Exercices Électricité

Loi d’Ohm dans un Milieu Conducteur Cylindrique

Loi d’Ohm dans un Milieu Conducteur Cylindrique

Loi d’Ohm dans un Milieu Conducteur Cylindrique

Comprendre la Loi d'Ohm dans les Conducteurs

La loi d'Ohm est une loi fondamentale en électricité et en électromagnétisme. Sous sa forme locale (ou microscopique), elle relie la densité de courant (\(\vec{J}\)) dans un matériau conducteur au champ électrique (\(\vec{E}\)) qui y règne et à la conductivité (\(\sigma\)) du matériau : \(\vec{J} = \sigma \vec{E}\). La conductivité est l'inverse de la résistivité (\(\rho = 1/\sigma\)).

Pour un conducteur de forme simple, comme un cylindre (un fil), cette loi locale peut être intégrée pour retrouver la forme macroscopique bien connue : \(V = R I\), où \(V\) est la différence de potentiel aux bornes du conducteur, \(I\) est le courant total qui le traverse, et \(R\) est sa résistance électrique. La résistance dépend de la géométrie du conducteur et de la résistivité de son matériau.

Cet exercice explore ces concepts en calculant diverses grandeurs électriques pour un fil conducteur cylindrique en cuivre parcouru par un courant.

Données de l'étude

On considère un fil de cuivre cylindrique.

Caractéristiques du fil conducteur :

  • Matériau : Cuivre
  • Longueur (\(L\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Rayon (\(a\)) : \(1.0 \, \text{mm}\)
  • Conductivité du cuivre (\(\sigma\)) : \(5.8 \times 10^7 \, \text{S/m}\) (Siemens par mètre)
  • Un courant total constant (\(I_0\)) de \(5.0 \, \text{A}\) traverse le fil.
Schéma du Conducteur Cylindrique
L = 2.0 m a (1mm) I0 = 5.0 A

Fil conducteur cylindrique de longueur L et de rayon a, parcouru par un courant I₀.

Questions à traiter

  1. Calculer la section transversale (aire) \(A\) du fil conducteur en \(\text{m}^2\).
  2. Calculer la résistance \(R\) du fil de cuivre.
  3. Calculer la différence de potentiel (tension) \(V_0\) aux bornes du fil.
  4. En supposant que le courant est uniformément réparti, calculer la densité de courant \(J\) dans le fil.
  5. Calculer l'intensité du champ électrique \(E\) à l'intérieur du fil (supposé uniforme).
  6. Vérifier la loi d'Ohm locale (\(J = \sigma E\)) en utilisant les valeurs calculées.
  7. Calculer la puissance \(P\) dissipée par effet Joule dans le fil.

Correction : Loi d’Ohm dans un Milieu Conducteur Cylindrique

Question 1 : Section transversale (\(A\)) du fil

Principe :

La section transversale d'un fil cylindrique de rayon \(a\) est donnée par l'aire d'un disque : \(A = \pi a^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = \pi a^2\]
Données spécifiques :
  • Rayon (\(a\)) : \(1.0 \, \text{mm} = 1.0 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= \pi \cdot (1.0 \times 10^{-3} \, \text{m})^2 \\ &= \pi \cdot (1.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^2) \\ &\approx 3.14159 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La section transversale du fil est \(A \approx 3.14 \times 10^{-6} \, \text{m}^2\) (ou \(3.14 \, \text{mm}^2\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le diamètre d'un fil double, sa section transversale :

Question 2 : Résistance (\(R\)) du fil

Principe :

