeurs absolues des charges, \(|q_1 q_2|\).
  4. Calculer le carré de la distance, \(r^2\).
  5. En utilisant la force mesurée \(F\) et les valeurs calculées précédemment, déterminer la valeur expérimentale de la constante de Coulomb \(k\).
  6. La valeur théorique acceptée de la constante de Coulomb dans le vide est approximativement \(k_{\text{th}} \approx 8.9875 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\). Calculer l'erreur relative en pourcentage entre votre valeur expérimentale et la valeur théorique. Formule de l'erreur relative : \(\text{Erreur}_{\%} = \frac{|k_{\text{exp}} - k_{\text{th}}|}{k_{\text{th}}} \times 100\%\).

Correction : Calcul de la Constante k de Coulomb

Question 1 : Énoncé de la loi de Coulomb

Principe :

La loi de Coulomb stipule que la magnitude de la force électrostatique \(F\) entre deux charges ponctuelles \(q_1\) et \(q_2\) est directement proportionnelle au produit des magnitudes des charges et inversement proportionnelle au carré de la distance \(r\) qui les sépare.

Formule :
\[F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\]

où \(k\) est la constante de Coulomb.

Résultat Question 1 : La loi de Coulomb est \(F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la distance entre deux charges double, la force électrostatique entre elles (selon la loi de Coulomb) :

Question 2 : Expression de \(k\)

Principe :

Il s'agit de réarranger algébriquement la formule de la loi de Coulomb pour isoler la constante \(k\).

Dérivation :

À partir de \(F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\) :

\[ \begin{aligned} F \cdot r^2 &= k |q_1 q_2| \\ k &= \frac{F \cdot r^2}{|q_1 q_2|} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'expression de la constante de Coulomb est \(k = \frac{F \cdot r^2}{|q_1 q_2|}\).

Quiz Intermédiaire 2 : L'unité de la constante de Coulomb \(k\) dans le Système International est :

Question 3 : Calcul de \(|q_1 q_2|\)

Principe :

Calculer le produit des valeurs absolues des deux charges électriques.

Données spécifiques :
  • \(q_1 = +2.0 \times 10^{-6} \, \text{C} \Rightarrow |q_1| = 2.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(q_2 = -3.0 \times 10^{-6} \, \text{C} \Rightarrow |q_2| = 3.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} |q_1 q_2| &= (2.0 \times 10^{-6} \, \text{C}) \cdot (3.0 \times 10^{-6} \, \text{C}) \\ &= 6.0 \times 10^{-12} \, \text{C}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le produit des valeurs absolues des charges est \(|q_1 q_2| = 6.0 \times 10^{-12} \, \text{C}^2\).

Quiz Intermédiaire 3 : Si deux charges sont toutes les deux négatives, la force électrostatique entre elles est :

Question 4 : Calcul de \(r^2\)

Principe :

Calculer le carré de la distance séparant les deux charges.

Données spécifiques :
  • Distance (\(r\)) : \(0.10 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} r^2 &= (0.10 \, \text{m})^2 \\ &= 0.01 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le carré de la distance est \(r^2 = 0.01 \, \text{m}^2\).

Quiz Intermédiaire 4 : Si la distance \(r\) est exprimée en cm, pour l'utiliser dans la loi de Coulomb avec des unités SI, il faut la convertir en :

Question 5 : Valeur expérimentale de la constante de Coulomb (\(k\))

Principe :

Utiliser l'expression de \(k\) dérivée en Q2 et les valeurs numériques.

Formule(s) utilisée(s) :
\[k = \frac{F \cdot r^2}{|q_1 q_2|}\]
Données spécifiques :
  • Force (\(F\)) : \(5.4 \, \text{N}\)
  • Carré de la distance (\(r^2\)) : \(0.01 \, \text{m}^2\) (calculé à la Q4)
  • Produit des charges (\(|q_1 q_2|\)) : \(6.0 \times 10^{-12} \, \text{C}^2\) (calculé à la Q3)
Calcul :
\[ \begin{aligned} k_{\text{exp}} &= \frac{5.4 \, \text{N} \cdot 0.01 \, \text{m}^2}{6.0 \times 10^{-12} \, \text{C}^2} \\ &= \frac{0.054 \, \text{N} \cdot \text{m}^2}{6.0 \times 10^{-12} \, \text{C}^2} \\ &= \frac{54 \times 10^{-3}}{6.0 \times 10^{-12}} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2 \\ &= 9.0 \times 10^{(-3 - (-12))} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2 \\ &= 9.0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La valeur expérimentale de la constante de Coulomb est \(k_{\text{exp}} = 9.0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).

Quiz Intermédiaire 5 : La constante de Coulomb \(k\) est reliée à la permittivité du vide \(\epsilon_0\) par :

Question 6 : Erreur relative en pourcentage

Principe :

Calculer l'erreur relative entre la valeur expérimentale et la valeur théorique de \(k\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\text{Erreur}_{\%} = \frac{|k_{\text{exp}} - k_{\text{th}}|}{k_{\text{th}}} \times 100\%\]
Données spécifiques :
  • Valeur expérimentale (\(k_{\text{exp}}\)) : \(9.0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • Valeur théorique (\(k_{\text{th}}\)) : \(8.9875 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{Erreur}_{\%} &= \frac{|9.0 \times 10^9 - 8.9875 \times 10^9|}{8.9875 \times 10^9} \times 100\% \\ &= \frac{|(9.0 - 8.9875)| \times 10^9}{8.9875 \times 10^9} \times 100\% \\ &= \frac{0.0125}{8.9875} \times 100\% \\ &\approx 0.0013908 \times 100\% \\ &\approx 0.139\% \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : L'erreur relative en pourcentage est d'environ \(0.14\%\).

Quiz Intermédiaire 6 : Une faible erreur relative en pourcentage indique :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi de Coulomb décrit la force entre :

2. Si la valeur d'une des charges double, la force de Coulomb (les autres paramètres restant constants) :

3. La constante de Coulomb \(k\) :

Glossaire

Loi de Coulomb
Loi physique décrivant la force d'interaction électrostatique entre deux particules chargées électriquement.
Charge Ponctuelle
Idéalisation d'un corps chargé dont les dimensions sont négligeables par rapport aux distances considérées.
Force Électrostatique
Force d'attraction ou de répulsion exercée entre des objets chargés électriquement.
Constante de Coulomb (\(k\))
Constante de proportionnalité dans la loi de Coulomb, dépendant du milieu. Dans le vide, \(k \approx 8.9875 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).
Permittivité du Vide (\(\epsilon_0\))
Constante physique représentant la capacité du vide à permettre la formation d'un champ électrique. \(\epsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\).
Coulomb (C)
Unité de charge électrique dans le Système International.
Newton (N)
Unité de force dans le Système International.
Erreur Relative
Mesure de l'écart entre une valeur mesurée (ou expérimentale) et une valeur de référence (ou théorique), exprimée en pourcentage de la valeur de référence.
Calcul de la Constante k de Coulomb

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