Loi d’Ohm dans un Milieu Conducteur Cylindrique

1. Calcul de la résistance \( R \) du conducteur

Le conducteur central est un cylindre, donc la résistance s'exprime par :

\[ R = \frac{\rho L}{A} \quad \text{où} \quad A = \pi r^2 \]

Calcul de la surface de la section :

\[ A = \pi r^2 = \pi \times (0.0005)^2 \] \[ A = \pi \times 2.5 \times 10^{-7}\, \text{m}^2 \] \[ A \approx 7.85 \times 10^{-7}\, \text{m}^2. \]

Substitution dans la formule de la résistance :

\[ R = \frac{1.68 \times 10^{-8} \times 50}{7.85 \times 10^{-7}}. \]

Calcul du numérateur : \[ 1.68 \times 10^{-8} \times 50 = 8.4 \times 10^{-7}\, \Omega\cdot m. \]

Ainsi : \[ R = \frac{8.4 \times 10^{-7}}{7.85 \times 10^{-7}} \] \[ R\approx 1.07\, \Omega. \]

Résultat :

La résistance du conducteur central est d'environ 1.07 Ω.

2. Détermination du courant \( I \) traversant le conducteur

La loi d’Ohm s'écrit :

\[ I = \frac{V}{R} \]

En substituant les valeurs :

\[ I = \frac{5\,\text{V}}{1.07\,\Omega} \] \[ I \approx 4.67\,\text{A}. \]

Résultat :

Le courant traversant le conducteur est d’environ 4.67 A.

3. Effet de la fréquence du signal sur la résistance apparente (effet de peau)

Explication :

Principe de l'effet de peau : À haute fréquence, le courant électrique tend à se concentrer près de la surface du conducteur, réduisant ainsi la section efficace utilisée pour le transport de la charge. En conséquence, la résistance apparente (ou « effective ») augmente.

Application au cas présent : Pour un signal à \( 60\text{ Hz} \), la fréquence est relativement faible. Pour le cuivre, la profondeur de pénétration (skin depth) \(\delta\) se calcule par :

\[ \delta = \sqrt{\frac{2 \rho}{\omega \mu_0}}, \]

où \(\omega = 2 \pi f\) et \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, \text{H/m}\). En substituant \( f = 60\text{ Hz} \), on trouve généralement :

\[ \delta \approx 8.5\text{ mm}. \]

Étant donné que le rayon du conducteur est \(0.5\text{ mm}\) (bien inférieur à \(\delta\)), l'effet de peau est négligeable dans ce cas. Cependant, à des fréquences bien supérieures, la profondeur de pénétration diminuerait et le courant serait confiné à une couche mince près de la surface, augmentant la résistance apparente.

4. Calcul de la puissance dissipée par effet Joule

La puissance dissipée par effet Joule est donnée par :

\[ P = I^2 R \]

Avec \( I \approx 4.67\,\text{A} \) et \( R \approx 1.07\,\Omega \) :

\[ P = (4.67)^2 \times 1.07 \] \[ P \approx 21.82 \times 1.07 \] \[ P \approx 23.3\,\text{W}. \]

Résultat :

La puissance dissipée par effet Joule est d’environ 23.3 W.

5. Modification du rayon du conducteur

Proposition :

Augmentons le rayon du conducteur pour observer l’effet sur la résistance, le courant et la puissance dissipée. Par exemple, doublons le rayon de \(0.5\text{ mm}\) à \(1.0\text{ mm}\).

Nouveau rayon : \( r' = 1.0\text{ mm} = 0.001\text{ m} \).

Nouvelle section efficace : \[ A' = \pi (r')^2 \] \[ A'= \pi \times (0.001)^2 \] \[ A'= \pi \times 1 \times 10^{-6}\, \text{m}^2 \] \[ A' \approx 3.14 \times 10^{-6}\, \text{m}^2. \]

Calcul de la nouvelle résistance \( R' \) : \[ R' = \frac{\rho L}{A'} \] \[ R'= \frac{1.68 \times 10^{-8} \times 50}{3.14 \times 10^{-6}}. \]

Calcul du numérateur : \[ 1.68 \times 10^{-8} \times 50 = 8.4 \times 10^{-7}\, \Omega\cdot m. \]

Ainsi : \[ R' = \frac{8.4 \times 10^{-7}}{3.14 \times 10^{-6}} \] \[ R' \approx 0.267\, \Omega. \]

Nouveau courant \( I' \) avec la loi d’Ohm : \[ I' = \frac{V}{R'} \] \[ I'= \frac{5\,\text{V}}{0.267\,\Omega} \] \[ I' \approx 18.73\,\text{A}. \]

Nouvelle puissance dissipée \( P' \) : Soit en utilisant \( P' = I'^2 R' \) ou \( P' = \frac{V^2}{R'} \) :

\[ P' = \frac{5^2}{0.267} \] \[ P' \approx \frac{25}{0.267} \] \[ P' \approx 93.63\,\text{W}. \]

Analyse des effets :

Réduction de la résistance : En doublant le rayon, la surface de la section augmente d’un facteur \(\left(\frac{0.001}{0.0005}\right)^2 = 4\). Ainsi, la résistance diminue d’un facteur 4 (de 1.07 Ω à environ 0.267 Ω).

Augmentation du courant : Pour une tension constante, une baisse de la résistance entraîne une augmentation du courant (de 4.67 A à environ 18.73 A).

Puissance dissipée plus importante : Paradoxalement, bien que la résistance soit plus faible, l’augmentation significative du courant (quadruple) fait que la puissance dissipée par effet Joule s’accroît. En effet, \( P \) s’exprime soit par \( I^2 R \) soit par \( \frac{V^2}{R} \). Ici, on passe d’environ 23.3 W à environ 93.6 W.

Conclusion pour la modification :

Une augmentation du rayon du conducteur diminue sa résistance, ce qui, pour une tension constante, augmente le courant circulant et, par conséquent, la puissance dissipée par effet Joule. Cette situation peut nécessiter des ajustements au niveau du refroidissement ou du dimensionnement du câble en pratique.