La résistance \(R\) d'un conducteur de longueur \(L\), de section \(A\) et de conductivité \(\sigma\) est donnée par \(R = \frac{L}{\sigma A}\). Alternativement, en utilisant la résistivité \(\rho = 1/\sigma\), on a \(R = \rho \frac{L}{A}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R = \frac{L}{\sigma A}\]
Données spécifiques :
  • Longueur (\(L\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Conductivité (\(\sigma\)) : \(5.8 \times 10^7 \, \text{S/m}\)
  • Section (\(A\)) : \(\approx 3.14159 \times 10^{-6} \, \text{m}^2\) (calculée à la Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R &= \frac{2.0 \, \text{m}}{(5.8 \times 10^7 \, \text{S/m}) \cdot (3.14159 \times 10^{-6} \, \text{m}^2)} \\ &= \frac{2.0}{5.8 \times 3.14159 \times 10^1} \, \text{Ω} \\ &= \frac{2.0}{182.21222} \, \text{Ω} \\ &\approx 0.010976 \, \text{Ω} \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(R \approx 0.0110 \, \text{Ω}\) ou \(11.0 \, \text{mΩ}\).

Résultat Question 2 : La résistance du fil de cuivre est \(R \approx 0.0110 \, \text{Ω}\) (ou \(11.0 \, \text{mΩ}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la conductivité \(\sigma\) d'un matériau augmente, sa résistivité \(\rho\) :

Question 3 : Différence de potentiel (\(V_0\)) aux bornes du fil

Principe :

La loi d'Ohm macroscopique relie la tension, le courant et la résistance : \(V = R I\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_0 = R \cdot I_0\]
Données spécifiques :
  • Résistance (\(R\)) : \(\approx 0.010976 \, \text{Ω}\) (calculée à la Q2)
  • Courant total (\(I_0\)) : \(5.0 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_0 &= 0.010976 \, \text{Ω} \cdot 5.0 \, \text{A} \\ &= 0.05488 \, \text{V} \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(V_0 \approx 0.0549 \, \text{V}\) ou \(54.9 \, \text{mV}\).

Résultat Question 3 : La différence de potentiel aux bornes du fil est \(V_0 \approx 0.0549 \, \text{V}\).

Quiz Intermédiaire 3 : La loi d'Ohm \(V=RI\) s'applique :

Question 4 : Densité de courant (\(J\)) dans le fil

Principe :

La densité de courant \(J\) est le courant par unité de section transversale. Si le courant est uniformément réparti, \(J = I_0 / A\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[J = \frac{I_0}{A}\]
Données spécifiques :
  • Courant total (\(I_0\)) : \(5.0 \, \text{A}\)
  • Section (\(A\)) : \(\approx 3.14159 \times 10^{-6} \, \text{m}^2\) (calculée à la Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} J &= \frac{5.0 \, \text{A}}{3.14159 \times 10^{-6} \, \text{m}^2} \\ &\approx 1591549.4 \, \text{A/m}^2 \\ &\approx 1.59 \times 10^6 \, \text{A/m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La densité de courant dans le fil est \(J \approx 1.59 \times 10^6 \, \text{A/m}^2\).

Quiz Intermédiaire 4 : L'unité de la densité de courant est :

Question 5 : Intensité du champ électrique (\(E\)) à l'intérieur du fil

Principe :

Pour un conducteur uniforme de longueur \(L\) soumis à une différence de potentiel \(V_0\), le champ électrique (supposé uniforme) est \(E = V_0 / L\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E = \frac{V_0}{L}\]
Données spécifiques :
  • Différence de potentiel (\(V_0\)) : \(\approx 0.05488 \, \text{V}\) (calculée à la Q3)
  • Longueur (\(L\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E &= \frac{0.05488 \, \text{V}}{2.0 \, \text{m}} \\ &= 0.02744 \, \text{V/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'intensité du champ électrique à l'intérieur du fil est \(E \approx 0.0274 \, \text{V/m}\).

Quiz Intermédiaire 5 : Le champ électrique à l'intérieur d'un conducteur parfait en régime statique est :

Question 6 : Vérification de la loi d'Ohm locale (\(J = \sigma E\))

Principe :

Nous allons calculer \(\sigma E\) en utilisant les valeurs de \(\sigma\) donnée et \(E\) calculée, puis comparer ce produit à la valeur de \(J\) calculée.

Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma E &= (5.8 \times 10^7 \, \text{S/m}) \cdot (0.02744 \, \text{V/m}) \\ &= 5.8 \times 0.02744 \times 10^7 \, \text{A/m}^2 \\ &= 0.159152 \times 10^7 \, \text{A/m}^2 \\ &= 1.59152 \times 10^6 \, \text{A/m}^2 \end{aligned} \]

Comparons cela à \(J \approx 1.5915494 \times 10^6 \, \text{A/m}^2\) (valeur plus précise de Q4).

Résultat Question 6 : Le produit \(\sigma E \approx 1.5915 \times 10^6 \, \text{A/m}^2\), ce qui est très proche de la valeur de \(J \approx 1.5915 \times 10^6 \, \text{A/m}^2\) calculée précédemment. La loi d'Ohm locale est vérifiée (les petites différences sont dues aux arrondis).

Quiz Intermédiaire 6 : La conductivité \(\sigma\) est une propriété :

Question 7 : Puissance (\(P\)) dissipée par effet Joule dans le fil

Principe :

La puissance dissipée par effet Joule dans une résistance peut être calculée par \(P = V_0 I_0\), \(P = R I_0^2\), ou \(P = V_0^2 / R\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P = V_0 I_0\]
Données spécifiques :
  • Différence de potentiel (\(V_0\)) : \(\approx 0.05488 \, \text{V}\) (calculée à la Q3)
  • Courant total (\(I_0\)) : \(5.0 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P &= 0.05488 \, \text{V} \cdot 5.0 \, \text{A} \\ &= 0.2744 \, \text{W} \end{aligned} \]

Vérification avec \(P = R I_0^2\): \(P = 0.010976 \, \text{Ω} \cdot (5.0 \, \text{A})^2 = 0.010976 \cdot 25 = 0.2744 \, \text{W}\).

Résultat Question 7 : La puissance dissipée par effet Joule dans le fil est \(P \approx 0.274 \, \text{W}\).

Quiz Intermédiaire 7 : L'effet Joule dans un conducteur se manifeste par :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi d'Ohm locale s'exprime par :

2. La résistance d'un fil conducteur cylindrique est inversement proportionnelle à :

3. Si le rayon d'un fil conducteur double (longueur et matériau inchangés), sa résistance :

Glossaire

Loi d'Ohm (macroscopique)
Relation entre la tension \(V\) aux bornes d'un dipôle résistant, le courant \(I\) qui le traverse, et sa résistance \(R\) : \(V = R I\).
Loi d'Ohm (locale)
Relation vectorielle entre la densité de courant \(\vec{J}\) en un point d'un milieu conducteur, le champ électrique \(\vec{E}\) en ce point, et la conductivité \(\sigma\) du milieu : \(\vec{J} = \sigma \vec{E}\).
Conductivité Électrique (\(\sigma\))
Capacité d'un matériau à laisser passer le courant électrique. C'est l'inverse de la résistivité. Unité : Siemens par mètre (S/m).
Résistivité Électrique (\(\rho\))
Propriété intrinsèque d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique. C'est l'inverse de la conductivité. Unité : Ohm-mètre (\(\text{Ω.m}\)).
Résistance Électrique (\(R\))
Opposition d'un composant (ou d'un conducteur) au passage du courant électrique. Unité : Ohm (\(\text{Ω}\)). Pour un conducteur cylindrique : \(R = \rho L/A\).
Densité de Courant (\(J\))
Vecteur dont la direction est celle du mouvement des charges et dont le module est le courant par unité de surface perpendiculaire à la direction du courant. Unité : Ampère par mètre carré (\(\text{A/m}^2\)).
Champ Électrique (\(E\))
Champ de force vectoriel créé par des charges électriques. Il exerce une force sur d'autres charges. Unité : Volt par mètre (\(\text{V/m}\)).
Puissance Dissipée (Effet Joule)
Énergie thermique libérée par seconde dans un conducteur parcouru par un courant électrique, due à sa résistance. \(P = R I^2 = V I = V^2/R\). Unité : Watt (\(\text{W}\)).
Loi d’Ohm dans un Milieu Conducteur Cylindrique

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